Ασκήσεις Φυσικής & Μαθηματικών

raf616 · 31-07-13

Αρχική Δημοσίευση από ξαροπ:
"Αν οι φυσικοί p και p + 2 είναι πρώτοι και μεγαλύτεροι του 3, να δείξετε ότι ο p + 4 δεν είναι πρώτος."

(την είχα βάλει 4 χρόνια πιο πριν κάπου αλλού στο ischool αλλά δεν την βρίσκω τώρα)

Θα προσπαθήσω να δώσω μια λύση χωρίς να είμαι τόσο σίγουρος... Λοιπόν:

Αφού ο $p \neq 3$ θα έχει τη μορφή $p = 3k + 1$ ή $p = 3k + 2$ . Η πρώτη περίπτωση απορρίπτεται αφού $p + 2 = 3k + 1 + 2 = 3(k + 1)$ είναι σύνθετος, το οποίο είναι άτοπο σύμφωνα με την υπόθεση. Άρα, $p = 3k + 2$ . O $p + 4$ γίνεται:

$p + 4 = 3k + 2 + 4 = 3k + 6 = 3(k + 2)$ . Άρα, ο $p + 4$ είναι σύνθετος και έτσι αποδείξαμε το ζητούμενο.

owneriekno1 · 07-08-13

Γνωρίζεται γιατί οι ασκήσεις που βάζουμε εδώ δεν έχουν σχεδόν καμία σχέση με αυτές του σχολικού βιβλίου;

SteliosIoa · 07-08-13

Ελπίζω να μην μπει τίποτα ανώμαλο σαν αυτα στις απο πανελληνιες του χρόνου! :Ρ

ξαροπ · 09-08-13

Σωστός raf616.

Αρχική Δημοσίευση από owneriekno1:
Γνωρίζεται γιατί οι ασκήσεις που βάζουμε εδώ δεν έχουν σχεδόν καμία σχέση με αυτές του σχολικού βιβλίου;

Νόμιζα σκοπός του thread ήταν να βάζουμε ανεβασμένες ασκήσεις σχετικά με μαθηματικά και φυσική, χωρίς αυτές να αφορούν αναγκαστικά στη σχολική ύλη.

Αν το πόιντ είναι μόνο σχολικές ασκήσεις τότε ζητώ συγγνώμη ... και αποσύρομαι.

raf616 · 09-08-13

Εγώ προτείνω να βάζουμε και κάποιες ασκήσεις ανεβασμένου επιπέδου(π.χ Διαγωνιστικά Μαθηματικά) έτσι ώστε να ανέβει το επίπεδο του θέματος...

owneriekno1 · 09-08-13

Αρχική Δημοσίευση από ξαροπ:
Σωστός raf616.

Νόμιζα σκοπός του thread ήταν να βάζουμε ανεβασμένες ασκήσεις σχετικά με μαθηματικά και φυσική, χωρίς αυτές να αφορούν αναγκαστικά στη σχολική ύλη.

Αν το πόιντ είναι μόνο σχολικές ασκήσεις τότε ζητώ συγγνώμη ... και αποσύρομαι.

Δεν λέω να μην βάζουμε ανεβασμένες ασκήσεις, διότι και εγώ τις χρειάζομαι. Αλλά, ρωτάω γιατί η ύλη τους είναι διαφορετική από την σχολική. Επίσης, γνωρίζεται καμία πηγή που να περιέχει την θεωρία τέτοιων ασκήσεων;

owneriekno1 · 12-08-13

Άσκηση:
Έστω η εξίσωση: $\alpha (\left|x + 2 \right|) = \beta + 5$
Να παραθέσετε τις ρίζες της για τις διάφορες τιμές του α και του β.

Γιάννης123 · 12 Αυγούστου 2013

ΕΣΤΩ:
$h(x)=a(\left|x+2 \right|)-b-5$
$h(x)=\begin{cases} ax-b+2a-5& \text{ if } x\geq -2 \\ 2a-ax-b-5& \text{ if } x<-2 \end{cases}$

ΛΥΝΩ ΤΗΝ:
$\rightarrow h(x)=0\begin{cases} x=b-2a+5 & \text{ if } x\geq -2 \\ x=2a-b-5 & \text{ if } x<-2 \end{cases}$
AN
$a\neq 0$
$\begin{cases} x=(b-2a+5)/a& \text{ ,if } x\geq -2 \\ x=(2a-b-5)/a&\text{ ,if } x<-2 \end{cases}$
AN
$a=0$
$h(x)=0\Rightarrow \begin{cases} \alpha \delta \upsilon \nu \alpha \tau \eta & \text{ if } x\geq -2 and, b \neq -5 \\ \alpha \delta \upsilon \nu \alpha \tau \eta & \text{ if } x<-2 and, b \neq -5 \end{cases}$

ξαροπ · 12-08-13

Υπάρχουν κάποιοι περιορισμοί στα ζευγάρια (α,β) τους οποίους ξέχασες να βάλεις πριν καταλήξεις στο συμπέρασμα...

owneriekno1 · 12-08-13

Επειδή είναι δική μου η άσκηση, ίσως και να μην είναι καλά διατυπωμένη.
Συμβουλή:χρησιμοποιήστε την διάκριση των περιπτώσεων για να βγάλετε την απόλυτη τιμή.

physicscrazy · 13 Αυγούστου 2013

Αρχική Δημοσίευση από owneriekno1:
Άσκηση:
Έστω η εξίσωση: $\alpha (\left|x + 2 \right|) = \beta + 5$
Να παραθέσετε τις ρίζες της για τις διάφορες τιμές του α και του β.

εχουμε α([χ+2])=β+5

για χ>= -2 ειναι

α(χ+2)=β+5<=> αχ=β+5-2α

διακρινουμε τις περιπτωσεις

για α=0 και β=-5 : 0=0 και η εξισωση ισχυει για καθε πραγματικο χ >= -2
για α=0 και β=/ (διαφορο) -5 : 0=/(διαφορο)0 και η εξισωση ειναι αδυνατη
για α=/0 ειναι : x=(β+5-2α)/α<=>χ={(β+5)/α} -2
αλλα ειναι χ>=-2<=>{(β+5)/α}-2>= -2<=>{(β+5)/α}>=0

για χ< -2 ειναι
α( -χ-2)=β+5<=> -αχ=β+5+2α

διακρινουμε τις περιπτωσεις

για α=0 και β=-5 : 0=0 και η εξισωση ισχυει για καθε πραγματικο χ< -2
για α=0 και β=/ (διαφορο) -5 : 0=/(διαφορο)0 και η εξισωση ειναι αδυνατη
για α=/0 ειναι : x=(β+5-2α)/ -α<=>χ={(β+5)/ -α} -2
αλλα ειναι χ>=-2<=>{(β+5)/-α}-2>= -2<=>{(β+5)/ -α} <0<=>{(β+5)/α}>0

συνοψιζοντας

για α=0 και β= -5 η εξισωση αληθευει για καθε πραγματικο χ
για α=0 και β=/ -5 η εξισωση ειναι αδυνατη
για α=/0 και {(β+5)/α}>0 ειναι
χ = {(β+5)/α} -2 αν χ>= -2
χ={(β+5)/-α} -2 αν χ< -2

Civilara · 14-08-13

Αρχική Δημοσίευση από owneriekno1:
Άσκηση:
Έστω η εξίσωση: $\alpha (\left|x + 2 \right|) = \beta + 5$
Να παραθέσετε τις ρίζες της για τις διάφορες τιμές του α και του β.

(i) Αν α>0 και β<-5 ή αν α<0 και β>-5 ή αν α=0 και β διάφορο -5 τότε η εξίσωση είναι αδύνατη (δεν έχει καμία πραγματική ρίζα)

(ii) Αν α>0 και β>-5 ή αν α<0 και β<-5 τότε η εξίσωση έχει δύο άνισες πραγματικές ρίζες x1, x2:

x1=((β+5)/α)-2
x2=-((β+5)/α)-2

(iii) Αν α διάφορο 0 και β=-5 τότε η εξίσωση έχει μία πραγματική ρίζα, την x0=-2

(iv) Αν α=0 και β=-5 τότε η εξίσωση είναι αόριστη (κάθε x ανήκει R είναι ρίζα της εξίσωσης)

akis95 · 16-08-13

Έστω πολυώνυμο

με ακέραιους συντελεστές . Δίνεται ότι

για

ακέραιους.Να αποδείξετε ότι οι ακέραιοι

διαφέρουν κατά ένα.

Γιάννης123 · 20-08-13

αυτη ειναι επιπεδου β λυκειου?

raf616 · 21-08-13

Αρχική Δημοσίευση από akis95:
Έστω πολυώνυμο

με ακέραιους συντελεστές . Δίνεται ότι

για

ακέραιους.Να αποδείξετε ότι οι ακέραιοι

διαφέρουν κατά ένα.

Πάρα πολύ ωραία άσκηση... Μου πήρε αρκετό χρόνο...

Για κάθε $x \neq y \in Z$ , ο αριθμός $P(x) - P(y)$ είναι ακέραιος και διαιρείται με τον $x - y$ . Έτσι, ο $P(a) - P(b) = 1$ διαιρείται με τον αριθμό $a - b$ και άρα $|a - b| = 1$ , δηλ διαφέρουν κατά ένα.

owneriekno1 · 21 Αυγούστου 2013

Συγνώμη που άργησα να απαντήσω.

Αρχική Δημοσίευση από physicscrazy:
εχουμε α([χ+2])=β+5

για χ>= -2 ειναι

α(χ+2)=β+5<=> αχ=β+5-2α

διακρινουμε τις περιπτωσεις

για α=0 και β=-5 : 0=0 και η εξισωση ισχυει για καθε πραγματικο χ >= -2
για α=0 και β=/ (διαφορο) -5 : 0=/(διαφορο)0 και η εξισωση ειναι αδυνατη
για α=/0 ειναι : x=(β+5-2α)/α<=>χ={(β+5)/α} -2
αλλα ειναι χ>=-2<=>{(β+5)/α}-2>= -2<=>{(β+5)/α}>=0
Ωστόσο, αφού $a - b \epsilon Z$ και $1 \epsilon Z$ , πρέπει x να ανήκει στους ακέραιους, επίσης.
Άρα, πρέπει
για χ< -2 ειναι
α( -χ-2)=β+5<=> -αχ=β+5+2α

διακρινουμε τις περιπτωσεις

για α=0 και β=-5 : 0=0 και η εξισωση ισχυει για καθε πραγματικο χ< -2
για α=0 και β=/ (διαφορο) -5 : 0=/(διαφορο)0 και η εξισωση ειναι αδυνατη
για α=/0 ειναι : x=(β+5-2α)/ -α<=>χ={(β+5)/ -α} -2
αλλα ειναι χ>=-2<=>{(β+5)/-α}-2>= -2<=>{(β+5)/ -α} <0<=>{(β+5)/α}>0

συνοψιζοντας

για α=0 και β= -5 η εξισωση αληθευει για καθε πραγματικο χ
για α=0 και β=/ -5 η εξισωση ειναι αδυνατη
για α=/0 και {(β+5)/α}>0 ειναι
χ = {(β+5)/α} -2 αν χ>= -2
χ={(β+5)/-α} -2 αν χ< -2

Σωστά.

Αρχική Δημοσίευση από akis95:
Έστω πολυώνυμο

με ακέραιους συντελεστές . Δίνεται ότι

για

ακέραιους.Να αποδείξετε ότι οι ακέραιοι

διαφέρουν κατά ένα.

Προφανώς, $P(x) = px$ , όπου $x\epsilon R$ .
Άρα έχουμε $P(a) - p(B) = 1 \Leftrightarrow ax - bx = 1 \Leftrightarrow x(a - b) = 1 \Leftrightarrow a - b =\frac{1}{x}$
Επειδή $a - b, 1 \epsilon Z$ έπεται ότι $x \epsilon Z$ $x\mid 1 \Leftrightarrow x = {-1, 1}$

Για $x = 1$ : $x(a - b) = 1 \Leftrightarrow a - b = 1\Leftrightarrow a = b + 1$ (1)
Για $x = -1$ : $x(a - b) = -1 \Leftrightarrow -a + b = 1 \Leftrightarrow b = a + 1$ (2)

Σύμφωνα με τις (1), (2), αποδεικνύουμε το ζητούμενο (στην 1η περίπτωση, ο a είναι κατά 1 μεγαλύτερος από τον b και στην 2η περίπτωση, ο b είναι κατά 1 μεγαλύτερος από τον a).

Για λόγους απλότητας, έγραψα για x μεταβλητή πρώτου βαθμού. Με λίγες παραπάνω μπορούμε, ακολουθώντας τα βήματα της απόδειξης που έγραψα, να αποδείξουμε το ζητούμενο για n βαθμό πολυωνύμων.

akis95 · 25-08-13

Αρχική Δημοσίευση από raf616:
Πάρα πολύ ωραία άσκηση... Μου πήρε αρκετό χρόνο...

Για κάθε $x \neq y \in Z$ , ο αριθμός $P(x) - P(y)$ είναι ακέραιος και διαιρείται με τον $x - y$ . Έτσι, ο $P(a) - P(b) = 1$ διαιρείται με τον αριθμό $a - b$ και άρα $|a - b| = 1$ , δηλ διαφέρουν κατά ένα.

αυτη ακριβως την λυση σκεφτομουν

ξαροπ · 25-08-13

Αρχική Δημοσίευση από akis95:
αυτη ακριβως την λυση σκεφτομουν

Εκκρεμεί και η απόδειξη ότι για τέτοια πολυώνυμα ισχύει $x-y | P(x) - P(y)$

akis95 · 25-08-13

Αρχική Δημοσίευση από ξαροπ:
Εκκρεμεί και η απόδειξη ότι για τέτοια πολυώνυμα ισχύει $x-y | P(x) - P(y)$

απλη ειναι αν την χρειαζεται καποιος θα την γραψω μετα

owneriekno1 · 25-08-13

Η δική μου λύση είναι λάθος;

Ασκήσεις Φυσικής & Μαθηματικών

Νεοφερμένο μέλος

Εκκολαπτόμενο μέλος

Εκκολαπτόμενο μέλος

Πολύ δραστήριο μέλος

Νεοφερμένο μέλος

Εκκολαπτόμενο μέλος

Εκκολαπτόμενο μέλος

Εκκολαπτόμενο μέλος

Πολύ δραστήριο μέλος

Εκκολαπτόμενο μέλος

Δραστήριο μέλος

Περιβόητο μέλος

Δραστήριο μέλος

Εκκολαπτόμενο μέλος

Νεοφερμένο μέλος

Εκκολαπτόμενο μέλος

Δραστήριο μέλος

Πολύ δραστήριο μέλος

Δραστήριο μέλος

Εκκολαπτόμενο μέλος