Βοήθεια/Aπορίες στα Μαθηματικά Προσανατολισμού

[GeorgeChatzi]

Εγώ βρίσκω f=4x³-x²-4x+2 με παράγωγο f'=12x²-2x-4 που έχει ρίζες -½ και 1,5 και παρουσιάζει τοπικό μέγιστο στο χ=-½. Τότε από τη σχέση χ²+y²=1 ==>y=3/4 και
Ζ=-½+3i/4

Ναι, σωστή είναι η δική σου λύση. Το είχα λύσει βιαστικά..

 

Σημείωση: Το μήνυμα αυτό γράφτηκε 11 χρόνια πριν. Ο συντάκτης του πιθανόν να έχει αλλάξει απόψεις έκτοτε.

[science_lover]

Εγώ βρίσκω f=4x³-x²-4x+2 με παράγωγο f'=12x²-2x-4 που έχει ρίζες -½ και 1,5 και παρουσιάζει τοπικό μέγιστο στο χ=-½. Τότε από τη σχέση χ²+y²=1 ==>y=3/4 και
Ζ=-½+3i/4

Αυτό βρήκα και εγω. (συγγνώμη για την καθηστερημένη απάντηση GeorgeChatzi )

 

Σημείωση: Το μήνυμα αυτό γράφτηκε 11 χρόνια πριν. Ο συντάκτης του πιθανόν να έχει αλλάξει απόψεις έκτοτε.

[MixLazarKal]

Παιδιά θεμα 40 ερωτημα γ στο πρωτο τευχος του Μπαρλα (τα θεματα στις τελευταιες σελιδες)!

 

Σημείωση: Το μήνυμα αυτό γράφτηκε 11 χρόνια πριν. Ο συντάκτης του πιθανόν να έχει αλλάξει απόψεις έκτοτε.

[13diagoras]

Αν το επισυναπτες και σε φωτογραφια ,ισως,επαιρνες περισσοτερες απαντησεις γιατι μερικοι δεν το χουν

 

Σημείωση: Το μήνυμα αυτό γράφτηκε 11 χρόνια πριν. Ο συντάκτης του πιθανόν να έχει αλλάξει απόψεις έκτοτε.

[alexalchemist]

βοηθεια σε αυτη την ασκηση > f(x)= int from 1 to x αριθμητης lnt , παρονομαστης t+1, dt....να αποδειξετε οτι η Cf εχει μοναδικο σημειο καμπης M(x1,f(x1) ) για το οποιο ισχυει f(x1)+ f(1/x1)>f'(x1) lnx1

 

Σημείωση: Το μήνυμα αυτό γράφτηκε 11 χρόνια πριν. Ο συντάκτης του πιθανόν να έχει αλλάξει απόψεις έκτοτε.

[GeorgeChatzi]

Χοντρικά έτσι όπως το βλέπω, η f(x) είναι παραγωγίσιμη στο (0,+οο ) όπου και ορίζεται
με παράγωγο f'(x) = lnx/x+1 η οποία ξαναπαραγωγίζεται και είναι f''(x)= (1 + 1/x -lnx ) / (x+1)^2

Και αφού θες σημείο καμπής, θες μηδενισμό της f''(x), τον οποίο τον πετυχαίνεις (όχι πολύ εύκολα) με ένα Bolzano στο (1, e^3 )
όπου f(1)=1/2 >0 και f(e^3 )= ... < 0 (εδώ θα χρειαστείς λίγη επεξήγηση για τα πρόσημα...

όπως και να 'χει το bolzano βγαίνει αφού έχεις f(1)*f(e^3) <0 άρα υπάρχει μηδενισμός στο διάστημα αυτό, άρα και ρίζα x1 της f''(x) .

Τη μοναδικότητα της ρίζας μπορείς να τη δείξεις ως εξής: ο αριθμητής είναι φθίνουσα συνάρτηση ενώ ο παρανομαστής αύξουσα συνάρτηση , επομένως το κλάσμα είναι είναι φθίνουσα συνάρτηση ...

Η ανίσωση είναι λίγο μπέρδεμα. Ισχύει 1 + 1/x -lnx =0 για x=x1 . Άρα lnx1=1+1/x1
άρα η δοσμένη ανισωση γίνεται

f(x1)+ f(1/x1)>f'(x1) (1+1/x1 ) άρα f (x1)+ f(1/x1)>f'(x1) +f'(x1) *(1/x1 ) (ρίξε μια ματιά μέχρι εδώ και αν το συνεχίσω κάπως θα σου πω και τη συνέχεια )

 

Σημείωση: Το μήνυμα αυτό γράφτηκε 11 χρόνια πριν. Ο συντάκτης του πιθανόν να έχει αλλάξει απόψεις έκτοτε.

[alexalchemist]

να σου πω γινεται να κανω ενα τρικ... δλδ αφου χ1 ανηκει στο (1,e^3) τοτε χ1>1.....αφου ισχυει αυτο ....να το δειξω και απο την ανισωση ωστε να το επαληθευσω
ισχυει αυτο που λεω?

 

Σημείωση: Το μήνυμα αυτό γράφτηκε 11 χρόνια πριν. Ο συντάκτης του πιθανόν να έχει αλλάξει απόψεις έκτοτε.

[GeorgeChatzi]

Το θέμα είναι τί πράξεις θα κάνεις γενικά στην ανίσωση..
Αν καταφέρεις και δείξεις βέβαια οτι η ανίσωση ισχύει για κάθε x>1 τότε φυσικά είσαι καλυμένος οτι θα ισχύει και για το x1..

Είδα κάπου το εξής για το πρώτο κομμάτι της ανίσωσης:

παίρνεις (f(x)+f(1/x) )' = f'(x) +f'(1/x)*(1/x)' = (αντικαθιστάς το f'(x) που το ξέρεις και μετά από αρκετές πράξεις καταλήγεις ότι

(f(x)+f(1/x) )' = lnx/x <=> (f(x)+f(1/x) )' = [ (1/2 lnx )^2]' και επομένως f(x)+f(1/x) =( 1/2 lnx )^2 +c ...

αν βάλεις το x=1 παίρνεις ότι f(1) = f(1/1) = 0 (από το ολοκλήρωμα)

έτσι θα καταφέρεις να γράψεις την ανίσωση μόνο σαν πραξεις γνωστών συναρτήσεων (lnx και πολυώνυμα) και να ξεφορτωθείς τις f(x) ...

δηλαδή η ανίσωσή σου πλέον γίνεται ( 1/2 lnx )^2 > (lnx/x+1) * (1 + 1/x ) για x=x1 και γνωρίζεις ότι lnx1=1+1/x1 (αυτό από το Bolzano ) ...

 

Σημείωση: Το μήνυμα αυτό γράφτηκε 11 χρόνια πριν. Ο συντάκτης του πιθανόν να έχει αλλάξει απόψεις έκτοτε.

[alexalchemist]

να σου πω ομως δν γινεται στο f(1/x1) να κανω αντικατασταση?... υ=1/χ...κλπ και μ βγηκε το πρωτο μελος ln^2 x1/2

 

Σημείωση: Το μήνυμα αυτό γράφτηκε 11 χρόνια πριν. Ο συντάκτης του πιθανόν να έχει αλλάξει απόψεις έκτοτε.

[GeorgeChatzi]

Βασικά αν καταφέρεις και κάνεις όοολο αυτό, το τελευταίο κομμάτι βγαίνει εύκολα τελικά αν αντικαταστήσεις lnx1=1+1/x1 (φεύγει το lnx)

και μετά από όλες τις πράξεις θα καταλήξεις ότι x>1 (που ισχύει, αφού το x1 είναι μεγαλύτερο του 1 )..

Απλά στο ενδιάμεσο έχει αρκετό παίδεμα με τις πράξεις..

αντικατάσταση στο ολοκλήρωμα εννοείς ? λογικά το ίδιο αποτέλεσμα βγάζεις..

f(x)+f(1/x) =( 1/2 lnx )^2 +c (αν αυτό εννοείς )

 

Σημείωση: Το μήνυμα αυτό γράφτηκε 11 χρόνια πριν. Ο συντάκτης του πιθανόν να έχει αλλάξει απόψεις έκτοτε.

[alexalchemist]

f(1/x) = int απο 1 μεχρι 1/χ lnt/(t+1) dt..αν κανεις αντικατασταση u=1/t τοτε dt=-1/u^2 du .....telika to f(1/x) γινεται int apo 1 mexri x (lnt/t(t+1) dt.. f(x)+f(1/x)= υστερα απο λιγες πραξεις ...= ln^2 x1/2

και κατι αλλο τελευταιο γτ σε επρηξα...μπορω να το βγαλω με αλλο τροπο χωρις bolzano?? με πινακακι...συνολο τιμων ?

 

Σημείωση: Το μήνυμα αυτό γράφτηκε 11 χρόνια πριν. Ο συντάκτης του πιθανόν να έχει αλλάξει απόψεις έκτοτε.

[GeorgeChatzi]

Έλα.. ναι μπορείς με σύνολο τιμών αφού βέβαια σιγουρεύτείς ότι είναι φθίνουσα κλπ κλπ
(αλλά για μένα δεν αξίζει τις πράξεις - όρια κλπ
παίρνεις όριο στο 0 και στο +00 και στο διάστημα που θα βρεις πρέπει να βρίσκεται και το 0 (ουσιαστικά θα κάνεις θεώρημα ενδιάμεσων τιμών με το σύνολο τιμών που θα βρεις)

ο δικός μου τρόπος μου είναι λίγο μπακάλικος, αλλά την κάνει μια χαρά τη δουλειά και σου δίνει ένα στενό σύνολο.. απλά πρέπει λίγο να κόβει το μάτι σου για να βρεις κατάλληλους αριθμούς

ότι θες ρώτα

 

Σημείωση: Το μήνυμα αυτό γράφτηκε 11 χρόνια πριν. Ο συντάκτης του πιθανόν να έχει αλλάξει απόψεις έκτοτε.

[alexalchemist]

οκ σε ευχαριστω παρα πολυ

ενα τετοιο ερωτημα θα επαιζε για 4ο θεμα.(υποερωτημα)...? παντως εμενα μ φανηκε καλο

 

Σημείωση: Το μήνυμα αυτό γράφτηκε 11 χρόνια πριν. Ο συντάκτης του πιθανόν να έχει αλλάξει απόψεις έκτοτε.

[Solmyr]

ενα τετοιο ερωτημα θα επαιζε για 4ο θεμα.(υποερωτημα)...? παντως εμενα μ φανηκε καλο

μπα...Δεν είναι τίποτα.Το πολύ πολύ να έμπαινε τελευταίο ή προτελευταίο ερώτημα στο 3 θέμα.Μέχρι εκεί πιστεύω

 

Σημείωση: Το μήνυμα αυτό γράφτηκε 11 χρόνια πριν. Ο συντάκτης του πιθανόν να έχει αλλάξει απόψεις έκτοτε.

[alexalchemist]

παντως το περσινο δ3 υποερωτημα ....δν ειχε και τπτ το σπουδαιο για να πεις οτι εχει τεραστια διαφορα απ το παραπανω

και αν το ειδες...δν ηταν καθολου λιγες οι πραξεις(σε αυτο π ανεβασα)

f γν αυξουσα... να βρειτε τις τιμες του κ για τις οποιες αληθευει η ανισωση int απο (fof)(3k) μεχρι (fof)(k^2+2), αριθμητης 1/παρονομαστης ριζα 1+t^2, dt>0....το προχωρησα μεχρι ενα σημειο...αλλα μετα δν

 

Σημείωση: Το μήνυμα αυτό γράφτηκε 11 χρόνια πριν. Ο συντάκτης του πιθανόν να έχει αλλάξει απόψεις έκτοτε.

[C.D.Papaïoannou]

Η δική μου συνδρομή στις απορίες:
1.Δίνεται συνεχής συνάρτηση f: [0,2].
Ισχύει: f(0) + 2f(1) + f(2) =0
Α. Βρείτε το πεδίο ορισμού της συνάρτησης g(x)= f(x) + f(x+1) και ν.δ.ο. g συνεχής σ'αυτό.
Β. Ν.δ.ο. η g παίρνει την τιμή 0.
Γ. Ν.δ.ο. ∃ χ0 ∈ [0,2] ώστε : f(χ0)=-f(1) δια τρια.

2. Δίνεται f(x)= ρίζα του χ^2 +1 όλο μέσα στη ρίζα με χ ∈ R.
Α. Ν.λ.θ. f(3x) + f(2001x)= f(5x) + f(2006x)
B. Αν F(X)= Ολοκλήρωμα από 1 έως χ f(t)dt βρείτε το εμβαδόν του χωρίου Ω που περικλείεται από τη Cf και τους άξονες χ'χ,ψ'ψ.

Επισημάνσεις: i)Στην 1. έχω λύσει τα Α.,Β. και δυσκολεύομαι στο Γ.
ii) Στην 2. παραλείπεται ένα μέρος της άσκησης στο οποίο καταλήγουμε στη δοθείσα f(x).
Δεν είμαι εξοικειωμένος με τη σύνταξη στο Latex οπότε συγχωρέστε με για τις ερασιτεχνικές διατυπώσεις.

 

Σημείωση: Το μήνυμα αυτό γράφτηκε 11 χρόνια πριν. Ο συντάκτης του πιθανόν να έχει αλλάξει απόψεις έκτοτε.

[exc]

Spoiler

Η δική μου συνδρομή στις απορίες:
1.Δίνεται συνεχής συνάρτηση f: [0,2].
Ισχύει: f(0) + 2f(1) + f(2) =0
Α. Βρείτε το πεδίο ορισμού της συνάρτησης g(x)= f(x) + f(x+1) και ν.δ.ο. g συνεχής σ'αυτό.
Β. Ν.δ.ο. η g παίρνει την τιμή 0.
Γ. Ν.δ.ο. ∃ χ0 ∈ [0,2] ώστε : f(χ0)=-f(1) δια τρια.

2. Δίνεται f(x)= ρίζα του χ^2 +1 όλο μέσα στη ρίζα με χ ∈ R.
Α. Ν.λ.θ. f(3x) + f(2001x)= f(5x) + f(2006x)
B. Αν F(X)= Ολοκλήρωμα από 1 έως χ f(t)dt βρείτε το εμβαδόν του χωρίου Ω που περικλείεται από τη Cf και τους άξονες χ'χ,ψ'ψ.

Επισημάνσεις: i)Στην 1. έχω λύσει τα Α.,Β. και δυσκολεύομαι στο Γ.
ii) Στην 2. παραλείπεται ένα μέρος της άσκησης στο οποίο καταλήγουμε στη δοθείσα f(x).
Δεν είμαι εξοικειωμένος με τη σύνταξη στο Latex οπότε συγχωρέστε με για τις ερασιτεχνικές διατυπώσεις.

1. Αφού λες ότι τα ξέρεις τα Α, Β, δεν σου γράφω τίποτα.
Για το Γ:
f(0) + 2f(1) + f(2) =0=>f(1)= πλην μέση τιμή του f(0), f(2).
Το -f(1) δεν είναι τίποτε άλλο παρά η μέση τιμή των f(0), f(2) διαιρεμένη με το 3.
Επίσης η ίδια σχέση μας πληροφορεί ότι υπάρχει τουλάχιστον ένας θετικός και τουλάχιστον ένας αρνητικός από τους f(1), f(2), f(3).
Σκέψου τώρα το σύνολο τιμών αυτής της συνεχούς συνάρτησης. Είναι ένα σύνολο τιμών που ξεκινά από μία αρνητική τιμή και φτάνει συνεχώς ως μία θετική. Όποιον αριθμό και να επιλέξεις μέσα από αυτό το σύνολο και να τον διαιρέσεις με έναν οποιονδήποτε θετικό μεγαλύτερο ή ίσο της μονάδας, θα ανήκει πάλι σίγουρα στο σύνολο.


2Α. Λύση είναι το χ=1. Δείξε την μοναδικότητα χρησιμοποιώντας μονοτονία.
2Β. Για να βρεις το εμβαδόν, ολοκληρώνεις από -άπειρο έως +άπειρο. Με την F, θα το σπάσεις κατάλληλα και θα βγάλεις: -F(-oo)+F(+oo).
Φυσικά άπειρο είναι το εμβαδόν... Μήπως βρήκες λάθος την f(x);

 

Σημείωση: Το μήνυμα αυτό γράφτηκε 11 χρόνια πριν. Ο συντάκτης του πιθανόν να έχει αλλάξει απόψεις έκτοτε.

[Sarantis_Ts]

Εμ, σόρρυ κιόλας, αλλά γιατί η τιμη χ=1 ειναι ρίζα της παραπάνω εξίσωσης (στη δεύτερη άσκηση) ?
αφοu f(3) = (3^2 + 1)^1/2 = (10)^1/2
f(2001) = (2001^2 +1)^1/2
f(5) = (5^2 + 1)^1/2 = (26)^1/2
& f(2006) = (2006^2 +1)^1/2.
Προφανώς 2006 > 2001 <=> f(2006) > f(2001) (η f ειναι γνήσια αύξουσα)
και 5>3 <=> f(5) > f(3). Προσθέτοντας κατα μελη τις ανισώτητες έχουμε οτ f(2006) + f(5) > f(2001) + f(3)
Εμένα η χ=0 μου μοιάζει για ρίζα :Ρ

 

Σημείωση: Το μήνυμα αυτό γράφτηκε 11 χρόνια πριν. Ο συντάκτης του πιθανόν να έχει αλλάξει απόψεις έκτοτε.

[Lost in the Fog]

λιγη βοηθεια με αυτες τις ασκησεις

 

Σημείωση: Το μήνυμα αυτό γράφτηκε 11 χρόνια πριν. Ο συντάκτης του πιθανόν να έχει αλλάξει απόψεις έκτοτε.

[exc]

Εμένα η χ=0 μου μοιάζει για ρίζα :Ρ

Ναι, obviously!

λιγη βοηθεια με αυτες τις ασκησεις

1)a) Αντικατάστησε την συνάρτηση που σου δίνει και επαλήθευσε ότι ικανοποιεί την εξίσωση. Επιβεβαίωσε ότι ικανοποιεί ΚΑΙ τις συνθήκες για f και f ' στο μηδέν.
β) Οκ. Το σύνολο τιμών, ξέρεις να το βρεις.
Για το όριο που σου ζητάει 1/f, θα πάρεις τον λογάριθμο ln του 1/f, θα χρησιμοποιήσεις τους κανόνες λογαρίθμων και θα πάρεις αυτού το όριο. Θα βρεις ότι είναι +οο και για να βρεις το όριο που πραγματικά θέλεις, θα πάρεις το όριο στην e, δηλαδή, πάλι +οο.
γ) Αχ... Δεν το γλιτώνω το ...

E, στη συνέχεια θέτεις u=x+1 και το ολοκλήρωμα του λογαρίθμου το ξέρεις (ulnu-u).
d) Για ύπαρξη αντίστροφης, απόδειξε, μονοτονία.
Ουσιαστικά δεν μπορείς να βρεις την μορφή της αντίστροφης.
Αυτό που κάνεις είναι να την γράψεις έστω και σε «πεπλεγμένη» μορφή:

Τώρα παραγωγίζεις την εξίσωση ως προς χ, ήτοι:

Τώρα το σενάριο έχει ως εξής: Λύνεις ως προς την παράγωγο. Βλέπεις από την κανονική συνάρτηση (όχι την αντίστροφη), ότι την τιμή 0 την παίρνει για το 0 στο όρισμά της. Επομένως πλέον το πρόβλημα ανάγεται στην εύρεση ύπαρξης ή μη συγκεκριμένου ορίου της παραγώγου της αντίστροφης, όταν η αντίστροφη τείνει στο 0. Για να γίνω πιο συγκεκριμένος. Βρίσκεις ότι η παράγωγος της αντίστροφης γράφεται:

Είναι προφανές ότι δεν υπάρχει το όριο της παραπάνω παραγώγου για:

και άρα αποδείξαμε το ζητούμενο.

2)β) Δεν νομίζω ότι μπορείς να την βρεις με λυκειακά μαθηματικά.
Στα άλλα δε σου λέω κάτι, εκτός αν έχεις συγκεκριμένη απορία. Νομίζω ότι είναι λίγο-πολύ κλασσικά πράγματα.

3)α) Χρησιμοποιείς την γνωστή ιδιότητα που αναλύεις το τετράγωνο του μέτρου του μιγαδικού σε γινόμενου του ίδιου επί τον συζυγή του.
β) Θα βάλεις συζυγές παντού, θα χρησιμοποιήσεις το (α) για να βγάλεις την συζυγία και θα βγει.
γ) Πάρε το |w|^2, χρησιμοποίησε την ισότητα που σου είπα και στο (α) και θα σου βγει εύκολα.
δ) Θα στο πω λίγο οπτικά.
Από το μέτρο τους, ξέρεις ότι οι z1, z2 βρίσκονται πάνω σε έναν κύκλο ακτίνας 2 και κέντρου την αρχή των αξόνων.
Για να είναι ισόπλευρο το τρίγωνο (κάνε ένα σχήμα), αρκεί η απόσταση μεταξύ των z, z2, να είναι ίση με 2, ήτοι |z1-z2|=2.
w=2=> (z1-z2)^2=-z1z2=> |z1-z2|^2=|z1z2|=4=> |z1-z2|=2. Και το αποδείξαμε.

 

Σημείωση: Το μήνυμα αυτό γράφτηκε 11 χρόνια πριν. Ο συντάκτης του πιθανόν να έχει αλλάξει απόψεις έκτοτε.