Βοήθεια/Aπορίες στα Μαθηματικά Προσανατολισμού

aris-bas · 09-01-13

σας ευχαριστω και τους δυο για τις προηγουμενες ασκησεις!!

Civilara · 10 Ιανουαρίου 2013

Αρχική Δημοσίευση από aris-bas:
Καμια ιδεα για την παρακατω....

εστω συναρτηση f συνεχης στο R ωστε να ισχυει :
f(x)+f(x+5)=0 για καθε χ ε R
Να αποδειξετε οτι:
α)η συναρτηση f ειναι περιοδικη
β)υπαρχουν απειροι αριθμοι θ ε R ωστε f(θ)=f(θ+5)

α) f(x)+f(x+5)=0 <=> f(x+5)=-f(x) για κάθε x ανήκει R
Άρα f((x+5)+5)=-f(x+5) => f(x+10)=-f(x+5) => f(x+10)=-(-f(x)) => f(x+10)=f(x) για κάθε x ανήκει R
Επομένως f((x-10)+10)=f(x-10) => f(x)=f(x-10)

Άρα ισχύει f(x+10)=f(x-10)=f(x) για κάθε x ανήκει R

Θα δειχθεί στη συνέχεια με τη μέθοδο της μαθηματικής επαγωγής ότι για κάθε n ανήκει Ν* ισχύει f(x+10n)=f(x) για κάθε n ανήκει R.

Για n=1 η σχέση γίνεται f(x+10)=f(x) που ισχύει
Αν ισχύει f(x+10n)=f(x) τότε θα δειχθεί ότι f(x+10(n+1))=f(x). Έχουμε
f(x+10(n+1))=f(x+10n+10)=f((x+10n)+10)=f(x+10n)=f(x)
Άρα ισχύει f(x+10n)=f(x) για κάθε n ανήκει N*

Με τον ίδιο τρόπο μπορεί να δειχθεί ότι ισχύει f(x-10n)=f(x) για κάθε n ανήκει Ν*

Επομένως ισχύει f(x+10n)=f(x) για κάθε n ανήκει Z*. Άρα η f είναι περιοδική με περίοδο Τ=10.

β) Αν υπάρχει x0 ανήκει R με f(x0)=0 τότε f(x0+5)=-f(x0)=-0=0, οπότε f(x0+5)=f(x0)=0 και επειδή η f είναι περιοδική με περίοδο T=10 τότε ισχύει f(x0+10n)=f(x0)=0=f(x0+5) για κάθε n ανήκει Z*. Άρα τα x για τα οποία x=x0+10n, όπου n ανήκει Z είναι λύσεις της εξίσωσης f(x)=f(x+5).

Αν f(x0) διάφορο 0 τότε f(x0+5)=-f(x0) => f(x0)f(x0+5)=-(f(x0)^2)<0. Επειδή η f είναι συνεχής στο [x0,x0+5] και ισχύει f(x0)f(x0+5)<0 τότε σύμφωνα με το θεώρημα Bolzano υπάρχει τουλάχιστον ένα ξ ανήκει (x0,x0+5) τέτοιο ώστε f(ξ)=0. Ακολουθώντας την προηγούμενη ανάλυση, όλα τα x για τα οποία x=ξ+10n, όπου n ανήκει Z είναι λύσεις της εξίσωσης f(x)=f(x+5).

Επομένως υπάρχουν άπειροι πραγματικοί αριθμοί θ τέτοιοι ώστε f(θ)=f(θ+5).

vimaproto · 09-01-13

Αρχική Δημοσίευση από Aris90:
δινεται ησυναρτηση f(x)=xlnx
ι)να βρειτε την εξισωση της εφαπτομενης της cf σε σημειο Α(α,f(α)), α>ο
ιι)αν η τετμημενη α αυξανει με ρυθμο 2cm/sec να βρειτε το ρυθμο μεταβολης τουεμβαδου που σχηματιζει η εφαπτομενη cf με τους αξονες α=5cm

1) Η εφαπτομένη έχει τη μορφή y=λx+k. λ=f'(a)
f'(x)=lnx+1 ==> λ=f'(a)=lna+1=lnae. To k το προσδιορίζω από τις συντεταγμένες του Α και f(a)=a.lnae+k ==>alna=alnae+k ==> k= -a
Αρα η εφαπτομένη είναι y=xlnae - a

2) Δεν μπορώ να κάνω σχήμα γιαυτό θα σου περιγράψω τη λύση.
Η εφαπτομένη τέμνει τους άξονες τον μεν y στο σημείο y1= -α και τον χ στο σημείο χ1=α/lnαe
Tο τρίγωνο που σχηματίζεται έχει εμβαδόν Ε=½x1*y1=½.a²/lnae που το παραγωγίζω ως προς τον χρόνο και με δοσμένο ότι dα/dt=2 και α=5 καθώς και ln5=1,6 βρίσκω dE/dt=3,1

Τώρα βλέπω ότι έκανα τόσο κόπο και με πρόλαβε άλλος

Civilara · 10-01-13

Αρχική Δημοσίευση από aris-bas:
3)εστω f(x)=x-ln(1+(e^x)) , x ε R
α)να δειξετε οτι f(1)=1+f(-1)
β)να αποδειξετε οτι υπαρχει τουλαχιστον ενα χο ε (-1,1) τετοιο ωστε 2f'(xo)=1
γ)να βρεθει η εφαπτομενη της Cf // x-2y+1=0
δ)να μελετησετε την f ως προς τη μονοτονια
ε)να βρειτε τη θεση της Cf ως προς την εφαπτομενη του (γ) ερωτηματος
ζ)να αποδειξετε οτι lim f(x)=-00
x->-00
η)να βρειτε το lim f(x)
x->+00
θ)να δειξετε οτι η y=x ειναι ασυμπτωτη της Cf.

α) f(x)=x-ln(1+(e^x))=ln(e^x)-ln(1+(e^x))=ln[(e^x)/(1+(e^x))]=ln[1/((e^(-x))+1)]=ln{[((e^(-x))+1]^(-1)}=-ln[((e^(-x))+1], x ανήκει R

f(1)=1-ln(1+(e^1))=1-ln(1+e)=1-ln(1+e)
f(-1)=-ln[((e^(-(-1)))+1]=-ln[(e^1)+1]=-ln(1+e)

Επομένως f(1)=1+f(-1) <=> f(1)-f(-1)=1

β) Η f είναι συνεχής και παραγωγίσιμη στο R με πρώτη παράγωγο:

f΄(x)=(-ln[((e^(-x))+1])΄=1/((e^x)+1)

Η f είναι συνεχής στο [-1,1] και παραγωγίσιμη στο (-1,1). Επομένως σύμφωνα με το θεώρημα μέσης τιμής υπάρχει τουλάχιστον ένα x0 ανήκει (-1,1) τέτοιο ώστε f΄(x0)=(f(1)-f(-1))/(1-(-1))=1/2 <=> 2f΄(x0)=1

γ) (ε): x-2y+1=0 <=> 2y=x+1 <=> y=(1/2)x+(1/2)
Η ευθεία ε έχει συντελεστή διεύθυνσης λε=1/2=f΄(x0)

Για να προσδιοριστεί το x0 λύνουμε την εξίσωση f΄(x0)=1/2
f΄(x0)=1/2 <=> 1/((e^x0)+1)=1/2 <=> (e^x0)+1=2 <=> e^x0=1 <=> x=0
Έχουμε f(0)=0-ln(1+(e^0))=-ln(1+1)=-ln2 και f΄(0)=1/2

Η εφαπτομένη (ζ) της Cf στο σημείο (0,f(0)) έχει εξίσωση:
y-f(0)=f΄(0)(x-0) <=> y=f΄(0)x+f(0) <=> y=(1/2)x-ln2

δ) Έχει βρεθεί ότι f΄(x)=1/((e^x)+1)
Η f είναι συνεχής και παραγωγίσιμη στο R και ισχύει f΄(x)>0 για κάθε x ανήκει R. Επομένως η f είναι γνησίως αύξουσα στο R.

ε) Θεωρούμε την συνάρτηση φ(x)=(e^x)-2(e^(x/2))+1, x ανήκει R. Η συνάρτηση φ είναι συνεχής και παραγωγίσιμη στο R με πρώτη παράγωγο φ΄(x)=(e^x)-(e^(x/2))=(e^(x/2))((e^(x/2))-1)

φ΄(x)=0 <=> e^(x/2)=1 <=> x/2=0 <=> x=0

Η συνάρτηση φ είναι συνεχής στο (-οο,0], παραγωγίσιμη στο (-οο,0) και ισχύει φ(x)<0 για κάθε x ανήκει (-οο,0). Άρα η φ είναι γνησίως φθίνουσα στο (-οο,0].Η συνάρτηση φ είναι συνεχής στο [0,+oo), παραγωγίσιμη στο (0,+oo) και ισχύει φ(x)>0 για κάθε x ανήκει (0,+oo). Άρα η φ είναι γνησίως αύξουσα στο [0,+οο). Επομένως η φ παρουσιάζει ολικό ελάχιστο στο 0 με τιμή φ(0)=1-2+1=0.

x<0 => φ(x)>φ(0) => φ(x)>0
x>0 => φ(x)>φ(0) => φ(x)>0

Επομένως για κάθε x ανήκει R* ισχύει φ(x)>0. Για κάθε x ανήκει R* έχουμε:

φ(x)>0 <=> (e^x)-2(e^(x/2))+1>0 <=> 2(e^(x/2))<(e^x)+1 <=> [2(e^(x/2))]/[(e^x)+1]<1 <=> ln{[2(e^(x/2))]/[(e^x)+1]}<0 για κάθε x ανήκει R*

Θεωρούμε την συνάρτηση g της εφαπτομένης της Cf στο (0,f(0)) με τύπο g(x)=(1/2)x-ln2, x ανήκει R.

Θεωρούμε την συνάρτηση h(x)=f(x)-g(x), x ανήκει R. Έχουμε
h(x)=x-ln(1+(e^x))-(x/2)+ln2=(x/2)+ln[2/(1+(e^x))]=ln(e^(x/2))+ln[2/(1+(e^x))]=ln{[2(e^(x/2))]/(1+(e^x))]}

Έχουμε βρει ότι για κάθε x ανήκει R* ισχύει ln{[2(e^(x/2))]/[(e^x)+1]}<0 <=> h(x)<0 <=> f(x)<g(x)
Για x=0 έχουμε f(0)=g(0)=-ln2

ζ) Θεωρούμε τον μετασχηματισμό u=-x. Επειδή lim(x->-oo)(-x)=+oo, έχουμε
lim(x->-oo)(e^(-x))=lim(u->+oo)(e^u)=+oo

Θεωρούμε τον μετασχηματισμό t=(e^(-x)), οπότε
lim(x->-oo)[1+(e^(-x))]=lim(t->+oo)(1+t)=lim(t->+oo)t=+oo

Θεωρούμε τον μετασχηματισμό s=1+(e^(-x))
lim(x->-oo)ln[1+(e^(-x))]=lim(s->+oo)lns=+oo

Επομένως lim(x->-oo)f(x)=lim(x->-oo){-ln[1+(e^(-x))]}=-oo

η)
lim(x->+oo)(-x)=-oo
lim(x->+oo)(e^(-x))=lim(u->-oo)(e^u)=0
lim(x->+oo)f(x)=lim(x->+oo){-ln[1+(e^(-x))]}=-ln(1+0)=-ln1=-0=0

Άρα lim(x->+oo)f(x)=0

θ) Θα υπολογίσουμε το όριο lim(x->-oo)f΄(x). Έχουμε

Επειδή lim(x->-oo)(e^x)=0 τότε lim(x->-oo)f΄(x)=lim(x->-oo)[1/((e^x)+1)]=1/(0+1)=1/1=1

Θεωρούμε την συνάρτηση P(x)=x. Η P είναι συνεχής και παραγωγίσιμη στο R με πρώτη παράγωγο P΄(x)=1 και ισχύει
lim(x->-oo)P(x)=-oo.
Επειδή lim(x->-oo)f(x)=lim(x->-oo)P(x)=-oo, τότε το όριο lim(x->-oo)[f(x)/P(x)] οδηγεί σε απροσδιόριστη μορφή (-oo)/(-oo). Στη συνέχεια υπολογίζουμε το όριο lim(x->-oo)[f΄(x)/P΄(x)]. Έχουμε:

lim(x->-oo)[f΄(x)/P΄(x)]=lim(x->-oo)f΄(x)=1
Επομένως σύμφωνα με τον 2ο κανόνα De L' Hospital είναι lim(x->-oo)[f(x)/P(x)]=lim(x->-oo)[f΄(x)/P΄(x)]=1

Έχουμε
lim(x->-oo)[f(x)/P(x)]=1 => lim(x->-oo)[f(x)/x]=1=λ

Στη συνέχεια θα υπολογιστεί το όριο lim(x->-oo)[f(x)-λx]=lim(x->-oo)[f(x)-x]. Έχουμε:
lim(x->-oo)[f(x)-λx]=lim(x->-oo)[f(x)-x]=lim(x->-oo)[x-ln(1+(e^x))-x]=lim(x->-oo)[-ln(1+(e^x))]=-ln(1+0)=-ln1=-0=0=β

Επομένως η ευθεία (η) y=λx+β <=> y=x είναι ασύμπτωτη της Cf στο -οο.

Aris90 · 10-01-13

εστω η συναρτηση g(x)=e^f(x)(x-a)(x-b) οπου a,bΕR a<b και f(x) συναρτηση συνεχης στο [a,b] και παραγωγισιμη στο (a,b) ν.δ.ο υπαρχει ξΕ(a,b) τετοιο ωστε
f'(ξ)=a+b-2ξ/(ξ-α)(ξ-β)

και τι πρεπει να πω οταν μου λεει ν.δ.ο οτι εφαρμοζεται το θεωρημα rolle για τη συναρτηση
g(x)=f(x)e^-λx λΕR [a,b]

για την πρωτη ασκηση δεν θελω καποια λυση αλλα καποιο καλο tip ειναι η πρωτη με τετοιο ειδους που κανω

P@NT?LO$ · 10-01-13

Να βρειτε τον τυπο της συναρτησης $f:\Delta \rightarrow R$ στις παρακατω περιπτωσεις

1 $f'(x)+2x{f}^{2}(x)=0$ , $f(x)\neq 0$ $x\varepsilon \Delta=R$ και $f(0)=1$
2 $f'(x)=\frac{1}{{x}^{2}}-\frac{f(x)}{x}$ $x\varepsilon \Delta =R\ast$ και $f(1)=-f(-1)=e$

Ειναι απο τις ασεκησεις 31ιιι,32ιιι του 2ου βιβλιου του μπαρλα σελιδα 89
δεν μπορω να τις λυσω... βοηθεια και καλη χρονια κιολας!!

Civilara · 11-01-13

Αρχική Δημοσίευση από P@NT?LO$:
Να βρειτε τον τυπο της συναρτησης $f:\Delta \rightarrow R$
1 $f'(x)+2x{f}^{2}(x)=0$ , $f(x)\neq 0$ $x\varepsilon \Delta=R$ και $f(0)=1$

f΄(x)+2x(f(x)^2)=0 <=> [f΄(x)/(f(x)^2)]+2x=0 για κάθε x ανήκει R

Θεωρούμε την συνάρτηση g(x)=(1/f(x))-(x^2), x ανήκει R. Επειδή η f είναι παραγωγίσιμη στο R τότε και η g είναι παραγωγίσιμη στο R, οπότε και συνεχής στο R, με πρώτη παράγωγο

g΄(x)=-[((f΄(x))/(f(x)^2))+2x]=-0=0

Η g είναι συνεχής και παραγωγίσιμη στο R και ισχύει g΄(x)=0 για κάθε x ανήκει R. Επομένως υπάρχει πραγματική σταθερά c έτσι ώστε να ισχύει g(x)=c για κάθε x ανήκει R. Έχουμε:

g(0)=(1/f(0))-(0^2)=(1/1)-0=1
g(0)=c

Επομένως c=1. Άρα

g(x)=1 <=> (1/f(x))-(x^2)=1 <=> f(x)=1/((x^2)+1), x ανήκει R

Civilara · 11-01-13

Αρχική Δημοσίευση από P@NT?LO$:
Να βρειτε τον τυπο της συναρτησης $f:\Delta \rightarrow R$

2 $f'(x)=\frac{1}{{x}^{2}}-\frac{f(x)}{x}$ $x\varepsilon \Delta =R\ast$ και $f(1)=-f(-1)=e$

f΄(x)=(1/(x^2))-(f(x)/x) <=> (f(x)/x)+f΄(x)=1/(x^2) <=> f(x)+xf΄(x)=1/x <=> f(x)+xf΄(x)-(1/x)=0, x ανήκει

Θεωρούμε την συνάρτηση g(x)=xf(x)-ln|x|, x ανήκει R*. Επειδή η f είναι παραγωγίσιμη στο R* τότε και η g είναι παραγωγίσιμη στο R*, οπότε και συνεχής στο R*, με πρώτη παράγωγο

g΄(x)=f(x)+xf΄(x)-(1/x)=0 για κάθε x ανήκει R*

Η g είναι συνεχής και παραγωγίσιμη στο (-οο,0) και ισχύει g(x)=0 για κάθε x ανήκει (-οο,0). Επομένως υπάρχει πραγματική σταθερά c1 έτσι ώστε να ισχύει g(x)=c1 για κάθε x ανήκει (-οο,0). Άρα
g(x)=c1 <=> xf(x)-ln|x|=c1 <=> xf(x)=c1+ln|x| <=> f(x)=(c1+ln|x|)/x
Άρα f(x)=(c1+ln(-x))/x, x<0

Η g είναι συνεχής και παραγωγίσιμη στο (0,+oo) και ισχύει g(x)=0 για κάθε x ανήκει (0,+oo). Επομένως υπάρχει πραγματική σταθερά c1 έτσι ώστε να ισχύει g(x)=c1 για κάθε x ανήκει (0,+oo). Άρα
g(x)=c2 <=> xf(x)-ln|x|=c2 <=> xf(x)=c2+ln|x| <=> f(x)=(c2+ln|x|)/x
Άρα f(x)=(c2+lnx)/x, x>0

Γνωρίζουμε ότι f(1)=e και f(-1)=-e

Έχουμε
f(-1)=-c1 και f(-1)=-e => c1=e
f(1)=c2 και f(1)=1 => c2=e

Άρα
f(x)=(e+ln(-x))/x, x<0
f(x)=(e+lnx)/x, x>0

Aris90 · 11-01-13

θελω καποια tips για τις παρακατω ασκησεις

1)για μια συναρτηση f ισχυουν
ι)ειναι συνεχης στο [-α,α],α>0
ιι)ειναι δυο φορες παραγωγισιμη στο (-α,α)
ιιι)f(-α)=f(0)=f(α)
ν.δ.ο οτι υπαρχει ξΕ(-α,α) τετοιο ωστε f''(ξ)=0

2)εστω συναρτηση g(x)=f(x)(x²-1) οπου f(x) συναρτηση παραγωγισιμη δυο φορες στο [-1,1] και η cf διερχεται απο την αρχη 0 του συστηματος των αξονων ν.δ.ο υπαρχει ξΕ(-1,1) τετοιο ωστε g''(ξ)=0

3)δινεται συναρτηση f δυο φορες παραγωγισιμη στο [α,β] α<0<β $f(0)=\frac{\beta f(\alpha )-\alpha f(\beta )}{\beta -\alpha }$
ν.δ.ο υπαρχει ξΕ(α,β) τετοι ωστε f''(ξ)=0

ξερω οτι αυτες οι ασκησεις οτι ειναι απλες αλλα επειδη δεν εχω και την καλυτερη σχεση στα μαθηματικα , επειδη ειναι πρωτες που κανω σε αυτο το κεφαλαιο και παλευω αρκετη ωρα θα χρειαστω καποια tips και βλεπουμε

ευχαριστω εκ'των πρωτερων

rebel · 11-01-13

Αρχική Δημοσίευση από Aris90:
εστω η συναρτηση g(x)=e^f(x)(x-a)(x-b) οπου a,bΕR a<b και f(x) συναρτηση συνεχης στο [a,b] και παραγωγισιμη στο (a,b) ν.δ.ο υπαρχει ξΕ(a,b) τετοιο ωστε
f'(ξ)=a+b-2ξ/(ξ-α)(ξ-β)

και τι πρεπει να πω οταν μου λεει ν.δ.ο οτι εφαρμοζεται το θεωρημα rolle για τη συναρτηση
g(x)=f(x)e^-λx λΕR [a,b]

για την πρωτη ασκηση δεν θελω καποια λυση αλλα καποιο καλο tip ειναι η πρωτη με τετοιο ειδους που κανω

Για την πρώτη άσκηση σου δίνει την συνάρτηση στην οποία θα εφαρμόσεις το θεώρημα Rolle οπότε δεν έχει καμία δυσκολία. Για την δεύτερη πρέπει να αποδείξεις ότι $g(a)=g(b)$

Αρχική Δημοσίευση από Aris90:
θελω καποια tips για τις παρακατω ασκησεις

1)για μια συναρτηση f ισχυουν
ι)ειναι συνεχης στο [-α,α],α>0
ιι)ειναι δυο φορες παραγωγισιμη στο (-α,α)
ιιι)f(-α)=f(0)=f(α)
ν.δ.ο οτι υπαρχει ξΕ(-α,α) τετοιο ωστε f''(ξ)=0

2)εστω συναρτηση g(x)=f(x)(x²-1) οπου f(x) συναρτηση παραγωγισιμη δυο φορες στο [-1,1] και η cf διερχεται απο την αρχη 0 του συστηματος των αξονων ν.δ.ο υπαρχει ξΕ(-1,1) τετοιο ωστε g''(ξ)=0

3)δινεται συναρτηση f δυο φορες παραγωγισιμη στο [α,β] α<0<β $f(0)=\frac{\beta f(\alpha )-\alpha f(\beta )}{\beta -\alpha }$
ν.δ.ο υπαρχει ξΕ(α,β) τετοι ωστε f''(ξ)=0

ξερω οτι αυτες οι ασκησεις οτι ειναι απλες αλλα επειδη δεν εχω και την καλυτερη σχεση στα μαθηματικα , επειδη ειναι πρωτες που κανω σε αυτο το κεφαλαιο και παλευω αρκετη ωρα θα χρειαστω καποια tips και βλεπουμε

ευχαριστω εκ'των πρωτερων

Για τις 1) και 2) βρες κατάλληλα διαστήματα όπου θα εφαρμόσεις το Rolle για την συνάρτηση που δίνεται (f και g αντίστοιχα), κάτι το οποίο βασικά στο δίνει στην εκφώνηση. Στην συνέχεια θα χρειαστεί κι άλλο θεώρημα Rolle για τις f' και g'.
Για την 3) η δοθείσα σχέση γράφεται
$\frac{f(0)-f(a)}{0-a}=\frac{f(b)-f(0)}{b-0}$
ποιο θεώρημα σου έρχεται στο μυαλό βλέποντας αυτή την σχέση; Πριν απαντήσεις σε όλες τις ασκήσεις βεβαιώσου ότι έχεις διαβάσει και χωνέψει το θεώρημα Rolle, και το θεώρημα της μέσης τιμής. Θα σε βοηθήσει να έχεις και μία εικόνα για την γεωμετρική τους ερμηνεία.

aris-bas · 12-01-13

γεια!μηπως μπορει να βοηθησει κανεις στις παρακατω ασκησεις....??? :confused:

1)εστω η συναρτηση f : R->R η οποια ειναι παραγωγισιμη τετοια ωστε f(1)=3 και f(x)>=2x+1 για καθε χ ε R.
α) να αποδειξετε οτι η ευθεια y=2x+1 εφαπτεπται της Cf.
β)να βρειτε το οριο $\lim _{ x\rightarrow 1 }{ \frac { f\left( x \right) -3 }{ \sqrt { x } -1 } }$
γ) αν η f ειναι συνεχης να αποδειξετε οτι υπαρχει ενα τουλαχιστον χο ε (0,1)τετοιο ωστε f(xo)=2xof'(xo)

2)δινεται η συναρτηση f(x)=αlnx-x-2, x>0 α>0
α)να αποδειξετε οτι:
$\lim _{ x\rightarrow { 0 }^{ + } }{ f\left( x \right) =-\infty } ,\lim _{ x\rightarrow +\infty }{ f\left( x \right) =-\infty }$
β)να μελετησετε την f ως προς τη μονοτονια και να αποδειξετε οτι η μεγιστη τιμη της συναρτησης ειναι f(α)
γ)για α=1 αποδειξτε οτι:
ι)η μεγιστη τιμη της f ειναι ελαχιστη
ιι)υπαρχει χο ε (1,e) τετοιο ωστε $f'(xo)=\frac { 2-e }{ e-1 }$

antwwwnis · 12-01-13

Αρχική Δημοσίευση από aris-bas:
γεια!μηπως μπορει να βοηθησει κανεις στις παρακατω ασκησεις....???
1)εστω η συναρτηση f : R->R η οποια ειναι παραγωγισιμη τετοια ωστε f(1)=3 και f(x)>=2x+1 για καθε χ ε R.
α) να αποδειξετε οτι η ευθεια y=2x+1 εφαπτεπται της Cf.
β)να βρειτε το οριο $\lim _{ x\rightarrow 1 }{ \frac { f\left( x \right) -3 }{ \sqrt { x } -1 } }$
γ) αν η f ειναι συνεχης να αποδειξετε οτι υπαρχει ενα τουλαχιστον χο ε (0,1)τετοιο ωστε f(xo)=2xof'(xo)

2)δινεται η συναρτηση f(x)=αlnx-x-2, x>0 α>0
α)να αποδειξετε οτι:
$\lim _{ x\rightarrow { 0 }^{ + } }{ f\left( x \right) =-\infty } ,\lim _{ x\rightarrow +\infty }{ f\left( x \right) =-\infty }$
β)να μελετησετε την f ως προς τη μονοτονια και να αποδειξετε οτι η μεγιστη τιμη της συναρτησης ειναι f(α)
γ)για α=1 αποδειξτε οτι:
ι)η μεγιστη τιμη της f ειναι ελαχιστη
ιι)υπαρχει χο ε (1,e) τετοιο ωστε $f'(xo)=\frac { 2-e }{ e-1 }$

Για την 1.
α)Βλέπεις ανισότητα; υπάρχει ένα ακρότατο κρυμμένο εκεί μέσα. Είναι και παραγωγίσιμη η f. Εχεις θεώρημα ωστε να βρεις το f'(1)! Οπότε και γραφεις την εφαπτομένη της Cf στο (1,3)
β) συζυγης παρασταση και προκύπτει οριο που μοιαζει με οριο παραγώγου (το f'(1))
γ) (αφου σου λέει ειναι παραγωγισιμη δε χρειαζοταν να αναφερει οτι ειναι και συνεχης)
Rolle, Bolzano, δοκίμασες;

rebel · 12-01-13

Αρχική Δημοσίευση από antwwwnis:
αφου σου λέει ειναι παραγωγισιμη δε χρειαζοταν να αναφερει οτι ειναι και συνεχης

Λογικά εννοεί $f'$ συνεχής.

Civilara · 12-01-13

Αρχική Δημοσίευση από aris-bas:
2)δινεται η συναρτηση f(x)=αlnx-x-2, x>0 α>0
α)να αποδειξετε οτι:
$\lim _{ x\rightarrow { 0 }^{ + } }{ f\left( x \right) =-\infty } ,\lim _{ x\rightarrow +\infty }{ f\left( x \right) =-\infty }$
β)να μελετησετε την f ως προς τη μονοτονια και να αποδειξετε οτι η μεγιστη τιμη της συναρτησης ειναι f(α)
γ)για α=1 αποδειξτε οτι:
ι)η μεγιστη τιμη της f ειναι ελαχιστη
ιι)υπαρχει χο ε (1,e) τετοιο ωστε $f'(xo)=\frac { 2-e }{ e-1 }$

α) lim(x->0)(-x-2)=-0-2=-2 <=> lim(x->0-)(-x-2)=lim(x->0+)(-x-2)=-2
lim(x->0+)lnx=-oo => lim(x->0+)(αlnx)=-oo εφόσον α>0
Άρα lim(x->0+)f(x)=lim(x->0+)(αlnx-x-2)=-oo

Θεωρούμε τις συναρτήσεις f1(x)=lnx, x>0 και f2(x)=x, x ανήκει R. Η f1 είναι συνεχής και παραγωγίσιμη στο (0,+οο) με πρώτη παράγωγος f1΄(x)=1/x. Η f2 είναι συνεχής και παραγωγίσιμη στο R με πρώτη παράγωγο f2΄(x)=1. Έχουμε:

lim(x->+oo)[f1΄(x)/f2΄(x)]=lim(x->+oo)(1/x)=0

Έχουμε lim(x->+oo)f1(x)=lim(x->+oo)lnx=+oo και lim(x->+oo)f2(x)=lim(x->+oo)x=+oo. Επειδή lim(x->+oo)f1(x)=lim(x->+oo)f2(x)=+oo τότε ο όριο lim(x->+oo)[f1(x)/f2(x)] οδηγεί σε απροσδιόριστη μορφή (+οο)/(+οο). Επομένως σύμφωνα με τον 2ο κανόνα De L' Hospital είναι:

lim(x->+oo)[f1(x)/f2(x)]=lim(x->+oo)[f1΄(x)/f2΄(x)]=0

Επομένως lim(x->+oo)(lnx/x)=0

Έχουμε
lim(x->+oo)[α(lnx/x)-1]=α*0-1=-1, α>0
Επειδή lim(x->+oo)x=+oo και lim(x->+oo)[α(lnx/x)-1]=-1<0 τότε lim(x->+oo)(αlnx-x)=lim(x->+oo)[x(α(lnx/x)-1)]=-oo
Άρα lim(x->+oo)f(x)=lim(x->+oo)(αlnx-x-2)=-oo

β) Η f είναι συνεχής και παραγωγίσιμη στο (0,+οο) με πρώτη παράγωγο f΄(x)=(α/x)-1. Ισχύει f΄(α)=1

Η f είναι συνεχής στο (0,α], παραγωγίσιμη στο (0,α) και ισχύει f΄(x)>0 για κάθε x ανήκει (0,α). Άρα η f είναι γνησίως αύξουσα στο (0,α].
Η f είναι συνεχής στο [α,+οο), παραγωγίσιμη στο (α,+οο) και ισχύει f΄(x)<0 για κάθε x ανήκει (α,+οο). Άρα η f είναι γνησίως φθίνουσα στο [α,+οο).

Επομένως η f παρουσιάζει ολικό μέγιστο στο α με τιμή f(α)=αlnα-α-2, α>0

γ) Θεωρούμε την συνάρτηση g(α)=f(α)=αlnα-α-2, α>0. Η g είναι συνεχής και παραγωγίσιμη στο (0,+οο) με πρώτη παράγωγο
g΄(α)=lnα. Ισχύει g΄(1)=0

(i) Η g είναι συνεχής στο (0,1], παραγωγίσιμη στο (0,1) και ισχύει g΄(x)<0 για κάθε α ανήκει (0,1). Άρα η g είναι γνησίως φθίνουσα στο (0,1]. Η g είναι συνεχής στο [1,+οο), παραγωγίσιμη στο (1,+οο) και ισχύει g΄(x)>0 για κάθε α ανήκει (1,+οο). Άρα η g είναι γνησίως αύξουσα στο [1,+οο).

Επομένως η g παρουσιάζει ολικό ελάχιστο στο α0=1 με τιμή g(1)=-3.

(ii) Για α=1 έχουμε f(x)=lnx-x-2, x>0. Η f είναι συνεχής και παραγωγίσιμη στο (0,+οο) με πρώτη παράγωγο f΄(x)=(1/x)-1, x>0.
Έχουμε f(1)=-3 και f(e)=-e-1. Η f είναι συνεχής στο [1,e] και παραγωγίσιμη στο (1,e). Επομένως σύμφωνα μμε το θεώρημα μέσης τιμής υπάρχει τουλάχιστον ένα x0 ανήκει (1,e) τέτοιο ώστε:

f΄(x0)=(f(e)-f(1))/(e-1)=(2-e)/(e-1)

aris-bas · 12 Ιανουαρίου 2013

Αρχική Δημοσίευση από aris-bas:
γεια!μηπως μπορει να βοηθησει κανεις στις παρακατω ασκησεις....???
1)εστω η συναρτηση f : R->R η οποια ειναι παραγωγισιμη τετοια ωστε f(1)=3 και f(x)>=2x+1 για καθε χ ε R.
α) να αποδειξετε οτι η ευθεια y=2x+1 εφαπτεπται της Cf.
β)να βρειτε το οριο $\lim _{ x\rightarrow 1 }{ \frac { f\left( x \right) -3 }{ \sqrt { x } -1 } }$
γ) αν η f ειναι συνεχης να αποδειξετε οτι υπαρχει ενα τουλαχιστον χο ε (0,1)τετοιο ωστε f(xo)=2xof'(xo)

2)δινεται η συναρτηση f(x)=αlnx-x-2, x>0 α>0
α)να αποδειξετε οτι:
$\lim _{ x\rightarrow { 0 }^{ + } }{ f\left( x \right) =-\infty } ,\lim _{ x\rightarrow +\infty }{ f\left( x \right) =-\infty }$
β)να μελετησετε την f ως προς τη μονοτονια και να αποδειξετε οτι η μεγιστη τιμη της συναρτησης ειναι f(α)
γ)για α=1 αποδειξτε οτι:
ι)η μεγιστη τιμη της f ειναι ελαχιστη
ιι)υπαρχει χο ε (1,e) τετοιο ωστε $f'(xo)=\frac { 2-e }{ e-1 }$

Στην 1) ο αριθμητής του ορίου είναι f(x)-3x.....συγνωμη είχα κανει λάθος

Civilara · 12 Ιανουαρίου 2013

Αρχική Δημοσίευση από aris-bas:
1)εστω η συναρτηση f : R->R η οποια ειναι παραγωγισιμη τετοια ωστε f(1)=3 και f(x)>=2x+1 για καθε χ ε R.
α) να αποδειξετε οτι η ευθεια y=2x+1 εφαπτεπται της Cf.
β)να βρειτε το οριο $\lim _{ x\rightarrow 1 }{ \frac { f\left( x \right) -3 }{ \sqrt { x } -1 } }$
γ) αν η f΄ ειναι συνεχης να αποδειξετε οτι υπαρχει ενα τουλαχιστον χο ε (0,1)τετοιο ωστε f(xo)=2xof'(xo)

α) f(x)>=2x+1 <=> f(x)-2x>=1 για κάθε x ανήκει R
Θεωρούμε την συνάρτηση g με τύπο g(x)=f(x)-2x. Επειδή η f είναι παραγωγίσιμη στο R τότε και η g είναι παραγωγίσιμη στο R με πρώτη παράγωγο g΄(x)=f΄(x)-2, x ανήκει R. Έχουμε g(1)=f(1)-2=3-2=1 και g΄(1)=f΄(1)-2.

g(x)>=1 <=> g(x)>=g(1) για κάθε x ανήκει R. Επομένως η g παρουσιάζει ολικό (άρα και τοπικό) ελάχιστο στο x1=1.
Η g είναι ορισμένη στο R, παρουσιάζει τοπικό ελάχιστο στο x1=1 και είναι παραγωγίσιμη σε αυτό. Επομένως σύμφωνα με το θεώρημα του Fermat ισχύει g΄(1)=0 <=> f΄(1)=2

Η εφαπτομένη της Cf στο (1,f(1)) έχει εξίσωση:
y-f(1)=f΄(1)(x-1) <=> y-3=2(x-1) <=> y=2x+1

β) Η συνάρτηση f είναι παραγωγίσιμη στο x0=1. Άρα έχουμε:

lim(x->1)[(f(x)-f(1))/(x-1)]=f΄(1) <=> lim(x->1)[(f(x)-3)/(x-1)]=2

Άρα

lim(x->1)[(f(x)-3)/(SQRT(x)-1)]=lim(x->1)[((f(x)-3)(SQRT(x)+1))/((SQRT(x)-1)(SQRT(x)+1)]=lim(x->1)[((f(x)-3)(SQRT(x)+1))/(x-1)]=lim(x->1)[(f(x)-3)/(x-1)]*lim(x->1)(SQRT(x)+1)=2*(SQRT(1)+1)=2*(1+1)=2*2=4

Θεωρούμε την συνάρτηση F με τύπο F(x)=f(x)-3x, x ανήκει R. Επειδή η f είναι παραγωγίσιμη στο R τότε και η F είναι παραγωγίσιμη στο R με πρώτη παράγωγο F΄(x)=f΄(x)-3. Έχουμε F(1)=f(1)-3=3-3=0 και F΄(1)=f΄(1)-3=2-3=-1. Από τον ορισμό της παραγώγου έχουμε:

lim(x->1)[(F(x)-F(1))/(x-1)]=F΄(1) => lim(x->1)[(f(x)-3x)/(x-1)]=-1

Άρα

lim(x->1)[(f(x)-3x)/(SQRT(x)-1)]=lim(x->1)[((f(x)-3x)(SQRT(x)+1))/((SQRT(x)-1)(SQRT(x)+1)]=
=lim(x->1)[((f(x)-3x)(SQRT(x)+1))/(x-1)]=lim(x->1)[(f(x)-3x)/(x-1)]*lim(x->1)(SQRT(x)+1)=
=(-1)*(SQRT(1)+1)=-(1+1)=-2

γ) Για x=0 έχουμε
f(0)>=1 <=> -f(0)<=-1<0

Θεωρούμε την συνάρτηση h με τύπο h(x)=2xf΄(x)-f(x), x ανήκει R. Επειδή η f΄ είναι συνεχής στο [0,1] τότε και η h είναι συνεχής στο [0,1].

Έχουμε

h(0)=-f(0)<0
h(1)=2f΄(1)-f(1)=2*2-3=4-3=1>0
Άρα h(0)h(1)<0

Η h είναι συνεχής στο [0,1] και ισχύει h(0)h(1)<0. Επομένως σύμφωνα με το θεώρημα Bolzano υπάρχει τουλάχιστον ένα x0 ανήκει (0,1) τέτοιο ώστε h(x0)=0 <=> f(x0)=2x0f΄(x0).

χριχρι :) · 13-01-13

Αν f(x)=x^2 x ανήκει R, να αποδείξετε ότι για κάθε α,β ανήκει R ισχύει: f(α)+f(β)≥2f(α+β/2)
Pleaaaase όποιος μπορεί, μου χει σπάσει τα νεύρα...

Civilara · 13-01-13

Αρχική Δημοσίευση από χριχρι :):
Αν f(x)=x^2 x ανήκει R, να αποδείξετε ότι για κάθε α,β ανήκει R ισχύει: f(α)+f(β)≥2f(α+β/2)
Pleaaaase όποιος μπορεί, μου χει σπάσει τα νεύρα...

(α-β)^2>=0 <=> (α^2)+(β^2)-2αβ>=0 <=> (α^2)+(β^2)>=2αβ <=> (α^2)+(β^2)+(α^2)+(β^2)>=(α^2)+(β^2)+2αβ <=>
<=> 2(α^2)+2(β^2)>=(α+β)^2 <=> (α^2)+(β^2)>=((α+β)^2)/2 <=> (α^2)+(β^2)>=2[((α+β)/2)^2] <=> f(α)+f(β)>=2f((α+β)/2)

χριχρι :) · 13-01-13

Αρχική Δημοσίευση από Civilara:
(α-β)^2>=0 <=> (α^2)+(β^2)-2αβ>=0 <=> (α^2)+(β^2)>=2αβ <=> (α^2)+(β^2)+(α^2)+(β^2)>=(α^2)+(β^2)+2αβ <=>
<=> 2(α^2)+2(β^2)>=(α+β)^2 <=> (α^2)+(β^2)>=((α+β)^2)/2 <=> (α^2)+(β^2)>=2[((α+β)/2)^2] <=> f(α)+f(β)>=2f((α+β)/2)

Ευχαριστώ πολύ

JKaradakov · 13-01-13

Έστω συνάρτηση $f:R\rightarrow R$ συνεχής και τέτοια, ώστε $2f(2)<f(0)+f(1)<2f(3)$ . Να αποδείξεται ότι η f δεν είναι 1-1.

Βοήθεια/Aπορίες στα Μαθηματικά Προσανατολισμού

Νεοφερμένο μέλος

Περιβόητο μέλος

Πολύ δραστήριο μέλος

Περιβόητο μέλος

Εκκολαπτόμενο μέλος

Νεοφερμένο μέλος

Περιβόητο μέλος

Περιβόητο μέλος

Εκκολαπτόμενο μέλος

Πολύ δραστήριο μέλος

Νεοφερμένο μέλος

Διάσημο μέλος

Πολύ δραστήριο μέλος

Περιβόητο μέλος

Νεοφερμένο μέλος

Περιβόητο μέλος

Νεοφερμένο μέλος

Περιβόητο μέλος

Νεοφερμένο μέλος

Τιμώμενο Μέλος