Ασκήσεις προς επίλυση στους Μιγαδικούς

Sansy16 · 11-09-12

Αρχική Δημοσίευση από Ironboy:
Φιλε μου κατι δεν εχεις γραψεις καλα!!στην 3η σχεση!!

διοτι εαν

${z}_{1}+{z}_{2}+{z}_{3}=0$

Τοτε προφανως το ζητουμεμενο μετρο κανει μηδεν !!

το Ζ1+Ζ2+Ζ3 ειναι διαφορο του μηδενος ευχαριτω ομως καταφερα και τη ελυσα

3v@Ki · 15-09-12

παιδια μια μικρη βοηθεια.... αν [z1]=1 , [z2]=2 , [z3]=4 να δειξετε οτι z1+z2+z3 διαφορο του 0

τα [...] ειναι μετρα και τα 1,2,3 δεικτες

rebel · 15-09-12

Έστω ότι $z_1+z_2+z_3=0$ . Τότε $4=|z_3|=|-z_1-z_2|=|z_1+z_2| \leq |z_1|+|z_2|=1+2=3$ άτοπο. Άρα τελικά $z_1+z_2+z_3 \neq 0$

3v@Ki · 15-09-12

Αρχική Δημοσίευση από styt_geia:
Έστω ότι $z_1+z_2+z_3=0$ . Τότε $4=|z_3|=|-z_1-z_2|=|z_1+z_2| \leq |z_1|+|z_2|=1+2=3$ άτοπο. Άρα τελικά $z_1+z_2+z_3 \neq 0$

αν καταλαβα καλα παιρνεις z1+z2+z3=0 <=> z1 + z2=-z3 <=> [z1 +z2]=[-z3] ..... και μετα τριγωνικη ανισοτητα και βγαινει ατοπο
στο ατοπο ομως δεν πρεπει να προχωραμε παντου με διπλες συνεπαγωγες ωστε αν καταληξουε σε ατοπο να χαρακτηρισουμε λανθασμενη και την αρχικη μας υποθεση? εχω την εντυπωση οτι η <=> που μαρκαρα δεν ισχυει αλλα ισχυει μονο => :hmm:

rebel · 16 Σεπτεμβρίου 2012

Αρχική Δημοσίευση από 3v@Ki:
εχω την εντυπωση οτι η <=> που μαρκαρα δεν ισχυει αλλα ισχυει μονο =>

Ναι πράγματι χρησιμοποιούνται συνεπαγωγές απλές και όχι ισοδυναμίες για την εις άτοπον απαγωγή. Κοίτα εδώ σελίδα 8 τον πίνακα αληθείας που έχει. Θεώρησε τώρα την πρόταση
$p:z_1+z_2+z_3 \neq 0$
και την άρνησή της
$\bar{p}:z_1+z_2+z_3 = 0$
Θέλω να δείξω την αλήθεια της πρότασης p, ισοδύναμα θέλω να δείξω ότι η άρνησή της, $\bar{p}$ , είναι ψευδής. Mε τις συνεπαγωγές που λες (απλά βάλε μόνο προς τα δεξιά βελάκια και όχι διπλή ισοδυναμία) αποδείχθηκε η αλήθεια της συνεπαγωγής $\bar{p} \Rightarrow q$ όπου $q:4 \leq 3$ (ψευδής πρόταση). Έτσι σύμφωνα με την τελευταία γραμμή του πίνακα αληθείας, η $\bar{p}$ είναι ψευδής, επομένως η p είναι αληθής. Αυτή θαρρώ είναι και η ουσία της εις άτοπον απαγωγής.

antonisd95 · 16-09-12

βασικά όπως το έκανε ισχύει η ισοδυναμία γιατί ξεκίνησε από το ότι |z3|=4 και μετά χρησιμοποίησε την υπόθεση.
Αλλά αν ήθελες να ξεκινήσεις από την υπόθεση ότι δηλ. z1+z2+z3 =0 τότε : παιρνεις z1+z2+z3=0 <=> z1 + z2=-z3 <=> [z1 +z2]=[-z3] ..... και μετα τριγωνικη ανισοτητα και βγαινει ατοπο.Στην ισοδυναμία που μάρκαρα δεν μπορείς να γυρίσεις πίσω, αλλά λες: άτοπο άρα [z1 +z2]≠[-z3] <=> z1 + z2 ≠ -z3

rebel · 16-09-12

Αρχική Δημοσίευση από antonisd95:
βασικά όπως το έκανε ισχύει η ισοδυναμία γιατί ξεκίνησε από το ότι |z3|=4 και μετά χρησιμοποίησε την υπόθεση.

Δεν ισχύει η ισοδυναμία σ'αυτό που έγραψα. Αν το έγραφα αναλυτικά θα ήταν
$z_1+z_2+z_3=0 \Rightarrow z_3=-z_1-z_2 \Rightarrow |z_3|=|-z_1-z_2| \Rightarrow \ldots$ κλπ
Χρησιμοποιώ δηλαδή όπως και να χει την υπόθεση $z_1+z_2+z_3=0$

Αρχική Δημοσίευση από antonisd95:
.Στην ισοδυναμία που μάρκαρα δεν μπορείς να γυρίσεις πίσω, αλλά λες: άτοπο άρα [z1 +z2]≠[-z3] <=> z1 + z2 ≠ -z3

Εφόσον δεν μπορείς να γυρίσεις πίσω όπως λες και συνεπώς δεν είναι ισοδυναμία, δεν χρησιμοποιείς το σύμβολο $\Leftrightarrow$ αλλά το $\Rightarrow$ . Και το σωστό είναι "άτοπο άρα $z_1+z_2 +z_3 \neq 0$ " αφού από την άρνηση αυτής της υπόθεσης ( $z_1+z_2+z_3=0$ ) ξεκίνησα για να καταλήξω σε άτοπο. Eξηγώ και στο προηγούμενο μήνυμα με τις λογικές προτάσεις.

antonisd95 · 16-09-12

Γιατί δεν ξεκίνησες από το δεδομένο |z3|=4 και μετά να χρησιμοποιήσεις την υπόθεση;
Απλά έβαλα μαρκαρισμένη ισοδυναμία για να δει ότι είναι λάθος.Βασικά όταν καταλλήξεις σε άτοπο λες : άρα [z1 +z2]≠[-z3] <=> z1 + z2 ≠ -z3
Εδώ δουλεύει η ισοδυναμία αφού τα μέτρα δύο μιδαδικών δεν είναι ίσα, συνεπώς ούτε οι μιγαδικοί είναι ίσοι.
Η ισοδυναμία δεν ισχύει σ'αυτή την περίπτωση : [z1 +z2]=[-z3] <=> z1 + z2 = -z3 γιατί μπορεί αν δύο μιγαδικοί είναι ίσοι τότε και τα μέτρα τους ίσα, αλλά δεν ισχύει ότι αν τα μέτρα ίσα τότε και οι μιγαδικοί ίσοι.

antonisd95 · 16-09-12

νομίζω δεν μπορείς να πας κατευθείαν στο άτοπο άρα $z_1+z_2 +z_3 \neq 0$ , εκτός αν δεν βάλεις πουθενά ισοδυναμίες και βάλεις απλές συνεπαγωγές, ούτως ή άλλος δεν μας ζητάει να δείξουμε και το αντίστροφο.

Thanws · 06-10-12

Ορίστε μία άσκηση και απο εμένα:
Aν Ισχυεί|z|=|w|=|z+w|
να αποδείξετε ότι: z^3=w^3

3v@Ki · 08-10-12

εστω οι μιγαδικοι z1=α+βi και z2= [2-z1(συζυγης)]/[2+z1(συζηγης)] και ισχυει z2-z1 ανηκει στο R τοτε να δειξετε οτι z2-z1=1
(οπου 1,2 στα z1 z2 ειναι δεικτες...συγγνωμη αλλα δνε ξερω να γραφω με latex :/:

) μπορει να με βοηθησει καποιος με αυτη την ασκηση?

rebel · 08-10-12

Μήπως δίνει ότι $\beta \neq 0$ ;
Γιατί αν π.χ. $z_1=2, z_2=0$ τότε $z_2-z_1=-2$

3v@Ki · 08-10-12

Αρχική Δημοσίευση από styt_geia:
Μήπως δίνει ότι $\beta \neq 0$ ;
Γιατί αν π.χ. $z_1=2, z_2=0$ τότε $z_2-z_1=-2$

οχι δεν δινει κανενα αλλο στοιχειο

rebel · 09-10-12

Η άσκηση είναι το θέμα 5 από αυτό το φυλλάδιο και η εκφώνησή της επιβεβαιώνει την υποψία μου ότι πρέπει να δίνει $\beta \neq 0$ . Κάτω από τις εκφωνήσεις υπάρχουν και οι λύσεις. Εκτός από την λύση που έχει στο φυλάδιο να και κάτι διαφορετικό:
Έστω $z_2-z_1=k \in \mathbb{R}$ . Αντικαθιστώντας το $z_2$ στην σχέση που δίνεται παίρνουμε ότι
$k+z_1=\frac{2-\bar{z}_1}{2+\bar{z}_1} \Rightarrow (\bar{z}_1+2)(z_1+k)+\bar{z}_1-2=0 \stackrel{z=a+bi}{\Rightarrow} \\ \left(a^2+2a+b^2+2k+ka+a-2\right)+b(1-k)i=0+0i$
Επειδή τώρα $b \neq 0$ συνεπάγεται ότι $k=1$

Σαρκοθώνιος · 11 Οκτωβρίου 2012

Καλησπέρα θα μπορούσε κάποιος να με βοηθήσει με την εξής άσκηση:
Δίνεται η εξίσωση $z+\frac{2}{z} =2$ με $z\in$ ₵, $z\neq 0$
α) να βρείτε τις ρίζες z1 και z2
β) να αποδείξετε ότι ${{z}_{1}}^{2010}+{{z}_{2}}^{2010}=0$
γ) αν για τους μιγαδικούς w ισχύει $\left|w-4+3i \right|=\left|{z}_{1} -{z}_{2}\right|$ να βρείτε τον γεωμετρικό τόπο των εικόνων του w στο μιγαδικό επίπεδο
δ) για τους μιγαδικούς w του ερωτήματος (γ) να αποδείξετε ότι $3\leq \left|w\right|\leq 7$

Όποιος μπορεί, να με βοηθήσει άμεσα για αυτή την άσκηση. Ευχαριστώ

lowbaper92 · 11-10-12

Αρχική Δημοσίευση από Σαρκοθώνιος:
Καλησπέρα θα μπορούσε κάποιος να με βοηθήσει με την εξής άσκηση:
Δίνεται η εξίσωση $z+\frac{2}{z} =2$ με $z\in$ ₵, $z\neq 0$
α) να βρείτε τις ρίζες z1 και z2
β) να αποδείξετε ότι ${{z}_{1}}^{2010}+{{z}_{2}}^{2010}=0$
γ) αν για τους μιγαδικούς w ισχύει $\left|w-4+3i \right|=\left|{z}_{1} -{z}_{2}\right|$ να βρείτε τον γεωμετρικό τόπο των εικόνων του w στο μιγαδικό επίπεδο
δ) για τους μιγαδικούς w του ερωτήματος (γ) να αποδείξετε ότι $3\leq \left|w\right|\leq 7$

Όποιος μπορεί, να με βοηθήσει άμεσα για αυτή την άσκηση. Ευχαριστώ

2ο θέμα Πανελληνίων 2010

Σαρκοθώνιος · 13-10-12

Καλησπέρα έχω μια απορία σε ένα παράδειγμα απο μία λυμένη άσκηση όπου αναφέρω παρακάτω
$\frac{1}{z}=\frac{1}{{z}_{1}}+\frac{1}{{z}_{2}}=\frac{1}{1+i}+\frac{1}{2+i}=\frac{1-i}{\left(1+i \right)\cdot \left(1-i \right)}+\frac{2-i}{\left(2+i \right)\cdot \left(2-i \right)}=\frac{1-i}{{1}^{2}-{i}^{2}}+\frac{2-i}{{2}^{2}-{i}^{2}}=\frac{1-i}{2}+\frac{2-i}{5}=\color{red}{\left(\frac{1}{2}+\frac{2}{5} \right)-\left(\frac{1}{2}+\frac{1}{5} \right)i}\color{black}{=\frac{9}{10}-\frac{7}{10}i}$ στο κοκκινισμένο σημείο δεν μπορώ να καταλάβω την δεύτερη παρένθεση οπου απο το 2/5 γίνεται 1/5 πως αλλάζει και γίνεται 1/5 απο τα 2/5 που ήταν πριν μπορεί κάποιος να μου την εξηγήσει αναλυτικά παρακαλώ;

ξαροπ · 13-10-12

Δεν είναι 2/5, -1/5 είναι. Για να γράψεις το μιγαδικό αριθμό στην κανονική του μορφή χωρίζεις τους 'συντελεστές' του i από τα υπόλοιπα. Και στα δυο κλάσματα ο συντελεστής του i είναι -1/2, -1/5 αντίστοιχα.

Σαρκοθώνιος · 13-10-12

οκ ευχαριστώ

3v@Ki · 15-10-12

αν πρεπει να αποδειξουμε οτι [z+2i]+[z-i]>= [z+i]+[z] μπορω να πω εστω οτι ισχυει και με ισοδυναμιες να χωρισω τη νανισωση σε μελη και να αποδειξω οτι ισχυει [z+2i]>=[z+i] και παραλληλα οτι ισχυει [z-i]>=[z] ? ειναι σωστο σαν εποδεικτικη μεθοδος η χωλαινει καπου?

Ασκήσεις προς επίλυση στους Μιγαδικούς

Νεοφερμένος

Εκκολαπτόμενο μέλος

Πολύ δραστήριο μέλος

Εκκολαπτόμενο μέλος

Πολύ δραστήριο μέλος

Δραστήριο μέλος

Πολύ δραστήριο μέλος

Δραστήριο μέλος

Δραστήριο μέλος

Νεοφερμένος

Εκκολαπτόμενο μέλος

Πολύ δραστήριο μέλος

Εκκολαπτόμενο μέλος

Πολύ δραστήριο μέλος

Νεοφερμένος

Πολύ δραστήριο μέλος

Νεοφερμένος

Πολύ δραστήριο μέλος

Νεοφερμένος

Εκκολαπτόμενο μέλος