Βοήθεια/Aπορίες στα Μαθηματικά Προσανατολισμού

m3Lt3D · 10-05-09

Αρχική Δημοσίευση από miv:
Σωστό είναι, επειδή το Δ είναι διάστημα. Αν μιλούσαμε για ορισμό και συνέχεια σε ένωση θα ήταν λάθος.
'Εστω χ1,χ2,χ3 στο Δ με f να μην είναι γνησίως μονότονη. Θεωρούμε ότι είναι γνησίως αύξουσα στο [χ1,χ2] και γνησίως φθίνουσα στο [χ2,χ3]. Θα είναι f(x1)<f(x2) και f(x2)>f(x3), με τις τρεις αυτές τιμές να διαφέρουν ανά δύο, δεδομένου ότι η f είναι 1-1. Ας θεωρήσουμε, λοιπόν, αυθαίρετα ότι f(x1)<f(x3)***. Εφαρμόζοντας ΘΕΤ για την f συνεχή στο [χ2,χ3] ως υποδιάστημα του Δ, βρίσκουμε ότι υπάρχει ένα τουλάχιστον xo στο ανοιχτό, ώστε για τιμή κ της συνεχούς f μεταξύ f(x2) και f(x3) να είναι f(xo)=κ. Eφαρμόζοντας ένα ακόμη ΘΕΤ στην f, συνεχή στο [χ1,χ2] ως υποδιάστημα του Δ, για το ίδιο ακριβώς κ (δεδομένης της υπόθεσης ***, το κ ανήκει και στο διάστημα μεταξύ f(x1) και f(x2) ), θα υπάρχει και ξ στο (χ1,χ2) ώστε f(ξ)=κ. Δεδομένου ότι ξ διάφορο του χο, με αντιστοιχιζόμενες τιμές ίσες και ίσες με κ, τότε η f δεν θα ήταν 1-1 στο Δ, πράγμα άτοπο.
Ομοίως κι αν είχε άλλης μορφής μονοτονία σε κάθε διάστημα ή αν f(x3)<f(x1).

riemman, επειδή σε βλέπω ώρα στο θέμα, θα ρίξεις μια ματιά να μου πεις;
Και κάτι ακόμη, το παραπάνω χθες το συζητήσαμε ως άσκηση (είχε και f'(x) διάφορο του μηδενός), με την f παραγωγίσιμη στο Δ. Και ζητούσε να αποδείξουμε ότι η f είναι γνησίως μονότονη. Πρώτα απέδειξα ότι είναι 1-1 (εφαρμογή Rolle και άτοπο) και κατόπιν απέδειξα τη μονοτονία με το παραπάνω. Υπήρχε τρόπος να μην περάσω καν από 1-1 ?

Σωστος.:no1:Υπαρχει και στου γκατζουλη το 1ο τευχος σαν εφαρμογη.

Civilara · 10-05-09

Σωστό ή Λάθος;

Έστω η συνάρτηση f ορισμένη στο x0. Η γραφική παράσταση της συνάρτησης f έχει εφαπτόμενη στο σημείο (x0, f(x0)) αν και μόνο αν είναι παραγωγίσιμη στο x0.

m3Lt3D · 10-05-09

Λαθος.Μπορει να εχει κατακορυφη εφαπτομενη.Δεν νομιζω ομως οτι μπορει να μπει κατι τετοιο καθως ειναι εκτος υλης η κατακορυφη εφαπτομενη

Civilara · 10-05-09

Αρχική Δημοσίευση από m3Lt3D:
Λαθος.Μπορει να εχει κατακορυφη εφαπτομενη.Δεν νομιζω ομως οτι μπορει να μπει κατι τετοιο καθως ειναι εκτος υλης η κατακορυφη εφαπτομενη

Είσαι σωστός m3Lt3D. Αφού είναι εκτός η κατακόρυφη εφαπτομένη ξεχάστε ότι το έγραψα.
-----------------------------------------
Σωστό ή Λάθος;

Έστω συνάρτηση f η οποία είναι 1-1. Αν η γραφική παράσταση της συνάρτησης f έχει οριζόντια εφαπτομένη στο σημείο (x0,f(x0)), τότε η αντίστροφη f-1 συνάρτηση της f δεν είναι παραγωγίσιμη στο f(x0).

miv · 10-05-09

Πάντα υπάρχουν τα πλευρικά αν υπάρχει διάστημα κοντά στο χο στο οποίο να ορίζεται η f.

Korina 71 · 10-05-09

Θα ήθελα τη βοήθειά σας σε μερικές επαναληπτικές ασκησούλες..!(Απασχόληση για ένα ευχάριστο Κυριακάτικο απόγευμα!)

Λοιπόν,έχουμε και λέμε..:
1)Έστω η παρ/μη συνάρτηση $f:\left[0 ,\right1]\rightarrow R$ για την οποία ισχύει $xf(x)+\int_{1}^{x}f(t)dt=f'(x)$ (1) για κάθε $x\in R$
α)Ν.δ.ο η $f$ είναι δύο φορές παρ/μη στο $\left[0 ,\right1]$
β)Ν.δ.ο υπάρχει ένα τουλάχιστον ${x}_{0}\in \left(0 ,\right1)$ τέτοιο ώστε $f'({x}_{0})=f(1)+\int_{0}^{1}f(t)dt$
γ)Ν.δ.ο $f(0)=f(1)$
δ)Αν η $f$ παρουσιάζει τοπικό ακρότατο στο ${x}_{1}\in \left(0 ,\right1)$ ν.δ.ο $f({x}_{1})=\frac{f(0)}{{{x}_{1}}^{2}+1}$
ε)Αν $f(0)=0$ ,ν.δ.ο $f(x)=0$ για κάθε $x\in\left[0 ,\right1]$

2)Έστω η παρ/μη συνάρτηση $f:\left[1 ,\right2]\rightarrow R$ για την οποία ισχύει $f'(x)=\frac{9{f(2)}^{2}+{f(1)}^{2}+10}{6}$ για κάθε $x\in \left[1 ,\right2]$ .Να βρείτε τον τύπο της.

eleana_@ · 10-05-09

1)εστω συναρτηση g[1,+00) με g(x)>f(x) οπου f συναστηση με $f(x)=\int_{1}^{x}\frac{g(t)}{t}dt$ για καθε x που ανηκει στο [1,+00)
α)να μελετησετε ως προς τη μονοτονια
β)να δειξετε οτι g(x)>0 για καθε x που ανηκει στο [1,+00)
γ)να βρειτε το $\lim_{+00}g(x)$

2)εστω μια συναρτηση f συνεχης στο R για την οποια ισχυει οτι $\int_{2011}^{x}(\int_{2010}^{t}f(u)du)dt\geq x-2011$ και f(x)>=0.Να βρειτε το εμβαδον του χωριου Ω που περικλειεται απο τη ${C}_{f}$ τον αξονα x'x και τις ευθειες χ=2010 και χ=2011

ledzeppelinick · 10 Απριλίου 2011

η 2η!
-------------------------------------------------
στην 1η αυτα ειναι τα μοναδικα δεδομενα που δινει??

m3Lt3D · 10-05-09

Αρχική Δημοσίευση από miv:
Πάντα υπάρχουν τα πλευρικά αν υπάρχει διάστημα κοντά στο χο στο οποίο να ορίζεται η f.

f(x)=cos(1/x). η f οριζεται κοντα στο 0. αλλα δεν υπαρχει κανενα απο τα 2 πλευρικα ορια.

Metal-Militiaman · 10-05-09

Yπάρχει ένα πολύ σπουδαίο θεώρημα που αφορά τη συνέχεια της παραγώγου και είναι σαφώς εκτός ύλης.
Το θερωρημα αυτό ονομάζεται θεώρημα του $\boldsymbol{DARBOUX}$ και λέει ότι όταν f είναι συνεχής στο [α,β] ισχύει το θεώρημα ενδιαμέσων τιμών αν επιπλέον f πα/μη στο [α,β] ο Darboux είπε ότι ισχύει το ΘΕΤ για την f' και ας μην είναι συνεχής:
Έστω f συνεχής στο [α,β] και τα ${f'}_{+}(α)$ και ${f'}_{-}(b)$ υπάρχουν, τότε για την f' ισχύει το θεώρημα ενδιαμέσων τιμών δηλαδή $\ni t$ που βρίσκεται μεταξύ των αριθμών ${f'}_{+}(α)$ και ${f'}_{-}(b)$ : f'(c)=t

<<AΠΟΔΕΙΞΗ>>
Χωρίς περιορισμό της γενικότητας, υποθέτουμε ότι ${f'}_{+}(a)$ > t > ${f'}_{-}(b)$ . θεωρούμε τη συνάρτηση g(x)=f(x)-tx. Τότε g'(x)=f'(x)-t.
Τότε ${g'}_{+}(x)$ > 0 > ${g'}_{-}(x)$ και θέλουμε να δείξουμε ότι g' μηδενίζει σε ένα τυχαίο c $\in$ [α,β].
Εφόσον η g είναι συνεχής στο [α,β] από το ΘΕΏΡΗΜΑ ΕΝΔΙΑΜΕΣΩΝ ΤΙΜΩΝ της συνέχειας η g παρουσίαζει ένα μεγιστο στο [α,β]. σιγουρα το μέγιστο δεν είναι στο α αφού ${g'}_{+}(a)$ > 0 $\Rightarrow \lim_{x\rightarrow {α}^{+}}(\frac{g(x)-g(a)}{x-a})$ >0 $\Rightarrow g(x)-g(a)$ >0 $\Rightarrowg(x)>g(a)$ άρα c $\neq$ α
Το ίδιο ισχύει και για την ${g'}_{-}(b)<0$ $\Rightarrow \lim_{x\rightarrow {b}^{-}}(\frac{g(x)-g(b)}{x-b})$ <0
$\Rightarrowg(x)-g(b)<0$ $\Rightarrow g(x)>g(b)$ άρα c $\neq$ b.

Επομένως η g παρουσιάζει μέγιστο για κάποιο c $\in$ (α,β).
- g συνεχείς στο [α,β]
- c εσωτερικό του (α,β)
- g παρ/μη στο c
- (c,g(c)) θέση μεγίστου
Ισχύουν οι προυποθέσεις του θεωρήματος $\boldsymbol{FERMAT}$ άρα g'(c)=0

πηγή: https://planetmath.org/encyclopedia/DarbouxsTheorem.html
Αυτό το θεώρημα και την απόδειξη του σας την έδειξα για να σας αποδείξω ότι αν $f'(x)\neq 0$ για κάθε x $\in$ Δ τότε:
f'(x)>0 ή f'(x)<0 x $\in$ Δ
δηλαδή το θεώρημα $\boldsymbol{Rolle}$ και άτοπο δεν εξασφαλιζει κατά την γνήμη μου ότι η f είναι <<1-1>> αν $f'(x)\neq 0$

Ο DARBOYX επίσης απεδειξε ότι υπάρχουν συναρτήσεις που είναι ορισμένες σε διάστημα και δεν είναι συνεχείς ,πράγμα που αντικρούει το θεώρημα των ενδιαμέσων τιμών που λέει ότι ισχύει για τις συνεχείς συναρτήσεις. εδώ θα δείτε μια τέτοια συνάρτηση που ξεφευγει πολύ απο τις γνώσεις μας https://en.wikipedia.org/wiki/Nowhere_continuous_function
Ανάλογα και ο WEIERSTRASS απέδειξε το 1872 οτι υπάρχουν συναρτήσεις που είναι συνεχείς σε διάστημα αλλα πουθενά παρ/μες.} Η συνάρτηση του WEIERSTRASS είναι ένα fractal και σαφώς ξεφεύγει απο το γνωστό μας $R\rightarrow R$ https://en.wikipedia.org/wiki/Weierstrass_function

vasilis008 · 10-05-09

για την 2

ολοκληρώνουμε και τα 2 μέλη της f ' (x)=(9[f(2)]^2+[f(1)]^2+10)/6 από 1 έως 2 και προκύπτει: [f(2)-f(1)]*6=[9f(2)]^2+[f(1)]^2+10 =>
=> 9[f(2)]^2-6f(2)+1+[f(1)]^2+6f(1)+9=0 (σπάσαμε το 10 σε 9+1)
αρα [3f(2)-1]^2+[f(1)+3]^2=0 => f(2)=1/3 και f(1)=-3
άρα η f γίνεται f '(x)=20/6=10/3 άρα f(x)=x*(10/3) +c αντικαθιστούμε είτε χ=1 ειτε χ=2 και βρίσκουμε το c, και στη συνέχεια την f

ledzeppelinick · 10-05-09

μηπως στο β) ερωτημα της 1 είναι f''(xo)=........?? γιατι αλλιως δε μ βγαινει!! μπορει να κανω και λαθος..

denpeirazei · 10-05-09

ναι...δεν ξερω αλλα εχω σκεφτει κατι πιο λογικο..

limf(x)-f(xo)
-------- =f'(xo) εφοσον f παραγωγισιμη... (1) X->XO
x - xo

ομως αν f παραγωγισιμη...f ΣΥΝΕΧΗΣ.
αρα limf(x)=f(xo) (2) X->XO

(1)=>(2) ο αριθμητης του οριου ειναι 0..(οπως και του παρονομαστη , αρα 0/0)
ΕΦΑΡΜΟΖΩ DE'HOSPITAL εφοσον f παραγωγισιμη

και...(1)=>limf'(x)=f'(xo)
ΑΡΑ f' συνεχης..
ομως f' διαφορετικη του μηδενος..
αρα...με το θεωρημα σταθερου προσημου..
f γνησιως μονοτονη

ακουω σχολια

m3Lt3D · 10-05-09

Αρχική Δημοσίευση από denpeirazei:
ναι...δεν ξερω αλλα εχω σκεφτει κατι πιο λογικο..

limf(x)-f(xo)
-------- =f'(xo) εφοσον f παραγωγισιμη... (1)
x - xo

ομως αν f παραγωγισιμη...f ΣΥΝΕΧΗΣ.
αρα limf(x)=f(xo) (2)

(1)=>(2) ο αριθμητης του οριου ειναι 0..(οπως και του παρονομαστη , αρα 0/0)
ΕΦΑΡΜΟΖΩ DE'HOSPITAL εφοσον f παραγωγισιμη

και...(1)=>limf'(x)=f'(xo)
ΑΡΑ f' συνεχης..
ομως f' διαφορετικη του μηδενος..
αρα...με το θεωρημα σταθερου προσημου..
φ γνησιως μονοτονη

ακουω σχολια

Δεν καλυπτεται η 3η "κρυμμενη" προϋποθεση του DLH, αφου δεν ξερεις οτι υπαρχει το limf'(x).

Δεν ειναι τοσο ευκολη η ζωη...

ledzeppelinick · 10-05-09

Η 1 χωρις το ε. μολις το κανω θα το ανεβασω!

Korina 71 · 10-05-09

Αρχική Δημοσίευση από vasilis008:
για την 2

ολοκληρώνουμε και τα 2 μέλη της f ' (x)=(9[f(2)]^2+[f(1)]^2+10)/6 από 1 έως 2 και προκύπτει: [f(2)-f(1)]*6=[9f(2)]^2+[f(1)]^2+10 =>
=> 9[f(2)]^2-6f(2)+1+[f(1)]^2+6f(1)+9=0 (σπάσαμε το 10 σε 9+1)
αρα [3f(2)-1]^2+[f(1)+3]^2=0 => f(2)=1/3 και f(1)=-3
άρα η f γίνεται f '(x)=20/6=10/3 άρα f(x)=x*(10/3) +c αντικαθιστούμε είτε χ=1 ειτε χ=2 και βρίσκουμε το c, και στη συνέχεια την f

Έτσι προσπάθησα κι εγώ και μάλλον κάπου είχα κάνει λάθος γτ δε μου 'βγαινε!χιχι Σ'ευχαριστώ!

-----------------------------------------

Αρχική Δημοσίευση από ledzeppelinick:
μηπως στο β) ερωτημα της 1 είναι f''(xo)=........?? γιατι αλλιως δε μ βγαινει!! μπορει να κανω και λαθος..

Λες??Γιατί και εμένα δε μου κολλάει να είναι έτσι...Μάλλον είναι f'!

Σ'ευχαριστώ για τη λύση!:thanks:

ledzeppelinick · 10-05-09

αυτο το παλιο ε δεν μπορω να το βρω..... αν το βρεις πες μου

denpeirazei · 10-05-09

Αρχική Δημοσίευση από m3Lt3D:
Δεν καλυπτεται η 3η "κρυμμενη" προϋποθεση του DLH, αφου δεν ξερεις οτι υπαρχει το limf'(x).

Δεν ειναι τοσο ευκολη η ζωη...

θελεις να μου πεις οτι ηταν τοσο ευνοητο που απλα δεν το γραψατε γιατι ηταν ευκολο?

ενδιαφερον.

m3Lt3D · 10-05-09

Αρχική Δημοσίευση από denpeirazei:
θελεις να μου πεις οτι ηταν τοσο ευνοητο που απλα δεν το γραψατε γιατι ηταν ευκολο?
ενδιαφερον.

δεν σε καταλαβα:s

denpeirazei · 10-05-09

Αρχική Δημοσίευση από m3Lt3D:
δεν σε καταλαβα:s

δεν υπαρχει κατι να καταλαβεις, προταση ειναι

ομως..δεν πρεπει να υπαρχει καποιος τροπος να δ.ο. υπαρχει το lim..
βγαινει τοσο ωραια..

...f ορισμενη σε (α,χο)ενωση(χο,β)
f εχει στο χο οριο.... οταν για ε>0 υπαρχει δ>0
ωστε 0<χ-χο<δ(σε απολυτο)..
|f(x) - l |<ε.......................................
μπα δεν βγαινει..

Βοήθεια/Aπορίες στα Μαθηματικά Προσανατολισμού

Πολύ δραστήριο μέλος

Περιβόητο μέλος

Πολύ δραστήριο μέλος

Περιβόητο μέλος

Επιφανές μέλος

Νεοφερμένος

Νεοφερμένος

Πολύ δραστήριο μέλος

Πολύ δραστήριο μέλος

Νεοφερμένος

Νεοφερμένος

Πολύ δραστήριο μέλος

Νεοφερμένος

Πολύ δραστήριο μέλος

Πολύ δραστήριο μέλος

Νεοφερμένος

Πολύ δραστήριο μέλος

Νεοφερμένος

Πολύ δραστήριο μέλος

Νεοφερμένος