Junior Balkan Mathematical Olympiad 2009!

Status
Το θέμα δεν είναι ανοιχτό για νέες απαντήσεις.

ξαροπ

Πολύ δραστήριο μέλος

Ο Ιάσων αυτή τη στιγμή δεν είναι συνδεδεμένος. Είναι 29 ετών, Φοιτητής και μας γράφει απο ΗΠΑ (Αμερική). Έχει γράψει 1,575 μηνύματα.
Σήμερα είναι ίσως μια σημαντική μέρα για την ΕΜΕ, αφού οι διαγωνισμοί μαθηματικών για το γυμνάσιο (που έλαβαν μέρος καθ' όλη τη χρονιά) σε αυτό αποσκοπούσαν: να συγκροτηθεί ομάδα τόσο γερή ώστε να αποσπάσει μετάλλια από το σημερινό διαγωνισμό. Παραθέτω τα προβλήματα.

Πρόβλημα 1

Έστω ένα κυρτό πεντάγωνο έτσι ώστε και ένας κύκλος με κέντρο πάνω στην ευθεία που εφάπτεται με τις πλευρές στα σημεία αντίστοιχα. Να αποδειχτεί ότι οι ευθείες είναι παράλληλες.

Πρόβημα 2

Να λυθεί στους μη αρνητικούς ακεραίους η εξίσωση .

Πρόβλημα 3

Έστω πραγματικοί αριθμοί έτσι ώστε και . Να αποδείξετε ότι τουλάχιστον ένας από τους είναι μεγαλύτερος ή ίσος με .

Πρόβλημα 4

Καθένα από τα διαφορετικά σημεία του επιπέδου χρωματίζεται μπλε ή κόκκινο, έτσι ώστε σε κάθε κύκλο ακτίνας με κέντρο ένα μπλε σημείο να υπάρχουν ακριβώς δύο κόκκινα σημεία. Να βρείτε το μεγαλύτερο δυνατό πλήθος των μπλε σημείων.


---------

Επειδή μόλις τα μετέφρασα και κάποιες φράσεις δεν τις βγάζω πολύ καλά (ιδιαίτερα στο πρώτο και τέταρτο πρόβλημα), μπορεί να αλλάξουν μια-δυο λέξεις αργότερα ή να τοποθετηθεί το θέμα πιο σωστά.

Το θέμα είναι ότι αυτά ήταν τα προβλήματα της JBMO 2009. Καλή επιτυχία στους έξι. :bye:


( Original Problems: )

1: https://www.artofproblemsolving.com/Forum/viewtopic.php?p=1542121#1542121
2: https://www.artofproblemsolving.com/Forum/viewtopic.php?p=1542124#1542124
3: https://www.artofproblemsolving.com/Forum/viewtopic.php?p=1542125#1542125
4: https://www.artofproblemsolving.com/Forum/viewtopic.php?p=1542128#1542128

(Μερικοί ήδη πρότειναν τις λύσεις τους...)
 

Σημείωση: Το μήνυμα αυτό γράφτηκε 15 χρόνια πριν. Ο συντάκτης του πιθανόν να έχει αλλάξει απόψεις έκτοτε.

zip_unzip

Εκκολαπτόμενο μέλος

Ο zip_unzip αυτή τη στιγμή δεν είναι συνδεδεμένος. Είναι Μαθητής Α' λυκείου και μας γράφει απο Φινλανδία (Ευρώπη). Έχει γράψει 354 μηνύματα.
Νομίζω ότι θα ήταν καλύτερα αν έγραφες τα προβλήματα στα αγγλικά, για να γνωρίζουμε την ακριβή διατύπωσή τους:)

edit: thanks
 

Σημείωση: Το μήνυμα αυτό γράφτηκε 15 χρόνια πριν. Ο συντάκτης του πιθανόν να έχει αλλάξει απόψεις έκτοτε.

georg13pao

Εκκολαπτόμενο μέλος

Ο georg13pao αυτή τη στιγμή δεν είναι συνδεδεμένος. Είναι Μαθητής Γ' γυμνασίου. Έχει γράψει 369 μηνύματα.
Πού τα βρήκες τα προβλήματα;
 

Σημείωση: Το μήνυμα αυτό γράφτηκε 15 χρόνια πριν. Ο συντάκτης του πιθανόν να έχει αλλάξει απόψεις έκτοτε.

mostel

Πολύ δραστήριο μέλος

Ο Στέλιος αυτή τη στιγμή δεν είναι συνδεδεμένος. Είναι 34 ετών, Φοιτητής και μας γράφει απο Θεσσαλονίκη (Θεσσαλονίκη). Έχει γράψει 1,203 μηνύματα.
Πάνω-κάτω είναι στο ίδιο στυλ, όπως κάθε χρονιά. Νομίζω πως φέτος θα έχουμε και περισσότερα μετάλλια, μιας και μου φαίνονται αρκετά βατά.


Στέλιος
 

Σημείωση: Το μήνυμα αυτό γράφτηκε 15 χρόνια πριν. Ο συντάκτης του πιθανόν να έχει αλλάξει απόψεις έκτοτε.

cel

Δραστήριο μέλος

Ο χρηστος αυτή τη στιγμή δεν είναι συνδεδεμένος. Είναι 29 ετών και Μαθητής Γ' γυμνασίου. Έχει γράψει 665 μηνύματα.
Nα ρωτησω κατι...Στην ΕΜΕ πως και ποτε γραφεσαι;(ειναι πολυ περα απο την σχολικη υλη τα θεματα; )
 

Σημείωση: Το μήνυμα αυτό γράφτηκε 15 χρόνια πριν. Ο συντάκτης του πιθανόν να έχει αλλάξει απόψεις έκτοτε.

djimmakos

Διάσημο μέλος

Ο Μήτσος αυτή τη στιγμή δεν είναι συνδεδεμένος. Είναι 31 ετών και Μαθητής Β' λυκείου. Έχει γράψει 2,790 μηνύματα.
Σήμερα είναι ίσως μια σημαντική μέρα για την ΕΜΕ, αφού οι διαγωνισμοί μαθηματικών για το γυμνάσιο (που έλαβαν μέρος καθ' όλη τη χρονιά) σε αυτό αποσκοπούσαν: να συγκροτηθεί ομάδα τόσο γερή ώστε να αποσπάσει μετάλλια από το σημερινό διαγωνισμό. Παραθέτω τα προβλήματα.

Πρόβλημα 1

Έστω ένα κυρτό πεντάγωνο έτσι ώστε και ένας κύκλος με κέντρο πάνω στην ευθεία που τέμνει (touches?) τις πλευρές στα σημεία αντίστοιχα. Να αποδειχτεί ότι οι ευθείες είναι παράλληλες.

Πρόβημα 2

Να λυθεί στους μη αρνητικούς ακεραίους η εξίσωση .

Πρόβλημα 3

Έστω πραγματικοί αριθμοί έτσι ώστε και . Να αποδείξετε ότι τουλάχιστον ένας από τους είναι μεγαλύτερος ή ίσος με .

Πρόβλημα 4

Καθένα από τα διαφορετικά σημεία του επιπέδου χρωματίζεται μπλε ή κόκκινο, έτσι ώστε σε κάθε μονοδιαίο - μοναδικό (unit?) κύκλο με κέντρο ένα μπλε σημείο να υπάρχουν ακριβώς δύο κόκκινα σημεία. Να βρείτε το μεγαλύτερο δυνατό αριθμό των μπλε σημείων.


---------

Επειδή μόλις τα μετέφρασα και κάποιες φράσεις δεν τις βγάζω πολύ καλά (ιδιαίτερα στο πρώτο και τέταρτο πρόβλημα), μπορεί να αλλάξουν μια-δυο λέξεις αργότερα ή να τοποθετηθεί το θέμα πιο σωστά.

Το θέμα είναι ότι αυτά ήταν τα προβλήματα της JBMO 2009. Καλή επιτυχία στους έξι. :bye:


( Original Problems: )

1: https://www.artofproblemsolving.com/Forum/viewtopic.php?p=1542121#1542121
2: https://www.artofproblemsolving.com/Forum/viewtopic.php?p=1542124#1542124
3: https://www.artofproblemsolving.com/Forum/viewtopic.php?p=1542125#1542125
4: https://www.artofproblemsolving.com/Forum/viewtopic.php?p=1542128#1542128

(Μερικοί ήδη πρότειναν τις λύσεις τους...εγώ κάτι βρήκα για το 2ο που το περιορίζει αρκετά, αλλά δε λέω τίποτα ακόμα γιατί δεν το ήλεγξα)

Στο 1ο θέμα, εκεί που λέει touches, νομίζω ότι εννοεί εφάπτεται.

:iagree:
 

Σημείωση: Το μήνυμα αυτό γράφτηκε 15 χρόνια πριν. Ο συντάκτης του πιθανόν να έχει αλλάξει απόψεις έκτοτε.

mostel

Πολύ δραστήριο μέλος

Ο Στέλιος αυτή τη στιγμή δεν είναι συνδεδεμένος. Είναι 34 ετών, Φοιτητής και μας γράφει απο Θεσσαλονίκη (Θεσσαλονίκη). Έχει γράψει 1,203 μηνύματα.
Στην πρώτη δεν είναι τέμνει, αλλά εφάπτεται.

Το 4ο πρόβλημα έχει ως εξής:

Καθένα από 2009 διακεκριμμένα σημεία στο επίπεδο χρωματίζεται μπλέ ή κόκκινο, έτσι ώστε πάνω σε κάθε κύκλο με μπλε κέντρο και ακτίνα
να υπάρχουν ακριβώς δύο κόκκινα σημεία. Βρείτε το μεγαλύτερο δυνατό πλήθος των μπλε σημείων.



Για τα άλλα δεν είδα τις αγγλικές εκφωνήσεις, μιας και δεν έχεις αμφιβολίες!


Στέλιος



ps: To "τέμνει" είναι "intersects"
 

Σημείωση: Το μήνυμα αυτό γράφτηκε 15 χρόνια πριν. Ο συντάκτης του πιθανόν να έχει αλλάξει απόψεις έκτοτε.

ξαροπ

Πολύ δραστήριο μέλος

Ο Ιάσων αυτή τη στιγμή δεν είναι συνδεδεμένος. Είναι 29 ετών, Φοιτητής και μας γράφει απο ΗΠΑ (Αμερική). Έχει γράψει 1,575 μηνύματα.
Ευχαριστώ mostel και Djimmakos. Δεν έχω αμφιβολίες για τα άλλα δυο επειδή δεν έχουν πολλά λόγια. :P
 

Σημείωση: Το μήνυμα αυτό γράφτηκε 15 χρόνια πριν. Ο συντάκτης του πιθανόν να έχει αλλάξει απόψεις έκτοτε.

cel

Δραστήριο μέλος

Ο χρηστος αυτή τη στιγμή δεν είναι συνδεδεμένος. Είναι 29 ετών και Μαθητής Γ' γυμνασίου. Έχει γράψει 665 μηνύματα.
Ρε παιδια απαντηστε:mad::mad:
 

Σημείωση: Το μήνυμα αυτό γράφτηκε 15 χρόνια πριν. Ο συντάκτης του πιθανόν να έχει αλλάξει απόψεις έκτοτε.

mostel

Πολύ δραστήριο μέλος

Ο Στέλιος αυτή τη στιγμή δεν είναι συνδεδεμένος. Είναι 34 ετών, Φοιτητής και μας γράφει απο Θεσσαλονίκη (Θεσσαλονίκη). Έχει γράψει 1,203 μηνύματα.
Ρε παιδια απαντηστε:mad::mad:


H EME κάθε χρόνο διοργανώνει μαθητικούς διαγωνισμούς στα μαθηματικά. Η πρώτη φάση γίνεται τέλη Οκτωβρίου. Κατά τις 15 Οκτωβρίου θα έρθει ανακοίνωση στο σχολείο σου. Θα σας ενημερώσει λογικά ο μαθηματικός σας. Αν δεν σας ενημερώσει, μπορείς να πας να πεις στο διευθυντή σου ότι θες να λάβεις μέρος στον διαγωνισμό. Μπορεί οποιοσδήποτε να λάβει μέρος. Ο διαγωνισμός διαρκεί 3 ώρες και διεξάγεται Σάββατο στις 9 το πρωί. Για ο,τιδήποτε άλλο θες να ρωτήσεις, εδώ είμαστε.



Στέλιος
 

Σημείωση: Το μήνυμα αυτό γράφτηκε 15 χρόνια πριν. Ο συντάκτης του πιθανόν να έχει αλλάξει απόψεις έκτοτε.

cel

Δραστήριο μέλος

Ο χρηστος αυτή τη στιγμή δεν είναι συνδεδεμένος. Είναι 29 ετών και Μαθητής Γ' γυμνασίου. Έχει γράψει 665 μηνύματα.
Κατσε σε ποια υλη ομως.Σε αυτη που διδασκομαστε εκεινη τη χρονια ή τη προηγουμενη
 

Σημείωση: Το μήνυμα αυτό γράφτηκε 15 χρόνια πριν. Ο συντάκτης του πιθανόν να έχει αλλάξει απόψεις έκτοτε.

mostel

Πολύ δραστήριο μέλος

Ο Στέλιος αυτή τη στιγμή δεν είναι συνδεδεμένος. Είναι 34 ετών, Φοιτητής και μας γράφει απο Θεσσαλονίκη (Θεσσαλονίκη). Έχει γράψει 1,203 μηνύματα.
Κατσε σε ποια υλη ομως.Σε αυτη που διδασκομαστε εκεινη τη χρονια ή τη προηγουμενη


Την προηγούμενη και όσα έχεις κάνει μέχρι τότε από την χρονιά που είσαι. Για περισσότερες πληροφορίες και θέματα, δες κι εδώ:


https://www.hms.gr/


Φιλικά,
Στέλιος
 

Σημείωση: Το μήνυμα αυτό γράφτηκε 15 χρόνια πριν. Ο συντάκτης του πιθανόν να έχει αλλάξει απόψεις έκτοτε.

cel

Δραστήριο μέλος

Ο χρηστος αυτή τη στιγμή δεν είναι συνδεδεμένος. Είναι 29 ετών και Μαθητής Γ' γυμνασίου. Έχει γράψει 665 μηνύματα.
Τα θεματα ειναι περα απο τη σχολεικη υλη;
 

Σημείωση: Το μήνυμα αυτό γράφτηκε 15 χρόνια πριν. Ο συντάκτης του πιθανόν να έχει αλλάξει απόψεις έκτοτε.

napstor

Δραστήριο μέλος

Ο napstor αυτή τη στιγμή δεν είναι συνδεδεμένος. Είναι 30 ετών και Μαθητής Β' λυκείου. Έχει γράψει 715 μηνύματα.
Τα θεματα ειναι περα απο τη σχολεικη υλη;
οχι αλλα ειναι τοσο προχωρημενα σε βαθμο δυσκολιας που θα πρεπει να εχεις λυσει πολλα παρομοια.γενικως ειναι πολυ δυσκολα για την ταξη που προοριζονται,θελουν παρα πολλη εξασκηση.
 

Σημείωση: Το μήνυμα αυτό γράφτηκε 15 χρόνια πριν. Ο συντάκτης του πιθανόν να έχει αλλάξει απόψεις έκτοτε.

zip_unzip

Εκκολαπτόμενο μέλος

Ο zip_unzip αυτή τη στιγμή δεν είναι συνδεδεμένος. Είναι Μαθητής Α' λυκείου και μας γράφει απο Φινλανδία (Ευρώπη). Έχει γράψει 354 μηνύματα.
Παιδιά, είστε off-topic.
 

Σημείωση: Το μήνυμα αυτό γράφτηκε 15 χρόνια πριν. Ο συντάκτης του πιθανόν να έχει αλλάξει απόψεις έκτοτε.

ξαροπ

Πολύ δραστήριο μέλος

Ο Ιάσων αυτή τη στιγμή δεν είναι συνδεδεμένος. Είναι 29 ετών, Φοιτητής και μας γράφει απο ΗΠΑ (Αμερική). Έχει γράψει 1,575 μηνύματα.
Και ναι, νομίζω έχουμε αποτελέσματα. Αν είναι ανάλογα τη σειρά που επιλέχθηκαν, τότε:

Τσαμπασίδης Ζαχαρίας: 10 6 10 0 = 26/40
Λώλας Παναγιώτης: 10 9 10 0 = 29/40
Γκιώσης Ηφαιστίωνας: 5 3 3 0 = 11/40
Κεβρεκίδης Ανδρέας: 0 0 10 0 = 10/40
Μαγγουρίλος Κωνσταντίνος: 1 1 1 0 = 3/40
Σωτηρίου Δημήτρης: 0 3 2 0 = 5/40



Μπράβο στα παιδιά, δυο μετάλλια στα σίγουρα. Μπράβο σε όλους όσους συμμετείχαν. Άντε και του χρόνου. ;)

ΥΓ. Νομίζω η βάση για τα φετινά μετάλλια κυμαίνεται σε επίπεδα βαθμών 11-13. Κάποιοι ίσως πάρουν ή χάσουν το μετάλλιο στο τσακ.
ΥΓ2. Οι Λώλας, Τσαμπασίδης πήραν αργυρό μετάλλιο, οι υπόλοιποι τίποτα. Αυτά. :)
 

Σημείωση: Το μήνυμα αυτό γράφτηκε 15 χρόνια πριν. Ο συντάκτης του πιθανόν να έχει αλλάξει απόψεις έκτοτε.

!w@Nn4

Πολύ δραστήριο μέλος

Η Ιωάννα αυτή τη στιγμή δεν είναι συνδεδεμένη. Είναι 29 ετών, Φοιτήτρια και μας γράφει απο Ωρωπός (Αττική). Έχει γράψει 1,260 μηνύματα.
Όλοι είναι αγόρια απ' ό,τι βλέπω!....:)
 

Σημείωση: Το μήνυμα αυτό γράφτηκε 15 χρόνια πριν. Ο συντάκτης του πιθανόν να έχει αλλάξει απόψεις έκτοτε.

napstor

Δραστήριο μέλος

Ο napstor αυτή τη στιγμή δεν είναι συνδεδεμένος. Είναι 30 ετών και Μαθητής Β' λυκείου. Έχει γράψει 715 μηνύματα.
μπραβο στα παιδια,μονο και μονο που συμμετειχαν αξιζουν συγχαρητηρια.
πηραν μια καλη εμπειρια και γιατι οχι μπορει να φερουν και μετταλια:no1:
 

Σημείωση: Το μήνυμα αυτό γράφτηκε 15 χρόνια πριν. Ο συντάκτης του πιθανόν να έχει αλλάξει απόψεις έκτοτε.

ntonebts

Εκκολαπτόμενο μέλος

Η ntonebts αυτή τη στιγμή δεν είναι συνδεδεμένη. Είναι Μαθητής Α' λυκείου. Έχει γράψει 178 μηνύματα.
Μπράβο στα παιδιά πάντως ,άντε και με τα μετάλια στο χέρι
 

Σημείωση: Το μήνυμα αυτό γράφτηκε 15 χρόνια πριν. Ο συντάκτης του πιθανόν να έχει αλλάξει απόψεις έκτοτε.

Status
Το θέμα δεν είναι ανοιχτό για νέες απαντήσεις.

Χρήστες Βρείτε παρόμοια

  • Τα παρακάτω 0 μέλη και 1 επισκέπτες διαβάζουν μαζί με εσάς αυτό το θέμα:
    Tα παρακάτω 2 μέλη διάβασαν αυτό το θέμα:
  • Φορτώνει...
Top