δινεται η συναρτηση f για την οποια ισχυουν x^2f ''(x)#-1 για καθε χεR και f(2)-f(1)=ln2 -1.να δειξετε οτι οι Cf ' και Cg ' οπου g(x)=lnx-x εχουν ενα μονο κοινο σημειο με τετμημενη στο (1,2)
Η g είναι συνεχής και δύο φορές παραγωγίσιμη στο (0,+οο) με παραγώγους:
g(x)=lnx-x
g΄(x)=(1/x)-1
g΄΄(x)=-1/(x^2)
Η f είναι δύο φορές παραγωγίσιμη στο R, οπότε και συνεχής στο R με συνεχή πρώτη παράγωγο και ισχύει (x^2)f΄΄(x)#-1 για κάθε x ανήκει R*.
Θεωρούμε τη συνάρτηση h(x)=f(x)-g(x). Επειδή οι f, g είναι δύο φορές παραγωγίσιμες στο (0,+oo) τότε και η h είναι δύο φορές παραγωγίσιμη στο (0,+οο), άρα και συνεχής με συνεχή πρώτη παράγωγο στο (0,+οο), με παραγώγους:
h(x)=f(x)-g(x)=f(x)-lnx+x
h΄(x)=f΄(x)-g΄(x)=f΄(x)-(1/x)+1
h΄΄(x)=f΄΄(x)-g΄΄(x)=f΄΄(x)+(1/(x^2))=[(x^2)f΄΄(x)+1]/(x^2) # 0 για κάθε x ανήκει (0,+οο)
Έχουμε:
f(2)-f(1)=ln2-1 => f(2)=f(1)+ln2-1
g(1)=-1
g(2)=ln2-2
h(1)=f(1)-g(1)=f(1)+1
h(2)=f(2)-g(2)=f(1)+ln2-1-ln2+2=f(1)+1=h(1)
Η h είναι συνεχής στο [1,2], παραγωγίσιμη στη (1,2) και h(1)=h(2). Επομένως σύμφωνα με το θεώρημα του Rolle υπάρχει τουλάχιστον ένα ξ ανήκει (1,2) τέτοιο ώστε h΄(ξ)=0 <=> f΄(ξ)=g΄(ξ)
Για x<ξ έχουμε:
Η h΄ είναι συνεχής στο [x,ξ] και παραγωγίσιμη στο (x,ξ) οπότε σύμφωνα με το θεώρημα μέσης τιμής του διαφορικού λογισμού, υπάρχει τουλάχιστον ένα ξ1 ανήκει (x,ξ) τέτοιο ώστε h΄΄(ξ1)=[h΄(ξ)-h΄(x)]/(ξ-x)=(-h΄(x))/(ξ-x)=h΄(x)/(x-ξ)
Είναι h΄΄(ξ1)#0 => h΄(x)#0
Για x>ξ έχουμε:
Η h΄ είναι συνεχής στο [ξ,x] και παραγωγίσιμη στο (ξ,x) οπότε σύμφωνα με το θεώρημα μέσης τιμής του διαφορικού λογισμού, υπάρχει τουλάχιστον ένα ξ2 ανήκει (ξ,x) τέτοιο ώστε h΄΄(ξ2)=[h΄(x)-h΄(ξ)]/(x-ξ)=h΄(x)/(x-ξ)
Είναι h΄΄(ξ2)#0 => h΄(x)#0
Άρα για x ανήκει (0,ξ)U(ξ,+οο) ισχύει h΄(x)#0 και h΄(ξ)=0. Επομένως το ξ ανήκει (1,2) είναι μοναδικό.