Συλλογή ασκήσεων στην Άλγεβρα

Guest 018946 · 21-08-11

Να και μια που μου αρεσε αρκετα και προβληματιστηκα και ακομα προβληματιζομαι με αυτη . Για ${a},{b} \geq 0$ Νδο

Βασικα η ιδεα μου ειναι να την σπασω σε δυο ανισοτητες στην $\frac{{a}}{{b}}}+\frac{{b}}{{a}}} \geq 2$ που ξερουμε οτι ισχυει και στην $\sqrt{\frac{({a}+{b})^{2}{{({a}^{2}+{b}^{2})^{-1}}}}} \geq \sqrt{2}$
Εδω η ιδεα μου ειναι να αποδειξω οτι τα πρωτα μελη στις ανισοτητες ειναι ισα αρα και να τα προσθεσω ωστε να καταληξω στην αρχικη.Τωρα αρκει να δειξω αν το τετραγωνισμενο πρωτο μελος της δευτερης ειναι μεγαλυτερο ή ισο με το πρωτο μελος της πρωτης . Μετα απο πραξεις καταληγω εδω $({a}^{3}-{b}^{3})({b}-{a}) \geq 0$ . Ειμαι σωστος ή οχι . Στεκει αυτο που κανω μπορει να προχωρησει παραπερα?

.

wfgl · 21-08-11

Είναι λάθος γιατί :
$-({a}^{3}-{b}^{3})(a-b)>=0 <=> -{(a-b)}^{2}({a}^{2}+ab+{b}^{2})>=0 <=> {(a-b)}^{2}({a}^{2}+ab+{b}^{2})<=0$ που δεν ισχύει για κανένα $a,b E R$

antwwwnis · 21-08-11

Νομίζω είναι άκυρη όλη η άσκηση.
Πού την βρήκες;

wfgl · 21-08-11

Και εγώ το ίδιο
Αν ήταν :
$\frac{a}{b}+\frac{b}{a}-\sqrt[2]{1+\frac{2ab}{{a}^{2}+{b}^{2}}}>=2-\sqrt[2]{2}$ θα λυνόταν εύκολα

Guest 018946 · 26 Αυγούστου 2011

Αρχική Δημοσίευση από antwwwnis:
Νομίζω είναι άκυρη όλη η άσκηση.
Πού την βρήκες;

την ασκηση την βρηκα στο mathematica

Αρχική Δημοσίευση από wfgl:
Και εγώ το ίδιο
Αν ήταν :
$\frac{a}{b}+\frac{b}{a}-\sqrt[2]{1+\frac{2ab}{{a}^{2}+{b}^{2}}}>=2-\sqrt[2]{2}$ θα λυνόταν εύκολα

νομιζω πως εδω θα εσπαγα την ανισοτητα σε δυο μερη στην $\frac{a}{b}+\frac{b}{a} \geq$ που ειναι γνωστο.
Και μετα θα εδειχνα πως $-\sqrt[2]{1+\frac{2ab}{{a}^{2}+{b}^{2}}} \geq -\sqrt[2]{2}$ τετραγωνιζοντας την και τα δυο μελη παιρνω : ${({a}+{b})}^{2} \leq 2({a}^{2}+{b}^{2})$ και μετα απο πραξεις καταληγω σε αυτο που ισχυει : ${({a}-{b})}^{2} \geq 0$ Επειτα προσθετω τις δυο σχεσεις κατα μελη και καταληγω στην αρχικη ανισοτητα.

τι ειπες ?δεν σε προλαβα

Παραγοντοποιηστε αυτην την παρασταση : $a^{3}+b^{3}+c^{3}-3abc$

αντε να βλεπω κινηση !!!

catherine1994 · 23-08-11

Αρχική Δημοσίευση από dr.tasos:
αντε να βλεπω κινηση !!!

Μόνο και μόνο επειδή το ζητησες και για να μη λες οτι δεν καταδεχομαστε να λυσουμε ασκηση σου

:

α³+β³+γ³-3αβγ= (α+β)³-3αβ(α+β) +γ³-3αβγ=-3αβ(α+β+γ) + (α+β)³+ γ³=-3αβ(α+β+γ) + (α+β+γ)[(α+β)²-(α+β)*γ+ γ²]=(α+β+γ)(-3αβ+α²+2αβ+β²-αγ-βγ+γ²)=(α+β+γ)(α²+β²+γ²-αβ-αγ-βγ)
νομιζω δεν παραγοντοποιειται αλλο

Guest 018946 · 23-08-11

Αρχική Δημοσίευση από catherine1994:
Μόνο και μόνο επειδή το ζητησες και για να μη λες οτι δεν καταδεχομαστε να λυσουμε ασκηση σου :

α³+β³+γ³-3αβγ= (α+β)³-3αβ(α+β) +γ³-3αβγ=-3αβ(α+β+γ) + (α+β)³+ γ³=-3αβ(α+β+γ) + (α+β+γ)[(α+β)²-(α+β)*γ+ γ²]=(α+β+γ)(-3αβ+α²+2αβ+β²-αγ-βγ+γ²)=(α+β+γ)(α²+β²+γ²-αβ-αγ-βγ)
νομιζω δεν παραγοντοποιειται αλλο

Επισης απο τον Euler ξερουμε οτι : ${a}^{3}+{b}^{3}+{c}^{3}-3{a}{b}{c}=\frac{1}{2}({a}+{b}+{c})[({a}-{b})^{2}+({b}-{c})^{2}+({a}-{c})^{2})]$

Βαλε και συ καμια ασκηση.
ΥΣ: σωστοτατη η λυση σου

catherine1994 · 23-08-11

Αρχική Δημοσίευση από dr.tasos:
Επισης απο τον Euler ξερουμε οτι : ${a}^{3}+{b}^{3}+{c}^{3}-3{a}{b}{c}=\frac{1}{2}({a}+{b}+{c})[({a}-{b})^{2}+({b}-{c})^{2}+({a}-{c})^{2})]$ Βαλε και συ καμια ασκηση.
ΥΣ: σωστοτατη η λυση σου

αυτο με τον Euler από πού το ξέρουμε; :worry:

Guest 018946 · 23-08-11

Αρχική Δημοσίευση από catherine1994:
αυτο με τον Euler από πού το ξέρουμε;

ειναι ταυτοτητα . Τωρα την εμαθα με μερικες ωρες ενασχολησης με το artofproblemsolving

. Don't get mad baby

Eileen · 23-08-11

Αρχική Δημοσίευση από catherine1994:
αυτο με τον Euler από πού το ξέρουμε;

Είναι γνωστπή ταυτότητα, αποδεικνύεται και εύκολα - το έχουμε κάνει στην α' λυκείου!

wfgl · 23-08-11

Αρχική Δημοσίευση από catherine1994:
αυτο με τον Euler από πού το ξέρουμε;

Σωστή παρατήρηση! Aπλά πολλαπλασιάζουμε και διαιρούμε το δεύτερο μέλος της πρότασης με το 2:
${a}^{3}+{b}^{3}+{c}^{3}-3abc=(a+b+c)({a}^{2}+{b}^{2}+{c}^{2}-ab-bc-ca)<=>{a}^{3}+{b}^{3}+{c}^{3}-3abc=\frac{1}{2}(a+b+c)(2{a}^{2}+2{b}^{2}+2{c}^{2}-2ab-2bc-2ca)<=>{a}^{3}+{b}^{3}+{c}^{3}-3abc=\frac{1}{2}(a+b+c)[{(a-b)}^{2}+{(b-c)}^{2}+{(c-a)}^{2}]$

Guest 018946 · 23-08-11

Αρχική Δημοσίευση από catherine1994:
αυτο με τον Euler από πού το ξέρουμε;

βασικα μαλακια ειπα . Βγαινει πολυ ευκολα αν πολ/σεις την δευτερη παρενθεση της δικιας σου λυσης με 2 και διαιρεσεις με 2 σου βγαινουν ταυτοτητες μεσα στην παρενθεση και απεξω μενει το $\frac{1}{2}$
εδιτ: με προλαβες ρε φιλε

wfgl · 23-08-11

Νδο : ${a}^{4}+{b}^{4}+{c}^{4}-2{a}^{2}{b}^{2}-2{c}^{2}{b}^{2}-2{c}^{2}{a}^{2}=-(a+b+c)(-a+b+c)(a-b+c)(a+b-c)$

catherine1994 · 23-08-11

Αρχική Δημοσίευση από wfgl:
Νδο : ${a}^{4}+{b}^{4}+{c}^{4}-2{a}^{2}{b}^{2}-2{c}^{2}{b}^{2}-2{c}^{2}{a}^{2}=-(a+b+c)(-a+b+c)(a-b+c)(a+b-c)$

Μιας που πήρα φόρα πάρτε μια λύση:
α^4 +β^4 +γ^4 -2α²β²-2α²γ²-2β²γ²=α^4 +β^4 +γ^4 -2α²β²-2α²γ²-2β²γ²+4α²γ²-4α²γ²= α^4 +β^4 +γ^4 -2α²β²-2β²γ²+2α²γ²-4α²γ²= (-α²+β²-γ²)²-4α²γ²= (-α²+β²-γ²+2αγ)(-α²+β²-γ²-2αγ)=[-(α²-2αγ+γ²)+β²][-(α²+2αγ+γ²)+β²]=[β²-(α-γ)²][β²-(α+γ)²]=(β+α-γ)(β-α+γ)(β-α-γ)(β+α+γ)=-(α+β-γ)(-α+β+γ)(α+γ-β)(α+β+γ)

Guest 018946 · 23 Αυγούστου 2011

Αρχική Δημοσίευση από wfgl:
Νδο : ${a}^{4}+{b}^{4}+{c}^{4}-2{a}^{2}{b}^{2}-2{c}^{2}{b}^{2}-2{c}^{2}{a}^{2}=-(a+b+c)(-a+b+c)(a-b+c)(a+b-c)$

Ωραια ασκηση με κεντρισε το ενδειαφερον. Λοιπον εχουμε και λεμε ${a}^{4}+{b}^{4}+{c}^{4}-2{a}^{2}{b}^{2}-2{c}^{2}{b}^{2}-2{c}^{2}{a}^{2}=(a+b+c)(a-b-c)(a-b+c)(a+b-c)$ παρατηρω οτι ανα δυο οι παραστασεις ειναι συζυγεις . οποτε περνω διαφορα τετραγωνων : ${a}^{4}+{b}^{4}+{c}^{4}-2{a}^{2}{b}^{2}-2{c}^{2}{b}^{2}-2{c}^{2}{a}^{2}= [{(a+b)}^{2}-c^{2}][{(a-b)}^{2}-c^{2}] \Leftrightarrow {a}^{4}+{b}^{4}+{c}^{4}-2{a}^{2}{b}^{2}-2{c}^{2}{b}^{2}-2{c}^{2}{a}^{2}={({a}^{2}+{b}^{2})}^{2} -{c}^{2}{(a+b)}^{2}-{c}^{2}{(a-b)}^{2}+{c}^{4} \Leftrightarrow {a}^{4}+{b}^{4}+{c}^{4}-2{a}^{2}{b}^{2}-2{c}^{2}{b}^{2}-2{c}^{2}{a}^{2}={a}^{4}+{b}^{4}-2{c}^{2}{a}^{2}-2{c}^{2}{b}^{2}+{c}^{4}$

catherine1994 · 23-08-11

Αρχική Δημοσίευση από dr.tasos:
Ωραια ασκηση με κεντρισε το ενδειαφερον. Λοιπον εχουμε και λεμε ${a}^{4}+{b}^{4}+{c}^{4}-2{a}^{2}{b}^{2}-2{c}^{2}{b}^{2}-2{c}^{2}{a}^{2}=(a+b+c)(a-b-c)(a-b+c)(a+b-c)$ παρατηρω οτι ανα δυο οι παραστασεις ειναι συζυγεις . οποτε περνω διαφορα τετραγωνων : ${a}^{4}+{b}^{4}+{c}^{4}-2{a}^{2}{b}^{2}-2{c}^{2}{b}^{2}-2{c}^{2}{a}^{2} [{(a+b)}^{2}-c^{2}][{(a-b)}^{2}-c^{2}] \Leftrightarrow {a}^{4}+{b}^{4}+{c}^{4}-2{a}^{2}{b}^{2}-2{c}^{2}{b}^{2}-2{c}^{2}{a}^{2}={({a}^{2}+{b}^{2})}^{2} -{c}^{2}{(a+b)}^{2}-{(a-b)}^{2}+{c}^{4} \Leftrightarrow {a}^{4}+{b}^{4}+{c}^{4}-2{a}^{2}{b}^{2}-2{c}^{2}{b}^{2}-2{c}^{2}{a}^{2}={a}^{4}+{b}^{4}-2{c}^{2}{a}^{2}-2{c}^{2}{b}^{2}+{c}^{4}$

Α μάλιστα εσύ ξεκίνησες απο το β μελος :hmm:

antwwwnis · 23-08-11

Αρχική Δημοσίευση από catherine1994:
Α μάλιστα εσύ ξεκίνησες απο το β μελος

Συνήθως οι πράξεις είναι πιο γρήγορες από την παραγοντοποίηση!

catherine1994 · 23-08-11

Αρχική Δημοσίευση από antwwwnis:
Συνήθως οι πράξεις είναι πιο γρήγορες από την παραγοντοποίηση!

ε οι πράξεις ειναι βαρετες

Guest 018946 · 23-08-11

Αρχική Δημοσίευση από catherine1994:
ε οι πράξεις ειναι βαρετες

αμα εκανες τις παραστασεις συζυγεις και εβλεπες την διαφορα τετραγωνων ηταν πιο ευκολο απο το να σκεφτεις την συμπληρωση τετραγωνου . Προσωπικα ουτε που με περασε απο το μυαλο να το συμπληρωσω το τετραγωνο

catherine1994 · 23-08-11

Αρχική Δημοσίευση από dr.tasos:
αμα εκανες τις παραστασεις συζυγεις και εβλεπες την διαφορα τετραγωνων ηταν πιο ευκολο απο το να σκεφτεις την συμπληρωση τετραγωνου . Προσωπικα ουτε που με περασε απο το μυαλο να το συμπληρωσω το τετραγωνο

ειπα με τις πραξεις θα ειναι ευκολο, ας κανω παραγοντοποιηση :/:

Συλλογή ασκήσεων στην Άλγεβρα

Guest 018946

Επισκέπτης

Νεοφερμένος

Διάσημο μέλος

Νεοφερμένος

Guest 018946

Επισκέπτης

Πολύ δραστήριο μέλος

Guest 018946

Επισκέπτης

Πολύ δραστήριο μέλος

Guest 018946

Επισκέπτης

Τιμώμενο Μέλος

Νεοφερμένος

Guest 018946

Επισκέπτης

Νεοφερμένος

Πολύ δραστήριο μέλος

Guest 018946

Επισκέπτης

Πολύ δραστήριο μέλος

Διάσημο μέλος

Πολύ δραστήριο μέλος

Guest 018946

Επισκέπτης

Πολύ δραστήριο μέλος