Ενδιαφέροντα προβλήματα φυσικής, μαθηματικών και μηχανικής

[Dias]

Ενημερωμένο ευρετήριο...

A’ ΛΥΚΕΙΟΥ

Ευθύγραμμες Κινήσεις	257 003 465 437 290 339 351 715 733 744
Ισορροπία υλ. Σημείου	612 628 718 737
Νόμοι Νewton	204 368 632 685 689 709 730
Τριβή	384 378 504 577 507 671 678 692 698 723 759
Ενέργεια	552 648 667 695 701 727

Β’ ΛΥΚΕΙΟΥ ΓΕΝΙΚΗΣ ΠΑΙΔΕΙΑΣ

Στατικός ηλεκτρισμός	412 370
Φορτισμένοι αγωγοί - Πυκνωτές	343 420
Συνεχές ηλεκτρικό ρεύμα	400 423 505 471 547 509 635 673 691
Φύση, διάδοση και ταχύτητα φωτός	703
Διάθλαση φωτός	476 189 710 728
Ατομικά πρότυπα	369 719 738
Ακτίνες Roentgen	453

Β’ ΛΥΚΕΙΟΥ ΠΡΟΣΑΝΑΤΟΛΙΣΜΟΥ

Σχετικές κινήσεις - Βολές	227 561 449
Κυκλική κίνηση	337 347 270 353 380 757
Ορμή - Ώθηση- Διατήρηση ορμής	416 221 330 108 441 661 750
Κρούσεις	428 358 323 462 287 590 665 752
Νόμοι Αερίων	415 660 694 731
Κινητική θεωρία της θερμότητας	474 706
Θερμοδυναμική Εφαρμοσμένη Θερμοδυναμική	541 213 493 670 684 700 712 725 713
Κίνηση σε ηλεκτρικό πεδίο	566 366 629 675 688 716
Βαρύτητα	445 223 651 680 697 735 754

Γ’ ΛΥΚΕΙΟΥ ΠΡΟΣΑΝΑΤΟΛΙΣΜΟΥ

Κρούσεις Ισορροπία Στερεού	428 358 323 462 287 590 665 745 230 446 742
Κίνηση Στερεού	300 550
Διατήρηση Στροφορμής	283 657
Δυναμική Στερεού	145 196 346 521 96 182 702 720 756
Γραμμικές Ταλαντώσεις	132 511 567 501 431 543 557 646 681 749 755
Φθίνουσες - Εξαναγκασμένες - Σύνθεση	564 758
Μηχανικά Κύματα	469 513 569 631 696 751
Ηλεκτρομαγνητισμός	568 653 672 686 722 760
Κίνηση σε μαγνητικό πεδίο	581 656 663 693 714 729 753
Ηλεκτρομαγνητική επαγωγή	223 668 677 690 699 704 726
Αυτεπαγωγή	604 674 717 7.36
Εναλλασσόμενο ρεύμα	560 708 739
Ηλεκτρομαγνητικά κύματα	608
Κβαντική Φυσική	459 627 711 747

 

[Dias]

Spoiler: ΛΥΣΗ

 

[Dias]

Spoiler: ΛΥΣΗ

 

[Dias]

Spoiler: ΛΥΣΗ

 

[Dias]

Spoiler: ΛΥΣΗ

 

[Samael]

i) Βρείτε μια έκφραση για το πλήθος των αριθμών του συνόλου Α = {1,2,...,n} που διαιρούνται απο τον θετικό ακέραιο k.

ii) Ως αριθμητικό παράδειγμα βρείτε το πλήθος των αριθμών του συνόλου {1,2,...,10} που διαιρούνται είτε απο το 2, ή το 3 ή το 7, χωρίς την χρήση του i) και επιβεβαιώστε στην συνέχεια το αποτέλεσμα μέσω της έκφρασης του i).

iii) Επαναλάβατε το ii) για το σύνολο αριθμών {1,2,...,1000} κάνοντας χρήση του i).

 

[eukleidhs1821]

Tωρα που πλησιαζουν πανελληνιες βαλτε καμια ασκηση με θεωρηματα να αγχωθουν οι υποψηφιοι!Αντε γτ εχει σκουριασει το φορουμ απιστευτα!

 

[γιαννης_00]

Tωρα που πλησιαζουν πανελληνιες βαλτε καμια ασκηση με θεωρηματα να αγχωθουν οι υποψηφιοι!Αντε γτ εχει σκουριασει το φορουμ απιστευτα!

Ε κατσε ντε ο θειος Διας εχει ξεσκιστει να βαζει ασκησεις πανελληνιων.
Α μιλας για μαθηματικα?

 

[math2arch]

Μια άσκηση που θα μπορούσε να είναι ερώτημα σε θέμα Πανελληνίων και παραδοσιακά ταλαιπωρεί μαθητές λόγω του θεωρητικού της χαρακτήρα. Κομψή, λιτή, σκαλωτική...χομπίστικη.

Spoiler: ΛΥΣΗ

Υ.Γ.: Σκέφτομαι κάθε Παρασκευή να ανεβάζω εδώ ένα θέμα (ολόκληρο, όχι σαν το σημερινό) στο επίπεδο θέματος Δ στα Μαθηματικά. Λογικά, από την ερχόμενη Παρασκευή θα ξεκινήσω.

 

[eukleidhs1821]

Μια άσκηση που θα μπορούσε να είναι ερώτημα σε θέμα Πανελληνίων και παραδοσιακά ταλαιπωρεί μαθητές λόγω του θεωρητικού της χαρακτήρα. Κομψή, λιτή, σκαλωτική...χομπίστικη.
View attachment 132136

Spoiler: ΛΥΣΗ

View attachment 132137

Υ.Γ.: Σκέφτομαι κάθε Παρασκευή να ανεβάζω εδώ ένα θέμα (ολόκληρο, όχι σαν το σημερινό) στο επίπεδο θέματος Δ στα Μαθηματικά. Λογικά, από την ερχόμενη Παρασκευή θα ξεκινήσω.

Σωστος.Μπορει να χρησιμοποιηθει και κατευθειαν μια απορροια αυτου του θετ αν υποθεσεις οτι εστω η φ δεν ειναι σταθερη οτι η εικονα μιας συνεχους και μη σταθερης ειναι διαστημα επομενως ατοπο !

 

[Samael]

Tωρα που πλησιαζουν πανελληνιες βαλτε καμια ασκηση με θεωρηματα να αγχωθουν οι υποψηφιοι!Αντε γτ εχει σκουριασει το φορουμ απιστευτα!

Καλό θα ήταν γενικά οι ασκήσεις πανελληνιακου χαρακτήρα να μην μπαίνουν σε αυτό το θέμα. Για αυτό τον σκοπό υπάρχουν τα αντίστοιχα θέματα.

Φυσικά μπορούν να μπουν και εδώ αλλά καλύτερα όχι μαζικά.

 

[Samael]

Spoiler: Λύση

 

[math2arch]

TGIF. Κάτι για προθέρμανση. Απολαύστε υπεύθυνα!
Η παρακάτω άσκηση είναι βασισμένη στην άσκηση 49 από το εξαιρετικό βιβλίο "Επανάληψη στα Μαθηματικά Γ' Λυκείου" του Θ. Ξένου, εκδ. Ζήτη, 2011.

Η διαφορά με την άσκηση του ανωτέρω βιβλίου είναι πως πείραξα το σύνολο τιμών. Στο βιβλίο δίνεται σαν σύνολο τιμών όλο το σύνολο των πραγματικών αριθμών. Αυτή η υπόθεση επηρεάζει ουσιαστικά την επίλυση του ερωτήματος (i). Δοκιμάστε την!

Spoiler: ΛΥΣΗ

 

[Samael]

TGIF. Κάτι για προθέρμανση. Απολαύστε υπεύθυνα!
Η παρακάτω άσκηση είναι βασισμένη στην άσκηση 49 από το εξαιρετικό βιβλίο "Επανάληψη στα Μαθηματικά Γ' Λυκείου" του Θ. Ξένου, εκδ. Ζήτη, 2011.
View attachment 132372

Η διαφορά με την άσκηση του ανωτέρω βιβλίου είναι πως πείραξα το σύνολο τιμών. Στο βιβλίο δίνεται σαν σύνολο τιμών όλο το σύνολο των πραγματικών αριθμών. Αυτή η υπόθεση επηρεάζει ουσιαστικά την επίλυση του ερωτήματος (i). Δοκιμάστε την!

Spoiler: ΛΥΣΗ

View attachment 132373
View attachment 132375

Νομίζω οτι θα έπρεπε να είναι Af = [0,+oo) και όχι (0,+οο]

 

[math2arch]

Σωστά! Χρειάζεται και το 0 στο σύνολο τιμών, γιατί διαφορετικά, το ολοκλήρωμα του τελευταίου θέματος π.χ. δεν είναι καλά ορισμένο με βάση το μετασχηματισμό.

 

[Samael]

Η λύση :

Spoiler

Ένα παράδειγμα λύσης :

Spoiler

Ένα παράδειγμα της λύσης για τις εξής παραμέτρους :

ycm(0) = 10m
L = 1m
Δy(0) = 1.5m
M = m = 1Kg
k = 5000 N/m

Βλέπουμε οτι εφόσον Δy(0) > L , το ελατήριο είναι επιμηκυμένο, και επομένως αμέσως μετά την t = 0s, τα σώματα ελκύονται προς το κέντρο μάζας του συστήματος. Επίσης η τροχιά του κέντρου μάζας ( με πράσινο ) ακολουθεί αυτή ενός σώματος που εκτελεί ελεύθερη πτώση απο αρχικό ύψος ycm(0), χωρίς αρχική ταχύτητα.

Για όποιον θέλει να πειραματιστεί, εδώ υπάρχει κώδικας της λύσης σε Python :

Spoiler

import math
import numpy as np
import matplotlib.pyplot as plt

# Simulation parameters
#______________________________________________________________________________________
tmax = 2 # Simulation time
timeStep = 0.001 # Simulation time step
n = int(tmax/timeStep)
time = np.linspace(0, tmax, n, endpoint = False)

# Physical parameters
#______________________________________________________________________________________
ycmo = 10 # Initial height of center of mass
L = 1 # Length of spring
k = 5000# Spring constant
m = 1 # Mass m
M = 1 # Mass M
dyo = 1.5 # If 0 < ycmo < L ---> the spring is compressed, if ycmo ---> L , the spring is extended
g = 9.81 # Gravity

# Calculating body trajectories
#______________________________________________________________________________________
y1 = (ycmo + (M*L)/(M+m))*np.ones(n,float) - 0.5*g*pow(time,2) + \
( M*(dyo - L)/(M+m) )*np.sin( ( math.sqrt( k/( (M*m)/(M+m) ) ) )*time + ( (math.pi)/2 )*np.ones( n,float) )

y2 = (ycmo - (m*L)/(M+m))*np.ones(n,float) - 0.5*g*pow(time,2) - \
( m*(dyo - L)/(M+m) )*np.sin( ( math.sqrt( k/( (M*m)/(M+m) ) ) )*time + ( (math.pi)/2 )*np.ones( n,float) )

ycm = (m*y1 + M*y2)/(M+m)

# Draw trajectories
#______________________________________________________________________________________
plt.plot(time,y1)
plt.plot(time,y2)
plt.plot(time,ycm)
plt.title('y1(t),y2(t),ycm(t)')
plt.xlabel('t(s)')
plt.ylabel('y(m)')
plt.grid()
plt.legend(['y1(t)','y2(t)','ycm(t)'])
plt.show()

 

[nPb]

Ενδιαφέρουσα άσκηση διαφορικού λογισμού...και ο καθηγητής μαθηματικών είναι 94 χρονών Κινέζος.

 

[eukleidhs1821]

Ενδιαφέρουσα άσκηση διαφορικού λογισμού...και ο καθηγητής μαθηματικών είναι 94 χρονών Κινέζος.

Εχω παθει πλακα λεμε με τον τυπα!!

 

[nPb]

Εχω παθει πλακα λεμε με τον τυπα!!

Τα εξηγεί καλά;
Έχω δει κάνει και άλλες ασκήσεις π.χ. από φυσική με μαθηματική ανάλυση διαφορικών.

Οι Ασιάτες γενικά έχουν υπομονή και δεν βιάζονται.

 

[Samael]

Spoiler: Λύση