Συλλογή ασκήσεων στην Άλγεβρα

wfgl · 23-08-11

Αρχική Δημοσίευση από antwwwnis:
Συνήθως οι πράξεις είναι πιο γρήγορες από την παραγοντοποίηση!

H μέθοδος της παραγοντοποίησης είναι καλύτερη και πιο έξυπνη γιατί δουλεύεις συνθετικά ...

antwwwnis · 23-08-11

Αρχική Δημοσίευση από wfgl:
H μέθοδος της παραγοντοποίησης είναι καλύτερη και πιο έξυπνη γιατί δουλεύεις συνθετικά ...

Όσον αφορά την ταχύτητα, έχω δίκιο.
Όσον αφορά την «κομψότητα» όπως χαρακτηρίζω τις ωραίες λύσεις, έχεις δικιο εσύ.

Guest 018946 · 23 Αυγούστου 2011

ας βαλω και κατι χρησιμο η λυση της φιλης μου κατερινας σε Latex : ${a}^{4} +{b}^{4} +{c}^{4} -2{a}^{2}{b}^{2}-2{a}^{2}{c}^{2}-2{b}^{2}{c}^{2}={a}^{4} +{b}^{4} +{c}^{4}-2{a}^{2}{b}^{2}-2{a}^{2}{c}^{2}-2{b}^{2}}c}^{2}+4{a}^{2}{c}^{2}-4{a}^{2}{c}^{2}= {a}^{4} +{b}^{4} +{c}^{4} -2{a}^{2}{b}^{2}-2{b}^{2}{c}^{2}+2{a}^{2}{c}^{2}-4{a}^{2}{c}^{2}= (-{a}^{2}+{b}^{2}-{c}^{2})²-4{a}^{2}{c}^{2}= (-{a}^{2}+{b}^{2}-{c}^{2}+2{a}{c})(-{a}^{2}+{b}^{2}-{c}^{2}-2{a}{c})=[-({a}^{2}-2{a}{c}+{c}^{2})+{b}^{2}][-({a^{2}+2{a}{c}+{c}^{2})+{b}^{2}]=[{b}^{2}-{(a-c)}^{2}][{b}^{2}-{(a+c)}^{2}]=({b}+{a}-{c})({b}-{a}+{c})({b}-{a}-{c})({b}+{a}+{c})=-({a}+{b}-{c})(-{a}+{b}+{c})({a}+{c}-{b})({a}+{b}+{c})$

catherine1994 · 23-08-11

τα τετραγωνα ξεχασες!

Guest 018946 · 23-08-11

fixed

Leo 93 · 23-08-11

Βάζω μια εύκολη:

Να σχεδιάσετε (ή καλύτερα να περιγράψετε) τη γραφική παράσταση της συνάρτησης $f\left(x \right):=\left| \frac{x+2}{x-5}\right|$ .

Guest 018946 · 23-08-11

γαμωτο δεν εχω κανει συναρτησεις ακομα...

antwwwnis · 23-08-11

Παράξενο σχήμα!

g1wrg0s · 24-08-11

Αρχική Δημοσίευση από Leo 93:
Βάζω μια εύκολη:

Να σχεδιάσετε (ή καλύτερα να περιγράψετε) τη γραφική παράσταση της συνάρτησης $f\left(x \right):=\left| \frac{x+2}{x-5}\right|$ .

Σωστο ειναι;

antwwwnis · 24-08-11

Αρχική Δημοσίευση από g1wrg0s:
Σωστο ειναι;

Kαλύτερο και από αυτό που μου έβγαλε το πρόγραμμα!

catherine1994 · 24-08-11

Αρχική Δημοσίευση από g1wrg0s:
Σωστο ειναι;

δεν μας ειπες μονο πώς το εκανες :hmm:

εννοω λύνεται με γνωσεις α λυκειου; :worry:

Leo 93 · 24-08-11

Σωστό είναι. Ας δούμε και πως προκύπτει.

$x\neq 5:f\left(x \right)=\left| \frac{x+2}{x-5}\right|=\left| \frac{x-5+7}{x-5}\right|=\left| 1+\frac{7}{x-5}\right|=\left( g\left(x \right)=1+\frac{7}{x-5}\right)=\left| g\left(x \right)\right|$ .

Eπομένως η Cf αποτελείται από τα τμήματα της Cg τα οποία είναι πάνω από τον x'x και από τα συμμετρικά ως προς τον x'x των τμημάτων της Cg που βρίσκονται κάτω από τον άξονα.

Όμως η Cg προκύπτει από τη μετατόπιση της $r(x)=\frac{7}{x}$ κατά 1 μονάδα προς τα πάνω και κατά 5 μονάδες προς τα δεξιά.

[

g1wrg0s · 24-08-11

Αρχική Δημοσίευση από catherine1994:
δεν μας ειπες μονο πώς το εκανες
εννοω λύνεται με γνωσεις α λυκειου;

Σωστη η παρατηρηση. Δεν εγραψα πως το εκανα για 2 λογους: 1) Αν δεις την γρ. παρασταση την ανεβασα στις 2:26 τα ξημερωματα..και καλα να λεω που εκατσα στην ζωγραφικη και το προσπαθησα τετοια ωρα.2) Δεν ειμαι εξοικειωμένος με το latex και ο απλος τροπος φανταζε να κανω ενα μήνυμα σεντονι.
Οσον αφορα τωρα αν λυνεται με γνωσεις α λυκειου θα σου πω δεν ξερω γιατι α λυκειου εγω και το βιβλιο ημασταν μαλωμενοι (ακομα δεν ξερω μεχρι που επεκτείνει και τι αλλαγες εχουν κανει στην υλη του βιβλιου). Επισης το συγκεκριμενο θεμα λεγεται ''συλλογη ασκησεων στην αλγεβρα'', δεν λεει αλγεβρα α λυκειου.Αν το ελεγε να εισαι σιγουρη οτι θα ημουν ο πρωτος που θα αντιδρουσα σε κατι τετοιες ασκησεις μεσα σε αυτο το θεμα (οπως το ειχα κανει αλλωστε και στο αναλογο thread).
Το συγκεκριμενο αποτελεσμα το εκανα με τις γνωσεις που εχω ως τωρα χρησιμοποιωντας αρκετα και απο Γ λυκειου.

catherine1994 · 24-08-11

Αρχική Δημοσίευση από g1wrg0s:
Σωστη η παρατηρηση. Δεν εγραψα πως το εκανα για 2 λογους: 1) Αν δεις την γρ. παρασταση την ανεβασα στις 2:26 τα ξημερωματα..και καλα να λεω που εκατσα στην ζωγραφικη και το προσπαθησα τετοια ωρα.2) Δεν ειμαι εξοικειωμένος με το latex και ο απλος τροπος φανταζε να κανω ενα μήνυμα σεντονι.
Οσον αφορα τωρα αν λυνεται με γνωσεις α λυκειου θα σου πω δεν ξερω γιατι α λυκειου εγω και το βιβλιο ημασταν μαλωμενοι (ακομα δεν ξερω μεχρι που επεκτείνει και τι αλλαγες εχουν κανει στην υλη του βιβλιου). Επισης το συγκεκριμενο θεμα λεγεται ''συλλογη ασκησεων στην αλγεβρα'', δεν λεει αλγεβρα α λυκειου.Αν το ελεγε να εισαι σιγουρη οτι θα ημουν ο πρωτος που θα αντιδρουσα σε κατι τετοιες ασκησεις μεσα σε αυτο το θεμα (οπως το ειχα κανει αλλωστε και στο αναλογο thread).
Το συγκεκριμενο αποτελεσμα το εκανα με τις γνωσεις που εχω ως τωρα χρησιμοποιωντας αρκετα και απο Γ λυκειου.

ειναι στο φορουμ α λυκειου

ουτε και γω θυμαμαι αν καναμε γραφικες παραστασεις και μετατοπισεις τους στη α ή στη β :hmm:

Guest 278211 · 24-08-11

Αρχική Δημοσίευση από catherine1994:
ειναι στο φορουμ α λυκειου
ουτε και γω θυμαμαι αν καναμε γραφικες παραστασεις και μετατοπισεις τους στη α ή στη β

στο καινούριο της Α έχει μετατοπίσεις..! :confused:

Guest 018946 · 26-08-11

επανερχομαι δριμυτερος και με ανισοτητες :1) Για $a,b,c>0$ Νδο οτι : $(a+\frac{b}{ca})(b+\frac{c}{ab})(c+\frac{a}{bc} \geq 8$
Και μια δευτερη ασκηση ετσι για να μου ζεστενεστε για τον σεπτεμβρη : Για $a,b,c>0$ Νδο : $(a+b+c)(a^{2}+b^{2}+c^{2}) \geq 9abc$ .Περιμενω λυσεις αμεσα απο μαθητες α λυκειου και μη . Και οι δυο ασκησεις βγαινουν με δυο τροπους.

Bl4Ck_PyTh0N! · 26-08-11

Αρχική Δημοσίευση από dr.tasos:
επανερχομαι δριμυτερος και με ανισοτητες :1) Για $a,b,c>0$ Νδο οτι : $(a+\frac{b}{ca})(b+\frac{c}{ab})(c+\frac{a}{bc} \geq 8$
Και μια δευτερη ασκηση ετσι για να μου ζεστενεστε για τον σεπτεμβρη : Για $a,b,c>0$ Νδο : $(a+b+c)(a^{2}+b^{2}+c^{2}) \geq 9abc$ .Περιμενω λυσεις αμεσα απο μαθητες α λυκειου και μη . Και οι δυο ασκησεις βγαινουν με δυο τροπους.

Εδώ είναι οι λύσεις των ασκήσεων που μας έδωσε ο φίλος μας Τάσος.Για όποιον ενδιαφέρεται μπορεί να δει τις λύσεις μου από κάτω.Τις έβαλα επίτηδες σε spoiler για να προσπαθήσουν και τα άλλα παιδιά και να μην δουν κατευθείαν τις λύσεις.Αν έχω κανένα λάθος διορθώστε με,η ώρα είναι περασμένη και ίσως κάτι να μου έχει ξεφύγει.

1)Άσκηση Πρώτη
$(a+\frac{b}{ca})(b+\frac{c}{ab})(c+\frac{a}{bc}) \geq 8 \Leftrightarrow(a+\frac{b}{ca})(b+\frac{c}{ab})(c+\frac{a}{bc}) \geq 8\Leftrightarrow (ab+\frac{c}{b}+\frac{{b}^{2}}{ca}+\frac{1}{{a}^{2}})(c+\frac{a}{bc})\geq 8\Leftrightarrow abc+\frac{{a}^{2}}{c}+\frac{{c}^{2}}{b}+\frac{a}{{b}^{2}}+\frac{{b}^{2}}{a}}+\frac{b}{{c}^{2}}}+\frac{c}{{a}^{2}}+\frac{1}{abc}\geq 8\Leftrightarrow (abc+\frac{1}{abc})+(\frac{{a}^{2}}{c}+\frac{c}{{a}^{2}})+(\frac{{c}^{2}}{b}+\frac{b}{{c}^{2}})+(\frac{{b}^{2}}{a}+\frac{a}{{b}^{2}})\geq 8$ (α)
Θα αποδείξω ότι :
$abc+\frac{1}{abc}\geq 2$ (1)
$\frac{{a}^{2}}{c}+\frac{c}{{a}^{2}}\geq 2$ (2)
$\frac{{c}^{2}}{b}+\frac{b}{{c}^{2}}\geq 2$ (3)
$\frac{{b}^{2}}{a}+\frac{a}{{b}^{2}}\geq 2$ (4)
Έχουμε λοιπόν :
$(1)\Leftrightarrow {abc}^{2}+1\geq 2abc\Leftrightarrow {abc}^{2}-2abc+1\geq 0 \Leftrightarrow {(abc-1)}^{2}\geq 0$ αληθές
$(2)\Leftrightarrow{a}^{4}+{c}^{2}\geq 2c{a}^{2}\Leftrightarrow {a}^{4}-2c{a}^{2}+{c}^{2}\geq 0 \Leftrightarrow {({a}^{2}-c)}^{2}\geq 0$ αληθές
$(3)\Leftrightarrow{c}^{4}+{b}^{2}\geq 2b{c}^{2}\Leftrightarrow {c}^{4}-2b{c}^{2}+{b}^{2}\geq 0 \Leftrightarrow {({c}^{2}-b)}^{2}\geq 0$ αληθές
$(4)\Leftrightarrow{b}^{4}+{a}^{2}\geq 2a{b}^{2}\Leftrightarrow {b}^{4}-2a{b}^{2}+{a}^{2}\geq 0 \Leftrightarrow {({b}^{2}-a)}^{2}\geq 0$ αληθές
Προσθέτοντας λοιπόν κατά μέλη τις σχέσεις (1),(2),(3) και (4) προκύπτει η ζητούμενη σχέση (α)

2)Άσκηση Δεύτερη
$(a+b+c)(a^{2}+b^{2}+c^{2}) \geq 9abc \Leftrightarrow(a+b+c)(a^{2}+b^{2}+c^{2}) \geq 9abc\Leftrightarrow ({a}^{3}+a{b}^{2}+a{c}^{2}+b{a}^{2}+{b}^{3}+b{c}^{2}+c{a}^{2}+c{b}^{2}+{c}^{3})\geq 9abc\Leftrightarrow ({a}^{3}+{b}^{3}+{c}^{3}-3abc)+(a{c}^{2}-2abc+a{b}^{2})+(b{a}^{2}-2abc+b{c}^{2})+(c{a}^{2}-2abc+c{b}^{2})\geq 0\Leftrightarrow ({a}^{3}+{b}^{3}+{c}^{3}-3abc)+[a({c}^{2}-2bc+{b}^{2})]+[b({a}^{2}-2ac+{c}^{2})]+[c({a}^{2}-2ab+{b}^{2})\geq 0 \Leftrightarrow ({a}^{3}+{b}^{3}+{c}^{3}-3abc)+a{(c-b)}^{2}+b{(a-c)}^{2}+c{(a-b)}^{2}\geq 0$ (1)
Γνωρίζουμε ότι ισχύει το εξής (ταυτότητα Euler):
${a}^{3}+{b}^{3}+{c}^{3}-3abc=\frac{1}{2}(a+b+c)[{(a-b)}^{2}+{(c-b)}^{2}+{(a-c)}^{2}]$ (2)
Με τη βοήθεια της σχέσης (2) η σχέση (1) γίνεται :
$(1)\Leftrightarrow\frac{1}{2}(a+b+c)[{(a-b)}^{2}+{(c-b)}^{2}+{(a-c)}^{2}]+a{(c-b)}^{2}+b{(a-c)}^{2}+c{(a-b)}^{2}\geq 0\Leftrightarrow {(c-b)}^{2}[\frac{1}{2}(a+b+c)+a]+{(a-c)}^{2}[\frac{1}{2}(a+b+c)+b]+{(a-b)}^{2}[\frac{1}{2}(a+b+c)+c]\geq 0$ (3)
Για $a,b,c>0$ και $a\neq b\neq c$ η σχέση (3) είναι γνησίως θετική.Αν όμως $a=b=c$ τότε ισχύει η ισότητα.Συνεπώς για κάθε $a,b,c>0$ η σχέση (3) είναι αληθής.

wfgl · 26 Αυγούστου 2011

Για την πρώτη άσκηση : Ισχύει γενικά ότι ${x}^{2}+{y}^{2}>=2xy$
Άρα
$a+\frac{b}{ca}>=2\sqrt{a}\frac{\sqrt{b}}{\sqrt{c}\sqrt{a}}=2\frac{\sqrt{b}}{\sqrt{c}}$
και
$b+\frac{c}{ab}>=2\sqrt{b}\frac{\sqrt{c}}{\sqrt{a}\sqrt{b}}=2\frac{\sqrt{c}}{\sqrt{a}}$
και
$c+\frac{a}{bc}>=2\sqrt{c}\frac{\sqrt{a}}{\sqrt{b}\sqrt{c}}=2\frac{\sqrt{a}}{\sqrt{b}}$
Πολλαπλασιάζοντας κατά μέλη προκύπτει το ζητούμενο
Η δεύτερη λύνεται και ως εξής :
Ισχύει ότι $a+b+c>=3\sqrt[3]{abc}$ (AM-GM)
και
${a}^{2}+{b}^{2}+{c}^{2}>=3\sqrt[3]{{a}^{2}{b}^{2}{c}^{2}}$ (AM-GM)
Πολλαπλασιάζοντας κατά μέλη παίρνουμε : $(a+b+c)({a}^{2}+{b}^{2}+{c}^{2})>=9abc$

Bl4Ck_PyTh0N! · 26-08-11

Αρχική Δημοσίευση από wfgl:
Για την πρώτη άσκηση : Ισχύει γενικά ότι ${x}^{2}+{y}^{2}>=2xy$
Άρα
$a+\frac{b}{ca}>=2\sqrt{a}\frac{\sqrt{b}}{\sqrt{c}\sqrt{a}}=2\frac{\sqrt{b}}{\sqrt{c}}$
και
$b+\frac{c}{ab}>=2\sqrt{b}\frac{\sqrt{c}}{\sqrt{a}\sqrt{b}}=2\frac{\sqrt{c}}{\sqrt{a}}$
και
$c+\frac{a}{bc}>=2\sqrt{c}\frac{\sqrt{a}}{\sqrt{b}\sqrt{c}}=2\frac{\sqrt{a}}{\sqrt{b}}$
Πολλαπλασιάζοντας κατά μέλη προκύπτει το ζητούμενο
Η δεύτερη λύνεται και ως εξής :
Ισχύει ότι $a+b+c>=3\sqrt[3]{abc}$ (AM-GM)
και
${a}^{2}+{b}^{2}+{c}^{2}>=3\sqrt[3]{{a}^{2}{b}^{2}{c}^{2}}$ (AM-GM)
Πολλαπλασιάζοντας κατά μέλη παίρνουμε : $(a+b+c)({a}^{2}+{b}^{2}+{c}^{2})>=9abc$
Πως βάζουμε spoiler ??? ...

Πολύ σύντομη και εύστοχη η λύση σου στις ασκήσεις.Μπράβο

Σπόιλερ βάζεις γράφοντας

το κείμενο που θες εδώ[./spoiler] στη δεύτερη αγκύλη βγάζεις απλά την τελεία και είσαι έτοιμος.

qwerty111 · 26-08-11

Από πού προκύπτει ότι

;

Συλλογή ασκήσεων στην Άλγεβρα

Νεοφερμένος

Διάσημο μέλος

Guest 018946

Επισκέπτης

Πολύ δραστήριο μέλος

Guest 018946

Επισκέπτης

Εκκολαπτόμενο μέλος

Guest 018946

Επισκέπτης

Διάσημο μέλος

Επιφανές μέλος

Συνημμένα

Διάσημο μέλος

Πολύ δραστήριο μέλος

Εκκολαπτόμενο μέλος

Επιφανές μέλος

Πολύ δραστήριο μέλος

Guest 278211

Επισκέπτης

Guest 018946

Επισκέπτης

Δραστήριο μέλος

Νεοφερμένος

Δραστήριο μέλος

Πολύ δραστήριο μέλος