Συλλογή ασκήσεων και τεστ στα Μαθηματικά Προσανατολισμού

DennisTheMenace · 25-03-09

Αρχικά f συνεχής στο [-2,1]
f(-2)*f(1)<0
Άρα από Θ.Bolzano υπάρχει χ0 που ανήκει (-2,1):f(χ0)=0

f παρ στο [-2,χ0]=> από ΘΜΤ υπάρχει α1 στο (-2,χ0) ώστε f'(a1)=f(x0)-f(-2)/(x0+2) =>f'(a1)=3/(x0+2) (1)

f παρ στο [χ0,1]=> από ΘΜΤ υπάρχει α2 στο (χ0,1) ώστε f'(a2)=f(1)-f(x0)/(1-x0) => f'(a2)=1/(1-x0) (2)

Άρα βάζουμε τις σχέσεις (1), (2) στο ζητούμενο και βρίσκουμε ότι ισχύει για χ0=4/7
Πιστεύω η λύση είναι σωστή...

Athanachs · 25-03-09

Αρχική Δημοσίευση από DennisTheMenace:
Αρχικά f συνεχής στο [-2,1]
f(-2)*f(1)<0
Άρα από Θ.Bolzano υπάρχει χ0 που ανήκει (-2,1):f(χ0)=0

f παρ στο [-2,χ0]=> από ΘΜΤ υπάρχει α1 στο (-2,χ0) ώστε f'(a1)=f(x0)-f(-2)/(x0+2) =>f'(a1)=3/(x0+2) (1)

f παρ στο [χ0,1]=> από ΘΜΤ υπάρχει α2 στο (χ0,1) ώστε f'(a2)=f(1)-f(x0)/(1-x0) => f'(a2)=1/(1-x0) (2)

Άρα βάζουμε τις σχέσεις (1), (2) στο ζητούμενο και βρίσκουμε ότι ισχύει για χ0=4/7
Πιστεύω η λύση είναι σωστή...

Δεν μπορείς να χρησιμοποιήσεις το ζητούμενο για να το αποδείξεις!Δηλαδή είναι λάθος να θεωρήσεις ως δεδομένο της άσκησης αυτό που πρέπει να αποδείξεις και να κινηθείς αντίστροφα.Σε μερικές ασκήσεις βγαίνει αυτός ο τρόπος αλλά στην συγκεκριμένη είναι λανθασμένος.

manos66 · 25-03-09

Θεώρημα ενδιαμέσων τιμών στο [-2 , 1]
υπάρχει x0 στο (-2 , 1) τέτοιο ώστε f (x0) = -1

Μετά δύο Θ.Μ.Τ. στα [-2 , x0] και [x0 , 1]

Athanachs · 25-03-09

Αρχική Δημοσίευση από manos66:
Θεώρημα ενδιαμέσων τιμών στο [-2 , 1]
υπάρχει x0 στο (-2 , 1) τέτοιο ώστε f (x0) = -1

Μετά δύο Θ.Μ.Τ. στα [-2 , x0] και [x0 , 1]

:iagree:

rolingstones · 26-03-09

o τροπος του denis ειναι ολοσωστος μονο δεν αντικαθιστα τις σχεσεις που βρηκε για να δουμε

Athanachs · 26-03-09

Αρχική Δημοσίευση από rolingstones:
o τροπος του denis ειναι ολοσωστος μονο δεν αντικαθιστα τις σχεσεις που βρηκε για να δουμε

edit:κατόπιν βοήθειας από τον manos66

Η λύση του denis δίνει

και μετά εξισώνει το 2ο μέλος με το ζητούμενο,πράγμα που είναι
λάθος!

rolingstones · 26-03-09

ε βεβαια αυτο ειναι λαθος νομιζα οτι δεν εγραφε αυτο τοτε οκ

manos66 · 26-03-09

Αρχική Δημοσίευση από DennisTheMenace:
Αρχικά f συνεχής στο [-2,1]
f(-2)*f(1)<0
Άρα από Θ.Bolzano υπάρχει χ0 που ανήκει (-2,1):f(χ0)=0

f παρ στο [-2,χ0]=> από ΘΜΤ υπάρχει α1 στο (-2,χ0) ώστε f'(a1)=f(x0)-f(-2)/(x0+2) =>f'(a1)=3/(x0+2) (1)

f παρ στο [χ0,1]=> από ΘΜΤ υπάρχει α2 στο (χ0,1) ώστε f'(a2)=f(1)-f(x0)/(1-x0) => f'(a2)=1/(1-x0) (2)

Άρα βάζουμε τις σχέσεις (1), (2) στο ζητούμενο και βρίσκουμε ότι ισχύει για χ0=4/7
Πιστεύω η λύση είναι σωστή...

Ο τρόπος του denis δίνει
$\frac{2}{f'(a_1)}+\frac{2}{f'(a_2)} = \frac{10-4x_0}{3}$
Δεν είναι σωστός
Δεν γνωρίζω ποιό είναι το x0 και ούτε μπορώ να το "προσαρμόσω" στο ζητούμενό μου.

rolingstones · 26-03-09

μανο για ανεβασε αναλυτικα την λυση σου αν θελεις

hearts_alive · 26-03-09

Όντως αρκετά ενδιαφέρουσα η άσκηση αν και απ'όσο έχω υπόψη μου, αν δεν είσαι γνώστης της μεθοδολογίας που απαιτείται για να βγει (το Θ.Ε.Τ. για την εύρεση κατάλληλου x0 ώστε να εφαρμοστούν τα Θ.Μ.Τ.) θα καταλήξεις να κάνεις δοκιμές σχετικά με το ποια τιμή της f θες για να σου βγει με τα Θ.Μ.Τ.

Στο φροντιστήριο μας είχε δείξει με γραφικές παραστάσεις με ποια λογική βγαίνει να πάρουμε συγκεκριμένο x0 απ'το Θ.Ε.Τ.

Προς τον δημιουργό του thread: Από περιέργεια (

), για Πολυτεχνείο πας;

hearts_alive · 26-03-09

Αρχική Δημοσίευση από galois01:
(δ)Από το (α) μπορούμε να διαιρέσουμε με f(x) και κατα τα γνωστά προκύπτει

$f(x)=e^{x^{2}+2x}$

Επίσης άλλη μία πρόταση (πιθανόν να λέμε και το ίδιο, δεν κάθισα να ψάξω τον τρόπο που πρότεινε ο Κώστας):

Από ερώτημα (γ) έχουμε
f '(x) - 2f(x)(x+1) = 0 οπότε πολλαπλασιάζοντας τα δύο μέλη με e^[-(x+1)^2] έχουμε την παράγωγο της συνάρτησης f(x)*e^[-(x+1)^2] = g(x) ίση με 0 άρα g σταθερή στο R, επομένως

g(x) = c, c πραγματικός αριθμός.
Χρησιμοποιώντας το ερώτημα (β) δηλαδή θέτοντας στην g όπου x το 0 προκύπτει c = 1/e και μετά απ'τις πράξεις πράγματι προκύπτει η συνάρτηση e^(x^2+2*x).

και τελικά παίρνουμε ότι το αρχικό όριο γίνεται

Άρα

Εδώ σ'έχασα, για να'μαι ειλικρινής... πώς έβγαλες ότι αυτό το όριο ισούται με (2*x0+2)*f(x0)

DennisTheMenace · 26-03-09

Δίκιο έχετε...τα ψιλομπέρδεψα

Athanachs · 26-03-09

Αρχική Δημοσίευση από viridian:
Όντως αρκετά ενδιαφέρουσα η άσκηση αν και απ'όσο έχω υπόψη μου, αν δεν είσαι γνώστης της μεθοδολογίας που απαιτείται για να βγει (το Θ.Ε.Τ. για την εύρεση κατάλληλου x0 ώστε να εφαρμοστούν τα Θ.Μ.Τ.) θα καταλήξεις να κάνεις δοκιμές σχετικά με το ποια τιμή της f θες για να σου βγει με τα Θ.Μ.Τ.

Στο φροντιστήριο μας είχε δείξει με γραφικές παραστάσεις με ποια λογική βγαίνει να πάρουμε συγκεκριμένο x0 απ'το Θ.Ε.Τ.

Προς τον δημιουργό του thread: Από περιέργεια (), για Πολυτεχνείο πας;

Βασικα βγαινει και εφαρμογη του θ.Bolzano στο[-2,1]για την
g(x)=f(x)+1 αλλα στην ουσια ειναι η ιδια λογικη καθως το θ.Bolzano ειναι
υποπεριπτωση του Θ.Ε.Τ.Οσον αφορα στο πολυτεχνειο...πραγματικα δεν ξερω.
Θα βγαλω οσα μορια μπορεσω και μετα θα δω.Ειμαι και θετικη οποτε εχω βλεψεις και για ιατρικη,φαρμακευτικη κ.τ.λ.

Athanachs · 27-03-09

Αν ισχύει $f(x)x\sin x\geq 2^x$ για κάθε x $\in$ R* να υπολογιστεί το $\lim_{x\rightarrow 0}(\sqrt{f^2(x)-f(x)-5}-f(x))$

manos66 · 27-03-09

Αρχική Δημοσίευση από rolingstones:
μανο για ανεβασε αναλυτικα την λυση σου αν θελεις

f συνεχής στο [-2 , 1]
f (-2) = -3 < -1 < 1 = f (1)

από Θ.Ε.Τ. υπάρχει $x_0 \in (-2 , 1)$ , τέτοιο ώστε $f(x_0) = -1$

f συνεχής στα [-2 , x0] και [x0 , 1]
f παραγωγίσιμη στα (-2 , x0) και (x0 , 1)

από Θ.Μ.Τ. υπάρχουν :
$\\ a_1 \in \left(-2 , x_0 \right) : f'(a_1) = \frac{f(x_0) - f (-2)}{x_0 + 2} = \frac{2}{x_0 + 2} \Leftrightarrow \frac{1}{f'(a_1)}= \frac{x_0 + 2}{2} \Leftrightarrow \frac{2}{f'(a_1)}= x_0 + 2 (1)$

$\\ a_2 \in \left(x_0 , 1) \right) : f'(a_2) = \frac{f (1) - f(x_0)}{1 - x_0} = \frac{2}{1 - x_0} \Leftrightarrow \frac{1}{f'(a_2)}= \frac{1 - x_0}{2} \Leftrightarrow \frac{2}{f'(a_2)}= 1 - x_0 (2)$

Από (1) και (2) με πρόσθεση προκύπτει
$\\ \frac{2}{f'(a_1)}+ \frac{2}{f'(a_2)}= x_0 + 2 +1 - x_0 = 3$

Αυτό που πρέπει να συζητήσουμε παιδιά είναι η επιλογή του -1 για το Θ.Ε.Τ.

Athanachs · 27-03-09

Αρχική Δημοσίευση από manos66:
f συνεχής στο [-2 , 1]

f (-2) = -3 < -1 < 1 = f (1)

από Θ.Ε.Τ. υπάρχει $x_0 in (-2 , 1)$ , τέτοιο ώστε $f(x_0) = -1$

f συνεχής στα [-2 , x0] και [x0 , 1]

f παραγωγίσιμη στα (-2 , x0) και (x0 , 1)

από Θ.Μ.Τ. υπάρχουν :
$a_1 in left(-2 , x_0 right) : f'(a_1) = frac{f(x_0) - f (-2)}{x_0 + 2} = frac{2}{x_0 + 2} Leftrightarrow frac{1}{f'(a_1)}= frac{x_0 + 2}{2} Leftrightarrow frac{2}{f'(a_1)}= x_0 + 2 (1)$

$a_2 in left(x_0 , 1) right) : f'(a_2) = frac{f (1) - f(x_0)}{1 - x_0} = frac{2}{1 - x_0} Leftrightarrow frac{1}{f'(a_2)}= frac{1 - x_0}{2} Leftrightarrow frac{2}{f'(a_2)}= 1 - x_0 (2)$

Από (1) και (2) με πρόσθεση προκύπτει
$frac{2}{f'(a_1)}+ frac{2}{f'(a_2)}= x_0 + 2 +1 - x_0 = 3$

Αυτό που πρέπει να συζητήσουμε παιδιά είναι η επιλογή του -1 για το Θ.Ε.Τ.

Βασικά,αυτή η άσκηση σχετίζεται έμμεσα με την κατηγορία ασκήσεων διαίρεσης διαστήματος.Στην προκειμένη είναι περίπου η αντίστροφη διαδικασία,επειδή το f'βρίσκεται στον παρονομαστή.Δηλαδή από τους συντελεστές του ζητούμενου(2,2) ''βλέπουμε'' ότι πρέπει να διαιρέσουμε το διάστημα σε δύο διαστήματα [-2,χο] κ [χο,1]
ώστε το f(xo) να διαιρεί το διάστημα [f(-2),f(1)]=[-3,1] σε δύο ίσα μεταξύ τους διαστήματα δηλαδή στο [-3,-1] και [-1,1](πλάτους 2 το καθένα).Επομένως f(x0)=-1....κάπως έτσι.Γενικότερα αυτές οι ασκήσεις δουλεύονται με θ.μ.τ. ύστερα από διαίρεση σε κατάλληλα διαστήματα ανάλογα με τους συντελεστές του ζητουμενου.Η συγκεκριμένη είναι λίγο ιδιαίτερη γιατί δεν θέλει διαίρεση μόνο στο πεδίο ορισμού αλλά κ στο[f(a),f(b)] όπου a,b τα άκρα του πεδίου ορισμού.Νομίζω,αύτη περίπου είναι η εξήγηση.

manos66 · 27-03-09

Δίνω άλλες δύο ασκήσεις "διαίρεσης διαστήματος" που κυκλοφορούν σε πολλά βιβλία.

1. Αν f παραγωγίσιμη στο [α , β], με f (α) = f (β), ν' αποδειχθεί ότι υπάρχουν διαφορετικά μεταξύ τους $x_1,x_2 \in (a,\beta )$ , τέτοια ώστε $f'(x_1)+2009f'(x_2) = 0$

2. Αν f παραγωγίσιμη στο [α , β], με f (α) = α και f (β) = β, ν' αποδειχθεί ότι υπάρχουν διαφορετικά μεταξύ τους $x_1,x_2 \in (a,\beta )$ , τέτοια ώστε $f'(x_1)f'(x_2) = 1$

rolingstones · 27-03-09

αν και παει ενας χρονος πιστευω τι υπαρχει συγκεκριμενη μεθοδολογια σε αυτες τις ασκησεις δηλαδη χωριζεις το διαστημα σε υποδιαστηματα σε λιγο αναλυτικα η λυση μου σε αυτες τις ασκησεις φιλε μανο εισαι εξαιρετικος καθηγητης συγχαρητηρια για τη δουλεια που κανεις

rolingstones · 27-03-09

η ασκηση λεει αν υπαρχει το οριο της f?

hearts_alive · 27-03-09

Αρχική Δημοσίευση από manos66:
Δίνω άλλες δύο ασκήσεις "διαίρεσης διαστήματος" που κυκλοφορούν σε πολλά βιβλία.

1. Αν f παραγωγίσιμη στο [α , β], με f (α) = f (β), ν' αποδειχθεί ότι υπάρχουν διαφορετικά μεταξύ τους $x_1,x_2 in (a,beta )$ , τέτοια ώστε $f'(x_1)+2009f'(x_2) = 0$

Γι'αυτό με έναν πρόχειρο χωρισμό του διαστήματος [α,β] έχω την εντύπωση ότι βγαίνει με ΘΜΤ για την f στα διαστήματα

[α, (β+2009α)/2010] και [(β+2009α)/2010, β] και πρόσθεση κατά μέλη...

Το 2ο το ψάχνω λίγο και αν καταλήξω σε κάτι θα απαντήσω.
-----------------------------------------
Την έχω ξανακάνει τελικά τη 2η άσκηση του Μάνου, η εκφώνηση θα μπορούσε βέβαια να περιέχει μία σημαντική βοήθεια προς τους επίδοξους λύτες καθώς θυμάμαι ότι στο φροντιστήριο μας την είχαν δώσει για να προσπαθήσουμε χωρίς το 1ο, ουσιαστικά, υποερώτημα που σου δείχνει το χωρισμό του διαστήματος.

*********Spoiler: Hint για τη λύση της άσκησης**********

Αποδείξτε ότι υπάρχει ξ στο (α, β) τέτοιο ώστε f(ξ) = α+β-ξ.

Συλλογή ασκήσεων και τεστ στα Μαθηματικά Προσανατολισμού

Νεοφερμένος

Νεοφερμένος

Εκκολαπτόμενο μέλος

Νεοφερμένος

Πολύ δραστήριο μέλος

Νεοφερμένος

Πολύ δραστήριο μέλος

Εκκολαπτόμενο μέλος

Πολύ δραστήριο μέλος

Νεοφερμένος

Νεοφερμένος

Νεοφερμένος

Νεοφερμένος

Νεοφερμένος

Εκκολαπτόμενο μέλος

Νεοφερμένος

Εκκολαπτόμενο μέλος

Πολύ δραστήριο μέλος

Πολύ δραστήριο μέλος

Νεοφερμένος