Συλλογή ασκήσεων στην Άλγεβρα

rebel · 26 Νοεμβρίου 2011

Έχεις λάθος στις πράξεις εκεί που κάνεις απαλοιφή παρονομαστών. Πρέπει ισοδύναμα να καταλήξεις στην ανισότητα $4x^3+15x^2+4x \leq 2$ που δείχνεται εύκολα με βάση το πρώτο ερώτημα. Αλλιώς
$1-2ab \geq \frac{1}{2}$ και $\frac{1}{a^2b^2} \geq 16$ οπότε $1-2ab +\frac{1-2ab}{a^2b^2} \geq \frac{1}{2} +\frac{1}{2}16=\frac{17}{2}$

Guest 018946 · 27 Νοεμβρίου 2011

Οκ το αλλαζω .

δινω μια ευκολη παραγοντοποιηση : http

Πηγη μου το συμπαθεστατο mathematica .

rebel · 27-11-11

Guest 018946 · 27 Νοεμβρίου 2011

Εγω εχω βρει λυση με θετω την βαζω σε σπόιλερ για οποιον θελει να την προσπαθησει

θέτω $a=x^2+4x$ Τοτε η σχεση μου γινεται $(a+1)(a+7)+9 \Leftrightarrow a^2+7a+a+7+9 \Leftrightarrow a^2+8a+16 \Leftrightarrow (a+4)^2$ αντικαθιστω και εχω
$( x^2+4x+4)^2 \Leftrightarrow [(x+2)^2]^2 \Leftrightarrow (x+2)^4$

βαζω και ενα ευκολακι στα ριζικα μιας και αρκετοι εχουμε μπει στο κεφαλαιακι να υπολογισετε το :

στην συνεχεια θα μπουν και πιο δυσκολα στα ριζικα αλλα ξεκιναω με κατι ευκολο.

rebel · 27-11-11

Αν είναι ευκολάκι μάλλον υπάρχει κάτι απλούστερο που δεν βλέπω :redface:

$\left(\sqrt{4-\sqrt{15}}+\sqrt{4+\sqrt{15}}\right)^2=8+2\sqrt{\left(4-\sqrt{15}\right)\left(4+\sqrt{15}\right)}=10 \Rightarrow \\ \sqrt{4-\sqrt{15}}+\sqrt{4+\sqrt{15}}=\sqrt{10}\quad (1)$
Επίσης
$2\sqrt{3-\sqrt{5}}=\frac{2}{\sqrt{10}}\sqrt{30-10\sqrt{5}}=\frac{2}{\sqrt{10}}\sqrt{25-2\cdot 5\cdot \sqrt{5}+5}=\frac{2}{\sqrt{10}}\sqrt{\left(5-\sqrt{5}\right)^2}=\frac{2\left(5-\sqrt{5}\right)}{\sqrt{10}}=\sqrt{10}-\sqrt{2}\quad(2)$

Από (1) και (2) η αρχική παράσταση είναι τελικά ίση με $\sqrt{2}$

Guest 018946 · 27 Νοεμβρίου 2011

θα μπορουσαμε να μπασουμε το δυαρι μεσα στην ριζα για το δευτερο μιλωντας παντα και να εφαρμοσω τον τυπο με την μετατροπη σε δυο ριζες και εβγαινε σχετικα γρηγορα.

κωστα οτι βρεις απο απολυτα ριζικα τριγωνικη κτλπ βαζε .Αυτη την εβδομαδα ειμαι ψιλοχαλαρος

rebel · 27-11-11

Μετατροπή σε δύο ρίζες; Ο μόνος τύπος που έχω υπ' όψιν μου ειναι ο εξής.

$\sqrt{A-\sqrt{B}}=\sqrt{\frac{A+\sqrt{A^2-B}}{2}}-\sqrt{\frac{A-\sqrt{A^2-B}}{2}}$

Αυτόν εννοείς;

Guest 018946 · 27-11-11

Αρχική Δημοσίευση από styt_geia:
Μετατροπή σε δύο ρίζες; Ο μόνος τύπος που έχω υπ' όψιν μου ειναι ο εξής.

$\sqrt{A-\sqrt{B}}=\sqrt{\frac{A+\sqrt{A^2-B}}{2}}-\sqrt{\frac{A-\sqrt{A^2-B}}{2}}$

Αυτόν εννοείς;

αυτο λεω δοκιμασε να μπασεις το δυαρι μεσα στην ριζα και θα δεις οτι βγαινει ευκολα .

rebel · 28 Νοεμβρίου 2011

Αρχική Δημοσίευση από Aris1412:
Nα αποδειξετε οτι :
ii)αν για τους πραγματικους αριθμους a,b και c ισχυουν οι σχεσεις: $\frac{a}{b}=\frac{b}{c}=\frac{c}{d} \,\,(*)$
τοτε b² + c² ≤ a² + d²

Ισχύει
$(a^2+d^2)(b^2+c^2) \geq (ac+bd)^2 \Rightarrow (a^2+d^2)(b^2+c^2) \stackrel{(*)}{\geq} (b^2+c^2)^2 \Rightarrow \\ a^2+d^2 \geq b^2+c^2$

Μία παρόμοια με την προηγούμενη. Να απλοποιηθεί η παράσταση
$\frac{2+\sqrt{3}}{\sqrt{2}+\sqrt{2+\sqrt{3}}}+\frac{2-\sqrt{3}}{\sqrt{2}-\sqrt{2-\sqrt{3}}}$

Απάντηση: $\sqrt{2}$

Guest 018946 · 28-11-11

Αρχική Δημοσίευση από styt_geia:
Ισχύει
Μία παρόμοια με την προηγούμενη. Να απλοποιηθεί η παράσταση
$\frac{2+\sqrt{3}}{\sqrt{2}+\sqrt{2+\sqrt{3}}}+\frac{2-\sqrt{3}}{\sqrt{2}-\sqrt{2-\sqrt{3}}}$

μου ξεσκισε το μυαλο . θα την προσπαθησω και αλλο και αν δεν θα σου πω να με δωσεις λυση.Προφανως εχει κατι απλο το οποιο τωρα δεν μπορω να το δω.

vimaproto · 30-11-11

Αρχική Δημοσίευση από dr.tasos:
μου ξεσκισε το μυαλο . θα την προσπαθησω και αλλο και αν δεν θα σου πω να με δωσεις λυση.Προφανως εχει κατι απλο το οποιο τωρα δεν μπορω να το δω.

Γνωρίζεις συζυγείς παραστάσεις?

Guest 018946 · 30-11-11

Αρχική Δημοσίευση από vimaproto:
Γνωρίζεις συζυγείς παραστάσεις?

ξερω απλα πρεπει να βρω λιγο χρονο να δουλεψω την ασκηση.

Αγγελική!!! · 06-12-11

Όταν θυμηθώ και τα πιο δύσκολα θα τα βάλω..Για την ώρα πάρτε αυτές τις ασκήσεις..
1)Εάν $\mid x\mid \leq 1$ και $\mid y \mid \leq 1$ , να δείξετε ότι $-1\leq \frac{x+y}{1+xy}\leq 1$
2)Εάν $\alpha ,\beta \neq 0$ και ${\alpha }^{2}< 16{\beta }^{2}$ , να δείξετε ότι $\mid\frac{\alpha }{\beta } \mid -\mid \frac{\beta }{\alpha }\mid <\frac{15}{4}$
3)Nα αποδείξετε ότι
i) $2({\alpha }^{2}+{\beta }^{2})\geq {(\mid \alpha \mid +\mid \beta \mid )}^{2}$
ii) $\frac{{\alpha }^{2}+{\beta }^{2}}{\mid\alpha \mid +\mid \beta \mid }+\frac{{\beta }^{2}+{\gamma }^{2}}{\mid\beta \mid+ \mid \gamma \mid }+\frac{{\alpha }^{2}+{\gamma }^{2}}{\mid \alpha \mid +\mid \gamma \mid }=\mid \alpha \mid +\mid \beta \mid+ \mid \gamma \mid$

Guest 018946 · 29 Ιουνίου 2012

δίνω λύση για την δεύτερη γιατί δεν μου βγαίνει το ένα φράγμα λοιπον:
2) $|a| < 4|b| \Leftrightarrow \frac{|a|}{|b|} < 4 \textbox{and} \frac{1}{4} < \frac{|b|}{|a|}$ ανοιγω τα απολυτα και εχω :
Μετα προσθετω κατα μελη :
$\frac{|a|}{|b|}- \frac{|b|}{|a|} < \frac{15}{4}$

και το δευτερο ερωτημα της 3ης : απο το πρωτο εχω $\frac{(a^2+b^2)}{|a|+|b|}$ εμεις ομως κραταμε μονο την περιπτωση της ισοτητας
αρα εχω $\frac{(a^2+b^2)}{|a|+|b|} = \frac{|a|+|b|}{2}$ αντικαθιστω στην αποδεικτεα και εχω
$\frac{2|a|+2|b|+2|c|}{2}=|a|+|b|+|c| \Leftrightarrow |a|+|b|+|c|=|a|+|b|+|c| \Leftrightarrow \mathbb{Q.E.D.}$

chrislg · 07-12-11

αν ισχύει $a<x<b$ για $a,x,b\in IR$ τότε σε ποιο διάστημα ανήκει το $\left|x \right|$

Rempeskes · 07-12-11

Αρχική Δημοσίευση από dr.tasos:
\Leftrightarrow \mathbb{Q.E.D.}

η διπλή συνεπαγωγή είναι λάθος.

chrislg · 07-12-11

σωστός ...

arsentkd · 07-12-11

Γεια σας παιδιά

...είμαι καινούργια εδώ...

θέλω να αγοράσω ένα βιβλίο με ανισότητες για διαγωνισμούς και είμαι ανάμεσα σε δύο...το αλγεβρικές ανισότητες και το κλασικές και νέες ανισώτητες, του ίδιου συγγραφέα...
ποιό προτείνετε?παρόμοια είναι αλλα τι να πω...

Εψαχνα στη google και τυχαία βρήκα αυτην την όμορφη συζήτηση που εχετε ανοίξει με ασκήσεις πανω στις ανισότητες και ετσι πιστεύω είναι ευκαιρία να πω την απορία μου

αν θέλετε παραπάνω ασκήσεις στα μαθηματικά και πρωτότυπες μάλιστα ρίξτε και μια ματιά εδώ .... https://www.mathematica.gr/
(σίγουρα θα το ξέρετε πολλοί

)

rebel · 7 Δεκεμβρίου 2011

Γεια και σε σένα. Δεν το έχω το βιβλίο αλλά ίσως αυτή η συζήτηση να σε διαφωτίσει. Αν κάποιος έχει κάποιο από αυτά ας πει την άποψή του. Επίσης μέρος του "αλγεβρικές ανισότητες" εδώ.

chrislg · 08-12-11

Αρχική Δημοσίευση από chrislg:
αν ισχύει $a<x<b$ για $a,x,b\in IR$ τότε σε ποιο διάστημα ανήκει το $\left|x \right|$

κάποιος ;; ... είναι εύκολη ...

Συλλογή ασκήσεων στην Άλγεβρα

Πολύ δραστήριο μέλος

Guest 018946

Επισκέπτης

Πολύ δραστήριο μέλος

Guest 018946

Επισκέπτης

Πολύ δραστήριο μέλος

Guest 018946

Επισκέπτης

Πολύ δραστήριο μέλος

Guest 018946

Επισκέπτης

Πολύ δραστήριο μέλος

Guest 018946

Επισκέπτης

Πολύ δραστήριο μέλος

Guest 018946

Επισκέπτης

Δραστήριο μέλος

Guest 018946

Επισκέπτης

Νεοφερμένος

Επιφανές μέλος

Νεοφερμένος

Νεοφερμένος

Πολύ δραστήριο μέλος

Νεοφερμένος