Βοήθεια/Aπορίες στα Μαθηματικά Προσανατολισμού

dimitris001 · 12-02-13

Αρχική Δημοσίευση από Mercury:
Βασικά άκυρο το παραπάνω..
Πρέπει να λές αυτή: $\bar{z}=\frac{{\left|z \right|}^{2}}{z}$
Οπότε η εξίσωση γίνεται:
$w=\frac{{z}^{3}(z+i)}{\frac{{\left|z \right|}^{2}}{z}-i}=\frac{{z}^{3}(z+i)}{\frac{1}{z}-i}=\frac{{z}^{3})z+i)}{1-zi}=\frac{{z}^{3}(z+i)}{-i(z+i)}=\frac{{z}^{3}}{-i}\Rightarrow \left|w \right|=\frac{\left|{z}^{3} \right|}{\left|-i \right|}\Rightarrow \left|w \right|={\left|z \right|}^{3}=1$

Σωστα;

Γενικά αυτό που θα πρέπει να έχετε στο μυαλό σας όταν λύνεται τέτοιου είδους μαθηματικές ασκήσεις είναι το εξής:
$\mid z\mid =2\Leftrightarrow {|z|}^{2}=4\Leftrightarrow z\bar{z}=4\Leftrightarrow z=\frac{4}{\bar{z}}$ και $\bar{z}=\frac{4}{z}$
Είναι πολύ χρησιμο κυριως στα επόμενα ερωτηματα οταν στο 1ο ερβτημα σας ζητανε ν.δ.ο το μετρο του μιγαδικού ειναι τόσο..

Solmyr · 12-02-13

Αρχική Δημοσίευση από Mercury:
Βασικά άκυρο το παραπάνω..
Πρέπει να λές αυτή: $\bar{z}=\frac{{\left|z \right|}^{2}}{z}$
Οπότε η εξίσωση γίνεται:
$w=\frac{{z}^{3}(z+i)}{\frac{{\left|z \right|}^{2}}{z}-i}=\frac{{z}^{3}(z+i)}{\frac{1}{z}-i}=\frac{{z}^{3})z+i)}{1-zi}=\frac{{z}^{3}(z+i)}{-i(z+i)}=\frac{{z}^{3}}{-i}\Rightarrow \left|w \right|=\frac{\left|{z}^{3} \right|}{\left|-i \right|}\Rightarrow \left|w \right|={\left|z \right|}^{3}=1$

Σωστα;

δεν έλεγα αυτή.Βέβαια και οι 2 τρόποι σωστοί είναι.Απλά εσύ έκανες αντικατάσταση ενώ εγώ πήρα την ιδιότητα $\left|z \right + i|=\left|\bar{z} \right - i|$

mary-blackrose · 13-02-13

γεια σας!!

θα ηθελα τη βοηθεια σας στα παρακατω ορια...
$i)\lim _{ x\rightarrow 0 }{ \frac { 1 }{ { x }^{ 2 } } } \int _{ 0 }^{ x }{ \eta \mu tdt } \\ ii)\lim _{ x\rightarrow 1 }{ \frac { 1 }{ { (x-1) }^{ 2 } } \int _{ 1 }^{ x }{ (\sqrt { { t }^{ 2 }+3 } } -2)dt }$

Solmyr · 13-02-13

Αρχική Δημοσίευση από mary-blackrose:
γεια σας!! θα ηθελα τη βοηθεια σας στα παρακατω ορια...
$i)\lim _{ x\rightarrow 0 }{ \frac { 1 }{ { x }^{ 2 } } } \int _{ 0 }^{ x }{ \eta \mu tdt } \\ ii)\lim _{ x\rightarrow 1 }{ \frac { 1 }{ { (x-1) }^{ 2 } } \int _{ 1 }^{ x }{ (\sqrt { { t }^{ 2 }+3 } } -2)dt }$

Λοιπόν η λογική είναι ίδια.Οπότε εγώ θα σου πω το 1ο που είναι πιο μικρό...

αν αντικαταστασησεις οπου χ το 0 γινεται 0/0.Οποτε εφαρμοζεις delhopital και έχεις

lim ημχ .Είναι πάλι 0/0.Ξανα εφαρμοζεις delhopital.Και εχεις
x-0 2χ

lim συνχ= 1/2
x-0 2

Ελπίζω να κατάλαβες έτσι πως τα γραψα.Τις παραγωγίσεις κατευθειαν τις εκανα

rebel · 13 Φεβρουαρίου 2013

Αρχική Δημοσίευση από mary-blackrose:
γεια σας!! θα ηθελα τη βοηθεια σας στα παρακατω ορια...
$i)\lim _{ x\rightarrow 0 }{ \frac { 1 }{ { x }^{ 2 } } } \int _{ 0 }^{ x }{ \eta \mu tdt }$

Διαφορετικά για το πρώτο.
$\lim _{ x\rightarrow 0 }{ \frac { 1 }{ { x }^{ 2 } } } \int _{ 0 }^{ x }{ \eta \mu tdt }= \lim_{x \to 0} \frac{-\sigma \upsilon \nu x+1}{x^2} = \lim_{x \to 0} \frac{1-\sigma \upsilon \nu^2 x}{x^2(1+ \sigma \upsilon \nu x)} =\lim_{x \to 0} \left ( \frac{\eta \mu^2 x}{x^2} \frac{1}{1+ \sigma \upsilon \nu x} \right)=1 \cdot \frac{1}{2}=\frac{1}{2}$
Στο δεύτερο δεν ξέρω αν μπορούμε να αποφύγουμε τον del' hospital.

Solmyr · 13-02-13

Αρχική Δημοσίευση από styt_geia:
Διαφορετικά για το πρώτο.
$\lim _{ x\rightarrow 0 }{ \frac { 1 }{ { x }^{ 2 } } } \int _{ 0 }^{ x }{ \eta \mu tdt }= \lim_{x \to 0} \frac{-\sigma \upsilon \nu x+1}{x^2} = \lim_{x \to 0} \frac{1-\sigma \upsilon \nu^2 x}{x^2(1+ \sigma \upsilon \nu x)} =\lim_{x \to 0} \left ( \frac{\eta \mu^2 x}{x^2} \frac{1}{1+ \sigma \upsilon \nu x} \right)=1 \cdot \frac{1}{2}=\frac{1}{2}$
Στο δεύτερο δεν ξέρω αν μπορούμε να αποφύγουμε τον del' hospital.

Ποιος ο λόγος να λύσει κάποιος την άσκηση με αυτόν τον τρόπο ενώ μπορεί να λυθεί(αυτή και κάθε άλλη όμοια της) με delhospital πολύ πιο εύκολα και σύντομα?

JKaradakov · 13-02-13

Αρχική Δημοσίευση από Solmyr:
Ποιος ο λόγος να λύσει κάποιος την άσκηση με αυτόν τον τρόπο ενώ μπορεί να λυθεί(αυτή και κάθε άλλη όμοια της) με delhospital πολύ πιο εύκολα και σύντομα?

Δεν είναι κακό να βλέπουμε και καναν άλλο τρόπο λύσεις.

Mercury · 13 Φεβρουαρίου 2013

Να λυθεί η εξίσωση:
$\left|z+1 \right|=4z-2\bar{z}-6i\Rightarrow \left|x+yi+1 \right|=4\left(x+yi \right)-2(x-yi)-6i\Rightarrow \left|x+1+yi \right|=4x+4yi-2x+2yi-6i\Rightarrow \sqrt{{(x+1)}^{2}+{y}^{2}}=2x+6yi-6i\Rightarrow \sqrt{{(x+1)}^{2}+{y}^{2}}-2x-6yi+6i=0\Rightarrow \begin{cases}& \sqrt{{(x+1)}^{2}+{y}^{2}}-2x=0 \\ & -6yi+6i=0 \end{cases}\Rightarrow \begin{cases} & \sqrt{{(x+1)}^{2}+{y}^{2}}=2x \\ & 6yi=6i\end{cases}\Rightarrow \begin{cases}& \sqrt{{(x+1)}^{2}+1}=2x \\ & y=1 \end{cases}\Rightarrow {\sqrt{{(x+1)}^{2}+1}}^{2}={(2x)}^{2}\Rightarrow {(x+1)}^{2}+1=4{x}^{2}\Rightarrow (x+1)(x+1)+1=4{x}^{2}\Rightarrow {x}^{2}+2x+1=4{x}^{2}\Rightarrow 3{x}^{2}-2x-2=0$

Διακρίνουσα:
$\Delta ={\beta }^{2}-4\alpha \gamma \Rightarrow \Delta =4-4\cdot 3\cdot (-2)=28$

Άρα,οι ρίζες της εξίσωσης είναι:
${x}_{1,2}=\frac{-\beta \pm \sqrt{\Delta }}{2\alpha }\Rightarrow {x}_{1,2}=\frac{2\pm \sqrt{28}}{6}\Rightarrow {x}_{1,2}=\frac{2\pm 2\sqrt{7}}{6}\Rightarrow {x}_{1,2}=\frac{1\pm \sqrt{7}}{3}$

Στις λύσεις του Μπάρλα όμως,γράφει σαν λύση όμως το
$z=\frac{1+\sqrt{7}}{3}+i$
Γιατί; :hmm:

φρι · 13-02-13

Μερκ,το y ισουται με -i . Ξαναδεστο

JKaradakov · 13-02-13

Αρχική Δημοσίευση από Mercury:
Να λυθεί η εξίσωση:
$\left|z+1 \right|=4z-2\bar{z}-6i\Rightarrow \left|x+yi+1 \right|=4\left(x+yi \right)-2(x-yi)-6i\Rightarrow \left|x+1+yi \right|=4x+4yi-2x+2yi-6i\Rightarrow \sqrt{{(x+1)}^{2}+{y}^{2}}=2x+6yi-6i\Rightarrow \sqrt{{(x+1)}^{2}+{y}^{2}}-2x-6yi+6i=0\Rightarrow \begin{cases}& \sqrt{{(x+1)}^{2}+{y}^{2}}-2x=0 \\ & -6yi+6i=0 \end{cases}\Rightarrow \begin{cases} & \sqrt{{(x+1)}^{2}+{y}^{2}}=2x \\ & 6yi=6\end{cases}\Rightarrow \begin{cases}& \sqrt{{(x+1)}^{2}+1}=2x \\ & y=1 \end{cases}\Rightarrow {\sqrt{{(x+1)}^{2}+1}}^{2}={(2x)}^{2}\Rightarrow {(x+1)}^{2}+1=4{x}^{2}\Rightarrow (x+1)(x+1)+1=4{x}^{2}\Rightarrow {x}^{2}+2x+1=4{x}^{2}\Rightarrow 3{x}^{2}-2x-2=0$

Διακρίνουσα:
$\Delta ={\beta }^{2}-4\alpha \gamma \Rightarrow \Delta =4-4\cdot 3\cdot (-2)=28$

Άρα,οι ρίζες της εξίσωσης είναι:
${x}_{1,2}=\frac{-\beta \pm \sqrt{\Delta }}{2\alpha }\Rightarrow {x}_{1,2}=\frac{2\pm \sqrt{28}}{6}\Rightarrow {x}_{1,2}=\frac{2\pm 2\sqrt{7}}{6}\Rightarrow {x}_{1,2}=\frac{1\pm \sqrt{7}}{3}$

Στις λύσεις του Μπάρλα όμως,γράφει σαν λύση όμως το
$z=\frac{1+\sqrt{7}}{3}+i$
Γιατί;

Γιά το y είναι: $y=-i$
Μόνο αυτό μπόρεσα να βρώ.

lowbaper92 · 13-02-13

Αρχική Δημοσίευση από Mercury:
Να λυθεί η εξίσωση:

$\left|z+1 \right|=4z-2\bar{z}-6i\Rightarrow \left|x+yi+1 \right|=4\left(x+yi \right)-2(x-yi)-6i\Rightarrow \left|x+1+yi \right|=4x+4yi-2x+2yi-6i\Rightarrow \sqrt{{(x+1)}^{2}+{y}^{2}}=2x+6yi-6i\Rightarrow \sqrt{{(x+1)}^{2}+{y}^{2}}-2x-6yi+6i=0\Rightarrow \begin{cases}& \sqrt{{(x+1)}^{2}+{y}^{2}}-2x=0 \\ & -6yi+6i=0 \end{cases}\Rightarrow \begin{cases} & \sqrt{{(x+1)}^{2}+{y}^{2}}=2x \\ & 6yi=6\end{cases}\Rightarrow \begin{cases}& \sqrt{{(x+1)}^{2}+1}=2x \\ & y=1 \end{cases}\Rightarrow {\sqrt{{(x+1)}^{2}+1}}^{2}={(2x)}^{2}\Rightarrow {(x+1)}^{2}+1=4{x}^{2}\Rightarrow (x+1)(x+1)+1=4{x}^{2}\Rightarrow {x}^{2}+2x+1=4{x}^{2}\Rightarrow 3{x}^{2}-2x-2=0$

Διακρίνουσα:
$\Delta ={\beta }^{2}-4\alpha \gamma \Rightarrow \Delta =4-4\cdot 3\cdot (-2)=28$

Άρα,οι ρίζες της εξίσωσης είναι:
${x}_{1,2}=\frac{-\beta \pm \sqrt{\Delta }}{2\alpha }\Rightarrow {x}_{1,2}=\frac{2\pm \sqrt{28}}{6}\Rightarrow {x}_{1,2}=\frac{2\pm 2\sqrt{7}}{6}\Rightarrow {x}_{1,2}=\frac{1\pm \sqrt{7}}{3}$

Στις λύσεις του Μπάρλα όμως,γράφει σαν λύση όμως το
$z=\frac{1+\sqrt{7}}{3}+i$
Γιατί;

Γιατί στο σημείο που έχεις $\sqrt{{\left(x+1 \right)}^{2}+1}=2x$ , το πρώτο μέλος ως ρίζα είναι μη αρνητικός αριθμός (θετικός ή μηδέν), και μάλιστα επειδή το υπόρριζο είναι θετικό, το πρώτο μέλος είναι θετικό. Άρα και το 2ο μέλος πρέπει να είναι θετικό για να ικανοποιείται η εξίσωση, οπότε η αρνητική λύση που βγάζεις απ'τη δευτεροβάθμια, απορρίπτεται.

Mercury · 13-02-13

Αρχική Δημοσίευση από lowbaper92:
Γιατί στο σημείο που έχεις $\sqrt{{\left(x+1 \right)}^{2}+1}=2x$ , το πρώτο μέλος ως ρίζα είναι μη αρνητικός αριθμός (θετικός ή μηδέν), και μάλιστα επειδή το υπόρριζο είναι θετικό, το πρώτο μέλος είναι θετικό. Άρα και το 2ο μέλος πρέπει να είναι θετικό για να ικανοποιείται η εξίσωση, οπότε η αρνητική λύση που βγάζεις απ'τη δευτεροβάθμια, απορρίπτεται.

Οκε,το κατάλαβα.Θένκς!!

Αρχική Δημοσίευση από φρι:
Μερκ,το y ισουται με -i . Ξαναδεστο

Αρχική Δημοσίευση από JKaradakov:
Γιά το y είναι: $y=-i$
Μόνο αυτό μπόρεσα να βρώ.

Πώς γίνεται αυτό ρε παιδιά;Το λάθος πού είναι;

JKaradakov · 13-02-13

Αρχική Δημοσίευση από Mercury:
Πώς γίνεται αυτό ρε παιδιά;Το λάθος πού είναι;

$6yi=6\Rightarrow y=\frac{6}{6i} \Rightarrow y=\frac{1}{i} \Rightarrow y=\frac{1\times i}{i \times i} \Rightarrow y= -i$

Mercury · 13-02-13

Αρχική Δημοσίευση από JKaradakov:
$6yi=6\Rightarrow y=\frac{6}{6i} \Rightarrow y=\frac{1}{i} \Rightarrow y=\frac{1\times i}{i \times i} \Rightarrow y= -i$

Μάλλον μου ξέφυγε ένα i,sorry...
Κανονικά θα έπρεπε να είναι
$6yi=6i\Rightarrow y=1$

lowbaper92 · 13-02-13

Αρχική Δημοσίευση από φρι:
Μερκ,το y ισουται με -i . Ξαναδεστο

Αρχική Δημοσίευση από JKaradakov:
Γιά το y είναι: $y=-i$
Μόνο αυτό μπόρεσα να βρώ.

Τα x,y είναι πραγματικοί αριθμοί εξ ορισμού

φρι · 13-02-13

Αρχική Δημοσίευση από lowbaper92:
Τα x,y είναι πραγματικοί αριθμοί εξ ορισμού

Και γιατι στο αποτελεσμα ο Μπαρλας βγαζει ενα +i ? :/:

JKaradakov · 13-02-13

Αρχική Δημοσίευση από lowbaper92:
Τα x,y είναι πραγματικοί αριθμοί εξ ορισμού

Σωστά!

Άρα, δεν έχεις y και ο z είναι πραγματικός. :hmm:

lowbaper92 · 13-02-13

Αρχική Δημοσίευση από φρι:
Και γιατι στο αποτελεσμα ο Μπαρλας βγαζει ενα +i ?

O μιγαδικός που ψάχνουμε είναι ο $z=x+yi$ .

Βρήκαμε
$\left\{\begin{matrix}x=\frac{1+\sqrt{7}}{3}\\ y=1\end{matrix}\right.$

Άρα τελικά ο z είναι ο $z=\frac{1+\sqrt{7}}{3}+i$

Mercury · 13-02-13

Αρχική Δημοσίευση από φρι:
Και γιατι στο αποτελεσμα ο Μπαρλας βγαζει ενα +i ?

Γιατί άν το
$y=1$ ,τοτε γράφεται $1i$ ή $i$ σκέτο.

φρι · 13-02-13

Ναι,σωστα!

Βοήθεια/Aπορίες στα Μαθηματικά Προσανατολισμού

Τιμώμενο Μέλος

Δραστήριο μέλος

Εκκολαπτόμενο μέλος

Δραστήριο μέλος

Πολύ δραστήριο μέλος

Δραστήριο μέλος

Τιμώμενο Μέλος

Επιφανές μέλος

Διάσημο μέλος

Τιμώμενο Μέλος

Πολύ δραστήριο μέλος

Επιφανές μέλος

Τιμώμενο Μέλος

Επιφανές μέλος

Πολύ δραστήριο μέλος

Διάσημο μέλος

Τιμώμενο Μέλος

Πολύ δραστήριο μέλος

Επιφανές μέλος

Διάσημο μέλος