Συλλογή ασκήσεων στην Άλγεβρα

rebel · 08-11-11

Αν $a,b>0$ με $a+b=1$ δείξτε ότι:

i) $ab \leq \frac{1}{4}$

ii) $\left(a+\frac{1}{a}\right)^2+\left(b+\frac{1}{b}\right)^2 \geq \frac{25}{2}$

ξαροπ · 29 Ιουνίου 2012

Και μια δεύτερη απόπειρα λύσης για την 7ii)

Γνωρίζουμε ότι $x^2+y^2+z^2 \geq \frac{(x+y+z)^2}{3}$

Αν $a^4=x, a=y, 1=z$ , τότε έχουμε από την παραπάνω $a^8 + a^2 + 1 \geq \frac{(a^4+a+1)^2}{3}$

Επομένως αρκεί ν.δ.ο. $\frac{(a^4+a+1)^2}{3} > a^5 + a$

EDIT: Λάθος στις πράξεις. Αν λύνεται έτσι θα ανεβάσω τη λύση αργότερα, αλλιώς θα την αποσύρω

Δεν μου αφήνει περιθώριο για επεξεργασία, οπότε εδώ συνεχίζω τη λύση...(ελπίζω να μην υπάρχουν άλλα λάθη στις πράξεις)

Η τελευταία σχέση που θέλουμε να αποδείξουμε γράφεται $(a^2+a+1)(a(a-1)(a^4+2)+1) > 0$ (μετά από αρκετή ομαδοποίηση κτλ.), η οποία ισχύει για

$a>1$ .

Μένει μόνο να ελέγξουμε αν ισχύει η αρχική ανισότητα όταν $a \in (0,1]$ .

Όμως τότε έχουμε $a^5 \leq a^2, a \leq 1$ , άρα

$a^8 + a^2 + 1 > a^2 + 1 \geq a^5 + a$ .

Και μερικές ακόμη ασκήσεις πάνω στις ανισότητες.

(όπου a,b,c, > 0 και x,y,z πραγματικοί)

1. $x^4+y^4+z^2+1 \geq 2x(xy^2-x+z+1)$

(*)2. $\sqrt{a^2+b^2} \geq a+b-(2-\sqrt{2})\sqrt{ab}$

3. $2(\sqrt[4]{x} + \sqrt[4]{y}+\sqrt[4]{z} )\leq 3 +\sqrt{x} + \sqrt{y} +\sqrt{z}$

(*)4. $2(x^4+y^4)-12xy + 10 > 0$

5. $x^4-x^2-3x+4 > 0$

(*)6. $a^4 + a^3 -8a^2+4a+4$

vimaproto · 09-11-11

Και άλλη μία άσκηση για παραγοντοποίηση-->
α)

β)

a) =(α+β)³-3αβ(α+β)+γ³-3αβγ=(α+β)³+γ³-3αβ(α+β)-3αβγ=(α+β+γ)³-3(α+β)γ{(α+β)+γ}-3αβ(α+β+γ)=(α+β+γ)[(α+β+γ)²-3(α+β)γ-3αβ]=(α+β+γ)(α²+β²+γ²+2αβ+2βγ+2αγ-3αγ-3βγ-3αβ)=(α+β+γ)(α²+β²+γ²-αβ-αγ-βγ) και αν θέλεις συνέχεια 1/2(α+β+γ)[(α-β)²+(β-γ)²+(γ-α)²]
την β) εν καιρώ

rebel · 09-11-11

Εχει ξανασυζητηθεί η β εδώ

Guest 018946 · 12 Νοεμβρίου 2011

Αρχική Δημοσίευση από ξαροπ:
(όπου a,b,c, > 0 και x,y,z πραγματικοί)

1. $x^4+y^4+z^2+1 \geq 2x(xy^2-x+z+1)$

3. $2(\sqrt[4]{x} + \sqrt[4]{y}+\sqrt[4]{z} )\leq 3 +\sqrt{x} + \sqrt{y} +\sqrt{z}$

1) $x^4+y^4+z^2+1 \geq 2x^2y^2-2x^2+2xz+2x \Leftrightarrow x^4+y^4+z^2+1-(2x^2y^2-x^2-x^2+2xz+2x) \geq 0 \Leftrightarrow (x^2-y^2)^2+(z-x)^2+(1-x)^2 \geq 0$ που ισχυει ως αθροισμα μη αρνητικων .

3) $\sqrt{x}-2\sqrt[4]{x}+\sqrt{y}-2\sqrt[4]{y}+\sqrt{z}-2\sqrt[4]{z}+1+1+1 \geq 0 \Leftrightarrow (\sqrt[4]{z}-1)^2+(\sqrt[4]{y}-1)^2+(\sqrt[4]{x}-1)^2 \geq 0$ που ισχυει παλι ως αθροισμα μη αρνητικων .
ΥΣ: Οι αλλες καπως μανικια με φανηκαν .

rebel · 12 Νοεμβρίου 2011

Αρχική Δημοσίευση από ξαροπ:
(*)4. $2(x^4+y^4)-12xy + 10 > 0$

$2(x^4+y^4)+10 \geq (x^2+y^2)^2+10 \geq 4x^2y^2+10$ . Αρκεί $4x^2y^2+10>12xy \Leftrightarrow (2xy-3)^2+1>0$ που ισχύει.

Guest 018946 · 17-11-11

Μια ασκηση που βρηκα παλι σε τοπικ του ischool με τιτλο η ασκηση της εβδομαδας :
Γινεται $\mathbf{a+b+c=0}$ και $\mathbf{\frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c}=0}$ ταυτοχρονα ?

vimaproto · 18-11-11

Αρχική Δημοσίευση από dr.tasos:
Μια ασκηση που βρηκα παλι σε τοπικ του ischool με τιτλο η ασκηση της εβδομαδας :
Γινεται $\mathbf{a+b+c=0}$ και $\mathbf{\frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c}=0}$ ταυτοχρονα ?

Οχι διότι

Η τελευταία σχέση δεν ισχύει αφού κάθε προσθεταίος είναι μη αρνητικός αριθμός δηλ. θετικός ή μηδέν. Το δεύτερο το αποκλείσαμε.

Guest 018946 · 18-11-11

Αρχική Δημοσίευση από vimaproto:
Οχι διότι

Η τελευταία σχέση δεν ισχύει αφού κάθε προσθεταίος είναι μη αρνητικός αριθμός δηλ. θετικός ή μηδέν. Το δεύτερο το αποκλείσαμε.

σωστος αλλα τι σημαινει το $\succ$ τι σημαινει ?

rebel · 18-11-11

Μάλλον εννοεί $\Longrightarrow$

Guest 018946 · 18-11-11

οκ Κωστα αμα εχεις και συ καμια ασκηση βαλε .Εγω δεν μπορουσα τις τελευταιες μερες να κανω τιποτα εδω λογω διαγωνισματων στο σχολειο κτλπ.

rebel · 18-11-11

Ναι άμα βρω καμία ευχαρίστως. Έχουν μείνει όμως και άλυτες και είναι κρίμα...

Αρχική Δημοσίευση από ξαροπ:
(*)2. $\sqrt{a^2+b^2} \geq a+b-(2-\sqrt{2})\sqrt{ab}$

$\sqrt{a^2+b^2} \geq a+b-(2-\sqrt{2})\sqrt{ab} \Leftrightarrow \sqrt{\frac{a}{b}+\frac{b}{a}} \geq \sqrt{\frac{a}{b}}+\sqrt{\frac{b}{a}}-2+\sqrt {2} \Leftrightarrow \sqrt{\frac{a}{b}+\frac{b}{a}}+2 \geq \sqrt{\frac{a}{b}}+\sqrt{\frac{b}{a}}+\sqrt {2} \mathop {\Leftrightarrow}^{x=a/b} \sqrt{x+\frac{1}{x}}+2 \geq \sqrt{x}+\frac{1}{\sqrt{x}}+\sqrt {2}$

Υψώνοντας στο τετράγωνο:

$2\sqrt{x+\frac{1}{x}} \geq \sqrt{2}\left(\sqrt{x}+\frac{1}{\sqrt{x}}\right) \Leftrightarrow 4\left(x+\frac{1}{x}\right) \geq 2\left(x+\frac{1}{x}\right) +4 \Leftrightarrow x+\frac{1}{x} \geq 2$

που ισχύει αφού $x>0$

Guest 018946 · 18 Νοεμβρίου 2011

ειχε βαλει ο vimaproto μια ασκηση στο τοπικ βοηθεια και αποριες την βαζω εδω μαζι με την λυση της :

1)Να δειχτεί ότι το γινόμενο τεσσάρων διαδοχικών αριθμών αυξημένο κατά μονάδα είναι τέλειο τετράγωνο.

Επειδη προσπαθησα το πραξολοι και μου βγαινε κουμουτσα λεω κατι θα παιζει με θετω οποτε μετα απο 2-3 αποτυχημενες προσπαθειες κατεληξα :
$A=a(a+1)(a+2)(a+3)+1 \Leftrightarrow A=(a^2+3a)(a^2+3a+2)+1$ εδω θετω $x=a^2+3a$ οποτε η σχεση γινεται $A=x(x+2)+1 \Leftrightarrow A=x^2+2x+1 \Leftrightarrow A=(x+1)^2$ Που με αντικατασταση γινεται : $A=(a^2+3a+1)^2$

transient · 18-11-11

Αν 5>χ>-2
και 10>ψ>1

να υπολογίσετε μεταξύ ποιων τιμών είναι το χ^2 + ψ^2

Αγγελική!!! · 18 Νοεμβρίου 2011

Διόρθωσα το μήνυμα πιο κάτω....

transient · 18-11-11

Εννοώντας τιμών, εννοώ αριθμητικών τιμών. Δλδ όχι μεταβλητές.

Αγγελική!!! · 18 Νοεμβρίου 2011

Bρείτε τις τιμές των απόλυτων-->
α) $\mid 2x-1\mid=1-x$
β) $\mid 3-4x\mid =1-2x$
γ) $\mid 2x-1\mid +3 =x$
δ) $5-\mid x-1\mid = 2x$
ε) $3x+\mid4-2x \mid = 1$
στ) $\mid5-3x\mid = \mid x-1 \mid$
ζ) $\mid4x+3\mid+1 = 0$

Στο προηγούμενο μήνυμα έκανα βλακείααααα!!!!
To σωστό είναι αυτό -->
$10>y>1\Leftrightarrow 100>{y}^{2}>1$
$5>x>-2\Leftrightarrow 25>{x}^{2}>4$
Άρα--> $25>{x}^{2}>4\: \: ,\: \: 100>{y}^{2}>1 \Leftrightarrow 125>{x}^{2}+{y}^{2}>5$
Sorry ! :redface:

Guest 018946 · 18-11-11

Αρχική Δημοσίευση από Αγγελική!!!:
Στο προηγούμενο μήνυμα έκανα βλακείααααα!!!!
To σωστό είναι αυτό -->
$10>y>1\Leftrightarrow 100>{y}^{2}>1$
$5>x>-2\Leftrightarrow 25>{x}^{2}>4$
Άρα--> $25>{x}^{2}>4\: \: ,\: \: 100>{y}^{2}>1 \Leftrightarrow 125>{x}^{2}+{y}^{2}>5$
Sorry !

βαλε στην αρχικη οπου χ το 1/4 κα δες οτι δεν ισχυει. Αυτη ειναι η πρωτη σκεψη αλλα αφου την εβαλε ο γιαννης η πρωτη σκεψη δεν ειναι σχεδον ποτε σωστη . :whistle:

transient · 18-11-11

Το δεύτερο βήμα δεν ισχύει. Για να υψώσεις στο τετράγωνο, πρέπει όλοι οι όροι να είναι θετικοί. Όμως έχεις και το -2

αφου την εβαλε ο γιαννης η πρωτη σκεψη δεν ειναι σχεδον ποτε σωστη .

Αγγελική!!! · 18-11-11

Αρχική Δημοσίευση από dr.tasos:
βαλε στην αρχικη οπου χ το 1/4 κα δες οτι δεν ισχυει. Αυτη ειναι η πρωτη σκεψη αλλα αφου την εβαλε ο γιαννης η πρωτη σκεψη δεν ειναι σχεδον ποτε σωστη .

Αυτό συμβαίνει σε όλα τα προβλήματα που έχουν μία εξίσωση και μετατρέπεις τις μεταβλητές της σε τετράγωνα, οπότε πρέπει κάθε φορά να αναφέρουμε ότι δεν γίνεται για αυτές τις τιμές ανάμεσα στο 0 και το 1???? ( γιατί ανάμεσα σ 'αυτές τις τιμές συμβαίνει αυτό, αφού το τετράγωνο ενός αριθμού μειώνεται ΜΟΝΟ εάν βρίσκεται αναμεσα στο 0 και στο 1 )
Και πώς λύνεται δηλαδή???? :confused:

Συλλογή ασκήσεων στην Άλγεβρα

Πολύ δραστήριο μέλος

Πολύ δραστήριο μέλος

Πολύ δραστήριο μέλος

Πολύ δραστήριο μέλος

Guest 018946

Επισκέπτης

Πολύ δραστήριο μέλος

Guest 018946

Επισκέπτης

Πολύ δραστήριο μέλος

Guest 018946

Επισκέπτης

Πολύ δραστήριο μέλος

Guest 018946

Επισκέπτης

Πολύ δραστήριο μέλος

Guest 018946

Επισκέπτης

Πολύ δραστήριο μέλος

Δραστήριο μέλος

Πολύ δραστήριο μέλος

Δραστήριο μέλος

Guest 018946

Επισκέπτης

Πολύ δραστήριο μέλος

Δραστήριο μέλος