Βοήθεια/Απορίες στα Μαθηματικά Προσανατολισμού - Ασκήσεις

[Guest 190013]

Ναι ρε φίλε mathguy κι εγώ αυτό είδα τώρα! Κοιμόμουν όρθιος χθες φαίνεται

 

Σημείωση: Το μήνυμα αυτό γράφτηκε 10 χρόνια πριν. Ο συντάκτης του πιθανόν να έχει αλλάξει απόψεις έκτοτε.

[spirosmal]

κάποια βοήθεια?δεν μπορω να υπολογισω το οριο limx->+oo(g(x)-x),την δινω ολοκληρη
εκφώνηση:
Δίνονται f,g:R->R , παραγωγίσιμες με g(x)=xf(e^(-x)),x E R.Αν η ευθεία y=2x+1 εφάπτεται της f στο χ=0,να βρειτε την ασυμπτωτη τησ g στο +00.

 

Σημείωση: Το μήνυμα αυτό γράφτηκε 10 χρόνια πριν. Ο συντάκτης του πιθανόν να έχει αλλάξει απόψεις έκτοτε.

[rebel]

Θέλεις να βρεις το

Σκέψου ότι έχεις αφήσει αναξιοποίητο το δεδομένο . Μπορείς να βρεις έναν τρόπο να το ενσωματώσεις στο ζητούμενο όριο;

 

Σημείωση: Το μήνυμα αυτό γράφτηκε 10 χρόνια πριν. Ο συντάκτης του πιθανόν να έχει αλλάξει απόψεις έκτοτε.

[spirosmal]

κάνοντας αυτό που μου είπες καταλήγω στο εξής όριο :limx->0[xlnx],στο οποίο έχω κολλήσει και δεν μπορώ να το υπολογισω,παρεπιπτωντως δεν έχω κάνει del hospital...οποτε όποιος μπορεί ας με διαφωτίσει υγ.εχω ενσωματώσει το f '(0) στο ζητούμενο όριο.

 

Σημείωση: Το μήνυμα αυτό γράφτηκε 10 χρόνια πριν. Ο συντάκτης του πιθανόν να έχει αλλάξει απόψεις έκτοτε.

[rebel]

Ναι ακριβώς εκεί καταλήγεις αλλά υπέθεσα ότι έχεις κάνει De l'Hospital. Ίσως ξέρω κι άλλον ένα τρόπο χωρίς De l'hospital αλλά χρησιμοποιεί το γεγονός ότι

 

Σημείωση: Το μήνυμα αυτό γράφτηκε 10 χρόνια πριν. Ο συντάκτης του πιθανόν να έχει αλλάξει απόψεις έκτοτε.

[Guest 856924]

κατι ασκησεις
1)δινεται η συναρτηση f(x)=x(x-1)(x+2)(x-3)(x+1).να δειξετε οτι η εξισωση f '(x)=0 εχει τεσσερις λυσεις στο διαστημα (-2,3)
2)δινεται συναρτηση f παραγωγισιμη στο [1,3] και f ' συνεχης στο [1,3] για την οποια ισχυει f '(1)<1<f '(3) και f ''(x)#0.δειξτε οτι υπαρχει μοναδικο ξε(1,3) τετοιο ωστε f '(ξ)=1
3)δινεται συναρτηση f τρεις φορες παραγωγισιμη στο [0,1] και f '''(x)<0 για την οποια ισχυει f ''(0)=e ,f ''(1)=-3.δειξτε οτι υπαρχει μοναδικο ξε(0,1) τετοιο ωστε f ''(ξ)+e^1-ξ=0
4)δινεται συναρτηση f παραγωγισιμη στο [-6,4]για την οποια ισχυει f(-6)>0 f(0)<0 και f(4)>0.δειξτε οτι υπαρχει τουλαχιστον ενα χ0ε(-6,4) τετοιο ωστε f '(χ0)=0

 

Σημείωση: Το μήνυμα αυτό γράφτηκε 10 χρόνια πριν. Ο συντάκτης του πιθανόν να έχει αλλάξει απόψεις έκτοτε.

[Stelios1997]

κατι ασκησεις
1)δινεται η συναρτηση f(x)=x(x-1)(x+2)(x-3)(x+1).να δειξετε οτι η εξισωση f '(x)=0 εχει τεσσερις λυσεις στο διαστημα (-2,3)
2)δινεται συναρτηση f παραγωγισιμη στο [1,3] και f ' συνεχης στο [1,3] για την οποια ισχυει f '(1)<1<f '(3) και f ''(x)#0.δειξτε οτι υπαρχει μοναδικο ξε(1,3) τετοιο ωστε f '(ξ)=1
3)δινεται συναρτηση f τρεις φορες παραγωγισιμη στο [0,1] και f '''(x)<0 για την οποια ισχυει f ''(0)=e ,f ''(1)=-3.δειξτε οτι υπαρχει μοναδικο ξε(0,1) τετοιο ωστε f ''(ξ)+e^1-ξ=0
4)δινεται συναρτηση f παραγωγισιμη στο [-6,4]για την οποια ισχυει f(-6)>0 f(0)<0 και f(4)>0.δειξτε οτι υπαρχει τουλαχιστον ενα χ0ε(-6,4) τετοιο ωστε f '(χ0)=0

2)Θεώρημα ενδιάμεσων τιμών για την f' στο [1,3] οπότε υπάρχει ένα τουλάχιστον ξ ε (1,3) και αφού f'' #0 τότε f''>0 ή f''<0 οπότε η f' είναι γνησίως μονότονη άρα και 1-1.Επομένως το ξ είναι μοναδικό.

3)αντιπαραγώγιση στη δοσμένη σχέση ώστε να καταλήξεις σε μια σχέση ( )'=0 θεωρώ ότι υπαρχει μες στην παράνθεση ως συναρτηση φ και rolle για τη φ'

 

Σημείωση: Το μήνυμα αυτό γράφτηκε 10 χρόνια πριν. Ο συντάκτης του πιθανόν να έχει αλλάξει απόψεις έκτοτε.

[eyb0ss]

κατι ασκησεις
1)δινεται η συναρτηση f(x)=x(x-1)(x+2)(x-3)(x+1).να δειξετε οτι η εξισωση f '(x)=0 εχει τεσσερις λυσεις στο διαστημα (-2,3)
2)δινεται συναρτηση f παραγωγισιμη στο [1,3] και f ' συνεχης στο [1,3] για την οποια ισχυει f '(1)<1<f '(3) και f ''(x)#0.δειξτε οτι υπαρχει μοναδικο ξε(1,3) τετοιο ωστε f '(ξ)=1
3)δινεται συναρτηση f τρεις φορες παραγωγισιμη στο [0,1] και f '''(x)<0 για την οποια ισχυει f ''(0)=e ,f ''(1)=-3.δειξτε οτι υπαρχει μοναδικο ξε(0,1) τετοιο ωστε f ''(ξ)+e^1-ξ=0
4)δινεται συναρτηση f παραγωγισιμη στο [-6,4]για την οποια ισχυει f(-6)>0 f(0)<0 και f(4)>0.δειξτε οτι υπαρχει τουλαχιστον ενα χ0ε(-6,4) τετοιο ωστε f '(χ0)=0

1) Προφανώς είναι
συνεχής στα ως πολυωνυμική.
παραγωγίσιμη στα ως πολυωνυμική.
άρα υπάρχουν τέτοια, ώστε .

2) και συνεχής στο άρα από θεώρημα ενδιάμεσων τιμών υπάρχει τέτοιο, ώστε .

3)Έστω . Τότε
και
Άρα και g συνεχής στο ως άθροισμα των συναρτήσεων
επομένως από θεώρημα Bolzano υπάρχει τέτοιο, ώστε .
Μοναδικότητα: διότι και άρα γνησίως φθίνουσα άρα "1-1" επομένως το είναι μοναδικό.

4) και συνεχής στα ως παραγωγίσιμη άρα από θεώρημα Bolzano υπάρχουν τέτοια, ώστε
και συνεχής στο και παραγωγίσιμη στο άρα υπάρχει τέτοιο, ώστε .

 

Σημείωση: Το μήνυμα αυτό γράφτηκε 10 χρόνια πριν. Ο συντάκτης του πιθανόν να έχει αλλάξει απόψεις έκτοτε.

[Guest 856924]

δινεται η συναρτηση f για την οποια ισχυουν x^2f ''(x)#-1 για καθε χεR και f(2)-f(1)=ln2 -1.να δειξετε οτι οι Cf ' και Cg ' οπου g(x)=lnx-x εχουν ενα μονο κοινο σημειο με τετμημενη στο (1,2)

 

Σημείωση: Το μήνυμα αυτό γράφτηκε 10 χρόνια πριν. Ο συντάκτης του πιθανόν να έχει αλλάξει απόψεις έκτοτε.

[DumeNuke]

δινεται η συναρτηση f για την οποια ισχυουν x^2f ''(x)#-1 για καθε χεR και f(2)-f(1)=ln2 -1.να δειξετε οτι οι Cf ' και Cg ' οπου g(x)=lnx-x εχουν ενα μονο κοινο σημειο με τετμημενη στο (1,2)

Έστω h(x)=f(x)-g(x)
h(1)=f(1)-g(1)=f(1)+1
h(2)=f(2)-g(2)=f(1)+ln2-1-ln2+2=f(1)+1=h(1)

Ικανοποιούνται οι προϋποθέσεις του ΘR και άρα:
Υπαρχει ξ στο (1,2), τέτοιο ώστε: h'(ξ)=0 <=> f'(ξ)=g'(ξ)

Έστω ότι υπάρχει ρ#ξ, τέτοιο ώστε h'(ρ)=0.
Ικανοποιούνται οι προϋποθέσεις του ΘR και άρα:
Υπάρχει κ στο (ρ,ξ) ή (ξ,ρ), τέτοιο ώστε: h''(κ)=0
Τότε:
h''(x)=f''(x)-g''(x)=f''(x)+1/x^2
Άρα:
h''(κ)=f''(κ)+1/κ^2=0
Συνεπάγεται ότι f''(κ)=-1/κ^2μ δηλαδή, κ^2f''(κ)=-1, άτοπο από την εκφώνηση.

Άρα, οι f' και g' έχουν μοναδικό κοινό σημείο στο διάστημα (1,2).

 

Σημείωση: Το μήνυμα αυτό γράφτηκε 10 χρόνια πριν. Ο συντάκτης του πιθανόν να έχει αλλάξει απόψεις έκτοτε.

[Civilara]

δινεται η συναρτηση f για την οποια ισχυουν x^2f ''(x)#-1 για καθε χεR και f(2)-f(1)=ln2 -1.να δειξετε οτι οι Cf ' και Cg ' οπου g(x)=lnx-x εχουν ενα μονο κοινο σημειο με τετμημενη στο (1,2)

Η g είναι συνεχής και δύο φορές παραγωγίσιμη στο (0,+οο) με παραγώγους:
g(x)=lnx-x
g΄(x)=(1/x)-1
g΄΄(x)=-1/(x^2)

Η f είναι δύο φορές παραγωγίσιμη στο R, οπότε και συνεχής στο R με συνεχή πρώτη παράγωγο και ισχύει (x^2)f΄΄(x)#-1 για κάθε x ανήκει R*.
Θεωρούμε τη συνάρτηση h(x)=f(x)-g(x). Επειδή οι f, g είναι δύο φορές παραγωγίσιμες στο (0,+oo) τότε και η h είναι δύο φορές παραγωγίσιμη στο (0,+οο), άρα και συνεχής με συνεχή πρώτη παράγωγο στο (0,+οο), με παραγώγους:
h(x)=f(x)-g(x)=f(x)-lnx+x
h΄(x)=f΄(x)-g΄(x)=f΄(x)-(1/x)+1
h΄΄(x)=f΄΄(x)-g΄΄(x)=f΄΄(x)+(1/(x^2))=[(x^2)f΄΄(x)+1]/(x^2) # 0 για κάθε x ανήκει (0,+οο)

Έχουμε:
f(2)-f(1)=ln2-1 => f(2)=f(1)+ln2-1
g(1)=-1
g(2)=ln2-2
h(1)=f(1)-g(1)=f(1)+1
h(2)=f(2)-g(2)=f(1)+ln2-1-ln2+2=f(1)+1=h(1)

Η h είναι συνεχής στο [1,2], παραγωγίσιμη στη (1,2) και h(1)=h(2). Επομένως σύμφωνα με το θεώρημα του Rolle υπάρχει τουλάχιστον ένα ξ ανήκει (1,2) τέτοιο ώστε h΄(ξ)=0 <=> f΄(ξ)=g΄(ξ)

Για x<ξ έχουμε:
Η h΄ είναι συνεχής στο [x,ξ] και παραγωγίσιμη στο (x,ξ) οπότε σύμφωνα με το θεώρημα μέσης τιμής του διαφορικού λογισμού, υπάρχει τουλάχιστον ένα ξ1 ανήκει (x,ξ) τέτοιο ώστε h΄΄(ξ1)=[h΄(ξ)-h΄(x)]/(ξ-x)=(-h΄(x))/(ξ-x)=h΄(x)/(x-ξ)
Είναι h΄΄(ξ1)#0 => h΄(x)#0

Για x>ξ έχουμε:
Η h΄ είναι συνεχής στο [ξ,x] και παραγωγίσιμη στο (ξ,x) οπότε σύμφωνα με το θεώρημα μέσης τιμής του διαφορικού λογισμού, υπάρχει τουλάχιστον ένα ξ2 ανήκει (ξ,x) τέτοιο ώστε h΄΄(ξ2)=[h΄(x)-h΄(ξ)]/(x-ξ)=h΄(x)/(x-ξ)
Είναι h΄΄(ξ2)#0 => h΄(x)#0

Άρα για x ανήκει (0,ξ)U(ξ,+οο) ισχύει h΄(x)#0 και h΄(ξ)=0. Επομένως το ξ ανήκει (1,2) είναι μοναδικό.

 

Σημείωση: Το μήνυμα αυτό γράφτηκε 10 χρόνια πριν. Ο συντάκτης του πιθανόν να έχει αλλάξει απόψεις έκτοτε.

[Δήμος56103]

Μαθηματική επαγωγή.
να δείξετε με την μέθοδο της μαθηματικής επαγωγής ότι ν!<=ν^(ν) για κάθε ακέραιο ν>=1.
Λύση:
Για ν=1 ισχύει.
Υποθέτω ότι ισχύει για ν. Δηλαδή ότι ισχύει το ν!<=ν^(ν)
Ισχύει για την περίπτωση ν+1; δηλαδή (ν+1)! < = (ν+1)^(ν+1)
(ν+1)!=(ν! * (ν+1)) <= (ν^ν) * (ν+1)< [(ν+1) ^ ν] * (ν+1)= (ν+1)^ν+1

Δεν καταλαβαίνω πως την λύνει.Ξεκινά με το (ν+1)!= ??? και μετά χάνομαι....Αν μπορεί κάποιος να την εξηγήσει πιο αναλυτικά, πως προκύπτει το κάθε βήμα της λύσης θα ήμουν ευγνώμων.





ps όταν γράφω στο latex editor τα μαθηματικά μετά κάνω copy paste την μαθηματική έκφραση από το latex editor εδώ αλλά δεν μου τα δείχνει σωστά. πχ ν!\leq {ν}^{ν} δε καταλαβαίνω τι μου διαφεύγει...Χρειάζεται να προσθέσω επιπλέον εντολές;

 

Σημείωση: Το μήνυμα αυτό γράφτηκε 10 χρόνια πριν. Ο συντάκτης του πιθανόν να έχει αλλάξει απόψεις έκτοτε.

[rebel]

Μαθηματική επαγωγή.
να δείξετε με την μέθοδο της μαθηματικής επαγωγής ότι ν!<=ν^(ν) για κάθε ακέραιο ν>=1.
Λύση:
Για ν=1 ισχύει.
Υποθέτω ότι ισχύει για ν. Δηλαδή ότι ισχύει το ν!<=ν^(ν)
Ισχύει για την περίπτωση ν+1; δηλαδή (ν+1)! < = (ν+1)^(ν+1)
(ν+1)!=(ν! * (ν+1)) <= (ν^ν) * (ν+1)< [(ν+1) ^ ν] * (ν+1)= (ν+1)^ν+1

Δεν καταλαβαίνω πως την λύνει.Ξεκινά με το (ν+1)!= ??? και μετά χάνομαι....Αν μπορεί κάποιος να την εξηγήσει πιο αναλυτικά, πως προκύπτει το κάθε βήμα της λύσης θα ήμουν ευγνώμων.





ps όταν γράφω στο latex editor τα μαθηματικά μετά κάνω copy paste την μαθηματική έκφραση από το latex editor εδώ αλλά δεν μου τα δείχνει σωστά. πχ ν!\leq {ν}^{ν} δε καταλαβαίνω τι μου διαφεύγει...Χρειάζεται να προσθέσω επιπλέον εντολές;

Το πρώτο ίσον ισχύει γιατί


Το επόμενο ισχύει γιατί αφού έχω υποθέσει ότι η ανισότητα ισχύει για έχω


Το επόμενο ισχύει γιατί

(Χρήση των ιδιοτήτων και )

Το τελευταίο είναι προφανές από την ιδιότητα


Για να γράψεις latex απλά βάλε τον κώδικα του συντάκτη ανάμεσα στα [ latex ] και [ /latex ]. Πχ

[latex]x^2[/latex]

δίνει

 

Σημείωση: Το μήνυμα αυτό γράφτηκε 10 χρόνια πριν. Ο συντάκτης του πιθανόν να έχει αλλάξει απόψεις έκτοτε.

[Civilara]

Μαθηματική επαγωγή.
να δείξετε με την μέθοδο της μαθηματικής επαγωγής ότι ν!<=ν^(ν) για κάθε ακέραιο ν>=1.
Λύση:
Για ν=1 ισχύει.
Υποθέτω ότι ισχύει για ν. Δηλαδή ότι ισχύει το ν!<=ν^(ν)
Ισχύει για την περίπτωση ν+1; δηλαδή (ν+1)! < = (ν+1)^(ν+1)
(ν+1)!=(ν! * (ν+1)) <= (ν^ν) * (ν+1)< [(ν+1) ^ ν] * (ν+1)= (ν+1)^ν+1

Δεν καταλαβαίνω πως την λύνει.Ξεκινά με το (ν+1)!= ??? και μετά χάνομαι....Αν μπορεί κάποιος να την εξηγήσει πιο αναλυτικά, πως προκύπτει το κάθε βήμα της λύσης θα ήμουν ευγνώμων.





ps όταν γράφω στο latex editor τα μαθηματικά μετά κάνω copy paste την μαθηματική έκφραση από το latex editor εδώ αλλά δεν μου τα δείχνει σωστά. πχ δε καταλαβαίνω τι μου διαφεύγει...Χρειάζεται να προσθέσω επιπλέον εντολές;

Για ν=1 ισχύει ν!=ν^ν

ν!=1*2*...*ν
(ν+1)!=1*2*...*ν*(ν+1)=(1*2*...*ν)*(ν+1)=ν!*(ν+1)
(ν+1)^(ν+1)=[(ν+1)^ν]*(ν+1)

ν!<=ν^ν => ν!*(ν+1)<=(ν^ν)*(ν+1) => (ν+1)!<=(ν^ν)*(ν+1)
0<1 => ν<ν+1 => ν^ν<(ν+1)^ν => (ν^ν)*(ν+1)<[(ν+1)^ν]*(ν+1) => (ν^ν)*(ν+1)<(ν+1)^(ν+1)

Από τις δύο τελευταίες ανισότητες προκύπτει ότι (ν+1)!<(ν+1)^(ν+1) για ν ανήκει Ν* και (ν+1)!<=(ν+1)^(ν+1) για ν ανήκει Ν. Άρα:
ν!<=ν^ν για ν ανήκει Ν*.

 

Σημείωση: Το μήνυμα αυτό γράφτηκε 10 χρόνια πριν. Ο συντάκτης του πιθανόν να έχει αλλάξει απόψεις έκτοτε.

[DumeNuke]

(ν+1)!=(ν! * (ν+1)) <= (ν^ν) * (ν+1)< [(ν+1) ^ ν] * (ν+1)= (ν+1)^ν+1

To παραγοντικό του (ν+1) [1ος όρος] ισούται με το παραγοντικό του ν, πολλαπλασιασμένο με το (ν+1) [2ος όρος].
Με τη σειρά του, ο όρος ν!*(ν+1) είναι μικρότερος ή ίσος από τον όρο (ν^ν)*(ν+1) [3ος όρος], σύμφωνα με το 2ο βήμα της επαγωγής μας.
Ο τρίτος όρος είναι μικρότερος από το (ν+1)^ν*(ν+1) [4ος όρος], σύμφωνα με τις ιδιότητες των εκθετών.
Και, ισοδύναμα, ο τέταρτος όρος γράφεται ως (ν+1)^(ν+1) [5ος όρος].

Έτσι, κοιτώντας την μαθηματική έκφραση από αριστερά προς τα δεξία έχουμε:
Ο πρώτος όρος είναι ίσος με τον δεύτερο, μικρότερος ή ίσος του τρίτου, μικρότερους του τετάρτου και του πέμπτου.
Ο δεύτερος όρος είναι μικρότερος ή ίσος του τρίτου, μικρότερος του τετάρτου και του πέμπτου.
Ο τρίτο όρος είναι μικρότερος του τετάρτου και του πέμπτου.
Ο τέταρτος όρος είναι ίσος με τον πέμπτο.

Εσύ κοιτάς ποιο ζεύγος όρων θες να κρατήσεις και διατηρείς ανισοτική σχέση μεταξύ τους. Συγκεκριμένα, κρατάς την σχέση μεταξύ πρώτου και πέμπτου όρου, κάτι που ικανοποιεί την αρχική σου υπόθεση και ολοκληρώνει την επαγωγή σου.

 

Σημείωση: Το μήνυμα αυτό γράφτηκε 10 χρόνια πριν. Ο συντάκτης του πιθανόν να έχει αλλάξει απόψεις έκτοτε.

[Δήμος56103]

πώς λύνω το σύστημα?
3χ+1=5
(χ^2)+(ψ^2)=5
νομίζω ότι με ορίζουσα δε λύνεται. Άλλος τρόπος;

 

Σημείωση: Το μήνυμα αυτό γράφτηκε 10 χρόνια πριν. Ο συντάκτης του πιθανόν να έχει αλλάξει απόψεις έκτοτε.

[padofla]

στα αληθεια εισαι 3 λυκειου και δε μπορεις να λυσεις αυτο???

λυσε την πρωτη ως προς χ μετα βαλε αυτο που βρηκες στη δευτερη και θα βγαλεις για το ψ 2 ετεροσημες τιμες με αντικατασταση

 

Σημείωση: Το μήνυμα αυτό γράφτηκε 10 χρόνια πριν. Ο συντάκτης του πιθανόν να έχει αλλάξει απόψεις έκτοτε.

[Loreley]

στα αληθεια εισαι 3 λυκειου και δε μπορεις να λυσεις αυτο???

λυσε την πρωτη ως προς χ μετα βαλε αυτο που βρηκες στη δευτερη και θα βγαλεις για το ψ 2 ετεροσημες τιμες με αντικατασταση

Όσο εύκολη και να είναι η άσκηση, μην το λες αυτό, γιατί τον άλλον τον ρίχνεις ψυχολογικά.

 

Σημείωση: Το μήνυμα αυτό γράφτηκε 10 χρόνια πριν. Ο συντάκτης του πιθανόν να έχει αλλάξει απόψεις έκτοτε.

[padofla]

δηλαδη προτεινεις να του λεμε ψεματα και να συνεχισει ετσι. Μαθετε να ακουτε την αληθεια οσο σκληρη και να ναι δεν ειστε 5 πλεον

 

Σημείωση: Το μήνυμα αυτό γράφτηκε 10 χρόνια πριν. Ο συντάκτης του πιθανόν να έχει αλλάξει απόψεις έκτοτε.

[Loreley]

Σίγουρα είναι προτιμότερη η αλήθεια, αλλά ίσως παίζει σημαντικό ρόλο και ο τρόπος που θα την πεις.

 

Σημείωση: Το μήνυμα αυτό γράφτηκε 10 χρόνια πριν. Ο συντάκτης του πιθανόν να έχει αλλάξει απόψεις έκτοτε.