έστω οι συναρτήσεις
όλες ορισμένες στο R.
={e}^{x}+1>0)
, άρα h(x) γν αύξουσα
=x{e}^{x}+{e}^{x}+1)
και
από πινακάκι στο R βλέπω ότι η g' έχει ελάχιστο στο x=-2, στο οποίο είναι θετική. g'(x)>0, άρα g(x) γν. αύξουσα
από όρια στο -οο και το +οο βλέπω ότι h και g έχουν σύνολο τιμών το R.
=x{e}^{x})
, από πινακάκι στο R βλέπω ότι έχει ελάχιστο στο x=0 στο οποίο κάνει -1.
επίσης
=+\propto )
, άρα το σύνολο τιμών της p(x) είναι το [-1, +οο).
τώρα
α) με βάση τις συναρτήσεις που έχω θέσει η σχέση που μου δίνεται γίνεται
για x1,x2 στο R τέτοια ώστε x1<x2
<g(x2)\Leftrightarrow h(f(x1))<h(f(x2))\Leftrightarrow f(x1)<f(x2))
άρα f γν αύξουσα και "1-1".
συνεπώς για
β) ξέρω ότι f γν. αύξουσα άρα από ορισμό ( 2 σχέσεις και προσθέτω κατά μέλη) q(x) γν αύξουσα άρα και "1-1"
γ) στην σχέση που δίνεται αντικαθιστώ x=0 και έχω
έστω ότι f(x)<0 για κάθε x στο R.
<0\Leftrightarrow h(f(x))<h(0)\Leftrightarrow g(x)<1)
άτοπο γιατί έχει σύνολο τιμών το R , άρα έχω x1 τέτοιο ώστε f(x1)>0
f συνεχής, από Bolzano, έχω Xo ανάμεσα σε αυτό και το 0 τέτοιο ώστε f(Xo)=0
δ) έστω f(x)>x για κάθε x στο R.
>x\Leftrightarrow h(f(x))>h(x)\Leftrightarrow g(x)>h(x)\Leftrightarrow g(x)-h(x)>0\Leftrightarrow p(x)>0)
, άτοπο γιατί η p(x) παίρνει και αρνητικές τιμές.
αντίστοιχα για f(x)<x
άρα έχω ένα τουλάχιστον x τέτοιο ώστε f(x)=x
ε) h(x) γν αύξουσα, "1-1" και αντιστρέψιμη
)=g(x)\Leftrightarrow f(x)={h}^{-1}(g(x)))
επίσης
για x1,x2 στο R τέτοια ώστε x1<x2
< h({h}^{-1}(x2)\Leftrightarrow {h}^{-1}(x1)<{h}^{-1}(x2))
, άρα

γν. αύξουσα
επίσης αφού το πεδίο ορισμού της h είναι το R, και το σύνολο τιμών της αντίστροφης είναι το R.
άρα
=-\propto )
και
=\lim_{x\rightarrow -\propto }{h}^{-1}(g(x)))
θέτω u=g(x)
άρα το όριο γίνεται
=-\propto )
αντίστοιχα και το άλλο όριο.
Επίσης f γν. αύξουσα άρα το σύνολο τιμών της είναι το R.