Βοήθεια/Απορίες στην Άλγεβρα

Αρίκος · 14-01-11

Αρχική Δημοσίευση από papas:
οταν λες στο τετραγωνο,βαζεις ολο το κλασμα στο τετραγωνο ή μονο τον παρανομαστη;

mono τον παρανομαστη και επειδη καταλαθος βγηκε πρωσοπακι ειναι 4 ( 1 .....

αδαμαντια52071 · 14-01-11

Αρχική Δημοσίευση από Αρίκος:
καλησπερα παιδια μπορειτε να μου λυσετε αυτο...
41+ριζα5)στο τετραγωνο - 31-ριζα5)στο τετραγωνο=.... θυμαμαι οτι ελεγε να βρουμε ενα αποτελεσμα με ριζα...

γιατι δεν προσπαθεις να αναπτυξεις τις ταυτοτητες?

Giannis77 · 26-01-11

Αρχική Δημοσίευση από mostel:
Να μια άσκηση που τη βρήκα ενδιαφέρουσα

Ήταν σήμερα στο τεστ μαθηματικών γενικής παιδείας τρίτης λυκείου. Ωστόσο, αν τη σκεφτεί κάποιος έξυπνα, μπορεί να τη βγάλει και με γνώσεις Α' λυκείου!

Για τους $a,b$ ισχύει:

$a+b=40$

Να βρείτε τη μέγιστη τιμή του $ab$

Άντε να σας δώ!!

Να και η δική μου εκδοχή (με γνώσεις Α λυκείου)

${a}^{2} + {b}^{2} \geq 0 \Leftrightarrow$ ( Που ισχύει)

Προσθέτω και στα 2 μέλη το 2αβ

${a}^{2} + {b}^{2} + 2ab \geq 2ab \Leftrightarrow$

${(a + b)}^{2} \geq 2ab\Leftrightarrow$

${(a + b)}^{2} / 2 \geq ab\Leftrightarrow$

${40}^{2} / 2 \geq ab\Leftrightarrow$
Δηλαδη η μέγιστη τιμή του αβ μπόρει να 'ναι το 800 :clapup:

Η αλήθεια είναι πώς με βασάνισε 1 ωρίτσα περίπου αλλά το βρήκα :redface:

Dias · 26-01-11

Αρχική Δημοσίευση από Giannis77:
Να και η δική μου εκδοχή (με γνώσεις Α λυκείου)
${a}^{2} + {b}^{2} \geq 0 \Leftrightarrow$ ( Που ισχύει)
.............................
Δηλαδη η μέγιστη τιμή του αβ μπόρει να 'ναι το 800
...............................
Η αλήθεια είναι πώς με βασάνισε 1 ωρίτσα περίπου αλλά το βρήκα

Λυπάμαι φίλε μου, πολύ καλή η προσπάθεια σου, αλλά δεν το βρήκες.
Δεν μπορούμε να ξεκινάμε με μια αυθαίρετη ανισότητα που ισχύει.
Να πώς γίνεται με γνώσεις Α λυκείου:
α + β = 40 => β = 40 - α
Ονομάζω χ = α∙β => χ = α∙(40-α) => χ = 40α - α² => α² - 40α + χ = 0
Το τριώνυμο ως προς α έχει πραγματικές ρίζες, άρα:
Δ ≥ 0 => 40² - 4χ ≥ 0 => χ ≤1600/4 => α∙β ≤ 400 =>
=> μεγιστο(α∙β) = 400 , δηλ. α=20, β=20 (λύση που βγαίνει και με Γ λυκείου)

koum · 26-01-11

Αρχική Δημοσίευση από Dias:
Λυπάμαι φίλε μου, πολύ καλή η προσπάθεια σου, αλλά δεν το βρήκες.
Δεν μπορούμε να ξεκινάμε με μια αυθαίρετη ανισότητα που ισχύει.
Να πώς γίνεται με γνώσεις Α λυκείου:

...

Πού ακριβώς εντοπίζεις λάθος στην παραπάνω αντιμετώπιση; :confused:

Η αυθαίρετη ανισότητα που λες $({(a+b)}^{2}\geq 2ab)$ είναι στοιχειώδης ανισότητα και χρησιμοποιείται κατά κόρον στα μαθηματικά. Το ότι ξεκινάει από κάτι που αρχικά δε φαίνεται να βοηθά, δεν καθιστά τη λύση λάθος. Σωστή και η δική σου, αλλά αυτή αυτή εδώ δε χρησιμοποιεί πάνω από 2 γραμμές, κάτι που την καθιστά όμορφη.
Η λύση είναι ολόσωστη εν ολίγοις.

@Giannis77: Πού την ξέθαψες αυτήν την άσκηση;

Giannis77 · 26-01-11

Σ'ευχαριστώ φίλε @koum για την στήριξη, αν και εγώ δεν βρίσκω κάτι λάθος στην λύση μου
ΥΓ: Εεε κοιτούσα το θέμα και έπεσα πάνω της !

Antonis.1821 · 26-01-11

Αρχική Δημοσίευση από koum:
Πού ακριβώς εντοπίζεις λάθος στην παραπάνω αντιμετώπιση;
Η αυθαίρετη ανισότητα που λες $({(a+b)}^{2}\geq 2ab)$ είναι στοιχειώδης ανισότητα και χρησιμοποιείται κατά κόρον στα μαθηματικά. Το ότι ξεκινάει από κάτι που αρχικά δε φαίνεται να βοηθά, δεν καθιστά τη λύση λάθος. Σωστή και η δική σου, αλλά αυτή αυτή εδώ δε χρησιμοποιεί πάνω από 2 γραμμές, κάτι που την καθιστά όμορφη.
Η λύση είναι ολόσωστη εν ολίγοις.

Η λύση σου δεν είναι σωστή.
Και μόνο το γεγονός ότι βγάζεις διαφορετικό αποτέλεσμα θα έπρεπε να σε προβληματίσει.
Κι αυτό διότι αν κάποιος αριθμός (ή κάποια ποσότητα) αποδείξουμε ότι είναι μεγαλύτερος ή ίσος από Χ, ΔΕΝ ΣΗΜΑΙΝΕΙ ότι"πιάνει" την τιμή Χ. Μπορεί ναι, μπορεί και όχι. Η ανισότητα π.χ. ότι $x^2 \geq -1$ δεν είναι λάθος. Αλλά δεν σημαίνει και ότι $x^2 = -1$ ...

artemaki · 26-01-11

Aν ισχυει αυτο:

Να αποδειξουμε οτι:

Το εβαλε στο διαγωνισμα και δεν το ελυσε κανενας.
Καποιος που να μπορει να το λυσει?:/

Giannis77 · 26-01-11

Αρχική Δημοσίευση από koum:
Πού ακριβώς εντοπίζεις λάθος στην παραπάνω αντιμετώπιση;
Η αυθαίρετη ανισότητα που λες $({(a+b)}^{2}\geq 2ab)$ είναι στοιχειώδης ανισότητα και χρησιμοποιείται κατά κόρον στα μαθηματικά. Το ότι ξεκινάει από κάτι που αρχικά δε φαίνεται να βοηθά, δεν καθιστά τη λύση λάθος. Σωστή και η δική σου, αλλά αυτή αυτή εδώ δε χρησιμοποιεί πάνω από 2 γραμμές, κάτι που την καθιστά όμορφη.
Η λύση είναι ολόσωστη εν ολίγοις.

@Giannis77: Πού την ξέθαψες αυτήν την άσκηση;

Αρχική Δημοσίευση από Antonis.1821:
Η λύση σου δεν είναι σωστή.
Και μόνο το γεγονός ότι βγάζεις διαφορετικό αποτέλεσμα θα έπρεπε να σε προβληματίσει.
Κι αυτό διότι αν κάποιος αριθμός (ή κάποια ποσότητα) αποδείξουμε ότι είναι μεγαλύτερος ή ίσος από Χ, ΔΕΝ ΣΗΜΑΙΝΕΙ ότι"πιάνει" την τιμή Χ. Μπορεί ναι, μπορεί και όχι. Η ανισότητα π.χ. ότι $x^2 \geq -1$ δεν είναι λάθος. Αλλά δεν σημαίνει και ότι $x^2 = -1$ ...

Πρώτα απ' όλα το $x^2 \geq -1$ είναι ΤΕΛΕΙΩΣ άκυρο αφού ένας αριθμός υψωμένος στο τετράγωνο δεν μπορεί να είναι ίσος με -1.

catherine1994 · 26-01-11

Αρχική Δημοσίευση από artemaki:
Aν ισχυει αυτο:

Να αποδειξουμε οτι:

Το εβαλε στο διαγωνισμα και δεν το ελυσε κανενας.
Καποιος που να μπορει να το λυσει?:/

Με απαγωγή σε άτοπο : έστω ότι ψ=0 τότε χ²<0 που είναι αδύνατο. Άρα ψ διάφορο του μηδενός.(ίσως να λύνεται και διαφορετικά)

Giannis77 · 26-01-11

Αρχική Δημοσίευση από Giannis77:
Πρώτα απ' όλα το $x^2 \geq -1$ είναι ΤΕΛΕΙΩΣ άκυρο αφού ένας αριθμός υψωμένος στο τετράγωνο δεν μπορεί να είναι ίσος με -1.

Και στην συνέχεια όταν κάτι είναι μικρότερο ή ίσο με κάτι άλλο, σημαίνει ότι δεν μπορεί να πάρει τιμή μεγαλύτερη από αυτο. Δηλαδή όταν $x \leq 10$ το χ δεν μπορεί να πάρει τιμή μεγαλύτερη από 10. Έτσι και όταν $ab \leq 800$ σημαίνει ότι το αβ δεν μπορεί να πάρει τιμή μεγαλύτερη απο 800

ΥΓ :Δεν ξέρω κατά πόσο είναι σωστή η λύση μου, αλλά τουλάχιστον δεν λέω ασυναρτησίες. Φιλικά παντα

koum · 26-01-11

Αρχική Δημοσίευση από Antonis.1821:
Η λύση σου δεν είναι σωστή.
Και μόνο το γεγονός ότι βγάζεις διαφορετικό αποτέλεσμα θα έπρεπε να σε προβληματίσει.
Κι αυτό διότι αν κάποιος αριθμός (ή κάποια ποσότητα) αποδείξουμε ότι είναι μεγαλύτερος ή ίσος από Χ, ΔΕΝ ΣΗΜΑΙΝΕΙ ότι"πιάνει" την τιμή Χ. Μπορεί ναι, μπορεί και όχι. Η ανισότητα π.χ. ότι $x^2 \geq -1$ δεν είναι λάθος. Αλλά δεν σημαίνει και ότι $x^2 = -1$ ...

Σωστά, δεν πρόσεξα ότι το φράγμα που χρησιμοποίησε δεν ήταν το μέγιστο δυνατό. Είχα στο μυαλό μου την ${(a+b)}^{2}\geq 4ab$ όταν πληκτρολογούσα και από την οποία προκύπτει εύκολα το ζητούμενο...

My fault.

Αρχική Δημοσίευση από Giannis77:
Και στην συνέχεια όταν κάτι είναι μικρότερο ή ίσο με κάτι άλλο, σημαίνει ότι δεν μπορεί να πάρει τιμή μεγαλύτερη από αυτο. Δηλαδή όταν $x \leq 10$ το χ δεν μπορεί να πάρει τιμή μεγαλύτερη από 10. Έτσι και όταν $ab \leq 800$ σημαίνει ότι το αβ δεν μπορεί να πάρει τιμή μεγαλύτερη απο 800

ΥΓ :Δεν ξέρω κατά πόσο είναι σωστή η λύση μου, αλλά τουλάχιστον δεν λέω ασυναρτησίες. Φιλικά παντα

Αντικατέστησε στην αρχική $(a+b=40)$ , όπου $a$ το $\frac{800}{b}$ .
Θα δεις ότι δεν επαληθεύεται, άρα και δεν είναι δεκτή η τιμή του γινομένου.

Αρχική Δημοσίευση από artemaki:
Aν ισχυει αυτο:

Να αποδειξουμε οτι:

Μια άλλη λύση εκτός από αυτήν που ήδη αναφέρθηκε είναι να θεωρήσεις το $x$ σταθερό και να λύσεις το τριώνυμο ως προς $|y|$ .

Giannis77 · 26-01-11

Έχεις δίκιο δεν είναι αυτή η λύση. Θα το σκεφτώ και θα επιστρέψω δρυμήτερος !

koum · 26-01-11

Αρχική Δημοσίευση από Giannis77:
Έχεις δίκιο δεν είναι αυτή η λύση. Θα το σκεφτώ και θα επιστρέψω δρυμήτερος !

Εφόσον $a,b>0$ , τότε η καλύτερη δυνατή ανισότητα είναι η ${(a+b)}^{2}\geq 4ab$ .

Δοκίμασε!

artemaki · 26-01-11

Αρχική Δημοσίευση από catherine1994:
Με απαγωγή σε άτοπο : έστω ότι ψ=0 τότε χ²<0 που είναι αδύνατο. Άρα ψ διάφορο του μηδενός.(ίσως να λύνεται και διαφορετικά)

Αρχική Δημοσίευση από koum:
Μια άλλη λύση εκτός από αυτήν που ήδη αναφέρθηκε είναι να θεωρήσεις το $x$ σταθερό και να λύσεις το τριώνυμο ως προς $|y|$ .

Ευχαριστω.(:

Antonis.1821 · 27-01-11

Αρχική Δημοσίευση από koum:
Σωστά, δεν πρόσεξα ότι το φράγμα που χρησιμοποίησε δεν ήταν το μέγιστο δυνατό. Είχα στο μυαλό μου την ${(a+b)}^{2}\geq 4ab$ όταν πληκτρολογούσα και από την οποία προκύπτει εύκολα το ζητούμενο...

Μπράβο. Αυτό είναι το σωστό.

Karkabilios · 30-01-11

Μιας και έχω αϋπνίες και βαριέμε θυμήθηκα μια άσκηση που μου έχει σπασει τα νέυρα και είπα να την γράψω εδώ μήπως μπορεί να βοηθήσει κανένας.Η άσκηση έχει σχέση με τους τύπους του Vieta και διτετράγωνες εξισώσεις και είναι η

x + x+1 = 13
χ+1..Χ..6

Ξέρω δεν την έγραψα καλά αλλά δεν ξέρω πως γίνετε να βάλω γραμμή κλάσματος, πάντως ανάμεσα να ξέρτε πως υπάρχει γραμμή κλάσματος.Επίσης, τελείες έβαλα για να καταλάβεται ποιοί αριθμοί αντιστοιχούν σε κάθε κομμάτι.Αν μπορεί κάποιος να μου ποστάρει την λύση αλλά αναλυτικά αν γίνετε μιας και δεν ξέρω σχεδόν τίποτα απο μαθηματικά.Ευχαριστώ.

Dias · 30-01-11

Αρχική Δημοσίευση από Karkabilios:
Μιας και έχω αϋπνίες και βαριέμε θυμήθηκα μια άσκηση που μου έχει σπασει τα νέυρα και είπα να την γράψω εδώ μήπως μπορεί να βοηθήσει κανένας.Η άσκηση έχει σχέση με τους τύπους του Vieta και διτετράγωνες εξισώσεις και είναι η........Αν μπορεί κάποιος να μου ποστάρει την λύση αλλά αναλυτικά αν γίνετε μιας και δεν ξέρω σχεδόν τίποτα απο μαθηματικά.

Ακ κατάλαβα καλά η εξίσωση είναι:
χ/(χ+1) + (χ+1)/χ = 13/6
Αν θέλεις πραγματικά τη λύση, ευχαρίστως να σε βοηθήσουμε. Αν όμως, όπως λες, την έβαλες μόνο και μόνο επειδή την θυμήθηκες καθώς έχεις αυπνίες και βαριέσαι, γιατί να ασχοληθούμε?
Πάντως η εξίσωση ούτε διτετράγωνη είναι, ούτε με Vieta έχει σχέση. Κάνεις απαλοιφή παρονομαστών και λύνεις μια απλή δευτεροβάθμια Γ γυμνασίου.

Karkabilios · 31-01-11

Με παρεξήγησες φίλε μου.Όταν είπα πως βαριέμαι εννοούσα εκείνη την στιγμή όχι βαριέμαι γιατί δεν είχα τη να κάνω όχι να λύσω την άσκηση.Άλλωστε εάν βαριώμουν να την λύσω ή δεν θα την έγραφα καθόλου ή θα την έκανα απλά αντιγραφή απο το λυσάρι των μαθηματικών και δεν θα ζήταγα βοήθεια.
Έγραψα για Vieta και διτετράγωνες επειδή είναι άσκηση σε αυτό το μάθημα με τους τύπους και τις διτετράγωνες.Και να :redface:

... είμαι ολίγον πανάχρηστος στα μαθηματικά μιας και δεν διάβαζα και δεν ξέρω πολλά αλλά το πήρα απόφαση και προσπαθώ να διαβάζω τώρα.

akis95 · 11 Φεβρουαρίου 2011

παιδια καιγομαι να μπορει καπιοσ να μου λυση αυτη
(α-β)(χ-α)(χ-β)+(β-γ)(χ-β)(χ-γ) ειναι μια και λεει αν α,β,γ διαφορετικοι ανα δυο να δειξετε οτι το τιρωνυμο αυτο εχει δυο ριζεσ παω α λυκειου ειμαι στισ ανισωσεισ β βαθμου
+(α-γ)(χ-α)(χ-γ)

η πανω π[ρενθεση με τη κατω ειναι πρασταση ειναι αθροισμα 3 γινομενων

Βοήθεια/Απορίες στην Άλγεβρα

Νεοφερμένο μέλος

Πολύ δραστήριο μέλος

Νεοφερμένο μέλος

Επιφανές μέλος

Πολύ δραστήριο μέλος

Νεοφερμένο μέλος

Νεοφερμένο μέλος

Διάσημο μέλος

Νεοφερμένο μέλος

Πολύ δραστήριο μέλος

Νεοφερμένο μέλος

Πολύ δραστήριο μέλος

Νεοφερμένο μέλος

Πολύ δραστήριο μέλος

Διάσημο μέλος

Νεοφερμένο μέλος

Νεοφερμένο μέλος

Επιφανές μέλος

Νεοφερμένο μέλος

Δραστήριο μέλος