Junior Balkan Mathematical Olympiad 2009!

ξαροπ · 27-06-09

Σήμερα είναι ίσως μια σημαντική μέρα για την ΕΜΕ, αφού οι διαγωνισμοί μαθηματικών για το γυμνάσιο (που έλαβαν μέρος καθ' όλη τη χρονιά) σε αυτό αποσκοπούσαν: να συγκροτηθεί ομάδα τόσο γερή ώστε να αποσπάσει μετάλλια από το σημερινό διαγωνισμό. Παραθέτω τα προβλήματα.

Πρόβλημα 1

Έστω $ABCDE$ ένα κυρτό πεντάγωνο έτσι ώστε $AB + CD = BC + DE$ και $k$ ένας κύκλος με κέντρο πάνω στην ευθεία $AE$ που εφάπτεται με τις πλευρές $AB,BC,CD,DE$ στα σημεία $P,Q,R,S$ αντίστοιχα. Να αποδειχτεί ότι οι ευθείες $PS, AE$ είναι παράλληλες.

Πρόβημα 2

Να λυθεί στους μη αρνητικούς ακεραίους η εξίσωση $2^a 3^b + 9 = c^2$ .

Πρόβλημα 3

Έστω $x,y,z$ πραγματικοί αριθμοί έτσι ώστε $0<x,y,z<1$ και $xyz = (1-x)(1-y)(1-z)$ . Να αποδείξετε ότι τουλάχιστον ένας από τους $(1-x)y, (1-y)z, (1-z)x$ είναι μεγαλύτερος ή ίσος με $\frac{1}{4}$ .

Πρόβλημα 4

Καθένα από τα $2009$ διαφορετικά σημεία του επιπέδου χρωματίζεται μπλε ή κόκκινο, έτσι ώστε σε κάθε κύκλο ακτίνας $1$ με κέντρο ένα μπλε σημείο να υπάρχουν ακριβώς δύο κόκκινα σημεία. Να βρείτε το μεγαλύτερο δυνατό πλήθος των μπλε σημείων.

---------

Επειδή μόλις τα μετέφρασα και κάποιες φράσεις δεν τις βγάζω πολύ καλά (ιδιαίτερα στο πρώτο και τέταρτο πρόβλημα), μπορεί να αλλάξουν μια-δυο λέξεις αργότερα ή να τοποθετηθεί το θέμα πιο σωστά.

Το θέμα είναι ότι αυτά ήταν τα προβλήματα της JBMO 2009. Καλή επιτυχία στους έξι. :bye:

( Original Problems: )

1: https://www.artofproblemsolving.com/Forum/viewtopic.php?p=1542121#1542121
2: https://www.artofproblemsolving.com/Forum/viewtopic.php?p=1542124#1542124
3: https://www.artofproblemsolving.com/Forum/viewtopic.php?p=1542125#1542125
4: https://www.artofproblemsolving.com/Forum/viewtopic.php?p=1542128#1542128

(Μερικοί ήδη πρότειναν τις λύσεις τους...)

zip_unzip · 27-06-09

Νομίζω ότι θα ήταν καλύτερα αν έγραφες τα προβλήματα στα αγγλικά, για να γνωρίζουμε την ακριβή διατύπωσή τους

edit: thanks

georg13pao · 27-06-09

Πού τα βρήκες τα προβλήματα;

mostel · 27-06-09

Πάνω-κάτω είναι στο ίδιο στυλ, όπως κάθε χρονιά. Νομίζω πως φέτος θα έχουμε και περισσότερα μετάλλια, μιας και μου φαίνονται αρκετά βατά.

Στέλιος

cel · 27-06-09

Nα ρωτησω κατι...Στην ΕΜΕ πως και ποτε γραφεσαι;(ειναι πολυ περα απο την σχολικη υλη τα θεματα; )

djimmakos · 27-06-09

Αρχική Δημοσίευση από ξαροπ:
Σήμερα είναι ίσως μια σημαντική μέρα για την ΕΜΕ, αφού οι διαγωνισμοί μαθηματικών για το γυμνάσιο (που έλαβαν μέρος καθ' όλη τη χρονιά) σε αυτό αποσκοπούσαν: να συγκροτηθεί ομάδα τόσο γερή ώστε να αποσπάσει μετάλλια από το σημερινό διαγωνισμό. Παραθέτω τα προβλήματα.

Πρόβλημα 1

Έστω $ABCDE$ ένα κυρτό πεντάγωνο έτσι ώστε $AB + CD = BC + DE$ και $k$ ένας κύκλος με κέντρο πάνω στην ευθεία $AE$ που τέμνει (touches?) τις πλευρές $AB,BC,CD,DE$ στα σημεία $P,Q,R,S$ αντίστοιχα. Να αποδειχτεί ότι οι ευθείες $PS, AE$ είναι παράλληλες.

Πρόβημα 2

Να λυθεί στους μη αρνητικούς ακεραίους η εξίσωση $2^a 3^b + 9 = c^2$ .

Πρόβλημα 3

Έστω $x,y,z$ πραγματικοί αριθμοί έτσι ώστε $0<x,y,z<1$ και $xyz = (1-x)(1-y)(1-z)$ . Να αποδείξετε ότι τουλάχιστον ένας από τους $(1-x)y, (1-y)z, (1-z)x$ είναι μεγαλύτερος ή ίσος με $frac{1}{4}$ .

Πρόβλημα 4

Καθένα από τα $2009$ διαφορετικά σημεία του επιπέδου χρωματίζεται μπλε ή κόκκινο, έτσι ώστε σε κάθε μονοδιαίο - μοναδικό (unit?) κύκλο με κέντρο ένα μπλε σημείο να υπάρχουν ακριβώς δύο κόκκινα σημεία. Να βρείτε το μεγαλύτερο δυνατό αριθμό των μπλε σημείων.

---------

Επειδή μόλις τα μετέφρασα και κάποιες φράσεις δεν τις βγάζω πολύ καλά (ιδιαίτερα στο πρώτο και τέταρτο πρόβλημα), μπορεί να αλλάξουν μια-δυο λέξεις αργότερα ή να τοποθετηθεί το θέμα πιο σωστά.

Το θέμα είναι ότι αυτά ήταν τα προβλήματα της JBMO 2009. Καλή επιτυχία στους έξι.

( Original Problems: )

1: https://www.artofproblemsolving.com/Forum/viewtopic.php?p=1542121#1542121
2: https://www.artofproblemsolving.com/Forum/viewtopic.php?p=1542124#1542124
3: https://www.artofproblemsolving.com/Forum/viewtopic.php?p=1542125#1542125
4: https://www.artofproblemsolving.com/Forum/viewtopic.php?p=1542128#1542128

(Μερικοί ήδη πρότειναν τις λύσεις τους...εγώ κάτι βρήκα για το 2ο που το περιορίζει αρκετά, αλλά δε λέω τίποτα ακόμα γιατί δεν το ήλεγξα)

Στο 1ο θέμα, εκεί που λέει touches, νομίζω ότι εννοεί εφάπτεται.

:iagree:

mostel · 27-06-09

Στην πρώτη δεν είναι τέμνει, αλλά εφάπτεται.

Το 4ο πρόβλημα έχει ως εξής:

Καθένα από 2009 διακεκριμμένα σημεία στο επίπεδο χρωματίζεται μπλέ ή κόκκινο, έτσι ώστε πάνω σε κάθε κύκλο με μπλε κέντρο και ακτίνα

να υπάρχουν ακριβώς δύο κόκκινα σημεία. Βρείτε το μεγαλύτερο δυνατό πλήθος των μπλε σημείων.

Για τα άλλα δεν είδα τις αγγλικές εκφωνήσεις, μιας και δεν έχεις αμφιβολίες!

Στέλιος

ps: To "τέμνει" είναι "intersects"

ξαροπ · 27-06-09

Ευχαριστώ mostel και Djimmakos. Δεν έχω αμφιβολίες για τα άλλα δυο επειδή δεν έχουν πολλά λόγια.

cel · 27-06-09

Ρε παιδια απαντηστε :mad:

mostel · 27-06-09

Αρχική Δημοσίευση από cel:
Ρε παιδια απαντηστε

H EME κάθε χρόνο διοργανώνει μαθητικούς διαγωνισμούς στα μαθηματικά. Η πρώτη φάση γίνεται τέλη Οκτωβρίου. Κατά τις 15 Οκτωβρίου θα έρθει ανακοίνωση στο σχολείο σου. Θα σας ενημερώσει λογικά ο μαθηματικός σας. Αν δεν σας ενημερώσει, μπορείς να πας να πεις στο διευθυντή σου ότι θες να λάβεις μέρος στον διαγωνισμό. Μπορεί οποιοσδήποτε να λάβει μέρος. Ο διαγωνισμός διαρκεί 3 ώρες και διεξάγεται Σάββατο στις 9 το πρωί. Για ο,τιδήποτε άλλο θες να ρωτήσεις, εδώ είμαστε.

Στέλιος

cel · 27-06-09

Κατσε σε ποια υλη ομως.Σε αυτη που διδασκομαστε εκεινη τη χρονια ή τη προηγουμενη

mostel · 27-06-09

Αρχική Δημοσίευση από cel:
Κατσε σε ποια υλη ομως.Σε αυτη που διδασκομαστε εκεινη τη χρονια ή τη προηγουμενη

Την προηγούμενη και όσα έχεις κάνει μέχρι τότε από την χρονιά που είσαι. Για περισσότερες πληροφορίες και θέματα, δες κι εδώ:

https://www.hms.gr/

Φιλικά,
Στέλιος

cel · 27-06-09

Τα θεματα ειναι περα απο τη σχολεικη υλη;

napstor · 27-06-09

Αρχική Δημοσίευση από cel:
Τα θεματα ειναι περα απο τη σχολεικη υλη;

οχι αλλα ειναι τοσο προχωρημενα σε βαθμο δυσκολιας που θα πρεπει να εχεις λυσει πολλα παρομοια.γενικως ειναι πολυ δυσκολα για την ταξη που προοριζονται,θελουν παρα πολλη εξασκηση.

zip_unzip · 27-06-09

Παιδιά, είστε off-topic.

ξαροπ · 28-06-09

Και ναι, νομίζω έχουμε αποτελέσματα. Αν είναι ανάλογα τη σειρά που επιλέχθηκαν, τότε:

Τσαμπασίδης Ζαχαρίας: 10 6 10 0 = 26/40
Λώλας Παναγιώτης: 10 9 10 0 = 29/40
Γκιώσης Ηφαιστίωνας: 5 3 3 0 = 11/40
Κεβρεκίδης Ανδρέας: 0 0 10 0 = 10/40
Μαγγουρίλος Κωνσταντίνος: 1 1 1 0 = 3/40
Σωτηρίου Δημήτρης: 0 3 2 0 = 5/40

Μπράβο στα παιδιά, δυο μετάλλια στα σίγουρα. Μπράβο σε όλους όσους συμμετείχαν. Άντε και του χρόνου.

ΥΓ. Νομίζω η βάση για τα φετινά μετάλλια κυμαίνεται σε επίπεδα βαθμών 11-13. Κάποιοι ίσως πάρουν ή χάσουν το μετάλλιο στο τσακ.
ΥΓ2. Οι Λώλας, Τσαμπασίδης πήραν αργυρό μετάλλιο, οι υπόλοιποι τίποτα. Αυτά.

!w@Nn4 · 28-06-09

Όλοι είναι αγόρια απ' ό,τι βλέπω!....

napstor · 28-06-09

μπραβο στα παιδια,μονο και μονο που συμμετειχαν αξιζουν συγχαρητηρια.
πηραν μια καλη εμπειρια και γιατι οχι μπορει να φερουν και μετταλια:no1:

ntonebts · 28-06-09

Μπράβο στα παιδιά πάντως ,άντε και με τα μετάλια στο χέρι

Junior Balkan Mathematical Olympiad 2009!

Πολύ δραστήριο μέλος

Εκκολαπτόμενο μέλος

Εκκολαπτόμενο μέλος

Πολύ δραστήριο μέλος

Δραστήριο μέλος

Διάσημο μέλος

Πολύ δραστήριο μέλος

Πολύ δραστήριο μέλος

Δραστήριο μέλος

Πολύ δραστήριο μέλος

Δραστήριο μέλος

Πολύ δραστήριο μέλος

Δραστήριο μέλος

Δραστήριο μέλος

Εκκολαπτόμενο μέλος

Πολύ δραστήριο μέλος

Πολύ δραστήριο μέλος

Δραστήριο μέλος

Εκκολαπτόμενο μέλος