Βοήθεια/Απορίες στην Άλγεβρα

[Manthak47]

Καλά πας, βέβαια δεν δικαιολογείς το γιατί αφαιρείς τους λογάριθμους κρατώντας τη φορά της ανισότητας.
Δεν είναι απαραίτητο, αλλά για να μην κάνεις εσύ ο ίδιος λάθος, καλύτερα πες ότι "η βάση του λογαρίθμου είναι μεγαλύτερη του 1, άρα η συνάρτηση αυτή είναι γνησίως αύξουσα, άρα ισχύει η ίδια φορά της ανισότητας".
Στο σημείο που έφτασες ξέρεις φυσικά πώς να τη λύσεις. Να φανταστώ πήγες το 10 στο πρώτο μέλος, έκανες ομώνυμα, κλπ. Μπορείς βέβαια να πάρεις και περιπτώσεις, δλδ αν ο παρονομαστής είναι θετικός, τότε κάνεις απαλοιφή παρονομαστών κρατώντας τη φορά. Αν είναι αρνητικός την αλλάζεις, κλπ. Οι λύσεις βέβαια είναι λιγάκι... λιγάκι! Αν δεν έκανα κάπου λάθος, το x ανήκει στο διάστημα (2/5, 23/54).

 

Σημείωση: Το μήνυμα αυτό γράφτηκε 14 χρόνια πριν. Ο συντάκτης του πιθανόν να έχει αλλάξει απόψεις έκτοτε.

[Dias]

Καλά πας, βέβαια δεν δικαιολογείς το γιατί αφαιρείς τους λογάριθμους κρατώντας τη φορά της ανισότητας.
Δεν είναι απαραίτητο, αλλά για να μην κάνεις εσύ ο ίδιος λάθος, καλύτερα πες ότι "η βάση του λογαρίθμου είναι μεγαλύτερη του 1, άρα η συνάρτηση αυτή είναι γνησίως αύξουσα, άρα ισχύει η ίδια φορά της ανισότητας".
Στο σημείο που έφτασες ξέρεις φυσικά πώς να τη λύσεις. Να φανταστώ πήγες το 10 στο πρώτο μέλος, έκανες ομώνυμα, κλπ. Μπορείς βέβαια να πάρεις και περιπτώσεις, δλδ αν ο παρονομαστής είναι θετικός, τότε κάνεις απαλοιφή παρονομαστών κρατώντας τη φορά. Αν είναι αρνητικός την αλλάζεις, κλπ. Οι λύσεις βέβαια είναι λιγάκι... λιγάκι! Αν δεν έκανα κάπου λάθος, το x ανήκει στο διάστημα (2/5, 23/54).

Σ΄ ευχαριστώ πολύ και για την επιβεβαίωση και για τις παρατηρήσεις σου. Ενώ ξέρω για την μονοτονία της λογαριθμικής θεώρησα αυτονόητο ότι είναι γνησίως αύξουσα γιατί αφού χρησιμοποιούμε μόνο δεκαδικούς και νεπέριους που έχουν βάση μεγαλύτερη του ένα, ξέχασα ότι αυτό δεν είναι γενικό. Έχεις δίκιο σε μια λύση πρέπει να υπάρχει πλήρης δικαιολόγηση για όλα. Για την κλασματική ανισότητα μην ανησυχείς τα ξέρω τα βρώμικα. Υπάρχει και το άλλο κόλπο να κάνεις απαλοιφή παρονομαστών με το να πολλαπλασιάζεις και τα δύο μέλη με το τετράγωνο του παρονομαστή. Για τα αποτελέσματα συμφωνούμε. Εγώ τα βρίσκω πολύ όμορφα γιατί το να βγαίνουν ρητές ρίζες μετά τόσες πράξεις είναι ένα μικρό θαύμα.

 

Σημείωση: Το μήνυμα αυτό γράφτηκε 14 χρόνια πριν. Ο συντάκτης του πιθανόν να έχει αλλάξει απόψεις έκτοτε.

[Manthak47]

Σ΄ ευχαριστώ πολύ και για την επιβεβαίωση και για τις παρατηρήσεις σου. Ενώ ξέρω για την μονοτονία της λογαριθμικής θεώρησα αυτονόητο ότι είναι γνησίως αύξουσα γιατί αφού χρησιμοποιούμε μόνο δεκαδικούς και νεπέριους που έχουν βάση μεγαλύτερη του ένα, ξέχασα ότι αυτό δεν είναι γενικό. Έχεις δίκιο σε μια λύση πρέπει να υπάρχει πλήρης δικαιολόγηση για όλα. Για την κλασματική ανισότητα μην ανησυχείς τα ξέρω τα βρώμικα. Υπάρχει και το άλλο κόλπο να κάνεις απαλοιφή παρονομαστών με το να πολλαπλασιάζεις και τα δύο μέλη με το τετράγωνο του παρονομαστή. Για τα αποτελέσματα συμφωνούμε. Εγώ τα βρίσκω πολύ όμορφα γιατί το να βγαίνουν ρητές ρίζες μετά τόσες πράξεις είναι ένα μικρό θαύμα.

Για τα έντονα: Πολύ nice κολπάκι! Να το χρησιμοποιούμε από δω και πέρα! Θενκς
Για τα υπογραμμισμένα: Όντως πάλι καλά που οι ρίζες είναι ρητές. Απλά δεν είχα συνηθίσει τέτοιες ρίζες, ξέρεις. Στις ασκήσεις μέχρι τώρα βλέπω συνήθως ακέραια νούμερα.
Και για τις πανελλήνιες, τα νούμερα στα Μαθηματικά Κατεύθυνσης πάντα βγαίνουν. Στα Μαθηματικά Γενικής είναι που μπορεί να έχεις καμιά διακρίνουσα 33 και ύστερα να τρέχεις...

 

Σημείωση: Το μήνυμα αυτό γράφτηκε 14 χρόνια πριν. Ο συντάκτης του πιθανόν να έχει αλλάξει απόψεις έκτοτε.

[Dias]

Στις ασκήσεις μέχρι τώρα βλέπω συνήθως ακέραια νούμερα....

Αυτό με τα νούμερα να βγαίνουν ακριβώς είναι πολύ πονεμένη ιστορία. Μας είπε ο καθηγητής μας ότι μια χρονιά στις πανελλήνιες στη φυσική μια ταχύτητα έβγαινε ρίζα που δεν ήταν ρητός και πολλοί συνηθισμένοι από τις ασκήσεις που βγαίναν τα αποτελέσματα ακριβώς νόμισαν ότι έκαναν λάθος. Μας είπε ότι καθώς διόρθωνε τα γραπτά των πανελληνίων του έτυχαν πολλά που είχαν βρει σωστά το αποτέλεσμα και το έσβησαν!!!!

 

Σημείωση: Το μήνυμα αυτό γράφτηκε 14 χρόνια πριν. Ο συντάκτης του πιθανόν να έχει αλλάξει απόψεις έκτοτε.

[Leo 93]

Nα ρωτήσω κάτι γενικό.

Διάβαζα για τις φραγμένες συναρτήσεις και έχω την εξής απορία:

Έστω μία παράσταση της μορφής -κ=<f(x)=<λ (κ,λ>0 και σταθερά). Η παράσταση αυτή δηλώνει ότι έχουμε ελάχιστο και μέγιστο για -κ και λ αντίστοιχα ή δίνει τα κάτω και άνω φράγματα -κ, λ;
Για να εμφανιστούν μέγιστα και ελάχιστα δεν θα πρεπε να είναι της μορφής f(x1)=<f(x)=<f(x2);;

Παράδειγμα:
Δίνεται η παράσταση φ(χ) = 2συνφ +5 και και ζητείται η μέγιστη και ελάχιστη τιμή της. Mόνο από την ανισότητα -3 =< φ(χ) = <7 συμπερένουμε ότι παρουσιάζει max y_max = 7 και y_min = 3. Αυτό είναι σωστό; Δε θα πρεπε να υπάρχουν χ1, χ2 τέτοια ώστε φ(x1)=<φ(x)=<φ(x2);

 

Σημείωση: Το μήνυμα αυτό γράφτηκε 14 χρόνια πριν. Ο συντάκτης του πιθανόν να έχει αλλάξει απόψεις έκτοτε.

[Dias]

Έστω μία παράσταση της μορφής -κ=<f(x)=<λ (κ,λ>0 και σταθερά). Η παράσταση αυτή δηλώνει ότι έχουμε ελάχιστο και μέγιστο για -κ και λ αντίστοιχα ή δίνει τα κάτω και άνω φράγματα -κ, λ; Για να εμφανιστούν μέγιστα και ελάχιστα δεν θα πρεπε να είναι της μορφής f(x1)=<f(x)=<f(x2);;
Παράδειγμα: Δίνεται η παράσταση φ(χ) = 2συνφ +5 και και ζητείται η μέγιστη και ελάχιστη τιμή της. Mόνο από την ανισότητα -3 =< φ(χ) = <7 συμπερένουμε ότι παρουσιάζει max y_max = 7 και y_min = 3. Αυτό είναι σωστό; Δε θα πρεπε να υπάρχουν χ1, χ2 τέτοια ώστε φ(x1)=<φ(x)=<φ(x2);

Όπως τα λες είναι. Μια σχέση -κ=<f(x)=<λ δεν δίνει μέγιστα και ελάχιστα αν δεν είναι -κ=f(x1) και λ=f(x2). Στο παράδειγμα όμως είναι 3=φ(π) και 7=φ(0) έτσι συμπεραίνουμε ότι min=3 και max=7.

 

Σημείωση: Το μήνυμα αυτό γράφτηκε 14 χρόνια πριν. Ο συντάκτης του πιθανόν να έχει αλλάξει απόψεις έκτοτε.

[Leo 93]

Ευχαριστώ για το ενδιαφέρον Δία.

 

Σημείωση: Το μήνυμα αυτό γράφτηκε 14 χρόνια πριν. Ο συντάκτης του πιθανόν να έχει αλλάξει απόψεις έκτοτε.

[13diagoras]

Σε περιπτωση ομως που δεν εχει τιμες η συναρτηση που να επαληθευουν τα ακρα που βρικαμε απο την ανισοτητα τοτε τι λεμε ?
Οτι δεν μπορουμε να ξερουμε ,ή μεχρι τοτε θα μας καλυπτει υλη της γ' ?

Σε περιπτωση ομως που δεν εχει τιμες η συναρτηση που να επαληθευουν τα ακρα που βρηκαμε απο την ανισοτητα τοτε τι λεμε ?
Οτι δεν μπορουμε να ξερουμε ,ή μεχρι τοτε θα μας καλυπτει υλη της γ' ?

 

Σημείωση: Το μήνυμα αυτό γράφτηκε 14 χρόνια πριν. Ο συντάκτης του πιθανόν να έχει αλλάξει απόψεις έκτοτε.

[Dias]

Σε περιπτωση ομως που δεν εχει τιμες η συναρτηση που να επαληθευουν τα ακρα που βρήκαμε απο την ανισοτητα τοτε τι λεμε ? Οτι δεν μπορουμε να ξερουμε ,ή μεχρι τοτε θα μας καλυπτει υλη της γ' ?

Νομίζω ότι στην περίπτωση αυτή η συνάρτηση δεν έχει ακρότατα. Δεν ξέρω αν παίζει κάτι με όρια και ασύμπτωτες. Ας μας πουν όσοι ξέρουν πιο πολλά από εμάς.

 

Σημείωση: Το μήνυμα αυτό γράφτηκε 14 χρόνια πριν. Ο συντάκτης του πιθανόν να έχει αλλάξει απόψεις έκτοτε.

[13diagoras]

Νομίζω ότι στην περίπτωση αυτή η συνάρτηση δεν έχει ακρότατα. Δεν ξέρω αν παίζει κάτι με όρια και ασύμπτωτες. Ας μας πουν όσοι ξέρουν πιο πολλά από εμάς.

Πως γινεται να μην εχει ακροτατα?


εδιτ: μια χαρα γινεται αλλα οντως..ας μας πουν οι μεγαλυτεροι (ας βαλω και γω πικ γιατι ζηλεψα)

Ας βαλω μια η οποια αποτελει υλη της Α' ουσιαστικα...
Αν α+β=2 ν.δ.ο. αβ≤1
(μηπως εχει κατι το λατεχ??γιατι δεν λειτουργει σε μενα)

 

Σημείωση: Το μήνυμα αυτό γράφτηκε 14 χρόνια πριν. Ο συντάκτης του πιθανόν να έχει αλλάξει απόψεις έκτοτε.

[Dias]

Ας βαλω μια η οποια αποτελει υλη της Α' ουσιαστικα...
Αν α+β=2 ν.δ.ο. αβ≤1
(μηπως εχει κατι το λατεχ??γιατι δεν λειτουργει σε μενα)

Θέτω αβ=κ, άρα α,β ρίζες της χ²-2χ+κ=0 με Δ = 4-4κ και για να έχει πραγματικές ρίζες κ≤1.
(Δεν ξέρω για το lastex, δεν το φοράω ποτέ)

 

Σημείωση: Το μήνυμα αυτό γράφτηκε 14 χρόνια πριν. Ο συντάκτης του πιθανόν να έχει αλλάξει απόψεις έκτοτε.

[13diagoras]

μπραβο ρε παιχτη...βεβαια βγαινει και με το εστω οτι ισχυει καταληγοντας σε κατι το πρωφανες ή γνωστο!
προσπαθουσα να τα βγαλω με υψωση της αρχικης αλλα τιποτα...γενικα αλλοι τροποι υπαρχουνε??θα εχει ενδιαφερον!

 

Σημείωση: Το μήνυμα αυτό γράφτηκε 14 χρόνια πριν. Ο συντάκτης του πιθανόν να έχει αλλάξει απόψεις έκτοτε.

[Mysnoula]

Προσπαθησα να λύσω το παρακάτω προβλημα αλλά έχω κολήσει.
2^ημχ * 4^ημχσυνχ = 2^ημ3χ

το χω φτάσει μέχρι: ημχ + ημ2χ = ημ3χ
κ μετά συνέχισα λίγο αλλά δεν έβγαζε νόημα! παρακαλώ βοηθήστε με.

 

Σημείωση: Το μήνυμα αυτό γράφτηκε 14 χρόνια πριν. Ο συντάκτης του πιθανόν να έχει αλλάξει απόψεις έκτοτε.

[Dias]

το χω φτάσει μέχρι: ημχ + ημ2χ = ημ3χ

Το κάνεις: ημ3χ - ημχ = ημ2χ και χρησιμοποιείς τον τύπο ημΑ - ημΒ της παραγράφου 1.5. (Το ξέρω ότι είναι εκτός ύλης αλλά μου είπανε ότι χρειάζεται πολύ του χρόνου στη φυσική).

Περίμενε!!!!! Βρήκα τρόπο χωρίς τύπο εκτός ύλης!!!!

Έχουμε την εξίσωση: ημ3χ - ημχ = ημ2χ (1)
Λοιπόν: ημ3χ = ημ(χ+2χ) = ημχ.συν2χ + συνχ.ημ2χ (2)
και: -ημχ = ημ(-χ) = ημ(χ-2χ) = ημχ.συν2χ - συνχ.ημ2χ (3)
Προσθέτεις (2)+(3): ημ3χ - ημχ = 2ημχ.συν2χ
και από την (1): 2ημχ.συν2χ = ημ2χ <==> 2ημχ.συν2χ = 2ημχ.συνχ <==> 2ημχ(συν2χ - συνχ) = 0 <==>
<==> 2ημχ(2συν²χ - 1 - συνχ) = 0.
Οπότε: ημχ = 0 άρα χ = κπ
ή 2συν²χ - συνχ - 1 = 0 με ρίζες: συνχ = 1 και συνχ = -½
Από συνχ = 1 έχουμε χ = 2κπ + π/2
και από συνχ = -½ <==> συνχ = συν(2π/3) άρα χ = 2κπ ± 2π/3

 

Σημείωση: Το μήνυμα αυτό γράφτηκε 14 χρόνια πριν. Ο συντάκτης του πιθανόν να έχει αλλάξει απόψεις έκτοτε.

[Mysnoula]

Ευχαριστώ πάρα πολύ!!!

 

Σημείωση: Το μήνυμα αυτό γράφτηκε 14 χρόνια πριν. Ο συντάκτης του πιθανόν να έχει αλλάξει απόψεις έκτοτε.

[Giwrgos]

Θέλω να μου λύσετε δυο ασκήσεις για να δω αν τις έχω κάνει σωστά, καλή "συμφορουμιτες".

1) Δίνετε η εξίσωση x^3-(a-1)x+2=0 aEZ η οποια έχει ακέραια ριζα r>1.
i)Να αποδείξετε ότι a=6.
ii)Για a=6 να λυθεί η εξίσωση x^3-(a-1)x+2=0
iii) Να βρεθεί το πηλίκο Π(x) και το υπόλοιπο U(x) της διαρεσης P(x):x^2-1
iv) Να λυθεί η ανίσωση P(x)-U(x)>=0
v) Να λυθεί η εξίσωση

2)i)Να λυθεί η εξίσωση x^3+x-2=0
ii) Έστω τα πολυώνυμα P(x) και Q(x)=P^3(x)+P(x)-2x+3, ξέρ
a) Αν το P(x) έχει σταθερό ορο το 5 να βρείτε τον σταθερό ορο του Q(x).
b) Αν το υπόλοιπο της διαίρεσης του Q(x) με το x-2 είναι 1, να δείξετε ότι το υπόλοιπο της διαίρεσης του P(x) με το x-2 είναι 1.
g) Να δείξετε ότι η μοναδική κοινή ριζα είναι των P(x) και Q(x) είναι το 3/2.
d) Να λυθεί το σύστημα {
{

 

Σημείωση: Το μήνυμα αυτό γράφτηκε 14 χρόνια πριν. Ο συντάκτης του πιθανόν να έχει αλλάξει απόψεις έκτοτε.

[Dias]

1) Δίνετε η εξίσωση x³-(a-1)x+2=0 aEZ η οποια έχει ακέραια ριζα r>1.
i)Να αποδείξετε ότι a=6.
ii)Για a=6 να λυθεί η εξίσωση x³-(a-1)x+2=0
iii) Να βρεθεί το πηλίκο Π(x) και το υπόλοιπο U(x) της διαρεσης P(x):x²-1
iv) Να λυθεί η ανίσωση P(x)-U(x)≥0
v) Να λυθεί η εξίσωση

i) Πιθανές ακέραιες ρίζες ±1, ±2 και αφού ρ>1 είναι ρ = 2 και 2³-(α-1).2+2=0 ==> α=6
ii) χ³-5χ+2=0 <=> (χ-2)(χ²+2χ-1)=0 άρα ρ=2 ή ρ = -1±√5̅.
iii) Π(χ)=χ, Υ(χ)=-4χ+2
iv) P(x)-U(x)≥0 <=> χ³-χ≥0 <=> χ(χ+1)(χ-1)≥0 άρα χ∈[-1,0]∪[1,+∞)
v) √P̅(̅x̅)̅-̅U̅(̅x̅)̅= Π(χ) -1 <=> √χ̅³̅-̅x̅ = χ-1 <=> χ³-χ = (χ-1)² <=> (χ-1)(χ²+1)=0 άρα χ=1 ή χ=±i

2)i)Να λυθεί η εξίσωση x³+x-2=0
ii) Έστω τα πολυώνυμα P(x) και Q(x)=P³(x)+P(x)-2x+3
a) Αν το P(x) έχει σταθερό ορο το 5 να βρείτε τον σταθερό ορο του Q(x).
b) Αν το υπόλοιπο της διαίρεσης του Q(x) με το x-2 είναι 1, να δείξετε ότι το υπόλοιπο της διαίρεσης του P(x) με το x-2 είναι 1.
g) Να δείξετε ότι η μοναδική κοινή ριζα είναι των P(x) και Q(x) είναι το 3/2.
d) Να λυθεί το σύστημα {
{

i) x=1
ii) α) 5³+5+3 = 133
β) Q(2) = 1 <=> Ρ³(2)+Ρ(2)-1=1 <=> (από i) Ρ(2) = 1 = υ
γ) Ρ(3/2)=0 <=> Q(3/2) = -2.(3/2)+3 = 0
δ) (Εδώ τι εννοείς σύστημα? Δεν είμαι σιγουρος ότι κατάλαβα καλά ούτε αν αυτά που γράφω είναι σωστά)
Q(√e̅ˣ̅-̅1̅) = 0 <=> P³ (√e̅ˣ̅-̅1̅) + Ρ(√e̅ˣ̅-̅1̅) -2(√e̅ˣ̅-̅1̅)+3 = 0 <=> 4.(eˣ-1) = 9 <=> eˣ = 13/4 <=> χ = ln13-2ln2.

Δες και πως βγαίνουν σύμβολα κατευθείαν από ελληνικό πληκτρολόγιο:

Δυνάμεις: ² :CTRL+ALT+2, ³ :CTRL+ALT+3, Μοίρες: ° :CTRL+ALT+0, ± : CTRL+ALT+"-", ½ : CTRL+ALT+"+".​

 

Σημείωση: Το μήνυμα αυτό γράφτηκε 14 χρόνια πριν. Ο συντάκτης του πιθανόν να έχει αλλάξει απόψεις έκτοτε.

[athinouli]

Να δείξουμε ότι
(ημ2α * συνα)/ (1+συν2α)*(1+συνα) = εφα!

ορίστε πως την λύνω..
(2ημασυνα * συνα) / (1+2συν²α-1) * (1+συνα)=
=>(2ημασυν²α) / 2συν²α(1+συνα)=
=>(2ημασυν²α) / 2συν²α+2συν³α=
=>(2ημασυν²α) / 2συν²α(1+συνα)=
=>ημα / (1+συνα) που κάνει πόσο? 1+εφα! γιατί? πού έχω λάθος??

βοήθεια παρακαλώ!

 

Σημείωση: Το μήνυμα αυτό γράφτηκε 14 χρόνια πριν. Ο συντάκτης του πιθανόν να έχει αλλάξει απόψεις έκτοτε.

[Dias]

Να δείξουμε ότι
(ημ2α * συνα)/ (1+συν2α)*(1+συνα) = εφα!
.................................................
= ημα / (1+συνα) που κάνει πόσο? 1+εφα! γιατί? πού έχω λάθος??

Μέχρι ημα/(1+συνα) δεν έχεις λάθος. Όμως αυτό δεν κάνει 1+εφα ! (ούτε με ΔΝΤ).
Μάλλον έκανες λάθος στην εκφώνηση. Δες μια πιθανή συνέχεια:
ημα/(1+συνα) = 2ημ(α/2)συν(α/2)/[1+2συν²(α/2)-1] = 2ημ(α/2)συν(α/2)/2συν²(α/2) =
= ημ(α/2)/συν(α/2) = εφ(α/2)
Δλδ: μήπως η εκφώνηση λέει εφ(α/2) ? οεο?

 

Σημείωση: Το μήνυμα αυτό γράφτηκε 14 χρόνια πριν. Ο συντάκτης του πιθανόν να έχει αλλάξει απόψεις έκτοτε.

[athinouli]

τι είναι ΔΝΤ???

τι να σου πω Δία?
μπορεί και να έχω κάνει λάθος στην εκφώνηση..
τι να πω μάλλον αυτό συμβαίνει..

ευχαριστώ πάντως!

 

Σημείωση: Το μήνυμα αυτό γράφτηκε 14 χρόνια πριν. Ο συντάκτης του πιθανόν να έχει αλλάξει απόψεις έκτοτε.