Βοήθεια/Aπορίες στα Μαθηματικά Προσανατολισμού

Civilara · 24-01-13

Αρχική Δημοσίευση από P@NT?LO$:
i Να μελετησετε ως προς τη μονοτονια και τα ακροτατα και να βρειτε τις ριζες και το προσημο της συναρτησης $f(x)={e}^{x}+x-1$

Η f είναι συνεχής και παραγωγίσιμη στο R με πρώτη παράγωγο f΄(x)=(e^x)+1>1>0 για κάθε x ανήκει R.

Η f είναι συνεχής και παραγωγίσιμη στο R και ισχύει f΄(x)>0 για κάθε x ανήκει R. Επομένως η f είναι γνησίως αύξουσα στο R και συνεπώς και 1-1.

Επειδή lim(x->-oo)(e^x)=0 και lim(x->-oo)(x-1)=lim(x->-oo)x=-oo τότε lim(x->-oo)f(x)=-oo
Επειδή lim(x->+oo)(e^x)=+οο και lim(x->+oo)(x-1)=lim(x->+oo)x=+oo τότε lim(x->+oo)f(x)=+oo

Η f είναι συνεχής και γνησίως αύξουσα στο R, οπότε f(R)=(lim(x->-oo)f(x),lim(x->+oo)f(x))=(-oo,+oo)=R
Επειδή ισχύει f΄(x)>0 για κάθε x ανήκει R τότε η Cf δεν παρουσιάζει ακρότατα

f(0)=(e^0)+0-1=1-1=0

και επειδή η f είναι 1-1 η εξίσωση f(x)=0 έχει μοναδική λύση την x0=0.

x<0 => f(x)<f(0) => f(x)<0 (εφόσον f γνησίως αύξουσα)
x>0 => f(x)>f(0) => f(x)>0 (εφόσον f γνησίως αύξουσα)

Civilara · 25-01-13

Αρχική Δημοσίευση από P@NT?LO$:
ii Να μελετησετε ως προς τα ακροτατα τη συναρτηση $φ(x)=2{e}^{x}+{x}^{2}-2x$ και να βρειτε το προσημο της

φ(x)=2(e^x)+(x^2)-2x, x ανήκει R

Η φ είναι συνεχής και παραγωγίσιμη στο R με πρώτη παράγωγο φ΄(x)=2(e^x)+2x-2=2[(e^x)+x-1]=2f(x), x ανήκει R.

Για x<0 είναι f(x)<0 οπότε φ΄(x)<0
Για x>0 είναι f(x)>0 οπότε φ΄(x)>0
φ΄(0)=2f(0)=2*0=0

Η φ είναι συνεχής στο (-οο,0], παραγωγίσιμη στο (-οο,0) και ισχύει φ΄(x)<0 για κάθε x ανήκει (-οο,0). Άρα η φ είναι γνησίως φθίνουσα στο (-οο,0]. Η φ είναι συνεχής στο [0,+οο), παραγωγίσιμη στο (0,+οο) και ισχύει φ΄(x)>0 για κάθε x ανήκει (0,+οο). Άρα η φ είναι γνησίως αύξουσα στο [0,+οο).

Επομένης η Cφ παρουσιάζει ολικό ελάχιστο στο x0=0 με τιμή φ(0)=2*(e^0)+(0^2)-2*0=2*1+0-0=2

φ(x)>=φ(0) <=> φ(x)>=2>0 για κάθε x ανήκει R

Civilara · 25-01-13

Αρχική Δημοσίευση από P@NT?LO$:
iii Να αποδειξετε οτι οι γραφικες παραστασεις των συναρτησεων $g(x)={e}^{x}-1$ και $h(x)=-\frac{1}{2}{x}^{2}+x$ εχουν μονο ενα κοινο σημειο στο οποιο εχουν κοινη εφαπτομενη

Θεωρούμε την συνάρτηση P με τύπο P(x)=g(x)-h(x), x ανήκει R. Έχουμε:
P(x)=g(x)-h(x)=(e^x)-1+(1/2)(x^2)-x=(e^x)+(1/2)(x^2)-x-1=(1/2)[2(e^x)+(x^2)-2x]-1=(1/2)φ(x)-1

Η P είναι συνεχής και παραγωγίσιμη στο R με πρώτη παράγωγο:
P΄(x)=g΄(x)-h΄(x)=(1/2)φ΄(x)=(1/2)*2f(x)=f(x)

Έχει βρεθεί ότι η f είναι γνησίως αύξουσα στο R, οπότε και η P΄ είναι γνησίως αύξουσα στο R και συνεπώς είναι και 1-1 και η P είναι κυρτή στο R.

Έχουμε
P(0)=(1/2)φ(0)-1=(1/2)*2-1=1-1=0 <=> g(0)-h(0)=0 <=> g(0)=h(0)=β
P΄(0)=f(0)=0 <=> g΄(0)-h΄(0)=0 <=> g΄(0)=h΄(0)=λ

Επειδή η P΄ είναι 1-1 τότε για κάθε x διάφορο 0 ισχύει P΄(x) διάφορο P΄(0), οπότε P΄(x) διάφορο 0 <=> g΄(x) διάφορο h΄(x) για κάθε x ανήκει R*.

Επειδή g(0)=h(0)=β και g΄(0)=h΄(0)=λ τότε οι Cg και Ch έχουν μοναδική κοινή εφαπτομένη στο σημείο (0,β) με εξίσωση:

y-β=λ(x-0) <=> y=λx+β

mary-blackrose · 25-01-13

θα ηθελα αν μπορουσε να μου απαντησει καποιος στην ερωτηση:''γινεται να ισχυει το θεωρημα bolzano και Rolle ταυτοχρονα για μια συναρτηση f ;;; ''
εγω νομιζω πως δεν γινεται,αλλα δεν ειμαι πολυ σιγουρη για την αιτιολογηση :worry:

...αν μπορει και ξερει καποιος ας μου απαντησει αιτιολογημενα!!

rebel · 25-01-13

Eννοείς να ισχύουν ταυτόχρονα οι προϋποθέσεις των θεωρημάτων ή το συμπέρασμα;
Άμα ισχύουν οι προϋποθέσεις του Βολτζάνο για μία $f:[a,b] \to \mathbb{R}$ , οι αριθμοί $f(a),f(b)$ είναι ετερόσημοι, δηλαδή $f(a)<0<f(b)$ ή $f(b)<0<f(a)$ άρα δεν μπορεί να ισχύει $f(a)=f(b)$ που θέλει το $Rolle$ .
Απ' την άλλη γίνεται προφανώς για κατάλληλη συνάρτηση και διάστημα να υπάρχει $x_0 \in (a,b)$ τέτοιο ώστε $f(x_0)=0,\,\,f'(x_0)=0$

Civilara · 25-01-13

Αρχική Δημοσίευση από mary-blackrose:
θα ηθελα αν μπορουσε να μου απαντησει καποιος στην ερωτηση:''γινεται να ισχυει το θεωρημα bolzano και Rolle ταυτοχρονα για μια συναρτηση f ;;; ''
εγω νομιζω πως δεν γινεται,αλλα δεν ειμαι πολυ σιγουρη για την αιτιολογηση...αν μπορει και ξερει καποιος ας μου απαντησει αιτιολογημενα!!

Φυσικά και γίνεται αλλά όχι για το ίδιο διάστημα. Έστω μία συνάρτηση f η οποία είναι συνεχής στο [α,β], παραγωγίσιμη στο (α,β) και f(α)=f(β)=k. Τότε σύμφωνα με το θεώρημα του Rolle υπάρχει τουλάχιστον ένα ξ στο (α,β) τέτοιο ώστε f΄(ξ)=0.

Αν k=0 τότε f(α)=f(β)=0 και η εξίσωση f(x)=0 έχει τουλάχιστον δύο ρίζες στο [α,β] αλλά δεν γνωρίζουμε αν έχει ρίζες στο (α,β).
Αν k διάφορο 0 τότε f(α)f(β)=(k^2)>0 οπότε δεν μπορούμε να βγάλουμε συμπέρασμα αν η εξίσωση f(x)=0 έχει ρίζες στο (α,β).

Για παράδειγμα η συνάρτηση f(x)=(x^2)-1. Η f είναι συνεχής και παραγωγίσιμη στο R με πρώτη παράγωγο f΄(x)=2x

Έχουμε f(-1)=f(1)=0. Η f είναι συνεχής στο [-1,1], παραγωγίσιμη στο (-1,1) και ισχύει f(-1)=f(1). Επομένως σύμφωνα με το θεώρημα Rolle υπάρχει τουλάχιστον ένα ξ στο (-1,1) τέτοιο ώστε f΄(ξ)=0. Στη συγκεκριμένη περίπτωση ξ=0.

Έχουμε f(0)=-1<0 και f(2)=3>0. Επομένως f(0)f(2)<0. Η f είναι συνεχής στο [0,2] και ισχύει f(0)f(2)<0. Επομένως σύμφωνα με το θεώρημα Bolzano υπάρχει τουλάχιστον ένα x0 στο (0,2) τέτοιο ώστε f(x0)=0. Στη συγκεκριμένη περίπτωση x0=1.

GivAS · 25-01-13

Εστω η συναρτηση f συνεχης στο (0,1] παραγωγισιμη στο (0,1) και f(x)>0 για καθε xeR.Αν f(0)=ln2 kai f(1)=ln(e+1), δειξτε οτι υπαρχει ξε(0,1) ωστε f'(ξ)/2ξ=1-e^-f(ξ). (^ --->εις την ...).

Civilara · 25-01-13

Αρχική Δημοσίευση από GivAS:
Εστω η συναρτηση f συνεχης στο [0,1] παραγωγισιμη στο (0,1) και f(x)>0 για καθε xeR.Αν f(0)=ln2 kai f(1)=ln(e+1), δειξτε οτι υπαρχει ξε(0,1) ωστε f'(ξ)/2ξ=1-e^-f(ξ). (^ --->εις την ...).

f(x)>0 <=> -f(x)<0 <=> e^(-f(x))<1 <=> 1-[e^(-f(x))]>0 για κάθε x ανήκει R
f(x)>0 <=> e^f(x)>1 <=> (e^f(x))-1>0 για κάθε x ανήκει R

Θεωρούμε την συνάρτηση g με τύπο g(x)=ln[(e^f(x))-1]-(x^2), x ανήκει R.
Επειδή η f είναι συνεχής στο [0,1] τότε και η g είναι συνεχής στο [0,1]
Επειδή η f είναι παραγωγίσιμη στο (0,1) τότε και η g είναι παραγωγίσιμη στο (0,1) με πρώτη παράγωγο
g΄(x)={(e^f(x))/[(e^f(x))-1]}f΄(x)-2x=[f΄(x)/(1-(e^(-f(x))))]-2x

Έχουμε
g(0)=ln[(e^f(0))-1]-(0^2)=ln[(e^ln2)-1]-0=ln(2-1)=ln1=0
g(1)=ln[(e^f(1))-1]-(1^2)=ln[(e^ln(e+1))-1]-1=ln(e+1-1)-1=lne-1=1-1=0
Άρα g(0)=g(1)=0

Η g είναι συνεχής στο [0,1], παραγωγίσιμη στο (0,1) και ισχύει g(0)=g(1). Επομένως σύμφωνα με το θεώρημα Rolle υπάρχει τουλάχιστον ένα ξ ανήκει (0,1) τέτοιο ώστε g΄(ξ)=0. Συνεπώς

g΄(ξ)=0 <=> [f΄(ξ)/(1-(e^(-f(ξ))))]-2ξ=0 <=> f΄(ξ)/(2ξ)=1-[e^(-f(ξ))]

JKaradakov · 25-01-13

Έχω $f'(1)=1$ και $g(x)=f(x^3+x+1)-1$ για κάθε x που ανήκει R με f παραγωγίσημη και μου ζητάει την εξίσωση της εφαπτομένης (ε) στο Α(1,f(1)). Για ρίξτε κανα τιπ πως να βρω το f(1).

Civilara · 25 Ιανουαρίου 2013

Αρχική Δημοσίευση από JKaradakov:
Έχω $f'(1)=1$ και $g(x)=f(x^3+x+1)-1$ για κάθε x που ανήκει R με f παραγωγίσημη και μου ζητάει την εξίσωση της εφαπτομένης (ε) στο Α(1,f(1)). Για ρίξτε κανα τιπ πως να βρω το f(1).

Ποια είναι η g; Μήπως ζητείται η εφαπτομένη στο A(1,g(1));

Η εξίσωση της εφαπτομένης της Cf στο Α(1,f(1)) είναι η
y=x+f(1)-1

JKaradakov · 25-01-13

Αρχική Δημοσίευση από Civilara:
Ποια είναι η g; Μήπως ζητείται η εφαπτομένη στο A(1,g(1));

Δεν μου δίνει τίποτα άλλο. :whistle:

Όχι ζητάει την εφαπτομένη στο Α(1,f(1)). :/:

Guest 018946 · 25-01-13

ρε μπας και σε λεει οτι το g(0) ειναι γνωστο και καλα ;

P@NT?LO$ · 27-01-13

Έστω συνάρτηση f ορισμένη και συνεχής στο διάστημα [a,b] με $ab\neq 0$ και $f(a)f(b)\neq 0$ και οι μιγαδικοι αριθμοι $z={a}^{2}+if(a)$ , $w={b}^{2}-if(b)$ για τους οποιους ισχυει $\left|\bar{w}+z \right|=\left|w-\bar{z} \right|$

1 Να αποδείξετε ότι το γινόμενο $w⋅z$ είναι φανταστικός αριθμός
2 Να υπολογισετε το οριο $\lim_{x\rightarrow-\propto }\frac{f(a){x}^{3}-f(b)x+5}{f(b){x}^{2}+f(a)x -3}$
3 Να αποδείξετε ότι η γραφική παράσταση της συνάρτησης f έχει με τον άξονα xx′ ένα τουλάχιστον κοινό σημείο.

δν μπορω να κανω τπτ απο αυτα που μου ζηταει HELP!!!

JKaradakov · 27-01-13

Αρχική Δημοσίευση από P@NT?LO$:
Έστω συνάρτηση f ορισμένη και συνεχής στο διάστημα [a,b] με $ab\neq 0$ και $f(a)f(b)\neq 0$ και οι μιγαδικοι αριθμοι $z={a}^{2}+if(a)$ , $w={b}^{2}-if(b)$ για τους οποιους ισχυει $\left|\bar{w}+z \right|=\left|w-\bar{z} \right|$

1 Να αποδείξετε ότι το γινόμενο $w⋅z$ είναι φανταστικός αριθμός
2 Να υπολογισετε το οριο $\lim_{x\rightarrow-\propto }\frac{f(a){x}^{3}-f(b)x+5}{f(b){x}^{2}+f(a)x -3}$
3 Να αποδείξετε ότι η γραφική παράσταση της συνάρτησης f έχει με τον άξονα xx′ ένα τουλάχιστον κοινό σημείο.

δν μπορω να κανω τπτ απο αυτα που μου ζηταει HELP!!!

Δεν την έχω λύσει αλλά φαντάζομαι ότι πρέπει να βγάλει κάποια σχέση μεταξύ των α,β,f(α) και f(β) και μετά κάνε των πολ/μο.Το όριο μετά είναι διαίρεση δύο πολ/μων άρα πέρνεις τους μεγιστοβάθμιους. Και τέλος πρέπει Bolzano που μάλλον θα βγαίνει απο τις σχέσεις που βρήκες στο πρώτο ερώτημα.

P@NT?LO$ · 27-01-13

το πρωτο ερωτημα μπορεις να το κανεις?

vimaproto · 27 Ιανουαρίου 2013

Αρχική Δημοσίευση από P@NT?LO$:
Έστω συνάρτηση f ορισμένη και συνεχής στο διάστημα [a,b] με $ab\neq 0$ και $f(a)f(b)\neq 0$ και οι μιγαδικοι αριθμοι $z={a}^{2}+if(a)$ , $w={b}^{2}-if(b)$ για τους οποιους ισχυει $\left|\bar{w}+z \right|=\left|w-\bar{z} \right|$

1 Να αποδείξετε ότι το γινόμενο $w⋅z$ είναι φανταστικός αριθμός
2 Να υπολογισετε το οριο $\lim_{x\rightarrow-\propto }\frac{f(a){x}^{3}-f(b)x+5}{f(b){x}^{2}+f(a)x -3}$
3 Να αποδείξετε ότι η γραφική παράσταση της συνάρτησης f έχει με τον άξονα xx′ ένα τουλάχιστον κοινό σημείο.

δν μπορω να κανω τπτ απο αυτα που μου ζηταει HELP!!!

3)Αν κάνεις τις πράξεις στην ισότητα των μέτρων που δίνει βρίσκεις $f(a).f(b)+{(ab)}^{2}=0 \Rightarrow f(a).f(b)=-{(ab)}^{2}<0$ που δηλώνει ότι μεταξύ α και β υπάρχει αριθμός ξ ώστε f(ξ)=0

1)
$wz=({a}^{2}+if(a))({b}^{2}-if(b))={(ab)}^{2}+f(a)f(b)+[{b}^{2}f(a)-{a}^{2}f(b))i= 0+[{b}^{2}f(a)-{a}^{2}f(b))i$
=φανταστικός

2) Διαιρείς αριθμητή και παρονομαστή με χ^2 και επειδή 1/χ----> 0 απομένει ${lim}_{x\rightarrow -\propto }\frac{f(a)}{f(b)}.x\rightarrow -\propto$
αφού f(a) και f(b) λέει ότι δεν είναι μηδέν.

Mercury · 28-01-13

Μία επαλήθευση στην παρακάτω,να δώ άν έχω βγάλει σωστό αποτέλεσμα:

Να βρεθεί το λ ώστε το z να είναι πραγματικός αριθμός.
$z=\frac{\lambda +4i}{1+\lambda i}$

Λυση:

$\frac{\lambda +4i}{1+\lambda i}=\frac{\left(\lambda +4i \right)\left(1-\lambda i \right)}{{\lambda }^{2}+1}=\frac{\left(5\lambda \right)+\left(4-{\lambda }^{2} \right)i}{{\lambda }^{2}+1}$
To φανταστικό μέρος πρέπει να ισούται με 0 οπότε:
$Im(z)=\frac{4-{\lambda }^{2}}{{\lambda }^{2}+1}i=0\Rightarrow 4-{\lambda }^{2}=0\Rightarrow \lambda =\pm 2$

greekgohan · 28-01-13

Αρχική Δημοσίευση από Mercury:
Μία επαλήθευση στην παρακάτω,να δώ άν έχω βγάλει σωστό αποτέλεσμα:

Να βρεθεί το λ ώστε το z να είναι πραγματικός αριθμός.
$z=\frac{\lambda +4i}{1+\lambda i}$

Λυση:

$\frac{\lambda +4i}{1+\lambda i}=\frac{\left(\lambda +4i \right)\left(1-\lambda i \right)}{{\lambda }^{2}+1}=\frac{\left(5\lambda \right)+\left(4-{\lambda }^{2} \right)i}{{\lambda }^{2}+1}$
To φανταστικό μέρος πρέπει να ισούται με 0 οπότε:
$Im(z)=\frac{4-{\lambda }^{2}}{{\lambda }^{2}+1}i=0\Rightarrow 4-{\lambda }^{2}=0\Rightarrow \lambda =\pm 2$

Σωστή φαινεται.

Mercury · 28-01-13

Να δείξετε ότι:
${\left(\frac{2+3i}{3-2i} \right)}^{2} +{\left(\frac{3+4i}{4-3i} \right)}^{2}=-2i$
Την συγκεκριμένη όσο και άν την παιδεύω,δεν μου βγαίνει τόσο.Μου βγάζει συνέχεια -2.
Κάνω κάπου λάθος;
Λυση:

${\left(\frac{2+3i}{3-2i} \right)}^{2} +{\left(\frac{3+4i}{4-3i} \right)}^{2}={\left(\frac{2+3i}{-3{i}^{2}-2i} \right)}^{2}+{\left(\frac{3+4i}{-4{i}^{2}-3i} \right)}^{2}={\left(\frac{2+3i}{-i\left(2+3i \right)} \right)}^{2}+{\left(\frac{3+4i}{-i\left(3+4i \right)} \right)}^{2}={\left(\frac{1}{-i} \right)}^{2}+{\left(\frac{1}{-i} \right)}^{2}={\left(\frac{i}{-{i}^{2}} \right)}^{2}+{\left(\frac{i}{-{i}^{2}} \right)}^{2}={\left(\frac{i}{1} \right)}^{2}+{\left(\frac{i}{1} \right)}^{2}={i}^{2}+{i}^{2}=-1-1=-2$

rebel · 28-01-13

Σωστά -2 βγαίνει. Μάλλον λάθος εκφώνηση.

Βοήθεια/Aπορίες στα Μαθηματικά Προσανατολισμού

Περιβόητο μέλος

Περιβόητο μέλος

Περιβόητο μέλος

Εκκολαπτόμενο μέλος

Πολύ δραστήριο μέλος

Περιβόητο μέλος

Νεοφερμένος

Περιβόητο μέλος

Τιμώμενο Μέλος

Περιβόητο μέλος

Τιμώμενο Μέλος

Guest 018946

Επισκέπτης

Νεοφερμένος

Τιμώμενο Μέλος

Νεοφερμένος

Πολύ δραστήριο μέλος

Επιφανές μέλος

Εκκολαπτόμενο μέλος

Επιφανές μέλος

Πολύ δραστήριο μέλος