Βοήθεια/Aπορίες στα Μαθηματικά Προσανατολισμού

katerinaisc · 30-01-09

Δινονται οι συναρτήσεις f,g,h τέτοιες ώστε f(α)=g(α)=h(α) , f'(α)=h'(α) και f(x)<=g(x)<=h(x) για κάθε xeR.Να δείξετε ότι:
1) η συνάρτηση g ειναι παραγωγίσιμη στο χο=α
2) g'(a)=f'(α)=h'(α)

thanks!

plz

m3Lt3D · 30-01-09

ενα κριτηριο παρεμβολης ειναι. μπορουσε να σου δωσει απευθειας το 2) ερωτημα...

fountototeratin · 30-01-09

την ελυσα ευκολη ειναι,,θα στην στειλω οταν ξαναμπω!!
-----------------------------------------
(θα παρεις περιπτωσεις!)
f(x)-g(a)<=g(x)-g(a)<=h(x)-h(a) διοτι f(a)=g(a)=h(a),
αν x>a τοτε f(x)-f(a) / x-a <= g(x)-g(a) / x-a <= h(x)-h(a) / x-a
f'(a)<=g'(a)<=h'(a) και
αν χ<α τοτε (αλλαζει η φορα!)
f(x)-f(a) / x-a >= g(x)-g(a) / x-a >= h(x)-h(a) / x-a
f'(a)>=g'(a)>=h'(a)
αφου ομως f'(a)=h'(a) τοτε g'(a)=f'(a)=h'(a) αυτο ειναι το 2ο ερωτημα!
στο πρωτο ερωτημα για ν αποδειξεις οτι ειναι παραγωγισιμη θα πας με οριο!!!!θα παρεις τον ορισμο της παραγωγου κ με τ δεδομενα που σου εχει δωσει θα σ βγει οτι τ οριο αυτου ισουται με g'(a)!!γεια!!!!!

m3Lt3D · 30-01-09

σωστα θυμασαι. μονο που στην διαδικασια της αντιπαραγωγισης εκανες ενα λαθος και η αρχικη ειναι η g(x)=f(x)/e^x με g'(x)=(f'(x)e^x-f(x)e^x)/e^2x=(f'(x)-f(x))/e^x
g(a)=f(a)/e^a=1
g(b)=f(b)/e^b=1
g συνεχης στο [a,b] !ως παραγωγισιμη
g παραγωγισιμη στο (a,b)
αρα εφαρμοζουμε Θ.Rolle στο [a,b] : υπαρχει ξ στο (a,b): g'(ξ)=0 <=> f'(ξ)=f(ξ)

angavras · 31-01-09

Γνωρίζουμε ότι το άθροισμα, το γινόμενο και η σύνθεση συνεχών συναρτήσεων είναι συνεχής συνάρτηση. Μου έχουν τεθεί όμως τα ακόλουθα ζήτήματα:

Αν η συνάρτηση f + g είναι συνεχής, τι μπορούμε να πούμε για τη συνέχεια των f και g;

Αν η συνάρτηση f * g είναι συνεχής, τι μπορούμε να πούμε για τη συνέχεια των f και g;

Αν η συνάρτηση f ο g (σύνθεση) είναι συνεχής, τι μπορούμε να πούμε για τη συνέχεια των f και g;

Μας ενδιαφέρει απόδειξη ή αντιπαράδειγμα, αναλόγως την απάντηση.

Ευχαριστώ!

marsenis · 31-01-09

Είσαι σίγουρος οτι είναι $f'(\xi) = \xi + \bf { f'(\xi) \over \xi }$ και όχι $\bf { f(\xi) \over \xi }$ ;

fountototeratin · 31-01-09

κ εγω αυτο πιστευω γιατι την ελυσα κ μου βγηκε στο τελος f'(ξ)=ξ+f(ξ) / ξ !!!!
αν ειναι τελικα λαθος πες μ να στη στειλω thanosmylo!!!

Luis · 31-01-09

Γενικότερα, ισχύει, όπως είπες, ότι το άθροισμα, το γινόμενο και η σύνθεση συνεχών συναρτήσεων είναι συνεχής συνάρτηση. Το αντίστροφο όμως δεν ισχύει πάντα. Αν είχες σαν Σωστό - Λάθος:
Αν η συνάρτηση f + g είναι συνεχής, οι f και g είναι συνεχείς.

Αν η συνάρτηση f * g είναι συνεχής, οι f και g είναι συνεχείς.

Αν η συνάρτηση f ο g (σύνθεση) είναι συνεχής, οι f και g είναι συνεχείς.

Θα τα έβαζες όλα λάθος... Δεν θυμάμαι κάποιο αντιπαράδειγμα, αλλά μπορεί να μου 'ρθει αργότερα...

Φιλιον_Τερας · 31-01-09

βασικα η F+G εχει διαφορετικο πεδιο ορισμου απο την F,G xωριστα

Luis · 31-01-09

Όχι απαραίτητα.

Φιλιον_Τερας · 31-01-09

το πεδιο ορισμου ειναι υποσυνολο του πεδιου της g και του πεδιου της f

Anarki · 01-02-09

Ακραία αντιπαραδείγματα:

$f(x) = \left\{ \begin{array}{cc}0, & x < 0 \\ 1, & x \geq 0 \end{array}\right.$
$g(x) = \left\{ \begin{array}{cc}1, & x < 0 \\ 0, & x \geq 0 \end{array}\right.$
$h(x) = 0$

Η $f(x) + g(x)$ είναι συνεχής, ενώ οι $f(x), g(x)$ δεν είναι συνεχής.
Η $f(x) * h(x)$ είναι συνεχής, ενώ η $f(x)$ δεν είναι συνεχής.
Η $h(f(x))$ είναι συνεχής, ενώ η $f(x)$ δεν είναι συνεχής.

Με λίγα λόγια, αυτό που είπε ο Luis :p

m3Lt3D · 01-02-09

στο αθροισμα, οταν ειναι συνεχης η μια ειναι και η αλλη, ενω οταν δεν ειναι δεν ειναι και η αλλη. Αυτο αποδεικνυεται ευκολα με ατοπο.

στο γινομενο ισχυει το ιδιο, μονο που στην περιπτωση που εκει που ειναι/δεν ειναι συνεχης ΜΗΔΕΝΙΖΕΤΑΙ τοτε δεν μπορουμε να βγαλουμε πορισμα για την αλλη συναρτηση ως προς την συνεχεια της ακομα και αν ξερουμε αν ειναι ή δεν ειναι συνεχης η f και η (f*g).

Rania. · 01-02-09

:p
Αρχισα να διαβαζω μαθηματικα τριτης και να μπαινω σιγα σιγα στο κλιμα ωστε να μην μου ερθει νταμπλας(σικ)το καλοκαιρι με τα φροντιστηρια.

Οποτε αρχισα να διαβαζω μιγαδικους και να λυνω ασκησεις.

Ε κολλησα σε μια χαζη. Δηλαδη ειμαι σιγουρη οτι η λυση θα ειναι τοσο γελοια που θα κοπαναω το κεφαλι μου στον τοιχο.

Απο το βιβλιο η ασκηση 7 σελ 95, ας μου πει καποιος πως στο διαολο μπορω να λυσω το i).

Διαβασα και ξαναδιαβασα τη θεωρια και δεν βρηκα ενα παραδειγμα που να με κατατοπιζει..

Ευχαριστω προκαταβολικα κλπ κλπ.

variax · 01-02-09

Η άσκηση στηρίζεται στην ισότητα μιγαδικών δηλαδή:
z1=z2 τότε και μόνο τότε όταν Re(z1)=Re(z2) και Im(z1)=Im(z2)
Οπότε κάνε πράξεις και στα δύο μέλη, φέρε την ισότητα στη μορφή α+βi=γ+δi και λύσε το σύστημα α=γ και β=δ και έτσι θα βρεις τα x, y που ζητά η άσκηση. Κάνε αυτά και τα ξαναλέμε.

m3Lt3D · 01-02-09

για να λες οτι πιθανον να σου ερθει ταμπλας με τα μαθηματικα της γ', σημαινει οτι δεν εισαι ικανοποιητικο(για τα δικα σου standards εννοω) επιπεδο.
Θα σου προτινα να αφωσιωθεις στην αλγεβρα και μαθηματικα κατευθυνσης και γεωμετρια, για να εχεις καλες βασεις για την γ' και θα δεις δεν θα 'χεις προβλημα.

mazin · 02-02-09

παιδια ι β4 της269 πσ λυναιτε ??
2f^3(x)+6f(x)=2x^3+6x+1
να αποδειξετε οτι ι φ δν εχει ακροτατα επισησ ι φ ειναι παραγωγισιμη!!
-----------------------------------------

Αρχική Δημοσίευση από mazin:
παιδια ι β4 της269 πσ λυναιτε ??
2f^3(x)+6f(x)=2x^3+6x+1
να αποδειξετε οτι ι φ δν εχει ακροτατα επισησ ι φ ειναι παραγωγισιμη!!

χεχεχ η not i and for the lunete hh

vannisterloi · 02-02-09

$\int_{0}^{{x}^{5}}f(t)dt={x}^{3}+x+1$ να μελετησετε τη συναρτηση ως προς τη μονοτονια και τα ακροτατα
-----------------------------------------
ενα λαθακι τοπ χ^5 καντε το χ απλα γιατι αλλιως δε βγαινει η ασκηση ευχαριστω :bye:

m3Lt3D · 02-02-09

χωρις να λυσω την ασκηση, υποθετω πως παραγογιζεις την ισοτητα(λες οτι ειναι παραγωγισιμες με λογια...) και καταληγεις σε σταθερο προσημο παραγωγου.(εδω θα βγει λογικα θετικη).
λες εστω οτι υπαρχει χο στο R στο οποιο παρουσιαζει ακροτατο. εφοσον ειναι εσωτερικο σημειο του R και ειναι παραγωγισιμη η f εκει, αρα λογω fermat, f'(xo)=0. ατοπο αφου f'(x)>0 για καθε χ στο R.

mostel · 03-02-09

Επειδή η $f$ είναι παραγωγίσιμη στο $\mathbf{R}$ , ισχύει για την δοθείσα $f$ :

$\left[2f^3(x)+6f(x)\right]'=\left[2x^3+6x+1\right]'$

$6f^2(x)\cdot f'(x)+6f'(x)=6x^2+6$

Αν παρουσίαζε σε ένα σημείο τοπικό ακρότατο, έστω το $x_0$ , τότε θα ίσχυε από Θ. Fermat, $f'(x_0)=0$ . Δηλαδή θα είχαμε:

$6f^2(x_0)\cdot f'(x_0)+6f'(x_0)=6x_0^2 + 6$

$0 = 6x_0^2 +6$

Αυτό όμως είναι άτοπο , γιατί δεν υπάρχει τιμή του $x_0$ , για την οποία ικανοποιείται η ισότητα στο $\mathbf{R}$ . (Το δεξί μέλος είναι θετικό και δε μπορεί ποτέ να ισούται με $0$ .)

Άρα ακριβώς επειδή καταλήξαμε σε άτοπο, αποκλείεται αυτή η συνάρτηση που μας δόθηκε να παρουσιάζει σε οποιοδήποτε πραγματικό σημείο ακρότατο.

Στέλιος

Βοήθεια/Aπορίες στα Μαθηματικά Προσανατολισμού

Νεοφερμένος

Πολύ δραστήριο μέλος

Νεοφερμένος

Πολύ δραστήριο μέλος

Νεοφερμένος

Νεοφερμένος

Νεοφερμένος

Εκκολαπτόμενο μέλος

Διάσημο μέλος

Εκκολαπτόμενο μέλος

Διάσημο μέλος

Διάσημο μέλος

Πολύ δραστήριο μέλος

Πολύ δραστήριο μέλος

Νεοφερμένος

Πολύ δραστήριο μέλος

Εκκολαπτόμενο μέλος

Νεοφερμένος

Πολύ δραστήριο μέλος

Πολύ δραστήριο μέλος