Συλλογή ασκήσεων και τεστ στα Μαθηματικά Προσανατολισμού

antwwwnis · 13-09-12

Ξανατσέκαρε αυτό που έγραψα γιατί το τριπλό το είχα στο λάθος μέλος :redface:

Χαρά, την συγκεκριμένη περίπτωση την είχαμε κουβεντιάσει σε αυτο το θέμα αν θυμάμαι καλά, παραμονές πανελληνιων, και ήταν τόσο διαστροφικά παράλογο να πρέπει να το ξέρει κάποιος μαθητής, που τελικά μου έμεινε

Civilara · 14 Σεπτεμβρίου 2012

Αρχική Δημοσίευση από antwwwnis:
Εννοεί $\int 9/(1+9{u}^{2})du$

Βασικά δε λύνεται με τις γνώσεις του λυκείου γιατί χρειάζεται η αντίστροφη συνάρτηση της εφαπτομένης. Η συνάρτηση της εφαπτομένης f(x)=εφx με πεδίο ορισμού το Α=(-π/2, π/2) έχει πεδίο τιμών το f(A)=R. Στο Α η f είναι 1-1 και συνεπώς αντιστρέψιμη. Δηλαδή ισχύει η ισοδυναμία:

$y=f(x)\Leftrightarrow x={f}^{-1}(y)$ όπου x ανήκει A και y ανήκει f(A)

Η αντίστροφη συνάρτηση συμβολίζεται ως ${f}^{-1}(y)=\tau o\xi \epsilon \varphi y$

Για τον υπολογισμό του παραπάνω ολοκληρώματος θεωρούμε την αντικατάσταση:

$u=\frac{1}{3}\varepsilon \varphi \theta \Leftrightarrow \theta =\tau o\xi \varepsilon \varphi \left(3u \right)$

όπου -π/2<θ<π/2 και u ανήκει R. Επομένως $du=\frac{1}{3{\sigma \upsilon \nu }^{2}\theta }d\vartheta$ .

Χρησιμοποιώντας την ταυτότητα: $1+{\varepsilon \varphi }^{2}\theta =\frac{1}{{\sigma \upsilon \nu }^{2}\theta }$
έχουμε:

$I=\int \frac{9}{1+9{u}^{2}}du=\int \frac{9}{1+{\varepsilon \varphi }^{2}\theta }\frac{1}{3{\sigma \upsilon \nu }^{2}\theta }d\theta =\int 3d\theta =3\theta +c=3\tau o\xi \varepsilon \varphi \left(3u \right)+c$

Ironboy · 14-09-12

Αρχική Δημοσίευση από Civilara:
Βασικά δε λύνεται με τις γνώσεις του λυκείου γιατί χρειάζεται η αντίστροφη συνάρτηση της εφαπτομένης. Η συνάρτηση της εφαπτομένης f(x)=εφx με πεδίο ορισμού το Α=(-π/2, π/2) έχει πεδίο τιμών το f(A)=R. Στο Α η f είναι 1-1 και συνεπώς αντιστρέψιμη. Δηλαδή ισχύει η ισοδυναμία:

$y=f(x)\Leftrightarrow x={f}^{-1}(y)$ όπου x ανήκει A και y ανήκει f(A)

Η αντίστροφη συνάρτηση συμβολίζεται ως ${f}^{-1}(y)=\tau o\xi \epsilon \varphi y$

Για τον υπολογισμό του παραπάνω ολοκληρώματος θεωρούμε την αντικατάσταση:

$u=\frac{1}{3}\varepsilon \varphi \theta \Leftrightarrow \theta =\tau o\xi \varepsilon \varphi \left(3u \right)$

όπου -π/2<θ<-π/2 και u ανήκει R. Επομένως $du=\frac{1}{3{\sigma \upsilon \nu }^{2}\theta }d\vartheta$ .

Χρησιμοποιώντας την ταυτότητα: $1+{\varepsilon \varphi }^{2}\theta =\frac{1}{{\sigma \upsilon \nu }^{2}\theta }$
έχουμε:

$I=\int \frac{9}{1+9{u}^{2}}du=\int \frac{9}{1+{\varepsilon \varphi }^{2}\theta }\frac{1}{3{\sigma \upsilon \nu }^{2}\theta }d\theta =\int 3d\theta =3\theta +c=3\tau o\xi \varepsilon \varphi \left(3u \right)+c$

Οχι!Λυνεται οπως πολυ σωστα ειπε ο Αντωνης!!

Civilara · 14-09-12

Αρχική Δημοσίευση από Ironboy:
Οχι!Λυνεται οπως πολυ σωστα ειπε ο Αντωνης!!

Δηλαδή πως; Αν πρόσεξες, έκανα αυτό που είπε ο Αντώνης. Ο Αντώνης όμως δεν έδωσε ολοκληρωμένη λύση.

Επίσης λύνεται πολύ πιο απλά το ολοκλήρωμα αν αναλογιστούμε ότι:

$\frac{d}{du}\left( \tau o\xi \varepsilon \varphi u\right)=\frac{1}{1+{u}^{2}}$

Η παράγωγος όμως της αντίστροφης εφαπτομένης δεν διδάσκεται στο λύκειο.

antwwwnis · 14-09-12

Ironboy, πολύ σωστά το έλυσε ο Γιώργος.
Εμείς όμως μάθαμε μόνο ορισμένα ολοληρώματα, οπότε στο τέλος αλλάζαμε τα άκρα κι ετσι δε χρειαζόταν να βρουμε την αντιστροφη συνάρτηση της εφαπτομένης.

Civilara · 14-09-12

Αρχική Δημοσίευση από antwwwnis:
Ironboy, πολύ σωστά το έλυσε ο Γιώργος.
Εμείς όμως μάθαμε μόνο ορισμένα ολοληρώματα, οπότε στο τέλος αλλάζαμε τα άκρα κι ετσι δε χρειαζόταν να βρουμε την αντιστροφη συνάρτηση της εφαπτομένης.

Thank you antwwwnis

paokara123 · 15-09-12

παιδια να ρωτησω.... οταν ζηταει να αποδειξουμε οτι δυο μιγαδικοι ειναι διαφορετικοι μεταξυ τους τι πρεπει να δειξω; σκεφτηκα οτι τα μετρα τους πρεπει να ειναι διαφορετικα...

Civilara · 15 Σεπτεμβρίου 2012

Αρχική Δημοσίευση από paokara123:
παιδια να ρωτησω.... οταν ζηταει να αποδειξουμε οτι δυο μιγαδικοι ειναι διαφορετικοι μεταξυ τους τι πρεπει να δειξω; σκεφτηκα οτι τα μετρα τους πρεπει να ειναι διαφορετικα...

Όχι. Τόσο ο συζυγής ενός μιγαδικού αριθμού z, όσο και ο αντίθετος του αλλά και ο αντίθετος του συζυγή έχουν το ίδιο μέτρο με τον z αλλά είναι διαφορετικοί από αυτόν.

Δύο μιγαδικοί αριθμοί είναι διαφορετικοί όταν έχουν διαφορετικό πραγματικό μέρος και ίδιο φανταστικό μέρος ή διαφορετικό φανταστικό μέρος και ίδιο πραγματικό μέρος ή διαφορετικά και τα δύο.

paokara123 · 15-09-12

ευχαριστω πολυ!

leobakagian · 15-09-12

Αρχική Δημοσίευση από Civilara:
Όχι. Τόσο ο συζυγής ενός μιγαδικού αριθμού z, όσο και ο αντίθετος του αλλά και ο αντίθετος του συζυγή έχουν το ίδιο μέτρο με τον z αλλά είναι διαφορετικοί από αυτόν.

Δύο μιγαδικοί αριθμοί είναι διαφορετικοί όταν έχουν διαφορετικό πραγματικό μέρος και ίδιο φανταστικό μέρος ή διαφορετικό φανταστικό μέρος και ίδιο πραγματικό μέρος ή διαφορετικά και τα δύο.

ναι αλλα και αν καταφερεις ν αποδειξεις οτι εχουν διαφορετικο μετρο αποδεικνυεις οτι ειναι διαφορετικοι διοτι

Αν X,Y ειναι μιγαδικοι ισχυει οτι αν (X=Y)=> |X|=|Y| και συμφωνα με τη μεθοδο της αντιθετοαντιστροφης αν |Χ|(ΔΙΑΦΟΡΟ)|Υ|=>Χ(ΔΙΑΦΟΡΟ)Υ οποτε αν δυο μιγαδικοι εχουν ιδιο μετρο δεν ειναι σιγουρο οτι ειναι ιδιοι αλλα αν δυο μιγαδικοι εχουν ανισο μετρο τοτε ειναι ΣΙΓΟΥΡΑ διαφορετικοι μεταξυ τους...

*Serena* · 23-09-12

Δινεται η εξίσωση: z^3 + (1-k)z^2 +(1-k)z - k =0
Να λυθεί η εξίσωση στο C.
Να βρεθεό ο kεR ωστε οι εικόνες των ριζών z1,z2,z3 της εξίσωσης να είναι συνευθειακά σημεία στο μιγαδικό επίπεδο.
Να δειχθεί ότι z1^ν + z2^ν +z3^ν ε R
Αν z1^2 +z2^2 +z1z2 =0 να υπολογίσετε τη γωνία των διανυσματικών ακτίνων των z1,z2.
Λίγη βοήθεια? :redface:

OChemist · 23-09-12

Αρχική Δημοσίευση από evangelie :):
Δινεται η εξίσωση: z^3 + (1-k)z^2 +(1-k)z - k =0
Να λυθεί η εξίσωση στο C.
Να βρεθεό ο kεR ωστε οι εικόνες των ριζών z1,z2,z3 της εξίσωσης να είναι συνευθειακά σημεία στο μιγαδικό επίπεδο.
Να δειχθεί ότι z1^ν + z2^ν +z3^ν ε R
Αν z1^2 +z2^2 +z1z2 =0 να υπολογίσετε τη γωνία των διανυσματικών ακτίνων των z1,z2.
Λίγη βοήθεια?

1) Παραγοντοποιησε , και θα βγουν οι 3 μιγαδικοι.
2)Θεωρησε τους τρεις μιγαδικους σημεια....και με τις συνθηκες παραλληλιας αποδειξε οτι τα διανυσματα τους ειναι ομορροπα.
3)ο z3 ειναι ετσι και αλλιως πραγματικος......ομως το z1^ν+z2^ν ειναι αθροισμα συζηγων....οποτε...ξερεις
4)Απο τους μιγαδικους που εχεις ,υπολογισε το ΟΑ*ΟΒ (οπου Α,Β οι εικονες τους αντιστοιχα) και μετα με βαση το εσωτερικο γινομενο θα βρεις τη γωνια που σχηματιζουν. (εγω δεν ξερω....αλλα το στοιχειο που σου δινει για τους δυο μιγαδικους οτι z1^2 +z2^2 +z1z2 =0, δεν μου χρησίμευσε!!!)

Λοιπον:
$1)z^3+(1-k)z^2+(1-k)z-k=0\Leftrightarrow (z^2+z+1)(z-k)=0$ ...οποτε ${z}_{1,2}= \frac{-1 \pm i\sqrt{3}}{2}\;\;\;,\;\;\;{z}_{3}=k$
$2)\acute{E}\sigma \tau \omega \;\;\;A(-\frac{1}{2},\frac{\sqrt{3}}{2})\;\;,\;\;B(-\frac{1}{2},-\frac{\sqrt{3}}{2})\;\;,\;\;\Gamma (k,0)$ ....τοτε $\vec{AB}=(0,-\sqrt{3})\;\;\;\;\kappa \alpha \iota \;\;\;\;\vec{A\Gamma }=(k+\frac{1}{2},-\frac{\sqrt{3}}{2})$ οποτε πρεπει:
$det(\vec{AB},\vec{A\Gamma })=0\Leftrightarrow\;\;\;k=-\frac{1}{2}$
$3)E\pi \varepsilon \iota \delta \eta \;\;{z}_{1},{z}_{2}\;\;\;\sigma \upsilon \zeta \eta \gamma \varepsilon \iota \varsigma \;\;\tau o\tau \varepsilon\;\;\; {{z}_{1}}^{\nu }+{{z}_{2}}^{\nu }\varepsilon R\;\;\;\omega \varsigma \;\;\alpha \theta \rho o\iota \sigma \mu \alpha \;\;\sigma \upsilon \zeta \eta \gamma \omega \nu\;\;\;\kappa \alpha \iota \;\;\;\epsilon \pi \varepsilon \iota \delta \eta \;\;{z}_{3}\epsilon R\;\;\tau o\tau \varepsilon \;\;{{z}_{3}}^{\nu}\epsilon R .$
$\Sigma \upsilon \nu \epsilon \pi \omega \varsigma \;\;\;\;\ {{z}_{1}}^{\nu }+{{z}_{2}}^{\nu }+{{z}_{3}}^{\nu}\epsilon R$

rebel · 23-09-12

Μία παρατήρηση για το 4 που ίσως βοηθήσει. Έστω $z_1=x_1+y_1i,\,\,z_2=x_2+y_2i$ . Τότε
$z_1\bar{z}_2=(x_1x_2+y_1y_2)+(x_2y_1-x_1y_2)i$ . Δηλαδή $\overrightarrow{OA}\cdot\overrightarrow{OB}=Re(z_1\bar{z}_2)$ όπου Α, Β οι εικόνες των των $z_1,z_2$ και Ο η αρχή των αξόνων.

anta1996 · 24-09-12

εστω φ(Χ)=συνχ και ζ(χ)=4-χ*χ ( ολο αυτο βρισκεται κατω απο ριζα)
να ελεγξετε αν οριζεται η συνθεση της φ με τη ζ και η συνθεση της ζ με την φ..

Timmy · 24-09-12

Παρακαλώ βοήθεια:

1.ΝΔΟ για καθε z, z διάφορα του 0 και καθε ν στο συνολο των φυσικων εκτος του 0 ισχύει απόλυτο Re ( z^ν / |z|^ν) μικρότερο ή ίσο του 1.

και

2.αν για z διαφορα του 0 ισχυει |z^2 + 1/ z^2| Μικροτερο η ισο του 14, νδο |z + 1/z| μικροτερο ή ισο του 4 και |z - 1/z| μικροτερο η ισο του 4

Civilara · 24-09-12

Αρχική Δημοσίευση από Timmy:
1.ΝΔΟ για καθε z, z διάφορα του 0 και καθε ν στο συνολο των φυσικων εκτος του 0 ισχύει απόλυτο Re ( z^ν / |z|^ν) μικρότερο ή ίσο του 1.

Εφόσον z διάφορο 0 τότε γράφεται σε τριγωνομετρική μορφή z=|z|(συνθ+iημθ) όπου θ=Arg(z) το πρωτεύον όρισμα του z.

Από το θεώρημα De Moivre προκύπτει πως για κάθε ακέραιο ν ισχύει:

z^ν=|z|^ν[συν(νθ)+iημ(νθ)] => (z^ν)/(|z|^ν)=συν(νθ)+iημ(νθ)

Επομένως Re((z^ν)/(|z|^ν))=συν(νθ) και επειδή -1<=συν(νθ)<=1 τότε -1<=Re((z^ν)/(|z|^ν))<=1. Συνεπώς Re((z^ν)/(|z|^ν))<=1.

ξαροπ · 25-09-12

Παίχτε.

Άσκηση 1

Δίνεται η εξίσωση $z \bar{z} + 4Re((1-2i)z) + 4 = 0$ .
i) Ν.δ.ο. η εξίσωση έχει άπειρες λύσεις στο σύνολο των μιγαδικών
ii) Αν $z_1, z_2$ δυο λύσεις της παραπάνω εξίσωσης, ν.δ.ο. $|z_1 - z_2| \leq 8$
iii) Αν $t_1, t_2$ αντίστοιχα διανύσματα των $z_1, z_2$ του ερωτήματος (ii) στο μιγαδικό επίπεδο, ν.δ.ο. $|t_1 + t_2|^{2n} + |10(t_1-t_2)|^n = 2^{4n+1}5^n$ , όπου n φυσικός.

Άσκηση 2

Έστωσαν οι μιγαδικοί αριθμοί $z,w,u$ τέτοιοι ώστε

$|z| = |w| = |u|$ και

$Re(\frac{z}{w}) = Re(\frac{w}{u}) = Re(\frac{u}{z}) = -\frac{1}{2}$

i) Ν.δ.ο $z + w + u = 0$
ii) Αν Α,Β,Γ οι αντίστοιχες εικόνες τους ν.δ.ο. Α,Β,Γ μη συνευθειακά και ΑΒΓ ισόπλευρο τρίγωνο.

akis95 · 27-09-12

Θεωρούμε τις δύο φορές παραγωγίσιμες συναρτήσεις

,για τις οποίες ισχύουν

και

.Ν.Δ.Ο. για κάθε

υπάρχει

,ώστε

.

ξαροπ · 1 Οκτωβρίου 2012

Ασκήσεις ανεβαίνουν, λύσεις δε βλέπω να ανεβαίνουν...

Δείτε και το σημερινό διαγώνισμα μιγαδικών στο σχολείο (όσοι πρόθυμοι κάντε το σε μισή ώρα - 40 λεπτά το πολύ)

ΘΕΜΑ 1ο

Δίνονται οι μιγαδικοί $z,w,u$ ώστε $|z| = \sqrt{2}, Re(\frac{u+3i}{u-3i}) = 0, (w+2)^8 = 16(w+1)^8$ .

i) Βρείτε τα μέτρα των $u, w$ .
ii) Ν.δ.ο $z + w + u \neq 0$
iii) Ν.δ.ο $6|z+w+u| = |2uz + 2uw + 9zw|$

ΘΕΜΑ 2ο

Δίνονται οι μη-μηδενικοί μιγαδικοί $z,w$ ώστε $\frac{z}{w} + \frac{w}{z} = 1$ . Να δείξετε τα παρακάτω:

i) $z^3 + w^3 = 0$
ii) Αν Α, Β αντίστοιχες εικόνες τους στο μιγαδικό επίπεδο με Ο αρχή αξόνων, τότε το τρίγωνο ΑΟΒ είναι ισόπλευρο
iii) $(\frac{z}{w})^{50} + (\frac{w}{z})^{50} = -1$
iv) $Re(\frac{z}{w}) = \frac{1}{2}$

Αν κάποιος θέλει λύσεις σε οτιδήποτε πόσταρα, να το πει να τις ανεβάσω και αυτές. Αν δεν υπάρχει και κίνηση στο τόπικ την επόμενη βδομάδα μάλλον θα τις ανεβάσω έτσι κι αλλιώς για να μη μείνει κανείς περαστικός με την απορία...

[* με επισήμανση του styt_geia διόρθωσα έναν συντελεστή στην εκφώνηση του πρώτου ερωτήματος, sorry για την ταλαιπωρία, ελπίζω τώρα να βγαίνει ο.κ.]

Μαριαντα · 10-11-12

Γεια σας παιδιά ! ειμαι μαμα παιδιου της γ λυκειου ! δυστηχως δεν εχω την οικονομικη δυνατοτητα για φροντηστηριο και ετσι αγορασα στην κορη μου το βοηθημα του μπαρλα! (απο δικες σασ συζητησεις ειδα οτι ειναι πολυ καλο!) γνωριζετε αν υπαρχει καποιο site,link,ή forum που μπορω να βρω τις λυσεις του α τευχους του για να μπορω να ελενχω εγω τις ασκησεις που λυνει;! Σας ευχαριστω!

Συλλογή ασκήσεων και τεστ στα Μαθηματικά Προσανατολισμού

Διάσημο μέλος

Περιβόητο μέλος

Δραστήριο μέλος

Περιβόητο μέλος

Διάσημο μέλος

Περιβόητο μέλος

Νεοφερμένος

Περιβόητο μέλος

Νεοφερμένος

Εκκολαπτόμενο μέλος

Τιμώμενο Μέλος

Πολύ δραστήριο μέλος

Πολύ δραστήριο μέλος

Νεοφερμένος

Εκκολαπτόμενο μέλος

Περιβόητο μέλος

Πολύ δραστήριο μέλος

Δραστήριο μέλος

Πολύ δραστήριο μέλος

Νεοφερμένος