Συλλογή ασκήσεων στην Άλγεβρα

rebel · 21-11-11

Αρχική Δημοσίευση από Aris1412:
Nα αποδειξετε οτι :

i) x² + y² ≥ 2xy για καθε x,y $\epsilon \mathbb{R}$

ii)αν για τους πραγματικους αριθμους a,b και c ισχυουν οι σχεσεις: $\frac{a}{b}=\frac{b}{c}=\frac{c}{d}$
τοτε b² + c² ≤ a² + d²

Αρχική Δημοσίευση από styt_geia:
Αν $a,b>0$ με $a+b=1$ δείξτε ότι:

i) $ab \leq \frac{1}{4}$

ii) $\left(a+\frac{1}{a}\right)^2+\left(b+\frac{1}{b}\right)^2 \geq \frac{25}{2}$

Αρχική Δημοσίευση από ξαροπ:
Και μερικές ακόμη ασκήσεις πάνω στις ανισότητες.

(όπου a,b,c, > 0 και x,y,z πραγματικοί)
5. $x^4-x^2-3x+4 > 0$

(*)6. $a^4 + a^3 -8a^2+4a+4 >0$

Αρχική Δημοσίευση από Αγγελική!!!:
Bρείτε τις τιμές των απόλυτων-->
α) $\mid 2x-1\mid=1-x$
β) $\mid 3-4x\mid =1-2x$
γ) $\mid 2x-1\mid +3 =x$
δ) $5-\mid x-1\mid = 2x$
ε) $3x+\mid4-2x \mid = 1$
στ) $\mid5-3x\mid = \mid x-1 \mid$
ζ) $\mid4x+3\mid+1 = 0$

Eπαναφορά.

akis95 · 21-11-11

τι ειναι αυτη η επαναφορα που λενε ολοι?/

Αγγελική!!! · 21-11-11

Εννοεί ο Κώστας επαναφορά των ασκήσεων που δεν έχουν λυθεί από τους υπόλοιπους, δηλαδή τις παραθέτει ξανά για λύση ( αφού δεν απαντήθηκαν)!!!
Ορίστε και μία άλλη άσκηση-->
Δίνεται η παράσταση-->
$A=\frac{36{\alpha }^{2}-36\alpha \beta -72\alpha +72\beta }{{\alpha }^{4}-3{\alpha }^{2}-{\alpha }^{2}{\beta }^{2}+4{\beta }^{2}}$
α) Να απλοποιήσετε την παράσταση Α
β)Να υπολογίσετε την παράσταση Α όταν $\alpha ={2}^{12} \times {25}^{6}\times {(-10)}^{-11}$ και $\beta =\frac{{({2}^{-4})}^{-5}\times {({2}^{2})}^{-9}}{{8}^{8}\times ({\frac{1}{4}})^{11}}$

transient · 21-11-11

τη δική μου πάντως της ΕΜΕ δεν την επαναφέρατε

Αγγελική!!! · 21-11-11

Αρχική Δημοσίευση από Luminous:
τη δική μου πάντως της ΕΜΕ δεν την επαναφέρατε

Είναι αυτή η άσκηση για επαναφορά????

lol

rebel · 21-11-11

Αρχική Δημοσίευση από Luminous:
πηγή: ΕΜΕ

Έχεις δίκιο δεν πήγα τόσο πίσω. Τώρα έχουμε...

vimaproto · 21-11-11

-2<χ<5 η οποία μπορεί να είναι έτσι -2<x<0<5 από την -2<χ<0 => 4>χ²>0 Αρα χ²>0 ή έτσι -2<0<χ<5 οπότε 0<χ<5 => 0<χ²<25 Τελικά 0<χ²<25 (2) Προσθέτω τις (1)+(2) και παίρνω 1<χ²+y²<125

1) Τάσο δεν πρόσεξες ότι μοίρασα την περιοχή του χ σε δύο. Στην αρνητική και στην θετική και κατέληξα στο ίδιο αποτέλεσμα.
2) Δεν ξέρω πόσο είσαστε εξοικιωμένοι με τις διατάξεις , αλλά τα διαφορετικά αποτελέσματα που φαίνονται από πρώτη όψη ότι υπάρχουν , συμφωνούν. Ο σκοπός είναι να βρεθεί το μικρότερο σύνολο τιμών του αθροίσματος.
Τάσο έγραψα 1<χ²+y²<125 και εσύ 0<χ²+y²<163 Η περιοχή μου είναι πιο περιορισμένη από τη δική σου. Αλήθεια πρόσεξες ότι ποτέ δεν θα πάρει τιμές μεταξύ 0 και 1 ? Αρα είναι πλεονασμός να κρατήσεις αυτό το τμήμα (0,1) τιμών της χ²+y² . Το ίδιο και για το τμήμα (125,163). Με την λογική σου θα μπορούσαμε να πάρουμε την περιοχή τιμών από το μηδέν μέχρι το άπειρο. Και αυτό ισχύει. Για σκέψου το.

rebel · 24 Νοεμβρίου 2011

Αρχική Δημοσίευση από Luminous:
πηγή: ΕΜΕ

Αν γράψουμε τον κάθε αριθμό σε δεκαδικό ανάπτυγμα και αφαιρέσουμε, έχουμε:
$x-y=99999(a-\zeta)+9990(\beta-\epsilon)+900(\gamma-\delta)$

Για το μέγιστο έχουμε $a-\zeta,\beta-\epsilon, \gamma-\delta \leq 8$ . Επειδή όμως τα ψηφία είναι διαφορετικά μεταξύ τους, οι διαφορές αυτές θα παίρνουν τις τιμές 8, 6(αμέσως μικρότερη), 4(αμέσως μικρότερη) και αφού $99999>9990>900$ θα είναι $a-\zeta=8,\,\beta-\epsilon=6,\,\gamma-\delta=4$ και $a=9,\,\zeta=1,\,\beta=8,\,\epsilon=2\,\gamma=7,\,\delta=3$ οπότε $x=987321,\,y=123789$
Για το ελάχιστο έχουμε κατ' αρχάς $a>\zeta$ , αφού $x>y$ και η ελάχιστη τιμή που μπορεί να πάρει η διαφορά $a-\zeta$ είναι 1. Άρα $(a,\zeta)$ μπορεί να είναι οποιοδήποτε από τα ζεύγη $(9, 8 ),(8,7),(7,6),(6,5),(5,4),(4,3),(3,2),(2,1)$ . Επίσης $\beta-\epsilon,\,\gamma-\delta \geq -8$ οπότε οι δυνατές τιμές για τις διαφορές αυτές είναι -8, -6(αμέσως μεγαλύτερη) και αφού $9990>900$ είναι $\beta-\epsilon=-8,\,\gamma-\delta=-6$ οπότε $\beta=9,\,\epsilon=1,\,\gamma=2,\,\delta=8$ και δυνατές τιμές για τους αριθμούς x,y - εξαιρώντας τα ζεύγη $(9, 8 )(8,7)(2,1)(3,2)$ από τις πιθανές τιμές των $a,\,\zeta$ αφού πρέπει τα ψηφία να είναι όλα διαφορετικά είναι:

$(792816 , 618297), (692815, 518296), (592814, 418295),(492813,318294)$

Αγγελική!!! · 25 Νοεμβρίου 2011

Άσκηση στο διαγώνισμα-->
Αν $\alpha ,\beta ,\gamma \in R$ * και ισχύει η σχέση $\alpha +2\beta +3\gamma =0$
να δείξετε ότι από τους αριθμούς $\alpha \beta ,\alpha \gamma ,\beta \gamma$ δύο είναι αρνητικοί και ένας είναι θετικός!

Guest 018946 · 25-11-11

Αρχική Δημοσίευση από Αγγελική!!!:
Άσκηση στο διαγώνισμα-->
Αν $\alpha ,\beta ,\gamma \in R$ και ισχύει η σχέση $\alpha +2\beta +3\gamma =0$
να δείξετε ότι από τους αριθμούς $\alpha \beta ,\alpha \gamma ,\beta \gamma$ δύο είναι αρνητικοί και ένας είναι θετικός!

σιγουρα αυτη ειναι η εκφωνηση γιατι για πχ α=β=γ=0 που επαληθευουν την αρχικη . ολα ειναι μηδεν κανενας αρνητικος

Αγγελική!!! · 25-11-11

Δεν το ξέρουμε ότι όλα είναι θετικά γιατί για παράδειγμα το α μπορεί να είναι ίσο με -2

Guest 018946 · 25-11-11

Αρχική Δημοσίευση από Αγγελική!!!:
Δεν το ξέρουμε ότι όλα είναι θετικά γιατί για παράδειγμα το α μπορεί να είναι ίσο με -2

το α=β=γ=0 το 0 ανηκει στο R και επαληθευει την αρχικη. Νομιζω οτι η ασκηση καπου χανει.

Αγγελική!!! · 25-11-11

μπορεί το να ήταν όμως και α=0 β=-3 γ=2
βγαίνει σωστό και έτσι

Guest 018946 · 25-11-11

Αρχική Δημοσίευση από Αγγελική!!!:
μπορεί το να ήταν όμως και α=0 β=-3 γ=2
βγαίνει σωστό και έτσι

εσυ μας λες ομως οτι ειναι $a,b,c \in \mathbb{R}$ αρα μπορουν να παρουν $a=b=c=0$

Αγγελική!!! · 25-11-11

ναι αλλά μπορούν να πάρουν και πολλές άλλες τιμές....

antwwwnis · 25-11-11

Αρχική Δημοσίευση από Αγγελική!!!:
Άσκηση στο διαγώνισμα-->
Αν $\alpha ,\beta ,\gamma \in R$ * και ισχύει η σχέση $\alpha +2\beta +3\gamma =0$
να δείξετε ότι από τους αριθμούς $\alpha \beta ,\alpha \gamma ,\beta \gamma$ δύο είναι αρνητικοί και ένας είναι θετικός!

Έστω ότι είναι και οι τρεις αρνητικοί.
Αν πχ α<0 τότε β>0 και γ>0 υποχρεωτικά. Τότε βγ θετικός. Άτοπο.

Έστω ότι είναι και οι τρεις θετικοί. Διακρίνουμε περιπτώσεις:
Αν πχ α<0 τότε β<0 και γ<0 άτοπο λόγο της αρχικής ισότητας( θα βγει αρνητική η παρασταση διάφορη του 0).
Αν πχ α>0 τότε πάλι άτοπο.

Έστω ότι είναι οι δύο θετικοί και ο άλλος αρνητικός.
Περιπτώσεις και πάλι. Τρεις για την ακρίβεια. Πάλι άτοπο θα βγει.

Οπότε μας έμεινε μόνο η περίπτωση με τους δύο αρνητικούς και τον ένα θετικό.
Μη θέλει κι ένα παράδειγμα; :hmm:

rebel · 25-11-11

Nομίζω πέρα από την περίπτωση να είναι α,β,γ<0 ή α,β,γ>0 που προφανώς καταλήγουμε σε άτοπο λόγω της ισότητας, αρκεί να ελέγξουμε τις περιπτώσεις:
α) Ένας από τα α,β,γ αρνητικός, δύο θετικοί
β) Δύο από τα α,β,γ αρνητικοί , ένας θετικός
και φτάνουμε εύκολα στο ζητούμενο.

vimaproto · 26-11-11

Εχει δίκαιο ο τασος. Θα σου απαριθμήσω και άλλες τριάδες. α=1, β=1 , γ=-1, καθώς και (α=1, β=1 , γ=-1),(α=6, β=3 , γ=-4), (α=9, β=3 , γ=-5) κλπ άπειρες.

Αγγελική!!! · 26-11-11

Την διόρθωσα την ερώτηση είναι (R* = όλες τις τιμές εκτός του 0) ( δεν το ήξερα ότι το R* σήμαινε αυτό!!!)

Guest 018946 · 26 Νοεμβρίου 2011

Αρχική Δημοσίευση από styt_geia:
Αν $a,b>0$ με $a+b=1$ δείξτε ότι:

i) $ab \leq \frac{1}{4}$

ii) $\left(a+\frac{1}{a}\right)^2+\left(b+\frac{1}{b}\right)^2 \geq \frac{25}{2}$

Η πρωτη ειναι απλη εφαρμογη της $(x+y)^2 \geq 4xy$ η δευτερη εχει μανουρα .
Λοιπον παμε :
$1-2ab + \frac{a^2+b^2}{a^2b^2} \geq \frac{17}{2} \Leftrightarrow 1-2ab + \frac{1-2ab}{a^2b^2} \geq \frac{17}{2}$
Θέτω $x=ab$ οποτε η αποδεικτεα γινεται $4x^{3}+15x^{2}+4χ \leq 2$ Κατασκευαζω απο το πρωτο ερωτημα ολα τα $x$ προσθετω κατα μελη στην συνεχεια προσθετω το 2 και ( λογικα προκυπτει το ζητουμενο ) . Οποια διορθωση δεκτη γιατι λογικα εχει γινει μαλακια.

Συλλογή ασκήσεων στην Άλγεβρα

Πολύ δραστήριο μέλος

Δραστήριο μέλος

Δραστήριο μέλος

Πολύ δραστήριο μέλος

Δραστήριο μέλος

Πολύ δραστήριο μέλος

Πολύ δραστήριο μέλος

Πολύ δραστήριο μέλος

Δραστήριο μέλος

Guest 018946

Επισκέπτης

Δραστήριο μέλος

Guest 018946

Επισκέπτης

Δραστήριο μέλος

Guest 018946

Επισκέπτης

Δραστήριο μέλος

Διάσημο μέλος

Πολύ δραστήριο μέλος

Πολύ δραστήριο μέλος

Δραστήριο μέλος

Guest 018946

Επισκέπτης