Βοήθεια/Aπορίες στα Μαθηματικά Προσανατολισμού

φρι · 19-12-12

πως βρισκουμε την αντιστροφη αυτης της συναρτησης;

f(x)= 1/x - x³ +1

Civilara · 19 Δεκεμβρίου 2012

Αρχική Δημοσίευση από φρι:
πως βρισκουμε την αντιστροφη αυτης της συναρτησης;

f(x)= 1/x - x³ +1

Η f δεν είναι 1-1 αφού f(-1)=f(1)=1 θεωρώντας ως f(x)=(1/x)-(x^3)+1 με πεδίο ορισμού το R*

φρι · 19-12-12

Αρχική Δημοσίευση από Civilara:
Η f δεν είναι είναι 1-1 αφού f(-1)=f(1)=1 θεωρώντας ως f(x)=(1/x)-(x^3)+1

η ασκηση δινει αυτη την εξισωση και με f

0, +oo) --->R και ζηταει το συνολο τιμων της (καλα ,δεν το δινει στην εκφωνηση?! ),ν.δ.ο αντιστρεφεται και οτι ειναι φθινουσα,και μετα λεει : αν θεωρησουμε γνωστο οτι η αντιστροδη ειναι συνεχης τοτε να βρειτε το ορio lim(x-->-oo) f(-1)(χ) -χ / χ+ f(-1)(χ)

οπου f(-1)(x) η αντιστροφη

φρι · 19 Δεκεμβρίου 2012

Αρχική Δημοσίευση από Civilara:
Η f δεν είναι είναι 1-1 αφού f(-1)=f(1)=1 θεωρώντας ως f(x)=(1/x)-(x^3)+1

φιξντ

Civilara · 19-12-12

Αρχική Δημοσίευση από φρι:
f(-1)= 2 σωστα?

f(-1)=(1/(-1))-((-1)^3)+1=-1-(-1)+1=-1+1+1=1

φρι · 19-12-12

Αρχική Δημοσίευση από Civilara:
f(-1)=(1/(-1))-((-1)^3)+1=-1-(-1)+1=-1+1+1=1

ναι λαθος μου :redface:

αρα ειναι λαθος;; αμα εχεις πρωτο τομο του μπαρλα ειναι το θεμα 66 πισω πισω :confused:

Civilara · 19-12-12

Αρχική Δημοσίευση από φρι:
ναι λαθος μου

αρα ειναι λαθος;; αμα εχεις πρωτο τομο του μπαρλα ειναι το θεμα 66 πισω πισω

Γράψε ξανά ολόκληρη την εκφώνηση

φρι · 19-12-12

λοιπον...
...
Έστω f

0, +oo) ---> R ,μια συναρτηση με f(x) = 1/x - x^3 + 1
a.να βρειτε το συνολο τιμων της f
β. να δειξετε οτι υπαρχει η αντιστροφη συναρτηση f(-1)(x) και οτι ειναι γνησιως φθινουσα
γ.αν θεωρησουμε γνωστο οτι η αντιστροφη της f ειναι συνεχης τοτε να βρειτε το οριο ιμ(χ-->-00) [[ f(-1)(x) - x] /[ x + f(-1)(x)] ]

φρι · 19-12-12

με τον ορισμο βγαινει οτι ειναι 1-1

Civilara · 19-12-12

Αρχική Δημοσίευση από φρι:
λοιπον...
...
Έστω f0, +oo) ---> R ,μια συναρτηση με f(x) = 1/x - x^3 + 1
a.να βρειτε το συνολο τιμων της f
β. να δειξετε οτι υπαρχει η αντιστροφη συναρτηση f(-1)(x) και οτι ειναι γνησιως φθινουσα
γ.αν θεωρησουμε γνωστο οτι η αντιστροφη της f ειναι συνεχης τοτε να βρειτε το οριο ιμ(χ-->-00) [[ f(-1)(x) - x] /[ x + f(-1)(x)] ]

(α) Θεωρούμε την συνάρτηση f(x)=(1/x)-(x^3)+1=((-x^4)+x+1)/x με πεδίο ορισμού το A=(0,+oo). Η f είναι συνεχής και παραγωγίσιμη στο (0,+οο) με πρώτη παράγωγο:

f΄(x)=-(1/(x^2))-3(x^2)=-((3(x^4)+1)/(x^2))<0 για κάθε x>0

Η f είναι συνεχής και παραγωγίσιμη στο (0,+οο) και ισχύει f΄(x)<0 για κάθε x στο (0,+οο). Επομένως η f είναι γνησίως φθίνουσα στο (0,+οο) και συνεπώς είναι και 1-1. Άρα η f είναι αντιστρέψιμη.

Επειδή lim(x->0+)(1/x)=+oo και lim(x->0+)(-(x^3)+1)=1 τότε lim(x->0+)f(x)=+oo
Επειδή lim(x->+oo)(1/x)=0 και lim(x->+oo)(-(x^3)+1)=lim(x->+oo)(-(x^3))=-oo τότε lim(x->+oo)f(x)=-oo

Η f είναι συνεχής και γνησίως φθίνουσα στο (0,+οο) οπότε το πεδίο τιμών της είναι το εξής σύνολο:
f(A)=f((0,+oo))=(lim(x->+oo)f(x),lim(x->0+)f(x))=(-oo,+oo)=R => f(A)=R

(β) Επειδή η f είναι 1-1 τότε είναι αντιιστρέψιμη και ισχύει η ισοδυναμία

y=f(x) <=> x=(f-1)(y) για κάθε x ανήκει A, y ανήκει f(A)

Επειδή η f είναι συνεχής τότε και η f-1 είναι συνεχής (έχει αποδειχθεί σε προηγούμενο post)
Επειδή η f είναι γνησίως φθίνουσα τότε και η f-1 είναι γνησίως φθίνουσα (έχει αποδειχθεί σε προηγούμενο post)

(γ) Θεωρούμε την συνάρτηση g(y)=[(f-1)(y)-y]/[(f-1)(y)+y] όπου y ανήκουν f(A)=R για τα οποία (f-1)(y) διάφορο -y

Με αντικατάσταση y=f(x) προκύπτει g(f(x))=[(f-1)(f(x))-f(x)]/[(f-1)(f(x))+f(x)]=[x-f(x)]/[x+f(x)]
Η σύνθεση (gof)(x)=g(f(x)) ορίζεται για εκείνα τα x στο Α για τα οποία f(x) διάφορο -x

Έχουμε

(gof)(x)=g(f(x))=[x-f(x)]/[x+f(x)]=[x-(1/x)+(x^3)-1]/[x+(1/x)-(x^3)+1]=[(x^4)+(x^2)-x-1]/[-(x^4)+(x^2)+x+1]

lim(x->+oo)g(f(x))=lim(x->+oo){[(x^4)+(x^2)-x-1]/[-(x^4)+(x^2)+x+1]}=lim(x->+oo)[(x^4)/(-(x^4))]=lim(x->+oo)(-1)=-1
Άρα lim(x->+oo)g(f(x))=-1

Θεωρούμε τον μετασχηματισμό y=f(x). Επειδή lim(x->+oo)f(x)=-oo τότε έχουμε:

lim(x->+oo)g(f(x))=lim(y->-oo)g(y)

Άρα lim(y->-oo)g(y)=lim(x->+oo)g(f(x))=-1

Καταλήγουμε λοιπόν στο συμπέρασμα ότι

lim(x->-oo)g(x)=-1 <=> lim(x->-oo){[(f-1)(x)-x]/[(f-1)(x)+x]}=-1

φρι · 20-12-12

ευχαριστω πολυυυυυυυ ΅

mary-blackrose · 20-12-12

1)εστω συναρτηση f συνεχης στο R και α>0.Θεωρουμε τον μιγαδικο αριθμο z=x+if(x) , x ε R .Αν ειναι f(α/2)=α/2 , f(3α/2)=-α/2 και για καποιο χο ε (0,2α) ισχυει |z-α|<α ,|2z-α|>=α και |2z-3α|>=α,να αποδειξετε οτι f(α)=0

2)εστω χ , ψ ε R* τετοιοι ωστε:
[(χ^2)-χψ+(ψ^2)] / [(χ^2)+χψ+(ψ^2)] = χ/ψ
να αποδειξετε οτι : 1/3<χ/ψ<1/2

μπορει καποιος να μου τις λυσει αναλυτικα για να καταλαβω γιατι με εχουν μπερδεψει πολυ και οι δυο......... :worry:

rebel · 21 Δεκεμβρίου 2012

2) Αν διαιρέσουμε αριθμητή και παρονομαστή με $y^2$ , η ισότητα γίνεται
$\frac{\frac{x^2}{y^2}-\frac{x}{y}+1}{\frac{x^2}{y^2}+\frac{x}{y}+1}=\frac{x}{y}$
Θέτω $\frac{x}{y}=a$ και η προηγούμενη ισότητα γίνεται
$\frac{a^2-a+1}{a^2+a+1}=a \Rightarrow a^3+2a-1=0$
Άρα το α είναι ρίζα της εξίσωσης $f(t)=0$ όπου $f(t)=t^3+2t-1$ η οποία είναι παραγωγίσιμη με
$f'(t)=3t^2+2>0$ . Άρα η f είναι γνησίως αύξουσα και άρα 1-1. Συνεπώς η α είναι η μοναδική ρίζα της εξίσωσης $f(t)=0$ .
Επιπλέον $f\left(\frac{1}{2}\right)f\left(\frac{1}{3}\right)=\frac{1}{8}\frac{-8}{27}<0$
άρα η μοναδική ρίζα ανήκει στο διάστημα (1/3,1/2) και τελειώσαμε.

Aris90 · 21-12-12

να αποδειξετε οτι η ευθεια x+y=0 ειναι εφαπτομενη της γραφικης παραστασης της συναρτησης
f(x)=x³-6x²+8x
καπoιο tip?

rebel · 21-12-12

Αρχική Δημοσίευση από mary-blackrose:
1)...και για καποιο χο ε (0,2α)...

Μάλλον εννοεί για κάθε $x \in (0,2a)$ . Επειδή
$f\left(\frac{a}{2}\right)f\left(\frac{3a}{2}\right)<0$ από Bolzano υπάρχει τουλάχιστον ένα $\xi \in \left(\frac{a}{2},\frac{3a}{2}\right)$ τέτοιο ώστε $f(\xi)=0$ .

Αν βάλουμε στην δεύτερη ανισότητα όπου χ=ξ παίρνουμε
$|2\xi-a| \geq a \Rightarrow \xi \geq a \,\,\,\acute{\eta}\,\,\,\xi \leq 0$
Η δεύτερη περίπτωση είναι αδύνατη, άρα κρατάμε το $\xi \geq a,\,\,(1)$
και αν βάλουμε στην τρίτη ανισότητα όπου χ=ξ παίρνουμε
$|2\xi-3a| \geq a \Rightarrow \xi \geq 2a\,\,\,\acute{\eta}\,\,\,\xi \leq a$
Η πρώτη περίπτωση είναι αδύνατη, άρα κρατάμε το $\xi \leq a,\,\,(2)$
Από (1) και (2) προκύπτει ότι $\xi =a$
Άρα λοιπόν $f(a)=f(\xi)=0$ και το ζητούμενο αποδείχθηκε.
Η λύση ( όπως και η άσκηση μάλλον ) είναι κλεμμένη από εδώ όπου υπάρχει μία παρόμοια.

rebel · 21-12-12

Αρχική Δημοσίευση από Aris90:
να αποδειξετε οτι η ευθεια x+y=0 ειναι εφαπτομενη της γραφικης παραστασης της συναρτησης
f(x)=x³-6x²+8x
καπoιο tip?

Βρες τα κοινά σημεία ευθείας και γραφικής παράστασης της f. Για να είναι η χ+y=0 εφαπτομένη της γραφικής παράστασης, πρέπει και αρκεί η παράγωγος της f σε κάποιο/α από τα κοινά σημεία να είναι ίση με τον συντελεστή διεύθυνσης της ευθείας (δηλαδή -1 ).

mary-blackrose · 21-12-12

Αρχική Δημοσίευση από styt_geia:
Μάλλον εννοεί για κάθε $x \in (0,2a)$ . Επειδή
$f\left(\frac{a}{2}\right)f\left(\frac{3a}{2}\right)<0$ από Bolzano υπάρχει τουλάχιστον ένα $\xi \in \left(\frac{a}{2},\frac{3a}{2}\right)$ τέτοιο ώστε $f(\xi)=0$ .

Αν βάλουμε στην δεύτερη ανισότητα όπου χ=ξ παίρνουμε
$|2\xi-a| \geq a \Rightarrow \xi \geq a \,\,\,\acute{\eta}\,\,\,\xi \leq 0$
Η δεύτερη περίπτωση είναι αδύνατη, άρα κρατάμε το $\xi \geq a,\,\,(1)$
και αν βάλουμε στην τρίτη ανισότητα όπου χ=ξ παίρνουμε
$|2\xi-3a| \geq a \Rightarrow \xi \geq 2a\,\,\,\acute{\eta}\,\,\,\xi \leq a$
Η πρώτη περίπτωση είναι αδύνατη, άρα κρατάμε το $\xi \leq a,\,\,(2)$
Από (1) και (2) προκύπτει ότι $\xi =a$
Άρα λοιπόν $f(a)=f(\xi)=0$ και το ζητούμενο αποδείχθηκε.
Η λύση ( όπως και η άσκηση μάλλον ) είναι κλεμμένη από εδώ όπου υπάρχει μία παρόμοια.

Ναι όντως ισχύει αυτό που λες γιατί η καθηγήτρια μου μας είπε ότι η άσκηση αυτή είναι από παλιά θέματα του ευκλειδη!!!!

Aris90 · 21-12-12

Αρχική Δημοσίευση από styt_geia:
Βρες τα κοινά σημεία ευθείας και γραφικής παράστασης της f. Για να είναι η χ+y=0 εφαπτομένη της γραφικής παράστασης, πρέπει και αρκεί η παράγωγος της f σε κάποιο/α από τα κοινά σημεία να είναι ίση με τον συντελεστή διεύθυνσης της ευθείας (δηλαδή -1 ).

πως θα βρω τα κοινα σημεια?λιγο πιο αναλυτικα? :/:

rebel · 21-12-12

Θα λύσουμε το σύστημα
y=f(x)
x+y=0
δηλαδή
y=x^3-6x^2+8x
y=-x
εξισώνοντας τα δεύτερα μέλη των εξισώσεων
x^3-6x^2+8x=-x
x(x^2-6x+9)=0
x(x-3)^2=0
x=0 x=3

σορυ για την γραφή. Πρόβλημα του latex

φρι · 21-12-12

τα παιξε το λατεξ. λοιπον,
εστω η συναρτηση f(x)= (x²+x)συνx .
N.α.ο η f(x)=0 εχει μια τουλ ριζα στο (-2,1) και αλλη μια τουλ ριζα στο (1,2)

δε βγαινει με μπολζανο(ακομα και αν σπασω τα διαστηματα)
δοκιμασα και με ατοπο και δε βγαινει

υγ.μεχρι ρολ εχω κανει

Βοήθεια/Aπορίες στα Μαθηματικά Προσανατολισμού

Διάσημο μέλος

Περιβόητο μέλος

Διάσημο μέλος

Διάσημο μέλος

Περιβόητο μέλος

Διάσημο μέλος

Περιβόητο μέλος

Διάσημο μέλος

Διάσημο μέλος

Περιβόητο μέλος

Διάσημο μέλος

Εκκολαπτόμενο μέλος

Πολύ δραστήριο μέλος

Εκκολαπτόμενο μέλος

Πολύ δραστήριο μέλος

Πολύ δραστήριο μέλος

Εκκολαπτόμενο μέλος

Εκκολαπτόμενο μέλος

Πολύ δραστήριο μέλος

Διάσημο μέλος