Το iSchool είναι η μεγαλύτερη μαθητική διαδικτυακή κοινότητα με 67,755 εγγεγραμμένα μέλη και 3,455,537 μηνύματα σε 103,424 θέματα. Αυτή τη στιγμή μαζί με εσάς απολαμβάνουν το iSchool άλλα 231 άτομα.
Μια ερώτηση στους μιγαδικούς, στο δεύτερο θέμα:
Δεν μπορούμε να παρούμε το μέτρο που έπειτα από πράξεις βγαίνει |4λ^2 + 2| και να πούμε ότι η παράσταση ελαχιστοποιείται για λ=0 και να το αντικαταστήσουμε πάνω; Δεν ξέρω μιγαδικούς, απλά ρωτάω από περιέργεια.
Σε άσπρο η απάντηση, είναι και η λύση.
Ναι geoste, το βρήκες, αλλά με διαφορετική λογική από τη δική μου.
Λοιπόν, η ακολουθία που έβαλα εγώ είναι η Fibonacci mod 9, δηλαδή η πρόσθεση των δύο προηγούμενων όρων δεν γίνεται αλγεβρικά αλλά mod 9. Επειδή, 13 = 4 (mod 9), 21 = 3 (mod 9) , 34 = 7 (mod...
Μια ακολουθία - σπαζοκεφαλιά που κατασκεύασα (πιστεύω δύσκολη).
1 1 2 3 5 8 4 3 7 ...
Βρείτε τον επόμενο αριθμό και εξηγείστε πώς προκύπτει ο κάθε όρος.
Χμ, αυτό πιστεύω συμβαίνει επειδή χρειαζόμαστε το 1 για να ορίσουμε την ακολουθία. Ας πούμε στην ακολουθία fibonacci, λέμε ότι a1 = 0, a2 = 1, και an = an-1 + an-2 για να μας βγει. Καλά, δεν είναι και το καλύτερο παράδειγμα.
Πρώτη πάω.
Βάζω την απάντηση σε άσπρο παρακάτω.
2 = 1* 2
6 = 2 * 3
42 = 6 * 7
1806 = 42 * 43
Κάθε αριθμός της ακολουθίας αυτής λοιπόν είναι το γινόμενο του προηγούμενου αριθμού της ακολουθίας επί τον επόμενο φυσικό του.
Άρα ο επόμενος όρος είναι ο 1806 * 1807 = 3263442
Όντως πάω πρώτη αλλά έχω ασχοληθεί με τη θεωρία αριθμών που είναι πολύ ωραία.
Πάντως, η επαγωγή δεν είναι ο μονάδικος τρόπος απόδειξης μιας σχέσης για το N.
Την ξέρω την επαγωγή, απλά εδώ δε νομίζω πώς είναι η γρηγορότερη λύση.
Άλλη μία λύση:
5 \equiv -6 mod 11 \leftrightarrow 5^{2n+1} \equiv -6^{2n+1} mod 11
Άρα 5^{2n+1} + 6^{2n+1} \equiv -6^{2n+1} + 6^{2n+1} \equiv 0 mod 11, που είναι και το ζητούμενο.
Από τη γνωστή ταυτότητα
a^n + b^n = (a+b)(a^{n-1} + a^{n-2}b + .... +b^{n-1}) για κάθε περιττό ακέραιο n παίρνουμε ότι
5^{2n+1} +6^{2n+1} = (5 + 6)(5^{2n} + 5^{2n-1}6 + ... + 6^{2n}) = 11m, όπου m= 5^{2n} + 5^{2n-1}6 + ... + 6^{2n}, δηλαδή το ζητούμενο.
Έχω την εντύπωση ότι η άσκηση είναι λάθος.
Για a = b = c = \frac{1}{3} παίρνουμε ότι
\frac {1}{3} \geq \frac {1}{2} - 2 \frac {1}{27} \leftrightarrow \frac {18}{54} \geq \frac {27}{54} - \frac {4}{54} \leftrightarrow \frac {18}{54} \geq \frac {23}{54}, που προφανώς δεν ισχύει.
Πάντως και στον...
Έχεις δίκιο watcher.
Λοιπόν μια προσπάθεια για το 1ο μέρος. Παραδόξως, χρησιμοποιώ τριώνυμο. Λοιπόν:
Η παράσταση \frac {1}{2} - 2abc γίνεται μέγιστη, , όταν το 2abc γίνεται ελάχιστο, και επειδή οι a, b, c είναι μη αρνητικοί, η ελάχιστη δυνατή τιμή είναι το 0, δηλαδή ένας ή δυο από τους τρεις να...
Τελικά και το πρώτο μέρος βγαίνει με το ίδιο λήμμα.
{a}^2 + {b}^2 + {c}^2 \geq \frac {1}{2} - 2abc \leftrightarrow 1 - \sum ab \geq \frac {1}{2} - 2abc \leftrightarrow \sum ab \leq \frac {1}{2} + 2abc.
Σύμφωνα με το προηγούμενο λήμμα, αρκεί να δείξω ότι \frac {9abc + 1}{4} \leq \frac {1}{2} +...
Εδώ νομίζω ότι έχεις κάνει λάθος.
Η ανισότητα Andreescu
\sum \frac {x^2}{a} \geq \frac {(\sum x)^2}{\sum a}
ισχύει για τετράγωνα στους αριθμητές, ενώ εδώ βγαίνει ότι το -1 είναι τετράγωνο. :P
φίλε watcher, νομίζω πως ο συλλογισμός σου στο τέλος είναι λάθος.
Γιατί, με την Andreescu, ενώ ξέρω 'γω πρέπει να αποδείξεις ότι a \geq b, αποδεικνύεις ότι b \geq c, και επειδή ισχύει ότι a \geq c λές ότι ισχύει το ζητούμενο. Νομίζω.
Θα αποδείξω το {a}^{2}+{b}^{2}+{c}^{2}\leq 1-2abc, το άλλο δεν το κοίταξα καλά.
Από τη γνωστή ανισότητα του Schur προκύπτει ότι, αν a + b + c = 1, τότε ab + bc + ca \leq \frac{9abc + 1}{4}.
Ώστε \sum{a}^2 = 1 - \sum ab \leq 1 - 2 (\frac{9abc + 1}{4}) \leq 1-2abc
μετά θα τα γράψω πιο αναλυτικά...
Και μια λύση με ομοιότητα:
Έστω ΑΒΓ το ισοσκελές τρίγωνο, ΒΔ το ύψος του, Σ σημείο επί την προέκταση της ΓΒ (προς τη μεριά του Β δηλαδή) και Κ, Λ οι προβολές του Σ στις ΑΒ και ΑΓ αντίστοιχα.
Τα τρίγωνα ΣΛΓ και ΒΔΓ είναι όμοια, οπότε:
ΣΛ/ΒΔ = ΣΓ/ΒΓ άρα ΣΛ = ΒΔ * ΣΓ / ΒΓ (1)
Τα τρίγωνα ΣΒΚ και...
Έστω Ε το μέσον της ΑΒ.
Τότε το τετράπλευρο ΑΕΓΔ είναι παραλληλόγραμμο διότι η ΑΕ είναι ίση και παράλληλη με τη ΔΓ. Άρα και ΑΔ = ΕΓ = α = ΑΒ/2
Συνεπώς, στο τρίγωνο ΑΒΓ, η ΕΓ είναι διάμεσος και ισούται με το μισό της απέναντι πλευράς, άρα η γωνία ΑΓΒ είναι ορθή.
Συντομότερα:
Αφού Η το ορθόκεντρο του τριγώνου, έπεται ότι ΓΗ \perp ΑΒ. (1)
Αφού η γωνία ΔΒΑ βαίνει σε ημικύκλιο έπεται ότι ΒΔ \perpAB (2).
Από τις (1), (2) προκύπτει το ζητούμενο.
Κατά περίεργη σύμπτωση, το Statement of Results ήρθε σήμερα.
Για να μην εντελώς off-topic, το μόνο που έχω να πω σ' όσους δίνουν είναι να μην επαναπαυτούν στα tests αλλά και να διαβάζουν και να βλέπουν ταινίες και σειρές στ' αγγλικά.
Επίσης, το www.ted.com είναι ένα εκπληκτικό site με πολλές ενδιαφέρουσες ομιλίες. Αν θέλετε να βελτιωθείτε στο listening και να μάθετε λεξούλες, είναι ό,τι πρέπει :P
Συμφωνώ απόλυτα με τον ξαροπ.
Επιπλέον, να πω ότι η προετοιμασία δεν είναι κακό πράγμα, διάβασμα είναι, όχι ντόπα :P Έτσι κι αλλιώς, τα περισσότερα θέματα των διαγωνισμών (όχι επιπέδου Θαλή κι Ευκλείδη) δε βγαίνουν χωρίς παραπάνω γνώσεις.
Το forum μας χρησιμοποιεί cookies για να βελτιστοποιήσει την εμπειρία σας.
Συνεχίζοντας την περιήγησή σας, συναινείτε στη χρήση cookies στον περιηγητή σας.