Συλλογή ασκήσεων και τεστ στα Μαθηματικά Προσανατολισμού

dimijim · 15-01-12

Αρχική Δημοσίευση από styt_geia:
To 4β είναι σωστό; Με ένα πρόχειρο σχήμα φαίνεται ότι το σημείο για το οποίο η εφαπτομένη της $C_f$ κόβει τον y'y στο (0,-16) έχει τετμημένη μεγαλύτερη του 1.

Εχεις δίκαιο.
Δικο μου το λαθος.
Το διαστημα ειναι (1,2) κι οχι (0,1)

megazz · 16-01-12

Καλησπέρα μιας και είμαι καινούριος εδω μέσα.

Έχετε καθόλου έξυπνες ασκήσεις στους γεωμετρικούς τόπους - κύκλο ;
Θα περιμένω..

tebelis13 · 09-02-12

Επειδή έχει ψοφήσει λίγο το thread,ποστάρω μια άσκηση αρκετά καλή η οποία δεν ξέρω αν ξεφεύγει απο την ύλη της γ'.
Να μελετηθεί ως προς την συνέχεια η συνάρτηση $f(x)=x-[x]$ όπου $[x]$ το ακέραιο μέρος του x

vavlas · 16-02-12

Αρχική Δημοσίευση από tebelis13:
Επειδή έχει ψοφήσει λίγο το thread,ποστάρω μια άσκηση αρκετά καλή η οποία δεν ξέρω αν ξεφεύγει απο την ύλη της γ'.
Να μελετηθεί ως προς την συνέχεια η συνάρτηση $f(x)=x-[x]$ όπου $[x]$ το ακέραιο μέρος του x

Νομίζω είναι τελείως εκτός λυκείου.

antwwwnis · 18-02-12

Αρχική Δημοσίευση από tebelis13:
Επειδή έχει ψοφήσει λίγο το thread,ποστάρω μια άσκηση αρκετά καλή η οποία δεν ξέρω αν ξεφεύγει απο την ύλη της γ'.
Να μελετηθεί ως προς την συνέχεια η συνάρτηση $f(x)=x-[x]$ όπου $[x]$ το ακέραιο μέρος του x

Έτσι για την ιστορία, πόσταρε τη λύση...

Imadlak · 18-02-12

Αρχική Δημοσίευση από vavlas:
Νομίζω είναι τελείως εκτός λυκείου.

Πρεπει να ειναι...ακεραιο μερος στο λυκειο εγω παντως δεν ειχα ακουσει!

rebel · 18 Φεβρουαρίου 2012

Αν $x_0 \in \mathbb{R} \backslash \mathbb{Z}$ τότε έστω $r$ ο μοναδικός ακέραιος που είναι τέτοιος ώστε $r<x_0<r+1$ . Τότε για κάθε $x \in (r,r+1)$ είναι $f(x)=x-r$ με $\lim_{x \to x_0} f(x)=\lim_{x \to x_0} (x-r)= x_0-r=f(x_0)$ . Άρα η f είναι συνεχής για κάθε $x \in \mathbb{R} \backslash \mathbb{Z}$ .
Έστω τώρα $x_0 \in \mathbb{Z}$ . Είναι
$f(x)= \begin{cases} x-x_0+1, & x \in (x_0-1,x_0) \\ x-x_0, & x \in [x_0,x_0+1) \end{cases}$
επομένως
$\lim_{x \to x_0^-}f(x)=1$
$\lim_{x \to x_0^+}f(x)=0$
Άρα η f δεν είναι συνεχής στους ακέραιους. Συμπερασματικά η f είναι συνεχής στο $\mathbb{R} \backslash \mathbb{Z}$ και ασυνεχής στο $\mathbb{Z}$ .

drosos · 18-02-12

Σαφως και ειναι στο πνευμα της γ λυκειου (Δεν καταλαβα τιποτα

)

tebelis13 · 18-02-12

Αρχική Δημοσίευση από styt_geia:
Αν $x_0 \in \mathbb{R} \backslash \mathbb{Z}$ τότε έστω $r$ ο μοναδικός ακέραιος που είναι τέτοιος ώστε $r<x_0<r+1$ . Τότε για κάθε $x \in (r,r+1)$ είναι $f(x)=x-r$ με $\lim_{x \to x_0} f(x)=\lim_{x \to x_0} (x-r)= x_0-r=f(x_0)$ . Άρα η f είναι συνεχής για κάθε $x \in \mathbb{R} \backslash \mathbb{Z}$ .
Έστω τώρα $x_0 \in \mathbb{Z}$ . Είναι
$f(x)= \begin{cases} x-x_0+1, & x \in (x_0-1,x_0) \\ x-x_0, & x \in [x_0,x_0+1) \end{cases}$
επομένως
$\lim_{x \to x_0^-}f(x)=1$
$\lim_{x \to x_0^+}f(x)=0$
Άρα η f δεν είναι συνεχής στους ακέραιους. Συμπερασματικά η f είναι συνεχής στο $\mathbb{R} \backslash \mathbb{Z}$ και ασυνεχής στο $\mathbb{Z}$ .

Ωραίος.Αυτήν την "λυκειακή" λύση είχα και εγώ στο μυαλό μου.Εκτός λυκείου λύνεται εξίσου εύκολα με την χρήση ακολουθιών.

drosos · 18 Φεβρουαρίου 2012

Έστω συνάρτηση $f : (0,+\infty)\rightarrow R$ για την οποία ισχύει:
$xf'(x)=x{e}^{x}-x+1$
$f(1)=e$
α) Να αποδείξετε ότι ο τύπος της είναι $f(x)={e}^{x}+lnx-x+1$ (4 μόρια)
β) Να μελετήσετε την f ως προς την κυρτότητα και να αποδείξετε ότι έχει ένα σημείο καμπής. (6 μόρια)
γ) Να αποδείξετε οτι η f είναι γνησίως αύξουσα και να βρείτε το σύνολο τιμών της. (5 μόρια)
δ) Να βρείτε το πλήθος των ριζών της εξίσωσης $e^x+lnx-x=5$ (3 μόρια)
ε) Να βρείτε το εμβαδόν που περικλίεται από την f και της ευθείες x=1,x=e. (7 μόρια)

Μιας και μπαινουμε στην τελικη ευθεια ας αρχιζουμε να βαζουμε τετοιες ασκησεις που ζητανε συνηθως πανελληνιες!

vavlas · 22-02-12

Αρχική Δημοσίευση από drosos:
Έστω συνάρτηση $f : (0,+\infty)\rightarrow R$ για την οποία ισχύει:
$xf'(x)=x{e}^{x}-x+1$
$f(1)=e$
α) Να αποδείξετε ότι ο τύπος της είναι $f(x)={e}^{x}+lnx-x+1$ (4 μόρια)
β) Να μελετήσετε την f ως προς την κυρτότητα και να αποδείξετε ότι έχει ένα σημείο καμπής. (6 μόρια)
γ) Να αποδείξετε οτι η f είναι γνησίως αύξουσα και να βρείτε το σύνολο τιμών της. (5 μόρια)
δ) Να βρείτε το πλήθος των ριζών της εξίσωσης $e^x+lnx-x=5$ (3 μόρια)
ε) Να βρείτε το εμβαδόν που περικλίεται από την f και της ευθείες x=1,x=e. (7 μόρια)

Μιας και μπαινουμε στην τελικη ευθεια ας αρχιζουμε να βαζουμε τετοιες ασκησεις που ζητανε συνηθως πανελληνιες!

Βαριέμαι απίστευτα να γράφω την λύση

Δεν έχει νόημα κιόλας ας προσπαθήσει κάποιος που δίνει πανελλήνιες.

stelios1994-4 · 23-02-12

Να υπολογίσετε το ολοκλήρωμα:
$\int_{1/2}^{2}\left|lnx \right|dx$
Βρίσκω f, αλλάζω τα όρια ολοκλήρωσης από $\int_{1/2}^{2}$ σε $\int_{1/2}^{1}$ και $\int_{1}^{2}$ , βρίσκω αρχικές βγάζω αποτέλεσμα. Κάνω κάτι λάθος????

soras7 · 23-02-12

Σωστα τα λες.Η αρχικη της lnx ειναι xlnx - x.

ArminVanBuuren · 26-02-12

[f'(x)-f(x)](x^2+1)=2xf(x)

βρειτε τον τυπο της f αν στο (0,f(0)) εχει εφαπτομενη καθετη στην ευθεια ε: y= -x+1

Civilara · 26-02-12

Αρχική Δημοσίευση από ArminVanBuuren:
[f'(x)-f(x)](x^2+1)=2xf(x)

βρειτε τον τυπο της f αν στο (0,f(0)) εχει εφαπτομενη καθετη στην ευθεια ε: y= -x+1

Η αρχική διαφορική εξίσωση γράφεται ισοδύναμα:

f΄(x)-f(x)=(2x/(x^2+1))f(x) => f΄(x)=((2x/(x^2+1))+1)f(x) => f΄(x)=((x+1)^2/(x^2+1))f(x)

Θεωρούμε την συνάρτηση g(x)=(f(x)e^(-x))/(x^2+1). Εφόσον η f είναι παραγωγίσιμη (στο R) τότε και η g είναι παραγωγίσιμη και αν υπολογίζουμε την παράγωγο προκύπτει αφού αντικαταστήσουμε την παραπάνω εξίσωση τότε προκύπτει g΄(x)=0. Άρα η g είναι σταθερή. Επομένως g(x)=c, όπου c ανήκει R.

g(x)=c => f(x)=c(x^2+1)e^x
Άρα η f έχει παράγωγο f΄(x)=c((x+1)^2)e^x

Από εκφώνηση γνωρίζουμε ότι f΄(0)*(-1)=-1 => f΄(0)=1
Άρα f΄(0)=c => c=1.

Επομένως f(x)=((x+1)^2)e^x

ArminVanBuuren · 01-03-12

f:[α,β]->R παραγωγισιμη α,β ανηκουν στο (0,π/2) f(α)=β f(β)=α και ισχυει ημα/α=ημβ/β

νδο:

α) υπαρχει τουλ ενα ξ (α,β) τ.ωστε

f'(ξ)εφξ + f(ξ)=0

β) υπαρχει τουλ ενα ξ (α,β) τ.ωστε f'(ξ)f'(f(ξ))=1

jjoohhnn · 01-03-12

Αρχική Δημοσίευση από ArminVanBuuren:
f:[α,β]->R παραγωγισιμη α,β ανηκουν στο (0,π/2) f(α)=β f(β)=α και ισχυει ημα/α=ημβ/β

νδο:

α) υπαρχει τουλ ενα ξ (α,β) τ.ωστε

f'(ξ)εφξ + f(ξ)=0

β) υπαρχει τουλ ενα ξ (α,β) τ.ωστε f'(ξ)f'(f(ξ))=1

α. Αντιπαραγώγιση στη δοσμένη εξίσωση και τελικά Rolle για τη g(x)=f(x)ημχ στο [α,β].
β. Τα ίδια και τελικά Rolle για τη φ(χ)= f(f(x))-x στο [α,β].

lostie · 03-03-12

να βρειτε το εμβαδον χωριου των f(x)= (x^2 + 1) /x , της εφαπτομενης στο (1,f(1) ) και της χ=2

tebelis13 · 03-03-12

Έφτιαξα μία άσκηση καλούτσικη,αποκλειστικά για μαθητές.*γέλιο Μότζο-Τζότο/δρακουμέλ/σατανικού χαρακτήρα καρτούν*
Λοιπόν

Nα συγκριθούν οι Κ και Ε !

$E=-\left[\frac{11112+(\int_{0}^{\pi/4}(tanx)^2)+\pi/4}{11117} \right]<br /> K=-\left[\frac{22224+4(\int_{0}^{1/\sqrt{\pi}}\sqrt{\frac{1}{\pi} -x^2})}{22229} \right]$

ArminVanBuuren · 5 Μαρτίου 2012

f παραγωγισημη στο [0,1] με $f(x)>0$ και $f'(x)<-1$ για καθε $x \in [0,1]$

Ισχυει: $F(x)= \int_{a}^{b}f(x)dx * \int_{g}^{x} f(t)dt + \int_{a}^{g}f(x)dx * \int_{x}^{b} f(t)dt$

$0<a<b<g<1$

Ισχυει : $\int_{b}^{g}f(x)dx = 1$

α) νδο $F(x)= - \int_{a}^{x}f(t)dt$

β) νδο ισχυει $F(x)< \frac{{(f(x))}^{2}}{2}$ για καθε $x \in [0,1]$

και αλλη μια..

g(x) = f(x) - 1/x νδο 1/x+1 < g(x+1) - g(x) < 1/x για καθε x>0

Συλλογή ασκήσεων και τεστ στα Μαθηματικά Προσανατολισμού

Διάσημο μέλος

Νεοφερμένος

Πολύ δραστήριο μέλος

Εκκολαπτόμενο μέλος

Διάσημο μέλος

Τιμώμενο Μέλος

Πολύ δραστήριο μέλος

Πολύ δραστήριο μέλος

Πολύ δραστήριο μέλος

Πολύ δραστήριο μέλος

Εκκολαπτόμενο μέλος

Εκκολαπτόμενο μέλος

Νεοφερμένος

Εκκολαπτόμενο μέλος

Περιβόητο μέλος

Εκκολαπτόμενο μέλος

Εκκολαπτόμενο μέλος

Νεοφερμένος

Πολύ δραστήριο μέλος

Εκκολαπτόμενο μέλος