Συλλογή ασκήσεων και τεστ στα Μαθηματικά Προσανατολισμού

giannis19 · 8 Φεβρουαρίου 2013

dimitris001 · 08-02-13

Αρχική Δημοσίευση από styt_geia:
Το άθροισμα δύο άρρητων δεν είναι κατ' ανάγκη άρρητος γιατί πχ $\left( 2 + \sqrt{2} \right) + \left( 2 - \sqrt{2} \right) = 4 \in \mathbb{Q}$ . Νομίζω όμως ότι βγαίνει με άτοπο.

Αρχική Δημοσίευση από nex.:
Το είχα ρωτήσει αυτό που λες , στο μαθηματικό ,σε έναν καθηγητή και μου είχε απαντήσει άρρητος + άρρητος = άρρητος. Δυο αρθμοι που εχουν απειρα δεκαδικα ψηφια μπορουν να δωσουν, αθροισματικα ,εναν αριθμο με πεπερασμένο πλήθος ?

Γενικά αν α και β τυχαίοι άρρητοι, τότε α+β ΔΕΝ γνωρίζουμε αν είναι το άθροισμα άρρητος ή όχι!(παράδειγμα αυτο που αναφέρει πιο πάνω ο styt_geia

)
ΑΛΛΑ στην περίπτωση μας που έχουμε συγκεκριμένους άρρητους αριθμούς (ρίζα 2, ρίζα 3) το άθροισμα είναι άρρητος!
Ελπίζω να καταλάβατε τι θέλω να πω...

Αρχική Δημοσίευση από antwwwnis:
Αρχικά, αποδεικνύω ότι ριζα6 αρρητος, με τον τρόπο του Δημήτρη.

Έστω τώρα, όπως υπέδειξε ο styt, πως ριζα2+ριζα3 ρητός.
Τότε και το τετράγωνο του θα είναι ρητος.
Επομένως (2+3+2ριζα6) ρητός.
Άτοπο.

Good job, man!

rebel · 10 Φεβρουαρίου 2013

Έστω $f: [a,b] \to \mathbb{R}$ παραγωγίσιμη στο $[a,b]$ με $f(x)=(x-a)(x-b)f'(x),\,\,x \in [a,b]$ . Δείξτε ότι $f(x)=0 ,\,\, x \in [a,b]$

sokratis lyras · 10-02-13

Αρχική Δημοσίευση από styt_geia:
Έστω $f: [a,b] \to \mathbb{R}$ παραγωγίσιμη στο $[a,b]$ με $f(x)=(x-a)(x-b)f'(x)$ . Δείξτε ότι $f(x)=0 ,\,\, x \in [a,b]$

Με κάποιες επιφυλάξεις.Με rolle στο $(a,b)$ προκύπτει ρίζα της f' και άρα της f,έστω η $x_1$ .Mε rolle στο $(a,x_1)$ έχουμε κ' άλλη ρίζα της f' και άρα της f.Eπαγωγικά προκύπτει το ζητούμενο.

ξαροπ · 10-02-13

Για την ιστορία με το άθροισμα αρρήτων, θα ήθελα να δω ένα παράδειγμα όπου άρρητος + άρρητος = ρητός ΧΩΡΙΣ να υπάρχει προσθαφαίρεση του ίδιου άρρητου κομματιού (πχ. ρίζα 2). :hmm:

bond_bill · 10 Φεβρουαρίου 2013

θελω βοηθεια στην ασκηση 57 σελ 35 του μπαρλα. Λεει οτι η f ειναι δυο φορες παραγωγισιμη με f(a)=f(b) και f ΄(a)=f '(b). να δειξω οτι υπαρχει τουλαχιστον ενα ξ που ανηκει στο (α,β) τετοιο ωστε f ''(ξ)=f '(ξ)^2

Αμα φερω το f '(ξ)^2 στο αριστερο μελος, διαιρεσω με f '(ξ) θεωρησω συναρτηση h(x)= lnf '(x) - f (x), κανω rolle στο (α,β) ειναι σωστο ? το αποτελεσμα βγαινω απλα θα χρειαστει το f'(ξ) να ειναι διαφορετικο του μηδενος

rebel · 10-02-13

Έχω υπ' όψιν μου δύο τρόπους. Ο ένας βασίζεται στο θεώρημα μέγιστης και ελάχιστης τιμής. Ο άλλος περιλαμβάνει εύρεση αρχικής συνάρτησης.

rebel · 10 Φεβρουαρίου 2013

Αρχική Δημοσίευση από bond_bill:
θελω βοηθεια στην ασκηση 57 σελ 35 του μπαρλα. Λεει οτι η f ειναι δυο φορες παραγωγισιμη με f(a)=f(b) και f ΄(a)=f '(b). να δειξω οτι υπαρχει τουλαχιστον ενα ξ που ανηκει στο (α,β) τετοιο ωστε f ''(ξ)=f '(ξ)^2

Rolle στην $e^{-f(x)}f'(x)$

bond_bill · 10-02-13

Αρχική Δημοσίευση από styt_geia:
Rolle στην $e^{-f(x)}f'(x)$

ποσο μου την δινουν οι στημενες ασκησεις. Ευχαριστω παντως

Solmyr · 10-02-13

Αρχική Δημοσίευση από styt_geia:
Μία βδομάδα πέρασε. Δεν το παίρνει το ποτάμι; . Ακολουθεί μία μέτριας δυσκολίας με συναρτησιακή μήπως και ανέβει λίγο το ενδιαφέρον.

Μία συνάρτηση $f: \mathbb{R} \to \mathbb{R}$ έχει την ιδιότητα $f(x+f(x+y))=f(2x)+y,\,\,x,y \in \mathbb{R}$
α) Να αποδείξετε ότι $f(0)=0$
β) Να αποδείξετε ότι η $f$ είναι αντιστρέψιμη
γ) Να αποδείξετε ότι η $f$ έχει σύνολο τιμών το $\mathbb{R}$
δ) Να βρείτε τον τύπο της συνάρτησης.

Προσπαθήστε να διατηρήσετε την σειρά των ερωτημάτων. Η άσκηση είναι από εδώ σελ 37

Όποτε μπορείς βάλε τη λύση της συναρτησιακής άσκησης.

Civilara · 11 Φεβρουαρίου 2013

Αρχική Δημοσίευση από styt_geia:
Έστω $f: [a,b] \to \mathbb{R}$ παραγωγίσιμη στο $[a,b]$ με $f(x)=(x-a)(x-b)f'(x),\,\,x \in [a,b]$ . Δείξτε ότι $f(x)=0 ,\,\, x \in [a,b]$

Θεωρούμε την συνάρτηση g(x)=(x-a)(x-b)=(x^2)-(a+b)x+ab, x ανήκει Dg=R. Η g είναι συνεχής στο R ως πολυωνυμική. Για την g ισχύει g(a)=g(b)=0 και g(x)<0 για a<x<b.

Θεωρούμε την συνάρτηση h(x)=1/g(x)=1/[(x-a)(x-b)] με πεδίο ορισμού Dh=(-oo,a)U(a,b)U(b,+oo). Η h είναι συνεχής στο Dh ως ρητή. Στη συνέχεια αναζητούμε πραγματικούς αριθμούς Α, Β έτσι ώστε:
h(x)=[A/(x-a)]+[B/(x-b)] για κάθε x ανήκει Dh.

Έχουμε:

1/[(x-a)(x-b)]=[A/(x-a)]+[B/(x-b)] <=> A(x-b)+B(x-a)=1 <=> (A+B)x+(-Ab-Ba)=1

Για να ισχύει η παραπάνω σχέση για κάθε x ανήκει Dh πρέπει να ισχύουν οι εξής:

A+B=0 (1)
-Ab-Ba=1 (2)

Από την (1) έχουμε:
B=-A (3)

Αντικαθιστώντας στην (2) έχουμε:
-Ab+Aa=1 <=> A(a-b)=1 <=> A=1/(a-b) <=> A=-1/(b-a)
B=-A => B=1/(b-a)

Επομένως
h(x)=[-1/(b-a)][1/(x-a)]+[1/(b-a)][1/(x-b)]=[1/(b-a)]{[1/(x-b)]-[1/(x-a)]}, x ανήκει Dh

Στη συνέχεια θα προσδιοριστεί το αόριστο ολοκλήρωμα της h στο διάστημα Δ=(a,b). Έχουμε

$\int h(x)dx=\int \frac{1}{(x-a)(x-b)}dx=\frac{1}{b-a}\left(-\int \frac{1}{x-a}dx+\int \frac{1}{x-b}dx \right)=\frac{1}{b-a}\left(-ln|x-a|+ln|x-b| \right)+C=\frac{1}{b-a}[-ln(x-a)+ln(b-x)]+C=\frac{1}{b-a}ln\left(\frac{b-x}{x-a} \right)+C$

Θεωρούμε την συνάρτηση $H(x)=\frac{1}{b-a}ln\left(\frac{b-x}{x-a} \right)=\frac{1}{b-a}ln\left(-\frac{x-b}{x-a} \right)$
με πεδίο ορισμού (α,β). Η H είναι παραγωγίσιμη και αρχική της h στο (α,β), δηλαδή:
H΄(x)=h(x) για κάθε x ανήκει (α,β)

Για κάθε x ανήκει [α,β] ισχύει f(x)=g(x)f΄(x). Επειδή g(a)=g(b)=0 έχουμε f(a)=g(a)f΄(a)=0 και f(b)=g(b)f΄(b)=0. Στη συνέχεια θα προσδιοριστεί ο τύπος της f στο (a,b). Για κάθε x ανήκει (α,β) ισχύει g(x)<0 οπότε έχουμε:

f(x)=g(x)f΄(x) <=> f(x)/g(x)=f΄(x) <=> f(x)h(x)=f΄(x) <=> f(x)H΄(x)=f΄(x) <=> f΄(x)-f(x)H΄(x)=0

Θεωρούμε την συνάρτηση F(x)=f(x)[e^(-H(x))], x ανήκει (a,b). Επειδή οι f και H είναι παραγωγίσιμες στο (a,b), οπότε η F είναι παραγωγίσιμη στο (a,b), οπότε και συνεχής στο (α,β), με παράγωγο:
F΄(x)=f΄(x)[e^(-H(x)]-f(x)H΄(x)[e^(-H(x))]=[f΄(x)-f(x)H΄(x)][e^(-H(x))]=0*[e^(-H(x))]=0

Η F είναι συνεχής και παραγωγίσιμη στο (a,b) και ισχύει F΄(x)=0 για κάθε x ανήκει (α,β). Επομένως υπάρχει σταθερά c έτσι ώστε να ισχύει F(x)=0 για κάθε x ανήκει (a,b). Άρα:

F(x)=c <=> f(x)[e^(-H(x))]=c <=> f(x)=c[e^H(x)] <=> f(x)=c{[-(x-b)/(x-a)]^[1/(b-a)]}

Επομένως f(a)=f(b)=0 και f(x)=c{[-(x-b)/(x-a)]^[1/(b-a)]} για x ανήκει (a,b).

Η f είναι παραγωγίσιμη στο (a,b) με πρώτη παράγωγο:

f΄(x)=-[c/((x-b)^2)]{[-(x-b)/(x-a)]^[(a-b+1)/(b-a)]}

Από την εκφώνηση γνωρίζουμε ότι η f είναι παραγωγίσιμη στο [a,b]. Επομένως η f είναι συνεχής στο [a,b] και παραγωγίσιμη στο (a,b).

Η f είναι συνεχής στο [a,b], παραγωγίσιμη στο (a,b) και ισχύει f(a)=f(b). Επομένως σύμφωνα με το θεώρημα του Rolle υπάρχει τουλάχιστον ένα ξ ανήκει (a,b) τέτοιο ώστε f΄(ξ)=0. Έχουμε

f΄(ξ)=-[c/((ξ-b)^2)]{[-(ξ-b)/(ξ-a)]^[(a-b+1)/(b-a)]}

Συνεπώς

f΄(ξ)=0 <=> -[c/((ξ-b)^2)]{[-(ξ-b)/(ξ-a)]^[(a-b+1)/(b-a)]}=0 <=> c=0

Άρα f(x)=0 για κάθε x ανήκει (a,b) και επειδή f(a)=f(b)=0 τότε f(x)=0 για κάθε x ανήκει [a,b].

rebel · 10 Φεβρουαρίου 2013

Αρχική Δημοσίευση από styt_geia:
Μία συνάρτηση $f: \mathbb{R} \to \mathbb{R}$ έχει την ιδιότητα $f(x+f(x+y))=f(2x)+y,\,\,x,y \in \mathbb{R}(\color{red}{\star})$
α) Να αποδείξετε ότι $f(0)=0$
β) Να αποδείξετε ότι η $f$ είναι αντιστρέψιμη
γ) Να αποδείξετε ότι η $f$ έχει σύνολο τιμών το $\mathbb{R}$
δ) Να βρείτε τον τύπο της συνάρτησης.

Ναι.
α) Για $x=y=0$ στην $(\color{red}{\star})$ παίρνουμε $f\left(f(0)\right)=f(0) \Rightarrow f\left(f\left(f(0) \right) \right)=f\left(f(0)\right) \Rightarrow f\left(f\left(f(0) \right) \right)=f(0)\,\,\,(1)$
Για $x=0,\,\,y=f(0)$ στην $(\color{red}{\star})$ παίρνουμε $f\left(f\left(f(0) \right) \right)=2f(0)\,\,\,(2)$ . Από (1) και (2) παίρνω $f(0)=2f(0) \Rightarrow f(0)=0$
β) Για $x=0$ στην $(\color{red}{\star})$ με βάση το προηγούμενο ερώτημα παίρνουμε $f\left(f(y)\right)=y,\,\,y \in \mathbb{R}\,\,\,(3)$ . Έτσι για $x_1,x_2 \in \mathbb{R}$ με $f(x_1)=f(x_2)$ έχουμε $f\left(f(x_1)\right)=f\left(f(x_2)\right) \stackrel{(3)}{\Rightarrow} x_1=x_2$ άρα η f είναι 1-1 και άρα αντιστρέψιμη.
γ) Αρκεί να δείξω ότι για κάθε $y \in \mathbb{R}$ υπάρχει $k \in \mathbb{R}$ με $f(k)=y$ . Έστω λοιπόν αυθαίρετο $y \in \mathbb{R}$ . Για $k=f(y)$ λόγω της (3) έχουμε $f(k)=f\left(f(y)\right)=y$ οπότε πράγματι $f(\mathbb{R})=\mathbb{R}$
δ) Για $y=0$ στην $(\color{red}{\star})$ παίρνουμε $f\left(x+f(x) \right)=f(2x)$ και αφού η f είναι 1-1 όπως δείξαμε στο β) έχουμε τελικά $x+f(x)=2x \Rightarrow f(x)=x,\,\,x \in \mathbb{R}$ που επαληθεύει την $(\color{red}{\star})$

rebel · 13-02-13

Αρχική Δημοσίευση από styt_geia:
Έχω υπ' όψιν μου δύο τρόπους. Ο ένας βασίζεται στο θεώρημα μέγιστης και ελάχιστης τιμής. Ο άλλος περιλαμβάνει εύρεση αρχικής συνάρτησης.

Ψάχνοντας τυχαία σε κάτι παλιά μηνύματα είδα ότι η τελευταία άσκηση έχει λυθεί εδώ με άλλον τρόπο. Οπότε τώρα έχουμε και τις δύο λύσεις.

ξαροπ · 07-03-13

Ένα γρήγορο θεματάκι που μου άρεσε: Έστω $f$ παραγωγίσιμη και κυρτή στο $[0, +\inf)$ , $f(0) = 0$ . Νδο. $f(x) > \frac{4}{3} f(\frac{3x}{4})$ για κάθε θετικό x.

Επίσης μία με την οποία ασχοληθήκαμε εγώ κι ένας συμμαθητής μου σήμερα: Να υπολογιστεί το $\int e^xx^n$ (ενν. ν φυσικός). Εύκολο είναι να βρεθεί αναδρομικός, το πιο 'ωραίο' είναι να βρεθεί κλειστή μορφή του χωρίς ολοκληρώματα μέσα.

Kira. · 07-07-13

Μακράν το αγαπημένο μου θέμα.

sokratis lyras · 20-07-13

Αρχική Δημοσίευση από ξαροπ:
Ένα γρήγορο θεματάκι που μου άρεσε: Έστω $f$ παραγωγίσιμη και κυρτή στο $[0, +\inf)$ , $f(0) = 0$ . Νδο. $f(x) > \frac{4}{3} f(\frac{3x}{4})$ για κάθε θετικό x.

Επίσης μία με την οποία ασχοληθήκαμε εγώ κι ένας συμμαθητής μου σήμερα: Να υπολογιστεί το $\int e^xx^n$ (ενν. ν φυσικός). Εύκολο είναι να βρεθεί αναδρομικός, το πιο 'ωραίο' είναι να βρεθεί κλειστή μορφή του χωρίς ολοκληρώματα μέσα.

Η $g(x)=kf(x)-f(kx) ,0<k<1$ είναι γνησίως αύξουσα λόγω της κυρτότητας.
Οπότε $g(x)>0$ για θετικά χ ,και για κ=3/4 προκύπτει το ζητούμενο.

ξαροπ · 22-07-13

Ωραία...κάτι άλλο τώρα.

1) Βρείτε μια συνάρτηση που να ικανοποιεί τη σχέση $f(x^2) - f(x) = 1$ για $x > 1$ .
2) Βρείτε μια συνάρτηση που να ικανοποιεί τη σχέση $f(x+1) = [f(x)]^2$ (πέρα από τη μηδενική συνάρτηση)

3) Αν η f είναι παραγωγίσιμη, να βρείτε όλες τις συναρτήσεις-λύσεις της εξίσωσης $f(x+y) = f(x) + f(y)$

Alan · 22 Ιουλίου 2013

Έστω οι συνεχείς συναρτήσεις f,g:R->R ώστε $f^2(x)+g^2(x)=e^x$

Να δείξετε ότι ισχύει : $\sqrt{(f(x)-h(x))^2 + h^2(x)} - \sqrt{(g(x)-h(x))^2 +h^2(x)}\leq e^\left(x/2 \right)$ για κάθε x e R και για οποιαδήποτε συνάρτηση h:R->R

Έτοιμο!

κατερω · 22-07-13

δε καταλαβα τι ζηταται να δειχθει :/

Alan · 22-07-13

Θα προσπαθήσω να το φτιάξω και θα καταλάβετε

.

Συλλογή ασκήσεων και τεστ στα Μαθηματικά Προσανατολισμού

Νεοφερμένος

Τιμώμενο Μέλος

Πολύ δραστήριο μέλος

Νεοφερμένος

Πολύ δραστήριο μέλος

Νεοφερμένος

Πολύ δραστήριο μέλος

Πολύ δραστήριο μέλος

Νεοφερμένος

Δραστήριο μέλος

Περιβόητο μέλος

Πολύ δραστήριο μέλος

Πολύ δραστήριο μέλος

Πολύ δραστήριο μέλος

Νεοφερμένος

Νεοφερμένος

Πολύ δραστήριο μέλος

Δραστήριο μέλος

Εκκολαπτόμενο μέλος

Δραστήριο μέλος