Συλλογή ασκήσεων στην Άλγεβρα

schooliki · 15-01-12

Αρχική Δημοσίευση από vimaproto:
Πες του και την απάντηση ότι είναι -6,5. Τώρα μπήκαν στις δευτεροβάθμιες.

Το θετικό ${x}^{2}+{y}^{2}$ προφανώς δε μπορεί να έχει ελάχιστο -6,5.
Δε μας ενδιαφέρει το ελάχιστο του τριωνύμου ούτε και η Δ. Ψάχνουμε τις δυνατές τιμές του μ, αφού τα χ, y ορίζονται συναρτήσει αυτού. Οι περιορισμοί προκύπτουν από μια ανισότητα με τα χ, y.
την ${(x+y)}^{2}\geq 4xy$ διότι ${(x-y)}^{2}\geq 0$

Guest 018946 · 15-01-12

Αρχική Δημοσίευση από vimaproto:
Δεν καταλαβαίνω τι ζητάς

Βρες μου καποιες πραγματικες τιμες του $x$ , και του $y$ που συμβαινει αυτο και θα καταλαβεις τι ζηταω .

schooliki · 15-01-12

Αρχική Δημοσίευση από schooliki:
x, y, μ πραγματικοί με $x+y=2\mu -4$ και $xy={\mu }^{2}-3\mu +5$
Να βρείτε την ελάχιστη τιμή του ${x}^{2}+{y}^{2}$

${x}^{2}+{y}^{2}={(x+y)}^{2}-2xy={(2\mu -4)}^{2}-2({\mu }^{2}-3\mu +5)=...=2{\mu }^{2}-10\mu +6$ (1)
Για πραγματικούς αριθμούς ισχύει:
${(x-y)}^{2}\geq 0\Leftrightarrow {x}^{2}+{y}^{2}-2xy\geq 0\Leftrightarrow {x}^{2}+{y}^{2}-2xy+4xy\geq 4xy\Leftrightarrow {(x+y)}^{2}\geq 4xy\Leftrightarrow {(2\mu -4)}^{2}\geq 4({\mu }^{2}-3\mu +5)\Leftrightarrow ...\Leftrightarrow \mu \leq -1$ (2)
Ή, αλλιώς σκεπτόμενοι, για να υπάρχουν τα πραγματικά x, y πρέπει να είναι ρίζες μιας εξίσωσης
${z}^{2}-Sz+P=0$ με S=x+y και P=xy. Δηλαδή πρέπει
${\Delta }^{2}={S}^{2} -4P\geq 0\Leftrightarrow {S}^{2}\geq 4P\Leftrightarrow {(x+y)}^{2}\geq 4xy$ κ.λ.π.
Αντικαθιστώντας στην (1) το μ=-1 έχουμε
${x}^{2}+{y}^{2}=18$
Είναι προφανές ότι για μ<-1 αυξάνεται η τιμή της (1). Οπότε η ελάχιστη τιμή είναι το 18.

Guest 018946 · 15-01-12

Αρχική Δημοσίευση από schooliki:
${x}^{2}+{y}^{2}={(x+y)}^{2}-2xy={(2\mu -4)}^{2}-2({\mu }^{2}-3\mu +5)=...=2{\mu }^{2}-10\mu +6$ (1)
Για πραγματικούς αριθμούς ισχύει:
${(x-y)}^{2}\geq 0\Leftrightarrow {x}^{2}+{y}^{2}-2xy\geq 0\Leftrightarrow {x}^{2}+{y}^{2}-2xy+4xy\geq 4xy\Leftrightarrow {(x+y)}^{2}\geq 4xy\Leftrightarrow {(2\mu -4)}^{2}\geq 4({\mu }^{2}-3\mu +5)\Leftrightarrow ...\Leftrightarrow \mu \leq -1$ (2)
Ή, αλλιώς σκεπτόμενοι, για να υπάρχουν τα πραγματικά x, y πρέπει να είναι ρίζες μιας εξίσωσης
${z}^{2}-Sz+P=0$ με S=x+y και P=xy. Δηλαδή πρέπει
${\Delta }^{2}={S}^{2} -4P\geq 0\Leftrightarrow {S}^{2}\geq 4P\Leftrightarrow {(x+y)}^{2}\geq 4xy$ κ.λ.π.
Αντικαθιστώντας στην (1) το μ=-1 έχουμε
${x}^{2}+{y}^{2}=18$
Είναι προφανές ότι για μ<-1 αυξάνεται η τιμή της (1). Οπότε η ελάχιστη τιμή είναι το 18.

Φιλε , ωραιο το ασκησακι σου αλλα ασε μας και λιγο να το σκεφτουμε μην βαζεις λυση μεσα σε μερικες ωρες .Πιστευω οτι ο θεματοθετης αν και μονο αν του ζητηθει η λυση απο καποιο μελος να του την στελνει με πμ . Αλλιως να αφήνουμε την ασκηση για 3-4 μερες αλυτη και αν κανεις δεν την λυσει τοτε ευχαριστως να την επαναφερουμε και να βαλουμε λυση .
ΥΣ: εχω βαλει και γω μια ασκηση στις προηγουμενες σελιδες να βαλω λυση ή κανεις την προσπαθει ..
ΥΣ2 : Schooliki keep going με την θεματοθεσια .

schooliki · 15-01-12

Τάσο, δε θα συνεχίσω. Κακώς άρχισα. Τέτοια θέματα, αφού σε ενδιαφέρουν, θα βρεις στο mathematica και θα τα συζητήσεις με συνομηλίκους σου που ασχολούνται. Μετά τον ένα χρόνο "αγκαλιά" με την ανάλυση, και ως διάλειμμα στα τωρινά, προχθές με κέντρισε το θέμα με τις ρίζες, σε σχέση με τις Legendre. Άλλωστε έχω "κολλήσει πολλά ένσημα", πάντα ως χόμπυ, στην ΕΜΕ. Δυο φορές στον Ευκλείδη, τρεις φορές στο Λύκειο στον Αρχιμήδη. Αλλά δεν είναι δικιά μου "δουλειά" πιά. Βλέπω ότι αγαπάς τα μαθηματικά και χαίρομαι γι' αυτό.
Θα μου επιτρέψεις μόνο μια συμβουλή, που στη έδωσα και από άλλο τόπικ. Οι συμμαθητές δεν είναι εχθροί για να "πολεμήσουμε" μαζί τους. Άμιλλα ναι, πόλεμος όχι.

Guest 018946 · 18 Ιανουαρίου 2012

Δεν ενειχε καμια ειρωνια το κειμενο μου παραπανω δεν ξερω πως το αντιληφθηκες αλλα οντως μου αρεσε η ασκηση σου . Γιαυτο σου ειπα να συνεχισεις γιατι μπορεις να προσφερεις στο τοπικ. Αμα δεν θες να συνεχισεις οκ, εχετε και εξεταστικες, .

Βαλτε καμια ασκηση ρε μαγκες βαρεθηκαμε ......

schooliki · 16-01-12

Αρχική Δημοσίευση από dr.tasos:
Βαλτε καμια ασκηση ρε μαγκες βαρεθηκαμε ......

Άντε ρε μπαγάσα, σου ανεβάζω από πρόσφατο προκριματικό νέων. Στο βιβλίο της ΕΜΕ λύνεται με τη βοήθεια του 1ου ερωτήματος, αλλά βγαίνει και αλλιώς. Δε θέλει γνώσεις, θέλει λίγη φαντασία.
Να βρεθούν οι πραγματικοί αριθμοί x,y,z στην εξίσωση:
$2\sqrt{x-1}+4\sqrt{y-4}+6\sqrt{z-9}=x+y+z$

Guest 018946 · 16-01-12

Αρχική Δημοσίευση από schooliki:
Άντε ρε μπαγάσα, σου ανεβάζω από πρόσφατο προκριματικό νέων. Στο βιβλίο της ΕΜΕ λύνεται με τη βοήθεια του 1ου ερωτήματος, αλλά βγαίνει και αλλιώς. Δε θέλει γνώσεις, θέλει λίγη φαντασία.
Να βρεθούν οι πραγματικοί αριθμοί x,y,z στην εξίσωση:
$2\sqrt{x-1}+4\sqrt{y-4}+6\sqrt{z-9}=x+y+z$

Περιορισμοι : Θελω να οριζονται τα υποριζα οποτε $x \geq 1 \wedge y \geq 4 \wedge z \geq 9$
Θέτω $t^2=x-1 ,\; w^2=y-4 ,\; k^2=z-9$
Η εξισωση γινεται ισοδυναμα $2t+4w+6k=k^2+9+w^2+4+t^2+1 \Leftrightarrow t^2-2t+1+w^2+4-4w+k^2-6k+9 =0 \Leftrightarrow (t-1)^2+(k-3)^2+(w-2)^2=0$ που απο δω παιρνω $t=1 \wedge w=2 \wedge k=3$ που παλι απο δω παιρνω $x-1=1 \Leftrightarrow x=2 \wedge y-4=4 \Leftrightarrow y=8 \wedge z-9=9 \Leftrightarrow z=18$

schooliki · 16-01-12

Άψογος. Ας πω ότι και γω πήγα εξαιρετικά σήμερα.
Μια πιο δύσκολη από την τότε Σοβετική Ένωση.
Να λυθεί στο σύνολο των θετικών ακεραίων η εξίσωση
${x}^{3}-{y}^{3}=xy+61$

Guest 018946 · 16-01-12

βασικα πως λυνονται οι εξισωσεις στους ακεραιους ; ? :confused:

schooliki · 17-01-12

Αρχική Δημοσίευση από dr.tasos:
βασικα πως λυνονται οι εξισωσεις στους ακεραιους ; ?

Ψάχνεις τις ακέραιες λύσεις της εξίσωσης. Χρησιμοποιείς τις ιδιότητες των ακεραίων.
Π.χ. Αν καταλήξεις στο xy=1, στους πραγματικούς δε σημαίνει και πολλά πράγματα, ενώ όταν λύνεις την εξίσωση στους ακέραιους, έχεις ήδη βρεί τις λύσεις, που είναι x=y=1 ή x=y=-1. Στους φυσικούς θα ήταν x=y=1.

Guest 018946 · 18 Ιανουαρίου 2012

Αρχική Δημοσίευση από dr.tasos:
$(ab+ac+bc)^3=abc(a+b+c)^3\Leftrightarrow (b^2=ac~~\acute{\eta}~~c^2=ab~~\acute{\eta}~~a^2=bc)$ Να δειχθει η ισοδυναμια .
Βασανιστήτε μυστηρια πλασματα !!!
Δεν παιζει το βιντεακι τσιμπηστε λινκ https://www.youtube.com/watch?v=iO-dSjq9LLQ
Εδω να σας δω

Επαναφερω και δίνω μια αλλη αντιμετωπιση γιαυτην

Αρχική Δημοσίευση από schooliki:
Άντε ρε μπαγάσα, σου ανεβάζω από πρόσφατο προκριματικό νέων. Στο βιβλίο της ΕΜΕ λύνεται με τη βοήθεια του 1ου ερωτήματος, αλλά βγαίνει και αλλιώς. Δε θέλει γνώσεις, θέλει λίγη φαντασία.
Να βρεθούν οι πραγματικοί αριθμοί x,y,z στην εξίσωση:
$2\sqrt{x-1}+4\sqrt{y-4}+6\sqrt{z-9}=x+y+z$

$\sqrt{x-1}^2+1-2\sqrt{x-1}+\sqrt{y-4}^2+4-4\sqrt{y-4}+\sqrt{z-9}^2+9-6\sqrt{z-9}=0 \Leftrightarrow (\sqrt{x-1}-1)^2+(\sqrt{y-4}-2)^2+(\sqrt{z-9}-3)^2=0$ και απο δω ευκολα προκυπτει $x=2 \wedge y=8 \wedge z=18$

Αρχική Δημοσίευση από Αγγελική!!!:
Όταν θυμηθώ και τα πιο δύσκολα θα τα βάλω..Για την ώρα πάρτε αυτές τις ασκήσεις..
1)Εάν $\mid x\mid \leq 1$ και $\mid y \mid \leq 1$ , να δείξετε ότι $-1\leq \frac{x+y}{1+xy}\leq 1$

Μια αλλη ιδεα γιαυτο ειναι : $-1 \leq \frac{x+y}{xy+1} \leq 1 \Leftrightarrow |\frac{x+y}{xy+1}| \leq 1 \Leftrightarrow |x+y| \leq |xy+1| \Leftrightarrow x^2+y^2+2xy \leq x^2y^2+1+2xy \Leftrightarrow x^2+y^2-x^2y^2-1 \leq 0 \Leftrightarrow (1-x^2)(y^2-1) \leq 0$ που ισχυει αφου μπορει ευκολα να προκυψει απο τον πολλαπλασιασμο των $-(1-x^2) \geq 0 \wedge y^2-1 \geq 0$ αρα εδειχθη .

rebel · 18-01-12

Να μετατρέψετε το $f(x)=4a^2x^4-(b^2+4a^2c^2)x^2+b^2c^2,\, a \neq 0$ σε γινόμενο πρωτοβάθμιων παραγόντων ως προς χ (δηλ. στην μορφή $(k_1x+\lambda_1)(k_2x+\lambda_2)(k_3x+\lambda_3)(k_4x+\lambda_4)$ )

gregory nub · 18-01-12

Αρχική Δημοσίευση από styt_geia:
Να μετατρέψετε το $f(x)=4a^2x^4-(b^2+4a^2c^2)x^2+b^2c^2,\, a \neq 0$ σε γινόμενο πρωτοβάθμιων παραγόντων ως προς χ (δηλ. στην μορφή $(k_1x+\lambda_1)(k_2x+\lambda_2)(k_3x+\lambda_3)(k_4x+\lambda_4)$ )

Θετω χ^2=y και y>=0

$4a^2y^2-(b^2+4a^2c^2)y +b^2c^2$

$\Delta = (b^2+4a^2c^2)^2-16a^2b^2c^2 = b^4 + 8a^2b^2c^2 + 16a^4c^4 -16a^2b^2c^2=b^4-8a^2b^2c^2+16a^4c^4= (b^2-4a^2c^2)^2$

$y1.2= [(b^2+4a^2c^2)+- (b^2-4a^2c^2) ]/8a^2 y1= b^2/4a^2 y2= c^2$

$x^2= b^2/4a^2 \Leftrightarrow x= +-b/2a kai x^2= c^2 \Leftrightarrow x=+-c$

$f(x)= (x-b/2a)(x+b/2a)(x-c)(x+c)$

Guest 018946 · 18 Ιανουαρίου 2012

Αρχική Δημοσίευση από styt_geia:
Να μετατρέψετε το $f(x)=4a^2x^4-(b^2+4a^2c^2)x^2+b^2c^2,\, a \neq 0$ σε γινόμενο πρωτοβάθμιων παραγόντων ως προς χ (δηλ. στην μορφή $(k_1x+\lambda_1)(k_2x+\lambda_2)(k_3x+\lambda_3)(k_4x+\lambda_4)$ )

Μια απο τις καλυτερες που εχεις δωσει ( αν οχι η καλυτερη ) . Λοιπον παμε στην λυση τωρα : Θα θέσω
$t=a^2 \wedge w=b^2 \wedge z=c^2 \wedge y=x^2$ Με ολες τις μεταβλητες να ειναι $x,y,w,t \geq 0$
Οποτε θα παρω ισοδυναμα το $f(y)=4ty^2-(w+4tz)y+wz$
Βγαζω διακρινουσα $\Delta = (w+4tz)^2-16twz \Leftrightarrow \Delta=(w-4tz)^2 \geq 0$ αρα εχει πραγματικες ριζες .
τις : $y_{1}=\frac{w+4tz+w-4tz}{8t} \Leftrightarrow y_{1}=\frac{w}{2t} \vee y_{2}=\frac{w+4tz-w+4tz}{8t} \Leftrightarrow y_{2}=\frac{8tz}{8t} \Leftrightarrow y_{2}=z$ ολες δεκτες αφου ειναι $\geq 0$ λογω των αρχικων περιορισμων που εχουμε θεσει . αρα αυτο παραγοντοποιηται ως εξης : $f(y)=4t(y-z)(y-\frac{w}{4t})$ Κανω την αντικατασταση με τις αρχικες μεταβλητες και εχω $f(x)=4a^2(x^2-c^2)(x^2-\frac{b^2}{4a^2}) \Leftrightarrow f(x)= 4a^2(x-c)(x+c)(x-\frac{b}{2a})(x+\frac{b}{2a} )$ Πρεπει να ναι σωστη . Αλλα οπως και να χει οποιαδηποτε διορθωση δεκτη .

rebel · 18 Ιανουαρίου 2012

Ωραία. Μία συμβουλή μόνο για το latex αν δεν θες να σου βγάζει αυτά τα περίεργα <\br>. Όταν θες να αλλάξεις γραμμή είτε ξεκίνα νέα εξίσωση με $είτε χρησιμοποίησε μέσα στην εξίσωση τον χαρακτήρα αλλαγής γραμμής \\ εκεί που θες να αλλάξει η γραμμή. Επίσης αν θες να αφήσεις κενό στο latex χρησιμοποίησε το \, όσες φορές χρειάζεται ή το \quad για μεγαλύτερο διάστημα. Επεξεργασία: greg έχεις ξεχάσει μπροστά τον συντελεστή <img src=$ , Τάσο ωραία, αν και τα θεσίματα για τα a,b,c,d δεν πολυχρειαζόντουσαν, κατά την ταπεινή μου άποψη." />

Guest 018946 · 18-01-12

Συμφωνω αλλα βαριομουν να γραφω τα τετραγωνα και στο τετραδιο και στο $\LaTeX$ γιαυτο εθεσα να τελειωνω .

Guest 018946 · 20-01-12

Βαζω και μια που αρεσε πολυ αν στεκει η λυση που εχω στο μυαλο μου :
Δινονται οι εξισωσεις :
$x^2+ax+b=0 \quad (1) \quad x^2+cx+d=0 \quad (2)$ με $ac=2(b+d)$ Να αποδειξετε οτι μια τουλαχιστον απο τις παραπανω εξισωσεις εχει πραγματικες ριζες .

rebel · 22-01-12

Έστω $\Delta_1=a^2-4b,\,\Delta_2=c^2-4d$ . Είναι
$\Delta_1+\Delta_2=a^2+c^2-4(b+d)=a^2+c^2-2ac=(a-c)^2 \geq 0$ .
Αν ήταν και οι δύο διακρίνουσες αρνητικές τότες και το άθροισμά τους θα ήταν αρνητικό. Άτοπο, άρα τουλάχιστον μία διακρίνουσα πρέπει να είναι μεγαλύτερη ή ίση του 0. Ισοδύναμα τουλάχιστον μία εκ των (1),(2) έχει λύση στους πραγματικούς.

Guest 018946 · 22-01-12

Ας βαλω και την δικια μου προσεγγιση που διαφερει λιγακι στα σημεια απο του Κωστα .
$\Delta_{1}=a^2-4b \wedge \Delta_{2}=c^2-4d$ Εστω οτι ειναι $a^2 < 4b \wedge c^2 < 4d$ Πολζω κατα μελη αφου ολα ειναι θετικα αρα εχω $(ac)^2 <16bd \Leftrightarrow (b+d)^2 < 4 bd \Leftrightarrow (b-d)^2 < 0 \quad \alpha \tau o\pi o$ αρα ειναι τουλαχιστον μια διακρινουσα απο τις δυο μη αρνητικη αρα εχει ριζες στο $\mathbb{R}$

Συλλογή ασκήσεων στην Άλγεβρα

Δραστήριο μέλος

Guest 018946

Επισκέπτης

Δραστήριο μέλος

Guest 018946

Επισκέπτης

Δραστήριο μέλος

Guest 018946

Επισκέπτης

Δραστήριο μέλος

Guest 018946

Επισκέπτης

Δραστήριο μέλος

Guest 018946

Επισκέπτης

Δραστήριο μέλος

Guest 018946

Επισκέπτης

Πολύ δραστήριο μέλος

Διάσημο μέλος

Guest 018946

Επισκέπτης

Πολύ δραστήριο μέλος

Guest 018946

Επισκέπτης

Guest 018946

Επισκέπτης

Πολύ δραστήριο μέλος

Guest 018946

Επισκέπτης