Η άσκηση του διημέρου

Dias · 25-04-11

Αρχική Δημοσίευση από 13diagoras:
Περασε το διημερο και ασκησεις δεν εχουμε

Για να μην κλαις, πάρε για πρωινό αυτή που βρήκα πρόχειρη:

tebelis13 · 25-04-11

Αρχική Δημοσίευση από Dias:
Για να μην κλαις, πάρε για πρωινό αυτή που βρήκα πρόχειρη:

Επειδή βαρίεμαι το λάτεξ θα εκφράσω κάποιες σκέψεις

α)Mετά από 2 αρχικές και c1=0 ,c2=1 $f(x)=+\sqrt{e^x}$ εφόσον f(0)=+1
b)Θεωρώ όλο το παλούκι συνάρτηση(ας πούμε h(x)=∫....-2χ+1).Ξέρω ότι $f^2(t)=e^t$ .
h'(x)=(g(x)/1+e^x)-1 και εφόσον η g σ.τ. το [0,1] -> h'(x)<0
h(0)=1
h(1)=∫....-1 αλλά εφόσον g(x)<=1 τότε και το ολοκλήρωμα απο το 0 έως το 1 μικρότερο του 1.=>h(1)<0
Bolzano + μονοτονία και κλείσαμε

vassilis498 · 25-04-11

την f πώς τη βρήκες, πήρες περιπτώσεις και διαίρεσες; αν δεν σου είναι κόπος μπορείς να γράψεις μια το πρώτο ερώτημα όταν βρεις χρόνο;

tebelis13 · 25-04-11

Αρχική Δημοσίευση από vassilis497:
την f πώς τη βρήκες, πήρες περιπτώσεις και διαίρεσες; αν δεν σου είναι κόπος μπορείς να γράψεις μια το πρώτο ερώτημα όταν βρεις χρόνο;

$(f'(x)*f(x))'=(f^2(x)/2)' \Rightarrow 2f'(x)*f(x)=f^2(x)+2c1$ για x=0 -> c1=0 $\Rightarrow 2f'(x)*f(x)=f^2(x) \Leftrightarrow 2f'(x)*f(x)-f^2(x)=0 \Leftrightarrow (e^-x)*(f^2(x))'+(e^-x)'*f^2(x)=0 \Leftrightarrow f^2(x)=c2*e^x$ για χ=0 c2=1 $\Leftrightarrow f^2(x)=e^x \Leftrightarrow f(x)=+\sqrt{e^x} \eta f(x)=-\sqrt{e^x} \gamma \iota \alpha x=0 f(0)=1 \eta f(0)=-1$ και εφόσον $f(0)=1$ άρα $f(x)=+\sqrt{e^x}$

Υ.Γ.Ελπίζω να καταλαβαίνεις τι λέω,δεν τα πηγαίνω πολύ καλά με το λάτεξ.

Για πρόσεξε πως ομιλείς σε παρακαλώ πολύ :nono:

vassilis498 · 25-04-11

Αρχική Δημοσίευση από tebelis13:
$(f'(x)*f(x))'=(f^2(x)/2)' \Rightarrow 2f'(x)*f(x)=f^2(x)+2c1$ για x=0 -> c1=0 $\Rightarrow 2f'(x)*f(x)=f^2(x) \Leftrightarrow 2f'(x)*f(x)-f^2(x)=0 \Leftrightarrow (e^-x)*(f^2(x))'+(e^-x)'*f^2(x)=0 \Leftrightarrow f^2(x)=c2*e^x$ για χ=0 c2=1 $\Leftrightarrow f^2(x)=e^x \Leftrightarrow f(x)=+\sqrt{e^x} \eta f(x)=-\sqrt{e^x} \gamma \iota \alpha x=0 f(0)=1 \eta f(0)=-1$ και εφόσον $f(0)=1$ άρα $f(x)=+\sqrt{e^x}$

Υ.Γ.Ελπίζω να καταλαβαίνεις τι λέω,δεν τα πηγαίνω πολύ καλά με το λάτεξ.

Για πρόσεξε πως ομιλείς σε παρακαλώ πολύ :nono:

ωραία, καλά ρώτησα γιατί εγώ το έκανα αλλιώς και δεν ξέρω και αν είναι σωστό ( μετά την πρώτη αντιπαραγωγηση αντί να τα πάω στο πρώτο μέλος να πολλαπλασιάσω με e^-x είπα για τα χ τέτοια ώστε η φ δε μηδενίζεται... και διαίρεσα για να απορρίψω τα υπόλοιπα μετά λόγω συνέχειας παραγώγου)
κάτι μόνο πριν βάλεις τη ρίζα πρέπει να πεις ότι διατηρεί πρόσημο για να απορριφθεί η διπλότυπη λύση έτσι.

ας ηρεμήσουν τα πνεύματα

tebelis13 · 25-04-11

Αρχική Δημοσίευση από vassilis497:
ωραία, καλά ρώτησα γιατί εγώ το έκανα αλλιώς και δεν ξέρω και αν είναι σωστό ( μετά την πρώτη αντιπαραγωγηση αντί να τα πάω στο πρώτο μέλος να πολλαπλασιάσω με e^-x είπα για τα χ τέτοια ώστε η φ δε μηδενίζεται... και διαίρεσα για να απορρίψω τα υπόλοιπα μετά λόγω συνέχειας παραγώγου)
κάτι μόνο πριν βάλεις τη ρίζα πρέπει να πεις ότι διατηρεί πρόσημο για να απορριφθεί η διπλότυπη λύση έτσι.

ας ηρεμήσουν τα πνεύματα

την απέρριψα τη μία ρε.απλά έβαλα ρίζα και έβγαλα δύο περιπτώσεις.έβαλα στην κάθε μια χ=0 και εφόσον διατηρεί θετικό πρόσημο απέρριψα την άλλη.

ποιός νομίζεις πως είσαι,ο λεωνίδας?

vassilis498 · 25-04-11

Αρχική Δημοσίευση από tebelis13:
την απέρριψα τη μία ρε.απλά έβαλα ρίζα και έβγαλα δύο περιπτώσεις.έβαλα στην κάθε μια χ=0 και εφόσον διατηρεί θετικό πρόσημο απέρριψα την άλλη.

ποιός νομίζεις πως είσαι,ο λεωνίδας?

εγώ λέω για την τρίτη περίπτωση

. Αν δηλαδή θες να βάλεις ρίζα στο τετράγωνο μιας συνάρτησης έχεις για περιπτώσεις μια θετική λύση, μία αρνητική λύση, και μία διπλού τύπου, που για κάποια χ είναι αρνητική (-ρίζα) και για κάποια άλλα θετική (+ρίζα). Πρώτα γενικά λες ότι εφόσον η συνάρτηση είναι συνεχής και δεν μηδενίζεται διατηρεί πρόσημο, άρα η τρίτη περίπτωση απορρίπτεται, και μετά πας να απορρίψεις τη μία από τις άλλες 2. εκτός κι αν εννοούσες αυτό οπότε εντάξει βλακεία μου

ο φρεδερίκος

lowbaper92 · 26-04-11

Σόρρυ για την καθυστέρηση αλλά όλη μέρα είμαι έξω :popcorn:

Βάζω μία που βρήκα πρόχειρα και θα κοιτάξω στο αρχείο μου να βρω καμιά άλλη ασκησούλα

Άσκηση 14

Δίνεται η δύο φορές παραγωγίσιμη συνάρτηση f με $f(x+1)=f(x)+3x$ για κάθε x στο R

A)
α) Να δείξετε ότι υπάρχουν $\xi ,{x}_{0}\in \left(0,1 \right):f'\left(\xi \right)=0\; \kappa \alpha \iota \; f''\left({x}_{0} \right)=3$

β) $\int_{\xi }^{\xi +1}xf''\left(x \right)dx=3$

B) Αν επιπλέον $\int_{0}^{2}f\left(x \right)dx=2$

α) Να υπολογίσετε το $I=\int_{0}^{1}f\left(x \right)dx$

β) Να βρείτε τη συνάρτηση g για την οποία $g\left(x \right)=\int_{x}^{x+1}f\left(t \right)dt$

vassilis498 · 26-04-11

Αρχική Δημοσίευση από lowbaper92:
Άσκηση 14

Δίνεται η δύο φορές παραγωγίσιμη συνάρτηση f με $f(x+1)=f(x)+3x$ για κάθε x στο R

A)
α) Να δείξετε ότι υπάρχουν $\xi ,{x}_{0}\in \left(0,1 \right):f'\left(\xi \right)=0\; \kappa \alpha \iota \; f''\left({x}_{0} \right)=3$

β) $\int_{\xi }^{\xi +1}xf''\left(x \right)dx=3$

B) Αν επιπλέον $\int_{0}^{2}f\left(x \right)dx=2$

α) Να υπολογίσετε το $I=\int_{0}^{1}f\left(x \right)dx$

β) Να βρείτε τη συνάρτηση g για την οποία $g\left(x \right)=\int_{x}^{x+1}f\left(t \right)dt$

α) Αντικαθιστώ στη σχέση x=0, Rolle και βγήκε.
για το άλλο
παραγωγίζω τη σχέση, αντικαθιστώ πάλι x=0 και κάνω ΘΜΤ στο (0,1) στην f'(x)

β)
$\int_{x}^{x+1}tf''(t)dt=\left[tf'(t) \right]-\int_{x}^{x+1}f'(t)dt=\left[tf'(t) \right]-\left[f(t) \right]=(x+1)f'(x+1)-xf'(x)-f(x+1)+f(x)=(x+1)[f'(x)+3]-xf'(x)-3x=xf'(x)+3x+f'(x)+3-xf'(x)-3x=f'(x)+3$

έστω h(x)= $\int_{x}^{x+1}tf''(t)dt=f'(x)+3,x\epsilon R$

αν αντικαταστήσω το ξ του πρώτου ερωτήματος έχω τη σχέση που θέλω.

Β) α)

$I=\int_{0}^{1}f(x)dx=\int_{0}^{2}f(x)dx-\int_{1}^{2}f(x)dx=2-\int_{0}^{1}f(x+1)dx=2-\int_{0}^{1}[f(x)+3x]dx=2-I-\int_{0}^{1}3xdx=2-I-\left[\frac{3}{2}{x}^{2} \right]=\frac{1}{2}-I\Leftrightarrow I=\frac{1}{2}-I\Leftrightarrow I=1/4$
(εκεί με το x+1 έθεσα u=x-1 και άλλαξα μεταβλητή)

β)
$g'(x)=f(x+1)-f(x)=3x\Rightarrow g(x)=\frac{3}{2}{x}^{2}+c\Leftrightarrow (x=0\Leftrightarrow g(0)=1/4\Leftrightarrow c=1/4)=\frac{3}{2}{x}^{2}+1/4,x\epsilon R$

στις αγκίλες εννοούνται όπου είναι τα άκρα έτσι, απλά δεν ήξερα πώς να τα βάλω

edit: πρόλαβα :devil:

13diagoras · 26-04-11

Αρχική Δημοσίευση από Dias:
Για να μην κλαις, πάρε για πρωινό αυτή που βρήκα πρόχειρη:

Αν και την ειδα τωρα, την ελυσα ,οντως,για πρωινο χτες(τυχαιο?) :confused:

Επαναληπτικες του 3 ,αν δεν κανω λαθος? [12 μορια για το α) και 13 για το β)

]

lowbaper92 · 27-04-11

Άσκηση 15

Έστω η συνεχής συνάρτηση f για την οποία ισχύει $f\left(x \right)=\int_{0}^{x}\frac{1}{1+{e}^{f\left(t \right)}}dt+1,\; \forall x\in R$
α) Να δείξετε ότι η f αντιστρέφεται και να βρείτε την αντίστροφη
β) Να υπολογίσετε το εμβαδόν του χωρίου που περικλείεται από τη γραφική παράσταση της f, τους άξονες x'x y'y και την ευθεία x= -e
γ) Να υπολογίσετε το $\int_{-e}^{0}\frac{1}{1+{e}^{f\left(x \right)}}dx$
δ) Να λύσετε την ανίσωση
$-1+f\left({f}^{-1}\left(x \right) +3\right)<\int_{0}^{3}\frac{1}{1+{e}^{f\left(x \right)}}dx$

tebelis13 · 27-04-11

Αρχική Δημοσίευση από lowbaper92:
Άσκηση 15

Έστω η συνεχής συνάρτηση f για την οποία ισχύει $f\left(x \right)=\int_{0}^{x}\frac{1}{1+{e}^{f\left(t \right)}}dt+1,\; \forall x\in R$
α) Να δείξετε ότι η f αντιστρέφεται και να βρείτε την αντίστροφη
β) Να υπολογίσετε το εμβαδόν του χωρίου που περικλείεται από τη γραφική παράσταση της f, τους άξονες x'x y'y και την ευθεία x= -e
γ) Να υπολογίσετε το $\int_{-e}^{0}\frac{1}{1+{e}^{f\left(x \right)}}dx$
δ) Να λύσετε την ανίσωση
$-1+f\left({f}^{-1}\left(x \right) +3\right)<\int_{0}^{3}\frac{1}{1+{e}^{f\left(x \right)}}dx$

a) $f'(x)=\frac{1}{1+{e}^{f(x)}}>0$ η f γν.αύξουσα
$f'(x)=\frac{1}{1+{e}^{f(x)}} \Rightarrow f'(x)+f'(x){e}^{f(x)}=1 \Rightarrow f(x)+{e}^{f(x)}=x+c \Rightarrow f(x)+{e}^{f(x)}=x+1+e$

για $x\rightarrow {f}^{-1}(x) \Rightarrow {f}^{-1}(x)=x+e^x-e-1$

b) $E=\int_{-e}^{0}f(x)dx$ θέτω $x \rightarrow {f}^{-1}(y)$
για $x=0 \rightarrow y=1$
για $x=-e \rightarrow y=0$
άρα $\Rightarrow E=\int_{0}^{1}y({f}^{-1}(y))'dy=\int_{0}^{1}y(1+e^y)=......=3/2 \tau \mu$

c) $\int_{-e}^{0}\frac{1}{1+{e}^{f(x)}}dx=\int_{-e}^{0}f'(x)dx=\left[f(x) \right]=1$

d) $-1+f({f}^{-1}(x)+3)<\left[f(x) \right]\Rightarrow f({f}^{-1}(x)+3)<f(3)\Rightarrow {f}^{-1}(x)<0 \Leftrightarrow x+e^x-e-1<0$
έστω
$h(x)=x+e^x \Rightarrow h'(x)=1+e^x>0 \rightarrow x<1 \Rightarrow h(x)<h(1) x+e^x-e-1<0$
άρα στην πάνω $\Rightarrow x<1$

p.s.πολλές ασκήσεις με αντίστροφες ρε αδερφέ

vassilis498 · 27-04-11

p.s.πολλές ασκήσεις με αντίστροφες ρε αδερφέ

γενικά απ' ότι ακούω παίζει πολύ φέτος η αντίστροφη

lowbaper92 · 29-04-11

Ας επιστρέψουμε στα λίγο πιο δύσκολα
Άσκηση 16

Έστω συνεχής συνάρτηση f:R->R με $f\left(x \right)\neq 0$ για κάθε x στο R και $f\left(1 \right)=\frac{1}{2},\; f\left(3 \right)=2$
Αν ισχύει $f\left(f\left(x \right)+1 \right)\cdot f\left(f\left(x \right) \right)=f\left(f\left(x \right) +3\right)\cdot f\left(f\left(x \right)+2 \right),\; \forall x\in R$ να αποδείξετε ότι:

α) $f\left(1 \right)\cdot f\left(2 \right)=f\left(3 \right)\cdot f\left(4 \right)$

β) Υπάρχει ${x}_{0}\in \left[1,2 \right]:{f}^{2}\left({x}_{0} \right)=f\left(1\right)\cdot f\left(2 \right)$

γ) H f δεν αντιστρέφεται

lenbias · 29 Απριλίου 2011

Για το α) η f είναι συνεχής στο [1,3], f(1)<>f(3) άρα από θετ υπάρχει κ ανήκει στο [1,3] ώστε f(k)=1 (1)Aντικαθιστώντας στην δοσμένη βγαίνει το ζητούμενο.

Για το β) έστω g(x)=f(x)^2 -f(1)f(2) Για f(1)=f(2) έχει ρίζες τα 1,2.Για f(1)<>f(2) εχουμε g(1)=f(1)^2 - f(1)f(2)=>g(1)=f(1)[f(1)-f(2)] ,g(2)=f(2)[f(2)-f(1)]
oπότε g(1)*g(2)=-f(1)f(2)*[f(1)-f(2)]^2 (2) όμως αφού f(x)<>0 και συνεχής διατηρεί σταθερό πρόσημο και μάλιστα θετικό αφού f(1)>0.Oπότε η(2) ειναι μικροτερη του μηδενός.Και επειδη g συνεχής στο [1,2] ισχύει bolzanno.Άρα σε κάθε περίπτωση εχει λύση στο [1,2].....

Για το γ) λόγω β) f(xo)=√ f(1)*f(2) (μόνο η θετική ρίζα γιατί όπως είπαμε στο β) f(x)>0)
f(3)<>f(4) και f συνεχής στο [3,4] άρα απο θετ υπάρχει λ στο (3,4) ώστε f(λ)=√ f(3)*f(4)
Αρα λόγω α) f(xo)=f(λ) με χο<>λ άρα η f δεν είναι 1-1 οπότε δεν αντιστρέφεται...

Κάπως έτσι πρέπει να πηγαίνει.Σόρρυ για την διατύπωση δεν το έχω το latex...

vassilis498 · 29-04-11

παιδιά, καλύτερα τις λύσεις σε spoiler σε περίπτωση που θέλει να την προσπαθήσει και κάποιος μόνος του.
το spoiler μπαίνει αν βάλεις το κείμενο σε [sρoiler]...... [/spoiler]

vassilis498 · 01-05-11

καμιά άλλη άσκηση παίζει;

tebelis13 · 01-05-11

Βάλε εσύ καμία.

lowbaper92 · 01-05-11

Τις βασικότερες ασκήσεις που είχα υπόψιν τις έβαλα. Αν βρω καμιά άλλη που να πιστεύω ότι αξίζει, θα την ανεβάσω. Πάντως καθώς οι μέρες περνούν θα πρέπει να αφήσετε τα Μαθηματικά και να ασχοληθείτε με την αχώνευτη έκθεση. Καλό διάβασμα-Καλή επιτυχία

ΥΓ. Απ'ότι βλέπω έχουν ανέβει πολλές επαναληπτικές στο mathematica στο φάκελο "Ασκήσεις σε όλη την ύλη"

vassilis498 · 01-05-11

Βάζω μια μικρή μην παραπονιέστε

αφού την έγραψα που την έγραψα

Δίνονται οι συνεχείς συναρτήσεις $f,g:[0,+\propto )\rightarrow R$ με f(x)>0, g(x)>0 για κάθε $x\geq 0$ τέτοιες ώστε να ισχύουν:

$1+\int_{0}^{x}f(t)dt=\frac{1}{g(x)}$
και
$1+2\int_{0}^{x}g(t)dt=\frac{2}{f(x)}$

για κάθε $x\geq 0$

α) Να αποδείξετε ότι f(x)=2g(x) για κάθε $x\geq 0$
β) Να βρείτε τις συναρτήσεις f,g.

(Επειδή τις ασκήσεις μου τις δίνουν από φροντιστήριο και παίζει να ναι κι από κάνα βοήθημα αν σας θυμίζει τίποτα μη με πάρετε με τις ντομάτες)

Η άσκηση του διημέρου

Επιφανές μέλος

Πολύ δραστήριο μέλος

Διακεκριμένο μέλος

Πολύ δραστήριο μέλος

Διακεκριμένο μέλος

Πολύ δραστήριο μέλος

Διακεκριμένο μέλος

Πολύ δραστήριο μέλος

Διακεκριμένο μέλος

Δραστήριο μέλος

Πολύ δραστήριο μέλος

Πολύ δραστήριο μέλος

Διακεκριμένο μέλος

Πολύ δραστήριο μέλος

Εκκολαπτόμενο μέλος

Διακεκριμένο μέλος

Διακεκριμένο μέλος

Πολύ δραστήριο μέλος

Πολύ δραστήριο μέλος

Διακεκριμένο μέλος