Bοήθεια/Απορίες στη Φυσική Προσανατολισμού

vimaproto · 30-07-09

Το σημείο πτώσης πρέπει να είναι σε απόσταση

(1)
Αρχή ανεξαρτησίας των κινήσεων.

Η (1) γίνεται

Τελικά

kvgreco · 31-07-09

Αρχική Δημοσίευση από vimaproto:
Το σημείο πτώσης πρέπει να είναι σε απόσταση

(1)
Αρχή ανεξαρτησίας των κινήσεων.

Η (1) γίνεται

Τελικά

Αν στην εξίσωση της παραβολικής τροχιάς του βλήματος y=R-[x^2/2gV^2] θέσουμε την ταχύτητα που βρήκες, τότε βλέπουμε ότι το βλήμα κτυπάει στη ακριβώς τη θέση x=R.
Δεν ξέρουμε όμως στο διάστημα (0, R) αν τέμνονται ο κύκλος και η παραβολή.Γιατί αν τέμνονται τότε δεν θα πέσει το βλήμα στη παραπάνω θέση που βρήκες.
Εμείς θέλουμε σε όλη τη διαδρομή η παραβολή να είναι πάνω από τον κύκλο ή το πολύ να τον ακουμπάει σε ένα σημείο οριακά(εφαπτομενικά).Πάντως πρέπει να είναι από πάνω η τροχιά του βλήματος.
Θέλω να ξέρω στο παραπάνω διάστημα ποιά είναι η σχετική θέση των δύο γραφημάτων.
Κάποιος που να είναι πολύ καλός στις γραφικές παραστάσεις(με παράμετρο το V) θα μπορούσε να δώσει τα φώτα του.

amalfi · 01-08-09

Δεν ξέρουμε όμως στο διάστημα (0, R) αν τέμνονται ο κύκλος και η παραβολή.Γιατί αν τέμνονται τότε δεν θα πέσει το βλήμα στη παραπάνω θέση που βρήκες.

σωστος!

(τεμνονται - μπορεις να το δεις ως εξης: η τελικη ταχυτητα δεν ειναι κατακορυφη γιατι εχει και οριζοντια συνιστωσα. Ο κυλινδρος ειναι ομως κατακορυφος εκει που συναντα το οριζοντιο επιπεδο)

Semfer · 01-08-09

Η εξισωση τροχιας του βληματος ειναι

$y_p=R-\frac{g x^2}{2 V_0^2}$

και της κυλινδρικης επιφανειας

$y_c=\sqrt{R^2-x^2}$

Εμεις θελουμε να ειναι $y_p>y_c$ για καθε $0<x\leq R$ , δηλαδη το βλημα να μην ακουμπαει πουθενα πανω στον κυλινδρο (μονο στο (0,R)):

$V_0>\sqrt{\frac{g}{2(R-\sqrt{R^2-x^2})}}x$

ή τελικα

$V_{lim}=\lim_{x\to 0}\sqrt{\frac{g}{2(R-\sqrt{R^2-x^2})}}x\Rightarrow V_{lim}=\sqrt{g R}$

amalfi · 01-08-09

(σωστο το αποτελεσμα. ξεχασες και το χχ στον αριθμητη. δε θελει μια μικρη διερευνηση για να δουμε οτι για χ κοντα στο 0 το πηλικο ειναι μεγιστο?)

προσπαθηστε και με αλλους τροπους!

Semfer · 01-08-09

Ναι, το διορθωσα. Την διερευνηση για να δουμε οτι για χ κοντα στο 0 το πηλικο ειναι μεγιστο την αφηνω στον kvgreco

Παντως λυνεται πιο ευκολα αν συγκρινουμε τις παραγωγους των yp και yc (οπως προτεινε o amalfi).

kvgreco · 02-08-09

Αρχική Δημοσίευση από Semfer:
Ναι, το διορθωσα. Την διερευνηση για να δουμε οτι για χ κοντα στο 0 το πηλικο ειναι μεγιστο την αφηνω στον kvgreco

Παντως λυνεται πιο ευκολα αν συγκρινουμε τις παραγωγους των yp και yc (οπως προτεινε o amalfi).

Να ρωτήσω κάτι Semfer?
Αφού πήρες τη συνθήκη η παραβολή να μην έχει άλλο κοινο σημειο με τον κύκλο και να ειναι βέβαια από πάνω βρήκες την ταχύτητα αυτή που βρήκες.
Αφού δεν ακουμπάνε οι καμπύλες εκτος από το x=0, σκέφτομαι ότι έχει περιθώριο η παραβολή με μιά ακόμη μικρότερη ταχύτητα να πλησιάσει κι άλλο τον κύκλο.Δεν συμφωνείς?Δηλαδή γιατί να είνα αυτή η ταχύτητα αφού μπορεί με μικρότερη τιμή, η παραβολή να πλησιάσει κι άλλο.
Εξ άλλου γιά χ την τιμη που βρήκες το βεληνεκές είναι ρίζα2 επί R και υπάρχει "τζόγος" ακόμη

Το όριο δεν το κατάλαβα και γιατί θα πρέπει το χ να τείνει στο μηδέν.Τη φυσική σημασια δηλαδη της εξάρτησης του V από τοι x προσπαθώ να καταλάβω.

Συγγνώμη δηλαδή που ανφισβητώ την ταχύτητα που βρήκες γιατί το σκέφτομαι λίγο διαφορετικά.

exc · 02-08-09

Το όριο δεν το κατάλαβα και γιατί θα πρέπει το χ να τείνει στο μηδέν.Τη φυσική σημασια δηλαδη της εξάρτησης του V από τοι x προσπαθώ να καταλάβω.

Το χ εξαρτάται από το χρόνο, όπως (δεν εννοώ με τον ίδιο τρόπο) και το ψ. Άρα θα μπορούσες να το αντιστρέψεις και να πεις ότι ο χρόνος εξαρτάται από το χ και να αντικαταστήσεις στο ψ. (Απαλοιφή χρόνου κάνουμε... δεν υπάρχει βαθύτερη φυσική ερμηνεία.)

Εγώ το έλυσα με ανύσματα: $\vec{r}=Vt\hat{i}+(R-\frac{1}{2}gt^2)\hat{j}$ . Έκανα "απαλοιφή χρόνου" και είπα ότι πρέπει να ισχύει: $|\vec{r}|>R$ και κατέληξα στην ίδια ταχύτητα.

Semfer · 02-08-09

Η σχεση $V_0>\sqrt{\frac{g}{2(R-\sqrt{R^2-x^2})}}x$ σου δινει την αρχικη ταχυτητα V_0 που πρεπει να εχει το βλημα ωστε αυτο να ειναι πανω απο την επιφανεια του κυλινδρου για εκεινο το x. Με αλλα λογια, αν θελεις το βλημα να μην ακουμπαει στον κυλινδρο σε καποιο συγκεκριμενο σημειο με τετμημενη x=x_0, τοτε πρεπει $V_0>\sqrt{\frac{g}{2(R-\sqrt{R^2-x_0^2})}}x_0$ . Αλλα αυτο δεν σου εξασφαλιζει οτι $y_p>y_c$ για $x>x_0$ ή $x<x_0$ . Δεν ξερω αν με πιανεις...

Η συναρτηση $f(x)=\sqrt{\frac{g}{2(R-\sqrt{R^2-x^2})}}x$ ειναι φθινουσα και επομενως το μεγιστο της ειναι:

$\max_{0<x\leq R}f(x)=\lim_{x\to 0}\sqrt{\frac{g}{2(R-\sqrt{R^2-x^2})}}x$

Ετσι βρισκεις την αρχικη ταχυτητα που πρεπει να εχει το βλημα ωστε να μην ακουμπαει πουθενα στον κυλινδρο.

kvgreco · 02-08-09

Αρχική Δημοσίευση από Semfer:
Η σχεση $V_0>sqrt{frac{g}{2(R-sqrt{R^2-x^2})}}x$ σου δινει την αρχικη ταχυτητα V_0 που πρεπει να εχει το βλημα ωστε αυτο να ειναι πανω απο την επιφανεια του κυλινδρου για εκεινο το x. Με αλλα λογια, αν θελεις το βλημα να μην ακουμπαει στον κυλινδρο σε καποιο συγκεκριμενο σημειο με τετμημενη x=x_0, τοτε πρεπει $V_0>sqrt{frac{g}{2(R-sqrt{R^2-x_0^2})}}x_0$ . Αλλα αυτο δεν σου εξασφαλιζει οτι $y_p>y_c$ για $x>x_0$ ή $x<x_0$ . Δεν ξερω αν με πιανεις...

Η συναρτηση $f(x)=sqrt{frac{g}{2(R-sqrt{R^2-x^2})}}x$ ειναι φθινουσα και επομενως το μεγιστο της ειναι:

$max_{0<xleq R}f(x)=lim_{xto 0}sqrt{frac{g}{2(R-sqrt{R^2-x^2})}}x$

Ετσι βρισκεις την αρχικη ταχυτητα που πρεπει να εχει το βλημα ωστε να μην ακουμπαει πουθενα στον κυλινδρο.

Ναι αλλά το x το μελετάμε στο διάστημα [0,R].Ποιό το νόημα γιά κάθε χ μιά αρχική ταχύτητα?
Αν ήταν το βεληνεκές μάλιστα.Αυτό έχει άμεση εξάρτηση από το V αλλά έτσι το V από το x? Από τη μεριά της Φυσικής δεν βγαίνει νόημα.Από τις σχέσεις όμως προκύπτει εξάρτηση.Δεν θάπρεπε να μπορούμε να το εξηγήσουμε ως Φυσική αυτό?Δεν καταλαβαίνω.

Και στο άλλο που ρώτησα πες μου αν η αρχική ταχύτητα που βρήκες πάρει μιά τιμη ένα δισεκατομμυριοστό μικρότερη, είναι σίγουρο ότι θα ακουμπήσει στον κύλινδρο?Το ρισκάρεις?

.
Τι μου εξασφαλίζει ότι θα τον ακουμπήσει?

Άμα σας κουράζω παρατήστε με!

amalfi · 02-08-09

π.χ. για χ=R/2

βρισκουμε μια ταχυτητα.

οπωσδηποτε η οριακη ταχυτητα που ψαχνουμε πρεπει να ναι μεγαλυτερη ή ιση απ' αυτη (αν ηταν μικροτερη.... [?])

αυτο το κανουμε για ολα τα χ

και βρισκουμε ετσι πολλες "ταχυτητες" οι οποιες πρεπει να ειναι ,για τον ιδιο λογο, μικροτερες απο την οριακη!

ε.. η μεγαλυτερη απ' αυτες θα ναι η οριακη [γι' αυτη την ταχυτητα, δε συναντα ποτέ τον κυλινδρο]

(κι αυτη η λυση ειναι Φυσικη!)

Semfer · 02-08-09

Αρχική Δημοσίευση από kvgreco:
Και στο άλλο που ρώτησα πες μου αν η αρχική ταχύτητα που βρήκες πάρει μιά τιμη ένα δισεκατομμυριοστό μικρότερη, είναι σίγουρο ότι θα ακουμπήσει στον κύλινδρο?Το ρισκάρεις?.
Τι μου εξασφαλίζει ότι θα τον ακουμπήσει?

Θα ακουμπησει! Σου το εξασφαλιζει το οριο.

Βασικα αυτο που βρηκαμε ειναι το μεγιστο κατω φραγμα της $y_p$ το οποιο ειναι
$inf{y_p}=y_c$

Αρα για οποιαδηποτε αρχικη ταχυτητα $V_{0}*$ μικροτερη της $V_{lim}$ θα ειναι παντα
$y_p>y_p(V_{0}*)\Rightarrow inf{y_p}=y_c>y_p(V_{0}*)$
Δηλαδη το βλημα ακουμπαει στον κυλινδρο.

Semfer · 03-08-09

Για ευκολια ας υποθεσουμε οτι εχουμε ενα τριγωνο (σε 2D, εστω ισοπλευρο με γωνια φ) αντι για λοφο ωστε η επιβραδυνσνη να ειναι σταθερη. Τοτε συμφωνα με την λυση που δοθηκε το υλικο σημειο χρειαζεται απειρο χρονο για να φτασει στην κορυφη...

Ομως ευκολα μπορουμε να δειξουμε οτι ο χρονος που χρειαζεται για να μηδενιστει η ταχυτητα ειναι πεπερασμενος: $\tau =\frac{V_0}{a}$ (V_0 ειναι η αρχικη ταχυτητα του).

amalfi · 03-08-09

Για ευκολια ας υποθεσουμε οτι εχουμε ενα τριγωνο (σε 2D, εστω ισοπλευρο με γωνια φ) αντι για λοφο ωστε η επιβραδυνσνη να ειναι σταθερη. Τοτε συμφωνα με την λυση που δοθηκε το υλικο σημειο χρειαζεται απειρο χρονο για να φτασει στην κορυφη...

Ομως ευκολα μπορουμε να δειξουμε οτι ο χρονος που χρειαζεται για να μηδενιστει η ταχυτητα ειναι πεπερασμενος:

(V_0 ειναι η αρχικη ταχυτητα του).

η λυση με τον πεπερασμενο χρονο δεν ειναι αποδεκτη.
η θεση θα πρεπει να ειναι δυο φορες παραγωγισιμη ως προς το χρονο!

[αλλιως τι νοημα εχει ο Β νομος του Νευτωνα?]

στο σχολειο το παραβλεπουμε (αλλα η αρχικη ασκηση, αναφερομενη σε ομαλο λοφο, το προσπερασε το θεμα)

-επισης ακουγεται καλη ιδεα να ειναι και η δυναμη συνεχης συναρτηση της θεσης αλλα αυτο το συζηταμε-

στη Φυσικη [απ' οσο ξερω] υποθετουμε οτι οι συναρτησεις ειναι παραγωγισιμες οσες φορες θελουμε

Semfer · 03-08-09

η λυση με τον πεπερασμενο χρονο δεν ειναι αποδεκτη.
η θεση θα πρεπει να ειναι δυο φορες παραγωγισιμη ως προς το χρονο!

Εννοειτε οτι δεν οριζεται η παραγωγος στην κορυφη του τριγωνου? Οκ, δεκτω. Επομενως στην περιπτωση του λοφου εχουμε

$\tau=\frac{V_0}{g sin\phi}\Rightarrow\lim_{\phi\to 0}\tau=\infty$

Δηλαδη οσο πλησιαζουμε την κορυφη (φ -> 0) ο χρονος τεινει στο απειρο...

Μαλιστα, τελικα ειχατε δικιο. Ωραια ασκηση :thanks:

amalfi · 03-08-09

ναι, εννοω οτι στη λυση που προτεινεις
(οτι επιβραδυνεται ομαλα μεχρι ν' ακινητοποιηθει - και μετα παραμενει εκει λογω συμμετριας (?) )
δεν υπαρχει η παραγωγος της ταχυτητας στο χρονο αφιξης

(ειναι λιγο παραξενο αλλα αυτη η λυση δεν ειναι συμφωνη με το Β νομο)

εχει καποιο ενδιαφερον οτι αν στη λυση αυτη αλλαξουμε ΑΠΕΙΡΟΕΛΑΧΙΣΤΑ την αρχικη ταχυτητα η κινηση θα ειναι πολυ διαφορετικη. (ενω στον ομαλο λοφο θα ειναι σχεδον ιδια αν δεν κανω λαθος - εκτος αν μπορουμε να δουμε στο μακρινο μελλον)

και τι θα συμβει αν "πραγματι" εχουμε αυτη τη διαταξη?

στ' αληθεια δεν ξερω! μου φαινεται οτι ειναι περα απ' το πεδιο της μηχανικης.

Semfer · 03-08-09

* Το τ ειναι ο χρονος που χρειαζεται το υλικο σημειο για να φτασει στο σημειο στο οποιο ο λοφος εχει κλιση φ.
** Η λυση (αν ειναι σωστη) ειναι μια απλη μαθηματικη λυση χωρις σειρες Taylor...
*** Ερωτηση:
Το γεγονος οτι δεν υπαρχουν τριβες μας εξασφαλιζει την αντιστρεπτοτητα του φαινομενου στον χρονο. Η μηδενικες διαστασεις τι ρολο παιζουν στην ασκηση αυτη? Με αλλα λογια, εχει σημασια το οτι το "μπαλακι" μας ειναι υλικο σημειο?

amalfi · 03-08-09

Το γεγονος οτι δεν υπαρχουν τριβες μας εξασφαλιζει την αντιστρεπτοτητα του φαινομενου στον χρονο. Οι μηδενικες διαστασεις τι ρολο παιζουν στην ασκηση αυτη? Με αλλα λογια, εχει σημασια το οτι το "μπαλακι" μας ειναι υλικο σημειο?

οι μηδενικες διαστασεις δεν εχουν τοση σημασια, αρκει να ισορροπει στην κορυφη το σωμα -και η αρχικη κινητικη ενεργεια να ειναι "ισα-ισα"

γενικοτερα για να ειναι αντιστρεπτο ενα μηχανικο φαινομενο θα πρεπει οι δυναμεις να μην εχουν εξαρτηση απο την ταχυτητα
(ή απο περιττες παραγωγους της θεσης ως προς το χρονο ακομη πιο γενικα - αλλα απο τριτες και πανω δεν εχουμε)

η τριβη εξαρταται απ' την ταχυτητα!

αν εχουμε δυναμη Lorentz παλι θα υπαρχει θεμα

Semfer · 03-08-09

Αρχική Δημοσίευση από amalfi:
ναι, εννοω οτι στη λυση που προτεινεις
(οτι επιβραδυνεται ομαλα μεχρι ν' ακινητοποιηθει - και μετα παραμενει εκει λογω συμμετριας (?) )
δεν υπαρχει η παραγωγος της ταχυτητας στο χρονο αφιξης

(ειναι λιγο παραξενο αλλα αυτη η λυση δεν ειναι συμφωνη με το Β νομο)

εχει καποιο ενδιαφερον οτι αν στη λυση αυτη αλλαξουμε ΑΠΕΙΡΟΕΛΑΧΙΣΤΑ την αρχικη ταχυτητα η κινηση θα ειναι πολυ διαφορετικη. (ενω στον ομαλο λοφο θα ειναι σχεδον ιδια αν δεν κανω λαθος - εκτος αν μπορουμε να δουμε στο μακρινο μελλον)

και τι θα συμβει αν "πραγματι" εχουμε αυτη τη διαταξη?

στ' αληθεια δεν ξερω! μου φαινεται οτι ειναι περα απ' το πεδιο της μηχανικης.

Για αυτο και εκανα την ερωτηση για το αν εχει σημασια οτι το μπαλακι ειναι υλικο σημειο. Και απο οτι φενεται εχει παρα πολυ μεγαλη σημασια. Αλλιως θα εφτανε στην κορυφη σε πεπερασμενο χρονο... ή κανω λαθος?

amalfi · 03-08-09

Για αυτο και εκανα την ερωτηση για το αν εχει σημασια οτι το μπαλακι ειναι υλικο σημειο. Και απο οτι φενεται εχει παρα πολυ μεγαλη σημασια. Αλλιως θα εφτανε στην κορυφη σε πεπερασμενο χρονο... ή κανω λαθος?

καποιο παραδειγμα?

αν εχουμε ενα τουβλο π.χ. ή μια σφαιρα

μπορουμε να μελετησουμε την κινηση του κεντρου μαζας

η μορφη της εξισωσης ειναι ιδια με του υλικου σημειου

το κεντρο μαζας θα κινειται για παντα

(?)

Bοήθεια/Απορίες στη Φυσική Προσανατολισμού

Πολύ δραστήριο μέλος

Εκκολαπτόμενο μέλος

Δραστήριο μέλος

Εκκολαπτόμενο μέλος

Δραστήριο μέλος

Εκκολαπτόμενο μέλος

Εκκολαπτόμενο μέλος

Διάσημο μέλος

Εκκολαπτόμενο μέλος

Εκκολαπτόμενο μέλος

Δραστήριο μέλος

Εκκολαπτόμενο μέλος

Εκκολαπτόμενο μέλος

Δραστήριο μέλος

Εκκολαπτόμενο μέλος

Δραστήριο μέλος

Εκκολαπτόμενο μέλος

Δραστήριο μέλος

Εκκολαπτόμενο μέλος

Δραστήριο μέλος