Ασκήσεις στο κεφάλαιο των Μιγαδικών

Demlogic · 16 Νοεμβρίου 2011

Είπα να ανοίξουμε ένα θέμα για να βάζουμε ασκήσεις μόνο μιγαδικών, μιας και αυτό το κεφάλαιο μου είναι ιδιαίτερα αγαπητό, και καλό είναι να λύνουμε ασκησούλες μέχρι το τέλος για να μη τις ξεχάσουμε.

Μια που σκέφτηκα εγώ.
Δίνεται ό,τι w=(x²+y²-1)-4i και |2z+3i|=wi , x,yER. z,wEC

Να βρείτε τον Γεωμετρικό τόπο του z και του α=x+yi με x,yER
:hmm:

ελπίζω να σας δυσκολέψει

Κανείς δε μπορει; :-P

Guest 278211 · 16-11-11

O w είναι φανταστικός, άρα χ²+y²=1 (μήπως α=x+yi, ώστε α Ε κύκλο με κέντρο Ο(0,0) και r=1? )
|z+3/2i|=2, o z Ε κύκλο με κέντρο Κ(0,-2/3) και ακτίνα ρ=2

Demlogic · 16 Νοεμβρίου 2011

Αρχική Δημοσίευση από Guest 278211:
O w είναι φανταστικός, άρα χ²+y²=1 (μήπως α=x+yi, ώστε α Ε κύκλο με κέντρο Ο(0,0) και r=1? )
|z+3/2i|=2, o z Ε κύκλο με κέντρο Κ(0,-2/3) και ακτίνα ρ=2

σωστός

εύκολη;

Ενας μοντ να το κάνει α=x+yi

Guest 278211 · 17-11-11

Αρχική Δημοσίευση από Demlogic:
σωστH
εύκολη;

Μια χαρά είναι ούτε εύκολη ούτε δύσκολη. Είναι στο σωστό επίπεδο.

Iliaso · 17-11-11

Αρχική Δημοσίευση από Guest 278211:
O w είναι φανταστικός, άρα χ²+y²=1 (μήπως α=x+yi, ώστε α Ε κύκλο με κέντρο Ο(0,0) και r=1? )
|z+3/2i|=2, o z Ε κύκλο με κέντρο Κ(0,-2/3) και ακτίνα ρ=2

Το ότι w ειναι φανταστικός από που το συμπέρανες;

dimitris001 · 17-11-11

O w είναι φανταστικός, άρα χ²+y²=1 (μήπως α=x+yi, ώστε α Ε κύκλο με κέντρο Ο(0,0) και r=1? )
|z+3/2i|=2, o z Ε κύκλο με κέντρο Κ(0,-2/3) και ακτίνα ρ=2

Έχεις δίκιο αλλά επέτρεψέ μου να σου πω ότι το κέντρο του κύκλου είναι Κ(0,-3/2)...ωραία άσκηση!!!!

Guest 278211 · 17-11-11

Αρχική Δημοσίευση από Econ:
Το ότι w ειναι φανταστικός από που το συμπέρανες;

αφού ο wi ισούται με μέτρο, τότε o wi E R, και μάλιστα wi>=0
επομένως, w=ki με k<=0 και από την πρώτη εξίσωση k=-4

Αρχική Δημοσίευση από dimitris001:
Έχεις δίκιο αλλά επέτρεψέ μου να σου πω ότι το κέντρο του κύκλου είναι Κ(0,-3/2)...ωραία άσκηση!!!!

όντως... δίκιο έχεις... το έγραψα ανάποδα :redface:

Demlogic · 17-11-11

Αρχική Δημοσίευση από dimitris001:
Έχεις δίκιο αλλά επέτρεψέ μου να σου πω ότι το κέντρο του κύκλου είναι Κ(0,-3/2)...ωραία άσκηση!!!!

θενξ

Κάποιος να δώσει καμια καλή άσκηση μιγαδικούς; Η να δώσω και αλλη εγώ; :worry:

drosos · 18-11-11

Παρτε και μια μετρια!

Ενας μιγαδικος ικανοποιει την σχεση ${z}^{4}={\bar{(z)}}^{2}$

α)ΝΔΟ |z|=0 ή |z|=1
β)Αν $z\neq 0$ ΝΔΟ ${\bar{z}}=\frac{1}{z}$
γ) $z\neq 0$ ΝΔΟ ${z}^{6}=1$
δ)Να βρεθούν ολοι οι μιγαδικοι z με ${z}^{4}={\bar{z}}^{2}$
ε)Σε ποια γραμμη βρισκονται οι εικονες των παραπανω μιγαδικων z αν $z\neq 0$

Iliaso · 18-11-11

A,β,γ με το μυαλό τα έβγαλα εύκολα μου φαίνονται(άρα θα είναι

).Δ και ε θέλω χαρτί για να μη κάνω καμιά βλακεία.

Demlogic · 18-11-11

α,β) είναι αρκετα ευκολα βαριεμαι να τα γραφω

γ) ${z}^{4}={\bar{(z)}}^{2} <=>{z}^{6}={\bar{(z)}}^{2} {z}^{2} <=> {z}^{6}=|{z}|^{4}=1^{4}=1 <=> z^{6}=1$
δ) ${z}^{4}={\bar{z}}^{2}=>z^4-{\bar{z}}^{2}=0<=>(z^2-{\bar{z}})(z^2+{\bar{z}})=0<=>$
οπότε $z^2-{\bar{z}}=0$ ή $z^2+{\bar{z}}=0$

αρα το πρώτο είναι
$z^2-{\bar{z}}=0 <=> z^3-{\bar{z}}z <=> z^3-|z|^2=0 <=> z^3-1=0 <=> (z-1)(z^2+z+1)=0$

αρα ή
$z=1$
ή
$z^2+z+1=0$ μπλα μπλα δυο μιγαδικές λύσεις

ομοια για το $z^2+{\bar{z}}=0$

και θα βρεθουν νομιζω 6 λύσεις; :-P

ε) αφου z≠0 τότε |z|=1 δηλαδή κύκλος με Κ(0,0) και ρ=1

σωστα;

drosos · 18-11-11

Ωραιος! Τελικα δεν ηταν τοσο δυσκολη

rebel · 18-11-11

Έστω $a,\, b,\, c \in \mathbb{C}$ . Να αποδείξετε ότι
i) $|a-b|^2+|a-c|^2+|b-c|^2=3\left(|a|^2+|b|^2+|c|^2\right)-|a+b+c|^2$
ii) Αν επιπλέον $|a|=|b|=|c|=r$ δείξτε ότι
$|a-b||b-c|+|a-b||a-c|+|b-c||a-c| \leq 9r^2$

Είναι...πιο εύκολη απ' όσο φαίνεται!

Demlogic · 18-11-11

Αρχική Δημοσίευση από styt_geia:
Έστω $a,\, b,\, c \in \mathbb{C}$ . Να αποδείξετε ότι
i) $|a-b|^2+|a-c|^2+|b-c|^2=3\left(|a|^2+|b|^2+|c|^2\right)-|a+b+c|^2$
ii) Αν επιπλέον $|a|=|b|=|c|=r$ δείξτε ότι
$|a-b||b-c|+|a-b||a-c|+|b-c||a-c| \leq 9r^2$

Είναι...πιο εύκολη απ' όσο φαίνεται!

:-P θα την δω το βραδάκι που θα έχω χρόνο αν και αυτο το ειδος ασκήσεων με δυσκολεύει λίγο :-P

Χαρουλιτα · 18-11-11

και εγω...

dimitris001 · 18-11-11

Ενας μιγαδικος ικανοποιει την σχεση

α)ΝΔΟ |z|=0 ή |z|=1
β)Αν

ΝΔΟ

γ)

ΝΔΟ

δ)Να βρεθούν ολοι οι μιγαδικοι z με

ε)Σε ποια γραμμη βρισκονται οι εικονες των παραπανω μιγαδικων z αν

α)
${z}^{4}={\bar{z}}^{2}\Rightarrow \mid {z}^{4}\mid =\mid{\bar{z}}^{2} \mid \Leftrightarrow \mid {z}^{2}\mid =\mid z\mid \Leftrightarrow \mid {z}^{2}\mid-\mid z\mid=0\Leftrightarrow \mid z\mid (\mid z\mid -1)=0\Leftrightarrow\mid z\mid=0 \dot{\eta } \mid z\mid =1 $
β)Αφού ο Z δεν είναι 0:
$\mid z\mid =1\Leftrightarrow {\mid z\mid }^{2} =1\Leftrightarrow z\bar{z}=1\Leftrightarrow \bar{z}=\frac{1}{z}$
γ)
${z}^{4}=({{\bar{z}}^{2}) \Rightarrow {z}^{2}{z}^{4}={z}^{2}({{\bar{z}}^{2})\Leftrightarrow {z}^{6}={(z{{\bar{z}})}^{2}\Leftrightarrow {z}^{6}=\mid{z}^{4} \mid \Leftrightarrow {z}^{6}=1$
δ)θέτουμε z=x+yi στην αρχική εξίσωση που μας δίνεις με χ,y πραγματικοί και λύνουμε τα συστήματα που προκύπτουν. Άρα
$\begin{cases} & \text{ } {z}_{1}=0 \\ & \text{ } {z}_{2}=1 \\ & \text{ } {z}_{3}=-\frac{1}{2}+\frac{\sqrt{3}}{2}i \\ & \text{ }{z}_{4}=-\frac{1}{2}-\frac{\sqrt{3}}{2}i \end{cases} $

ε)Αφού z δεν είναι μηδέν ο γ.τ των z είναι ο μοναδιαίος κύκλος.

rebel · 18 Νοεμβρίου 2011

Αρχική Δημοσίευση από dimitris001:
δ)θέτουμε z=x+yi στην αρχική εξίσωση που μας δίνεις με χ,y πραγματικοί και λύνουμε τα συστήματα που προκύπτουν. Άρα
$\begin{cases} {z}_{1}=0 \\ {z}_{2}=1 \\ {z}_{3}=-\frac{1}{2}+\frac{\sqrt{3}}{2}i \\ {z}_{4}=-\frac{1}{2}-\frac{\sqrt{3}}{2}i \end{cases}$

Σου έχουν φύγει και κάποιες άλλες. Συνολικά οι λύσεις είναι :
$0,\,1,\,-1,\,-\frac{1}{2}\pm\frac{\sqrt{3}}{2}i,\,\frac{1}{2}\pm\frac{\sqrt{3}}{2}i$

19DiMiTriS94 · 18-11-11

Έστω ο μιγαδικός αριθμός z τέτοιος ώστε z^4-z^3+z^2-z+1=0
a)Να αποδείξετε ότι z<>-1
b)z^=-1
c)z^14-z^-6=0

Demlogic · 18-11-11

Αρχική Δημοσίευση από 19DiMiTriS94:
Έστω ο μιγαδικός αριθμός z τέτοιος ώστε z^4-z^3+z^2-z+1=0
a)Να αποδείξετε ότι z<>-1
b)z^=-1
c)z^14-z^-6=0

Φίλε ξέχασες τον εκθέτη στο β)

Αρχική Δημοσίευση από styt_geia:
Έστω $a,\, b,\, c \in \mathbb{C}$ . Να αποδείξετε ότι
i) $|a-b|^2+|a-c|^2+|b-c|^2=3\left(|a|^2+|b|^2+|c|^2\right)-|a+b+c|^2$
ii) Αν επιπλέον $|a|=|b|=|c|=r$ δείξτε ότι
$|a-b||b-c|+|a-b||a-c|+|b-c||a-c| \leq 9r^2$

Είναι...πιο εύκολη απ' όσο φαίνεται!

:/ δε μπορώ να λύσω με τίποτα το β ερώτημα. Φτάνω σε ενα σημείο που θέλω να δείξω οτι
|a-b||b-c|+|a-b||a-c|+|b-c||a-c|≤|a-b|²+|a-c|²+|b-c|²≤ 9r²

αφου έχω δείξει οτι |a-b|²+|a-c|²+|b-c|²≤ 9r² ........αμα είναι εύκολο όπως λές τότε είμαι άχρηστος :-P, 15 λεπτά προσπαθώ και δε βγαίνει

το α) ερωτημα μου βγήκε με ευκολία

rebel · 20-11-11

Αρχική Δημοσίευση από styt_geia:
Έστω $a,\, b,\, c \in \mathbb{C}$ . Να αποδείξετε ότι
i) $|a-b|^2+|a-c|^2+|b-c|^2=3\left(|a|^2+|b|^2+|c|^2\right)-|a+b+c|^2$
ii) Αν επιπλέον $|a|=|b|=|c|=r$ δείξτε ότι
$|a-b||b-c|+|a-b||a-c|+|b-c||a-c| \leq 9r^2$

i) Πράξεις
ii) Ισχύει ότι $xy+yz+xz \leq x^2+y^2+z^2 ,\,\,\forall x,y,z\in\mathbb{R}\,\, (*)$ .
Απόδειξη
$xy+yz+xz \leq x^2+y^2+z^2 \Leftrightarrow 2xy+2yz+2xz \leq 2x^2+2y^2+2z^2 \Leftrightarrow \\ 0\leq (x-y)^2+(y-z)^2+(x-z)^2$
που ισχύει. Επομένως
$|a-b||b-c|+|a-b||a-c|+|b-c||a-c| \stackrel{(*)}{\leq} |a-b|^2+|a-c|^2+|b-c|^2 \leq 3\left(|a|^2+|b|^2+|c|^2\right)=9r^2$
λόγω του ερωτήματος i)

Ασκήσεις στο κεφάλαιο των Μιγαδικών

Πολύ δραστήριο μέλος

Guest 278211

Επισκέπτης

Πολύ δραστήριο μέλος

Guest 278211

Επισκέπτης

Περιβόητο μέλος

Τιμώμενο Μέλος

Guest 278211

Επισκέπτης

Πολύ δραστήριο μέλος

Πολύ δραστήριο μέλος

Περιβόητο μέλος

Πολύ δραστήριο μέλος

Πολύ δραστήριο μέλος

Πολύ δραστήριο μέλος

Πολύ δραστήριο μέλος

Διάσημο μέλος

Τιμώμενο Μέλος

Πολύ δραστήριο μέλος

Νεοφερμένος

Πολύ δραστήριο μέλος

Πολύ δραστήριο μέλος