Συλλογή ασκήσεων και τεστ στα Μαθηματικά Προσανατολισμού

rebel · 13-12-11

Το ωραίο σε αυτή την άσκηση είναι ότι εκμεταλλεύεσαι το πεδίο τιμών και την μονοτονία για να βρεις τα συγκεκριμένα όρια ενώ συνήθως στις ασκήσεις γίνεται το αντίστροφο. Δηλαδή ζητείται το σύνολο τιμών το οποίο στην συνέχεια βρίσκεται μέσω των ορίων.

το ξ στο latex είναι \xi

Αρχική Δημοσίευση από chrislg:
να και ορισμένες συναρτησιακές σχέσεις : https://www.mathematica.gr/forum/viewtopic.php?f=111&t=3460&p=106991

Αν πέσουν αυτά στις πανελλήνιες θα κλάψουνε μανούλες λέμε

. Eξαιρούνται ίσως κάποιες του τύπου "εύρεσης αρχικής συνάρτησης"

qwerty111 · 13-12-11

Αρχική Δημοσίευση από styt_geia:
Το ωραίο σε αυτή την άσκηση είναι ότι εκμεταλλεύεσαι το πεδίο τιμών και την μονοτονία για να βρεις τα συγκεκριμένα όρια ενώ συνήθως στις ασκήσεις γίνεται το αντίστροφο. Δηλαδή ζητείται το σύνολο τιμών το οποίο στην συνέχεια βρίσκεται μέσω των ορίων.

Έστω μια συνάρτηση f γνωσίως μονότονη στο R και όχι απαραίτητα συνεχής. Υπάρχει περίπτωση να μην υπάρχουν τα όρια στο + άπειρο και - άπειρο;

drosos · 13-12-11

Αρχική Δημοσίευση από styt_geia:
Το ωραίο σε αυτή την άσκηση είναι ότι εκμεταλλεύεσαι το πεδίο τιμών και την μονοτονία για να βρεις τα συγκεκριμένα όρια ενώ συνήθως στις ασκήσεις γίνεται το αντίστροφο. Δηλαδή ζητείται το σύνολο τιμών το οποίο στην συνέχεια βρίσκεται μέσω των ορίων.

το ξ στο latex είναι \xi

Αν πέσουν αυτά στις πανελλήνιες θα κλάψουνε μανούλες λέμε . Eξαιρούνται ίσως κάποιες του τύπου "εύρεσης αρχικής συνάρτησης"

Α τωρα το πατατηρησα οτι δεν βγηκε το ξ

Ναι για αυτο με πηρε κανα 10 λεπτο να το σκεφτω :redface:

Αρχική Δημοσίευση από qwerty111:
Έστω μια συνάρτηση f γνωσίως μονότονη στο R και όχι απαραίτητα συνεχής. Υπάρχει περίπτωση να μην υπάρχουν τα όρια στο + άπειρο και - άπειρο;

Ολο και καποια δικλαδη θα μας κανει την ζημια

.... Δεν ξερω να σου απαντησω ομως σιγουρα :hmm:

Οποιος θελει ας λυσει το θεμα Γ ή το Δ απο εδω(τσαμπα το φτιαχνα

)
https://www.filedropper.com/file_163

qwerty111 · 13-12-11

Δεν μπόρεσα να βρω κάποιο αντιπαράδειγμα.

Demlogic · 14-12-11

Αρχική Δημοσίευση από styt_geia:
Έστω $f:\mathbb{R}\to (0,+\infty)$ γνησίως αύξουσα και συνεχής. Δείξτε ότι η εξίσωση $f(x)e^x=1$ έχει ακριβώς μία ρίζα στο $\mathbb{R}$

https://www.operedidixe.gr/

σχετικά με τη λύση που παρέθεσε το παλικάρι, ενας καθηγητής μου λέει οτι το R->[X,X1] δε σημαίνει οτι [X,X1] ειναι ΣΥΝ.ΤΙΜ αλλα οτι το συνολο τιμών ανήκει σε αυτό το διάστημα :$ εσεις τι λετε;

rebel · 14-12-11

Έχεις δίκιο, ίσως η εκφώνηση έπρεπε να λέει " έστω $f:\mathbb{R}\to (0,+\infty)$ με $f(\mathbb{R})=(0,+\infty)$ " κάτι το οποίο έχει υποτεθεί σιωπηρά.

drosos · 14-12-11

Εμας μας εχει πει οτι οταν λεει R->R τοτε δεν ξερουμε ποιο ειναι το συνολο τιμων(απλως δηλωνει μια πραγματικη συναρτηση)
R->[kati,kati+d] σημαινει οτι αυτο ειναι το συνολο τιμων της συναρτησης

rebel · 14 Δεκεμβρίου 2011

Αρχική Δημοσίευση από qwerty111:
Έστω μια συνάρτηση f γνωσίως μονότονη στο R και όχι απαραίτητα συνεχής. Υπάρχει περίπτωση να μην υπάρχουν τα όρια στο + άπειρο και - άπειρο;

Αν είναι γνησίως μονότονη πάντα υπάρχουν τα όρια στο άπειρο ανεξάρτητα απ' το αν είναι συνεχής η όχι. Ας υποθέσουμε χωρίς βλάβη ότι είναι γνησίως αύξουσα και ας θεωρήσουμε το όριο στο $+\infty$ . Χοντρικά υπάρχουν δύο περιπτώσεις
α) Η f δεν "φράσσεται" από πάνω, δεν υπάρχει δηλαδή k τέτοιο ώστε $f(x)<k,\,\, \forall x \in \mathbb{R}$ . Tότε αφού είναι γνησίως αύξουσα και δεν περιορίζεται από πουθενά, αυξάνει απεριόριστα. Άρα $\lim_{x\to +\infty}f(x)=+\infty$
β) Yπάρχει k τέτοιο ώστε $f(x)<k,\,\, \forall x \in \mathbb{R}$ και η απόσταση $f(x)-k$ να τείνει στο 0 καθώς το χ μεγαλώνει. Για παράδειγμα $f(x)=-1/x,\,\,k=0$ . Τότε προφανώς $\lim_{x\to +\infty}f(x)=k$
Ανάλογα σκεφτόμαστε για τα όρια στο $-\infty$ με f γνησίως μονότονη κ.τ.λ.
οπότε σε κάθε περίπτωση το όριο, έστω και διαισθητικά, καταλαβαίνουμε ότι υπάρχει, ανεξάρτητα απ' το αν η f είναι συνεχής επαναλαμβάνω, διότι πάντα θα αναγόμαστε σ' αυτές τις δύο περιπτώσεις. Συγγνώμη που δεν παρέχω την πλήρη απόδειξη αλλά κάτι τέτοιο θα περιλάμβανε αναγκαστικά πράγματα εκτός σχολικής ύλης όπως τον αυστηρό ορισμό του ορίου στο άπειρο και την έννοια του ελάχιστου άνω φράγματος (supremum).

Metal-Militiaman · 14-12-11

Αρχική Δημοσίευση από Rempeskes:
Πιο σωστά, "υπάρχει χ_0 με g(x_0)>0" και
"...υπάρχει x_1 με g(x_1)<0".

Υγ. μηπως πρέπει η f να είναι και επί;

σωστά πρέπει να είναι και επί δηλαδή $f(\mathbb{R})=(0,+\infty)$
για παράδειγμα για την $f(x)={e}^{x}+{e}^{-x}$ ενώ ισχύει $f :\mathbb{R} \rightarrow (0,+\infty)$ , η εξίσωση $f(x){e}^{x}=1$ δεν έχει ρίζα στο $\mathbb{R}$ .

drosos · 14-12-11

Τι σημαινει επι?

rebel · 14 Δεκεμβρίου 2011

Μία $f:X \to Y$ είναι επί αν $f(X)=Y$ . Αν δηλαδή για κάθε $y\in Y$ υπάρχει $x \in X$ τέτοιο ώστε $f(x)=y$ . Στο παραπάνω πρόβλημα θεωρήσαμε και οι δύο λανθασμένα ότι $f(\mathbb{R})=(0,+\infty)$ ότι είναι επί δηλαδή, ενώ κάτι τέτοιο δεν δίνεται. Συμπτωματικά το ίδιο πρόβλημα τέθηκε εδώ λίγο μετά.

Αρχική Δημοσίευση από Metal-Militiaman:
για παράδειγμα για την $f(x)={e}^{x}+{e}^{-x}$ ...

Η υπόθεση της άσκησης λέει ότι η f πρέπει να είναι γνήσια αύξουσα.

Demlogic · 15-12-11

Αρχική Δημοσίευση από drosos:
Εμας μας εχει πει οτι οταν λεει R->R τοτε δεν ξερουμε ποιο ειναι το συνολο τιμων(απλως δηλωνει μια πραγματικη συναρτηση)
R->[kati,kati+d] σημαινει οτι αυτο ειναι το συνολο τιμων της συναρτησης

και εγώ κάτι τέτοιο έχω συμπαιράνει να σου πω την αλήθεια αν και απο τι ξερω στις πανελληνιες αποκλειεται να το εχουν σε τετοια μορφη

Metal-Militiaman · 15-12-11

Αρχική Δημοσίευση από styt_geia:
Η υπόθεση της άσκησης λέει ότι η f πρέπει να είναι γνήσια αύξουσα.

Δίκιο έχεις δεν το παρατήρησα.Δε βρίσκω κάποιο αντιπαράδειγμα και μάλλον όντως ισχύει ότι υπάρχει τελικά ρίζα, απλά η λύση που έδωσε ένα παιδί πιο πάνω με τα όριο δεν είναι τόσο αυστηρή διότι δε λέει πουθενά πως η f είναι επί.Αλλά καλό είναι να μη κολλάμε στον να είναι επί ή όχι, γιατί η λύση της ίσως και να μην χρειάζεται αυτή την ιδιότητα. Χρειάζεται απλά περαιτέρω αιτιολόγηση για την ύπαρξη και σύγκλιση των ορίων της f όταν το χ τείνει στο συν/πλην άπειρο.

drosos · 27-12-11

Παιδια γραφω αυριο απο μιγαδικους μεχρι και ρυθμο μεταβολης για αυτο αν μπορειτε βαλτε καμια ασκησουλα σε αυτα τα κεφαλαια

diaryofdreams · 03-01-12

Εστω συναρτηση f:R=>R συνεχης
, αν για καποιο α ανηκει στο R ειναι f(f(a))=a
, νδο η εξισωση f(x)=x εχει 1 τουλαχιστο ριζα στο R

Civilara · 03-01-12

Αρχική Δημοσίευση από diaryofdreams:
Εστω συναρτηση f:R=>R συνεχης
, αν για καποιο α ανηκει στο R ειναι f(f(a))=a
, νδο η εξισωση f(x)=x εχει 1 τουλαχιστο ριζα στο R

Η συνάρτηση g με τύπο g(x)=f(x)-x είναι συνεχής στο R ως άθροισμα συνεχών συναρτήσεων στο R.

Για x=a έχουμε g(a)=f(a)-a
Για x=f(a) έχουμε g(f(a))=f(f(a))-f(a)=a-f(a)=-(f(a)-a)

Αν f(a)=a τότε g(f(a))=g(a)=0 και η εξίσωση g(x)=0 έχει ρίζα την x=a.

Αν f(a)<a τότε g(a)<0 και g(f(a))>0. Συνεπώς η g είναι συνεχής στο [f(a),a] και g(f(a))g(a)<0. Οπότε σύμφωνα με το θεώρημα Bolzano υπάρχει τουλάχιστον ένα x1 στο (f(a),a) ώστε g(x1)=0

Αν f(a)>a τότε g(a)>0 και g(f(a))<0. Συνεπώς η g είναι συνεχής στο [a,f(a)] και g(a)g(f(a))<0. Οπότε σύμφωνα με το θεώρημα Bolzano υπάρχει τουλάχιστον ένα x2 στο (a,f(a)) ώστε g(x2)=0

Επομένως σε κάθε περίπτωση η g(x)=0 <=> f(x)=x έχει τουλάχιστον μία πραγματική ρίζα.

diaryofdreams · 03-01-12

καλη χρονια .. ειμουν ετοιμος να γραψω την απαντηση αλλα με προλαβες , ωραια τα εγραψες και αναλυτικα

drosos · 14-01-12

Τωρα που πλησιαζουμε προς το τελος της υλης(πιστευω οι περισσοτεροι θα χου φθασει ΘΜΤ και συνεπειες) δεν αρχιζουμε να ζεσταινουμε το θεμα

dimijim · 15 Ιανουαρίου 2012

Ανεβάζω εδώ ένα διαγώνισμα στα μαθηματικά κατεύθυνσης.
Η ύλη είναι από την αρχή της ανάλυσης έως και τον ρυθμό μεταβολής.
Το επίπεδό του πιστεύω πως είναι αρκετά καλό, έως και δύσκολο.
Ο χρόνος που δίνεται είναι 3 ώρες.
Όποιος συναντήσει πρόβλημα με κάποιο θέμα ας το πει για να δώσω τη λύση.
Αν δε βαρεθώ μπορεί να γράψω και τις λύσεις και να τις ανεβάσω όλες. (λίγο δύσκολο αυτό αλλά δεν το αποκλείω...)

* Το διαγώνισμα ΔΕΝ έχει θεωρία. Είναι μόνο ασκήσεις.

ΣΗΜΕΙΩΣΗ: Στο ΘΕΜΑ 4β, το διαστημα της τετμημενης ειναι (1,2) κι όχι (0,1) οπως γραφει το διαγωνισμα.

rebel · 14-01-12

To 4β είναι σωστό; Με ένα πρόχειρο σχήμα φαίνεται ότι το σημείο για το οποίο η εφαπτομένη της $C_f$ κόβει τον y'y στο (0,-16) έχει τετμημένη μεγαλύτερη του 1.

Συλλογή ασκήσεων και τεστ στα Μαθηματικά Προσανατολισμού

Πολύ δραστήριο μέλος

Πολύ δραστήριο μέλος

Πολύ δραστήριο μέλος

Πολύ δραστήριο μέλος

Πολύ δραστήριο μέλος

Πολύ δραστήριο μέλος

Πολύ δραστήριο μέλος

Πολύ δραστήριο μέλος

Νεοφερμένος

Πολύ δραστήριο μέλος

Πολύ δραστήριο μέλος

Πολύ δραστήριο μέλος

Νεοφερμένος

Πολύ δραστήριο μέλος

Νεοφερμένος

Περιβόητο μέλος

Νεοφερμένος

Πολύ δραστήριο μέλος

Διάσημο μέλος

Συνημμένα

Πολύ δραστήριο μέλος