Βοήθεια/Aπορίες στα Μαθηματικά Προσανατολισμού

[Samael]

Καλησπερα!

Υπαρχει καποια βοηθεια;

Οποιοδηποτε hint ειναι ευπροσδεκτο. Δεν χρειαζεται να γραψει καποιος ολη την λυση.

Ευχαριστω!!

Εαν θες μπορεις να βγαλεις το e^x ως κοινο παραγοντα και να γινει ως εξης το οριο :

lim [ℯ^(sqrt(x² + 1)) - ℯ^x] =
x->+oo

lim [ℯ^x*(ℯ^(sqrt(x² + 1)-1) - 1] = λ
x->+oo

Θετεις sqrt(x² + 1)-1 = u, βρισκεις
uo = lim sqrt(x² + 1)-1 = +oo
x->+oo

και επειδη lim e^x = +oo
x->+oo

Τελικα ειναι λ = +oo

Ουσιαστικα αρκει αυτο που ειπε ο Unseen skygge,απλα στο εγραψα αναλυτικα γιατι νομιζω οτι δεν το καταλαβες.
Το να βγει το x^2 που προτεινει ο lancelot απο την ριζα δεν ειναι αναγκαιο.Ωστοσο δεν νομιζω οτι θα βρει διαφορετικη απαντηση και εκεινος.

 

Σημείωση: Το μήνυμα αυτό γράφτηκε 7 χρόνια πριν. Ο συντάκτης του πιθανόν να έχει αλλάξει απόψεις έκτοτε.

[Αγγελος Κοκ]

Εαν θες μπορεις να βγαλεις το e^x ως κοινο παραγοντα και να γινει ως εξης το οριο :

lim [ℯ^(sqrt(x² + 1)) - ℯ^x] =
x->+oo

lim [ℯ^x*(ℯ^(sqrt(x² + 1)-1) - 1] = λ
x->+oo

Θετεις sqrt(x² + 1)-1 = u, βρισκεις
uo = lim sqrt(x² + 1)-1 = +oo
x->+oo

και επειδη lim e^x = +oo
x->+oo

Τελικα ειναι λ = +oo

Ουσιαστικα αρκει αυτο που ειπε ο Unseen skygge,απλα στο εγραψα αναλυτικα γιατι νομιζω οτι δεν το καταλαβες.
Το να βγει το x^2 που προτεινει ο lancelot απο την ριζα δεν ειναι αναγκαιο.Ωστοσο δεν νομιζω οτι θα βρει διαφορετικη απαντηση και εκεινος.

Μισο εχεις κανει λαθος τσεκαρε το πρωτο μελος
Τα ℯ^(sqrt(x² + 1)) - ℯ^x και ℯ^x*(ℯ^(sqrt(x² + 1)-1) - 1 δεν ειναι ιδια

Καλησπερα!

Υπαρχει καποια βοηθεια;

Οποιοδηποτε hint ειναι ευπροσδεκτο. Δεν χρειαζεται να γραψει καποιος ολη την λυση.

Ευχαριστω!!

Η ασκηση απλα σου ζηταει να βρεις το οριο ή απο πριν ειχε και αλλα ερωτηματα;

 

Σημείωση: Το μήνυμα αυτό γράφτηκε 7 χρόνια πριν. Ο συντάκτης του πιθανόν να έχει αλλάξει απόψεις έκτοτε.

[Guest-90211]

Αυτό το όριο που το βρήκες σε βοήθημα ή στο internet

 

Σημείωση: Το μήνυμα αυτό γράφτηκε 7 χρόνια πριν. Ο συντάκτης του πιθανόν να έχει αλλάξει απόψεις έκτοτε.

[MIRANTA2k17]

Καλησπερα!

Υπαρχει καποια βοηθεια;

Οποιοδηποτε hint ειναι ευπροσδεκτο. Δεν χρειαζεται να γραψει καποιος ολη την λυση.

Ευχαριστω!!

ΤετραγωνικηΡιζα(x^2 +1) > x , για καθε xεR
καθως ΤετραγωνικηΡιζα(x^2 +1)>ΤετραγωνικηΡιζα(x^2)=|x|>=x
Δηλαδη οι τιμες της συναρτησης f(x)=e^ΤετραγωνικηΡιζα(x^2 +1) τεινουν ΄΄γρηγοροτερα΄΄ στο απειρο, οσο οι τιμες του x τεινουν στο απειρο, σε συγκριση με την συναρτηση g(x)=e^x. Τελικα το οριο της διαφορας τους για x τεινει στο +οο κανει +οο.

Αλγεβρικα εν ταχει: https://prntscr.com/hmxhlj
Ισως κανω τα χειροτερα γραμματα στο ischool

 

Σημείωση: Το μήνυμα αυτό γράφτηκε 7 χρόνια πριν. Ο συντάκτης του πιθανόν να έχει αλλάξει απόψεις έκτοτε.

[Guest-90211]

ΤετραγωνικηΡιζα(x^2 +1) > x , για καθε xεR
καθως ΤετραγωνικηΡιζα(x^2 +1)>ΤετραγωνικηΡιζα(x^2)=|x|>=x
Δηλαδη οι τιμες της συναρτησης f(x)=e^ΤετραγωνικηΡιζα(x^2 +1) τεινουν ΄΄γρηγοροτερα΄΄ στο απειρο, οσο οι τιμες του x τεινουν στο απειρο, σε συγκριση με την συναρτηση g(x)=e^x. Τελικα το οριο της διαφορας τους για x τεινει στο +οο κανει +οο.

Αλγεβρικα εν ταχει: https://prntscr.com/hmxhlj
Ισως κανω τα χειροτερα γραμματα στο ischool

Εγώ έκανα έτσι όπως το έκανες εσύ αλλά με συζυγη παρασταση στο πρώτο e και βγαίνει lim(e^0)-1

 

Σημείωση: Το μήνυμα αυτό γράφτηκε 7 χρόνια πριν. Ο συντάκτης του πιθανόν να έχει αλλάξει απόψεις έκτοτε.

[MIRANTA2k17]

Εντελως διαφορετικη μεθοδολογια αυτη που αναφερεις. Αποτελει συνηθεστερο τροπο υπολογισμου οριων, αλλα στην περιπτωση αυτη οδηγει σε απροσδιοριστη μορφη!

 

Σημείωση: Το μήνυμα αυτό γράφτηκε 7 χρόνια πριν. Ο συντάκτης του πιθανόν να έχει αλλάξει απόψεις έκτοτε.

[Lancelot]

ΤετραγωνικηΡιζα(x^2 +1) > x , για καθε xεR
καθως ΤετραγωνικηΡιζα(x^2 +1)>ΤετραγωνικηΡιζα(x^2)=|x|>=x
Δηλαδη οι τιμες της συναρτησης f(x)=e^ΤετραγωνικηΡιζα(x^2 +1) τεινουν ΄΄γρηγοροτερα΄΄ στο απειρο, οσο οι τιμες του x τεινουν στο απειρο, σε συγκριση με την συναρτηση g(x)=e^x. Τελικα το οριο της διαφορας τους για x τεινει στο +οο κανει +οο.

Αλγεβρικα εν ταχει: https://prntscr.com/hmxhlj
Ισως κανω τα χειροτερα γραμματα στο ischool

Ωραιος τροπος , δεν τον σκεφτηκα, εγω ειδα το χ^2 και κατευθειαν πηγα σε κοινο παραγοντα.
Καλη συνεχεια !

ΥΓ : Νομιζω πρεπει να βελτιωσεις τα γραμματα σου...

 

Σημείωση: Το μήνυμα αυτό γράφτηκε 7 χρόνια πριν. Ο συντάκτης του πιθανόν να έχει αλλάξει απόψεις έκτοτε.

[Unseen skygge]

Ναι σωστά κοινός παράγοντας δεν βγαίνει άρα είναι μονόδρομος η λύση που προτείνεται παραπάνω

 

Σημείωση: Το μήνυμα αυτό γράφτηκε 7 χρόνια πριν. Ο συντάκτης του πιθανόν να έχει αλλάξει απόψεις έκτοτε.

[Guest-90211]

Εντελως διαφορετικη μεθοδολογια αυτη που αναφερεις. Αποτελει συνηθεστερο τροπο υπολογισμου οριων, αλλα στην περιπτωση αυτη οδηγει σε απροσδιοριστη μορφη!

Η λύση που έδωσες νομίζω ότι είναι λάθος.Επειδή το f(X) είναι θετικό δεν σημαίνει ότι και το όριο βγαίνει άπειρο πάρε για παράδειγμα το lim(\sqrt{x^2+1}-x) με την δικιά σου μεθοδολογία το όριο πρέπει να βγαίνει άπειρο αλλά αν κάνεις συζυγή και απαλοιφή βγαίνει 0!!

 

Σημείωση: Το μήνυμα αυτό γράφτηκε 7 χρόνια πριν. Ο συντάκτης του πιθανόν να έχει αλλάξει απόψεις έκτοτε.

[Lancelot]

Η λύση που έδωσες νομίζω ότι είναι λάθος.Επειδή το f(X) είναι θετικό δεν σημαίνει ότι και το όριο βγαίνει άπειρο πάρε για παράδειγμα το lim(\sqrt{x^2+1}-x) με την δικιά σου μεθοδολογία το όριο πρέπει να βγαίνει άπειρο αλλά αν κάνεις συζυγή και απαλοιφή βγαίνει 0!!

το οριο βγαινει + απειρο ειτε χρησιμοποιησεις τον δικο μου τροπο ειτε της Μιραντας.
η Μιραντα καταληγει σε αυτο το αποτελεσμα μεσω της γνωστης ανισωτικης σχεσης που ισχυει για καθε χ ανηκει στο R

 

Σημείωση: Το μήνυμα αυτό γράφτηκε 7 χρόνια πριν. Ο συντάκτης του πιθανόν να έχει αλλάξει απόψεις έκτοτε.

[Guest-90211]

το οριο βγαινει + απειρο ειτε χρησιμοποιησεις τον δικο μου τροπο ειτε της Μιραντας.
η Μιραντα καταληγει σε αυτο το αποτελεσμα μεσω της γνωστης ανισωτικης σχεσης που ισχυει για καθε χ ανηκει στο R

Ποιας ανισότητας?

το οριο βγαινει + απειρο ειτε χρησιμοποιησεις τον δικο μου τροπο ειτε της Μιραντας.
η Μιραντα καταληγει σε αυτο το αποτελεσμα μεσω της γνωστης ανισωτικης σχεσης που ισχυει για καθε χ ανηκει στο R

Το όριο βγαίνει απειρο αλλά επειδή είναι f(x) θετικό δεν συνεπάγεται ότι είναι άπειρο το όριο

το οριο βγαινει + απειρο ειτε χρησιμοποιησεις τον δικο μου τροπο ειτε της Μιραντας.
η Μιραντα καταληγει σε αυτο το αποτελεσμα μεσω της γνωστης ανισωτικης σχεσης που ισχυει για καθε χ ανηκει στο R

Είναι σαν να λες ότι αν η f(x) είναι θετικό συνεπάγεται το όριο άπειρο

 

Σημείωση: Το μήνυμα αυτό γράφτηκε 7 χρόνια πριν. Ο συντάκτης του πιθανόν να έχει αλλάξει απόψεις έκτοτε.

[Lancelot]

√(χ^2+1)>χ για καθε χεR

 

Σημείωση: Το μήνυμα αυτό γράφτηκε 7 χρόνια πριν. Ο συντάκτης του πιθανόν να έχει αλλάξει απόψεις έκτοτε.

[Guest-90211]

√(χ^2+1)>χ για καθε χεR

Αυτό ναι συμφωνώ 100% μετά το f(x) το βγάζει θετικό και λέει το όριο βγαίνει άπειρο

 

Σημείωση: Το μήνυμα αυτό γράφτηκε 7 χρόνια πριν. Ο συντάκτης του πιθανόν να έχει αλλάξει απόψεις έκτοτε.

[Lancelot]

οταν βγαλει κοινο παραγοντα το e^x μεσα μενουν (e^(√(χ^2+1)-χ) -1)
αν θεσω u το √(χ^2+1)-χ θα εχω u>0 τα υψωνει στο e και καταληγει e^u-1>0
οποτε εχει lime^x=+απειρο επι e^u-1 που ειναι θετικο , αρα ολο το οριο + απειρο

 

Σημείωση: Το μήνυμα αυτό γράφτηκε 7 χρόνια πριν. Ο συντάκτης του πιθανόν να έχει αλλάξει απόψεις έκτοτε.

[Samael]

Μισο εχεις κανει λαθος τσεκαρε το πρωτο μελος
Τα ℯ^(sqrt(x² + 1)) - ℯ^x και ℯ^x*(ℯ^(sqrt(x² + 1)-1) - 1 δεν ειναι ιδια



Η ασκηση απλα σου ζηταει να βρεις το οριο ή απο πριν ειχε και αλλα ερωτηματα;

ΤετραγωνικηΡιζα(x^2 +1) > x , για καθε xεR
καθως ΤετραγωνικηΡιζα(x^2 +1)>ΤετραγωνικηΡιζα(x^2)=|x|>=x
Δηλαδη οι τιμες της συναρτησης f(x)=e^ΤετραγωνικηΡιζα(x^2 +1) τεινουν ΄΄γρηγοροτερα΄΄ στο απειρο, οσο οι τιμες του x τεινουν στο απειρο, σε συγκριση με την συναρτηση g(x)=e^x. Τελικα το οριο της διαφορας τους για x τεινει στο +οο κανει +οο.

Αλγεβρικα εν ταχει: https://prntscr.com/hmxhlj
Ισως κανω τα χειροτερα γραμματα στο ischool

Αγγελε εχεις ενα δικιο,σε ευχαριστω για την παρατηρηση,ηθελα να γραψω

ℯ^x*(ℯ^(sqrt(x² + 1)-x) - 1)

Τελος παντων και σε αυτη την περιπτωση το προβλημα παλι λυνεται ευκολα.
Ασχολεισαι μονο με το οριο του εκθετη,κανεις μια αλλαγη μεταβλητων και ξεμπερδευεις.
Παρατηρεις οτι εαν βγαλεις το x^2 θα εχεις θεμα και θα καταληξεις σε 0 επι +οο οποτε πολλαπλασιαζεις πανω και κατω με την συζυγη παρασταση και τα υπολοιπα ειναι πραξεις.

Παιδια το εχω δει πολλες φορες αυτο με το "το ταδε τρεχει πιο γρηγορα απο το ταδε αρα το οριο ισουται με...".
Ωστοσο μην το λετε αυτο το παραπανω γιατι μπερδευονται παιδια και πανε και το γραφουν στις εξετασεις.Το παραπανω ειναι ο εκλαϊκευμενος κανονας του De L'Hospital και εκ πειρας μιλωντας επειδη το χρησιμοποιουν οσοι βαριουνται να γραψουν ολη την αιτιολογιση η δεν εχουν καταλαβει απολυτως καλα την θεωρια.

Στην 3η λυκειου δεν περιμενουν να δουν "τρικ" που θα σας οδηγησουν ευκολοτερα στα "αυτονοητα".
Περιμενουν να δουν να εχετε μαθει ορισμους,κανονες,θεωρηματα και ιδιοτητες.

Μιραντα,ησουν η "αφορμη" να τα πω αυτα οποτε μην με παρεξηγησεις οτι τα γραφω με υφος ,απλα ηθελα να τονισω οτι η αιτιολογηση πρεπει να ειναι πληρης .

 

Σημείωση: Το μήνυμα αυτό γράφτηκε 7 χρόνια πριν. Ο συντάκτης του πιθανόν να έχει αλλάξει απόψεις έκτοτε.

[Guest-90211]

Αγγελε εχεις ενα δικιο,σε ευχαριστω για την παρατηρηση,ηθελα να γραψω

ℯ^x*(ℯ^(sqrt(x² + 1)-x) - 1)

Τελος παντων και σε αυτη την περιπτωση το προβλημα παλι λυνεται ευκολα.
Ασχολεισαι μονο με το οριο του εκθετη,κανεις μια αλλαγη μεταβλητων και ξεμπερδευεις.
Παρατηρεις οτι εαν βγαλεις το x^2 θα εχεις θεμα και θα καταληξεις σε 0 επι +οο οποτε πολλαπλασιαζεις πανω και κατω με την συζυγη παρασταση και τα υπολοιπα ειναι πραξεις.

Παιδια το εχω δει πολλες φορες αυτο με το "το ταδε τρεχει πιο γρηγορα απο το ταδε αρα το οριο ισουται με...".
Ωστοσο μην το λετε αυτο το παραπανω γιατι μπερδευονται παιδια και πανε και το γραφουν στις εξετασεις.Το παραπανω ειναι ο εκλαϊκευμενος κανονας του De L'Hospital και εκ πειρας μιλωντας επειδη το χρησιμοποιουν οσοι βαριουνται να γραψουν ολη την αιτιολογιση η δεν εχουν καταλαβει απολυτως καλα την θεωρια.

Στην 3η λυκειου δεν περιμενουν να δουν "τρικ" που θα σας οδηγησουν ευκολοτερα στα "αυτονοητα".
Περιμενουν να δουν να εχετε μαθει ορισμους,κανονες,θεωρηματα και ιδιοτητες.

Μιραντα,ησουν η "αφορμη" να τα πω αυτα οποτε μην με παρεξηγησεις οτι τα γραφω με υφος ,απλα ηθελα να τονισω οτι η αιτιολογηση πρεπει να ειναι πληρης .

Μήπως σου είναι εύκολο να δώσεις την συνάρτηση γιατί δεν μπορώ να την καταλάβω έτσι

 

Σημείωση: Το μήνυμα αυτό γράφτηκε 7 χρόνια πριν. Ο συντάκτης του πιθανόν να έχει αλλάξει απόψεις έκτοτε.

[Αγγελος Κοκ]

Αγγελε εχεις ενα δικιο,σε ευχαριστω για την παρατηρηση,ηθελα να γραψω

ℯ^x*(ℯ^(sqrt(x² + 1)-x) - 1)

Τελος παντων και σε αυτη την περιπτωση το προβλημα παλι λυνεται ευκολα.
Ασχολεισαι μονο με το οριο του εκθετη,κανεις μια αλλαγη μεταβλητων και ξεμπερδευεις.
Παρατηρεις οτι εαν βγαλεις το x^2 θα εχεις θεμα και θα καταληξεις σε 0 επι +οο οποτε πολλαπλασιαζεις πανω και κατω με την συζυγη παρασταση και τα υπολοιπα ειναι πραξεις.

Παιδια το εχω δει πολλες φορες αυτο με το "το ταδε τρεχει πιο γρηγορα απο το ταδε αρα το οριο ισουται με...".
Ωστοσο μην το λετε αυτο το παραπανω γιατι μπερδευονται παιδια και πανε και το γραφουν στις εξετασεις.Το παραπανω ειναι ο εκλαϊκευμενος κανονας του De L'Hospital και εκ πειρας μιλωντας επειδη το χρησιμοποιουν οσοι βαριουνται να γραψουν ολη την αιτιολογιση η δεν εχουν καταλαβει απολυτως καλα την θεωρια.

Στην 3η λυκειου δεν περιμενουν να δουν "τρικ" που θα σας οδηγησουν ευκολοτερα στα "αυτονοητα".
Περιμενουν να δουν να εχετε μαθει ορισμους,κανονες,θεωρηματα και ιδιοτητες.

Μιραντα,ησουν η "αφορμη" να τα πω αυτα οποτε μην με παρεξηγησεις οτι τα γραφω με υφος ,απλα ηθελα να τονισω οτι η αιτιολογηση πρεπει να ειναι πληρης .

Κοιταξε το ομως και παλι
εχεις +00*0 αν δουλεψεις με ορια εκθετικα αυτο σου λεω δηλαδη δεν βγαινει παλι
αφου limx->+00 riza(x^2+1)-x=0 οποτε βγαινει e^0-1=1-1=0... απροσδιοριστια και παλι

οταν βγαλει κοινο παραγοντα το e^x μεσα μενουν (e^(√(χ^2+1)-χ) -1)
αν θεσω u το √(χ^2+1)-χ θα εχω u>0 τα υψωνει στο e και καταληγει e^u-1>0
οποτε εχει lime^x=+απειρο επι e^u-1 που ειναι θετικο , αρα ολο το οριο + απειρο

Αν το δουλεψεις ομως με ορια εχει σφαλμα
αφου οταν το χ->+00 το υ->0 οποτε εχεις limx->+00e^x *limu->0(e^u-1)=+00*0

Αν και ψιλομπακαλικα μονο με τον τροπο της μιραντας λυνεται αλλιως πρεπει να κατσεις να σκεφτεις την εφαπτομενη της Cf,ναο η f κυρτη σε εκεινο το σημειο και να καταληξεις οτι limx->+00 y=+00 οπου y η εφαπτομενη της Cf.Πραγμα που δεν παιζει γιατι ειναι μεγαλη η διαδικασια ευρεσης προσημου της συγκεκριμενης παραγωγου

 

Σημείωση: Το μήνυμα αυτό γράφτηκε 7 χρόνια πριν. Ο συντάκτης του πιθανόν να έχει αλλάξει απόψεις έκτοτε.

[Guest-90211]

οταν βγαλει κοινο παραγοντα το e^x μεσα μενουν (e^(√(χ^2+1)-χ) -1)
αν θεσω u το √(χ^2+1)-χ θα εχω u>0 τα υψωνει στο e και καταληγει e^u-1>0
οποτε εχει lime^x=+απειρο επι e^u-1 που ειναι θετικο , αρα ολο το οριο + απειρο

Οκ τώρα το κατάλαβα σε ευχαριστώ

Κοιταξε το ομως και παλι
εχεις +00*0 αν δουλεψεις με ορια εκθετικα αυτο σου λεω δηλαδη δεν βγαινει παλι
αφου limx->+00 riza(x^2+1)-x=0 οποτε βγαινει e^0-1=1-1=0... απροσδιοριστια και παλι



Αν το δουλεψεις ομως με ορια εχει σφαλμα
αφου οταν το χ->+00 το υ->0 οποτε εχεις limx->+00e^x *limu->0(e^u-1)=+00*0

όντως και εμένα τόσο μου βγαίνει άπειρο*0

 

Σημείωση: Το μήνυμα αυτό γράφτηκε 7 χρόνια πριν. Ο συντάκτης του πιθανόν να έχει αλλάξει απόψεις έκτοτε.

[Αγγελος Κοκ]

όντως και εμένα τόσο μου βγαίνει άπειρο*0

Τοσο βγαινει

 

Σημείωση: Το μήνυμα αυτό γράφτηκε 7 χρόνια πριν. Ο συντάκτης του πιθανόν να έχει αλλάξει απόψεις έκτοτε.

[Lancelot]

μηπως τελικα η αρχικη μου σκεψη ειναι πιο σωστη ; δηλαδη απο τη ριζα βγαζω κοινο το χ^2 και επειδη το χ τεινει στο απειρο ειναι θετικο. μες στη ριζα μενουν 1 +1/χ^2. μετα βγαζεις το e^x κοινο παραγοντα και εχεις
lim[e^x(e^(sqrt(1+1/x^2))-1)]

 

Σημείωση: Το μήνυμα αυτό γράφτηκε 7 χρόνια πριν. Ο συντάκτης του πιθανόν να έχει αλλάξει απόψεις έκτοτε.