Βοήθεια/Aπορίες στα Μαθηματικά Προσανατολισμού

babisgr · 21 Μαρτίου 2011

β)

$\left.\begin{matrix}<br /> g(1)=0 & \\ <br /> g(x)\geq 0 & <br /> \end{matrix}\right\}\Rightarrow g(x)\geq g(1)$
άρα από Θ.Fermat που λέει και ο koum....

γ) $\left|z \right| =\left|z+1/z \right| \Leftrightarrow {\left|z \right|}^{2}={\left|z+1/z \right|}^{2} \Leftrightarrow z\bar{z}=(z+1/z)(\bar{z}+1/\bar{z}) \Leftrightarrow Re({z}^{2})=-1/2$

δ) f(2)=a>0
a>b άρα b<0 δηλ. f(3)<0

Επομένως από Θ.Bolzano προκύπτει αυτό που θες.

--

Βοήθεια!!

Έστω $f$ με $f''(x)>0$ για κάθε $x$ στο $R$

Αν $a$ ανήκει στο $R$ τέτοιο ώστε $f'(a)>0$ να δείξετε ότι $\lim_{x\rightarrow \propto }f(x)=+\propto$ (x τείνει στο +άπειρο και βγαίνει ίσο με +άπειρο)

dannaros · 21 Μαρτίου 2011

με κριτήριο παρεμβολής δείχνοντας ότι το όριο στο άπειρο του 1/f(x) κάνει 0? δοκίμασε το. σοζ φίλε έχω ξεχάσει τα πάντα και δεν μπορώ να βοηθήσω

lim [f(x)-f(a)/x-a] >0 ?

μήπως σου δίνει ότι το όριο του χ όταν τείνει στο α είναι +άπειρο ? σοζ που επιμένω

babisgr · 21-03-11

Αρχική Δημοσίευση από dannaros:
lim [f(x)-f(a)/x-a] >0 ?

Ίσως βγαίνει κάτι από εδώ, αλλά δε ξέρω..

Αρχική Δημοσίευση από dannaros:
μήπως σου δίνει ότι το όριο του χ όταν τείνει στο α είναι +άπειρο ? σοζ που επιμένω

Όχι δε δίνει τέτοιο όριο (να δω τί θα το έκανες

)

Ρε φίλε, τί είναι το "σοζ"; :hmm:

Chris1993 · 21-03-11

soz -> sorry

rebel · 22-03-11

Αρχική Δημοσίευση από babisgr:
β)

Βοήθεια!!

Έστω $f$ με $f''(x)>0$ για κάθε $x$ στο $R$

Αν $a$ ανήκει στο $R$ τέτοιο ώστε $f'(a)>0$ να δείξετε ότι $\lim_{x\rightarrow \propto }f(x)=+\propto$ (x τείνει στο +άπειρο και βγαίνει ίσο με +άπειρο)

Η f είναι κυρτή στο $\mathbb{R}$ , επομένως η εφαπτομένη της γραφικής της παράστασης στο σημείο α θα βρίσκεται "κάτω" από την γραφική της παράσταση για κάθε $x\in \mathbb{R}$ με εξαίρεση το σημείο α(όπου οι τιμές τους είναι ίσες). Έχουμε δηλαδή

$f(x)\geq f(a)+f'(a)(x-a) \ \forall x\in \mathbb{R}$

Όμως $\lim_{x \to +\infty} \left[f(a)+f'(a)(x-a)\right]=+\infty$ αφού $f'(a)>0$ οπότε και
$\lim_{x \to +\infty} f(x)=+\infty$

christosglx · 22-03-11

Η f συνεχεις στο διαστημα [0,1]. Αν ισχυει 1+∫f(x)²dx=∫(2ημχ+f(x)συνx²)f(x)dx (τα ολοκληρωματα ειναι ορισμενα απο 1 μεχρι 2 απλως δεν ξερω πως να βαλω τους δικτες). Παργωγιζω και τα δυο μελοι και φτανω στο σημειο f′(x)=(2f(x)συνx-f(x)²ημx)/(2f(x)-2ημx-2f(x)συνχ²) και δεν ξερω τι να κανω??????

vavlas · 22-03-11

Αρχική Δημοσίευση από christosglx:
Η f συνεχεις στο διαστημα [0,1]. Αν ισχυει 1+∫f(x)²dx=∫(2ημχ+f(x)συνx²)f(x)dx (τα ολοκληρωματα ειναι ορισμενα απο 1 μεχρι 2 απλως δεν ξερω πως να βαλω τους δικτες). Παργωγιζω και τα δυο μελοι και φτανω στο σημειο f′(x)=(2f(x)συνx-f(x)²ημx)/(2f(x)-2ημx-2f(x)συνχ²) και δεν ξερω τι να κανω??????

Τι θέλεις να αποδείξεις;

Chris1993 · 22 Μαρτίου 2011

Αρχική Δημοσίευση από babisgr:
Βοήθεια!!

Έστω $f$ με $f''(x)>0$ για κάθε $x$ στο $R$

Αν $a$ ανήκει στο $R$ τέτοιο ώστε $f'(a)>0$ να δείξετε ότι $\lim_{x\rightarrow \propto }f(x)=+\propto$ (x τείνει στο +άπειρο και βγαίνει ίσο με +άπειρο)

Βρήκα (νομίζω) την λύση :

Λοιπόν, θεωρείς τη συνάρτηση $g(x)=f(x)-f'(\alpha ) (x-\alpha )$ στο $[\alpha,+\infty)$ και βρίσκεις ότι $g'(x) = f'(x) - f'(a) > 0$ στο $(\alpha,+\infty)$
(λόγω του ότι $f''(x) > 0$ στο $\mathbb{R}$ , δηλαδή η $f'$ είναι αυστηρά αύξουσα στο $\mathbb{R}$ ).
Άρα αφού η $g$ είναι αυστηρά αύξουσα στο $[\alpha,+\infty)$ τότε για $x > \alpha$ έχεις : $g(x) > g(a) \Rightarrow f(x) - f'(a)(x - a) > f(a) \Rightarrow f(x) > f(a) + f'(a)(x - a)$

Όμως, $\lim_{x \to +\infty} (f(a) + f'(a)(x - a)) =+\infty$ (πρόσεξε ότι $f'(a) > 0$ )
Άρα και $\lim_{x \to +\infty} f(x) = +\infty$

dannaros · 22-03-11

Αρχική Δημοσίευση από Chris1993:
Βρήκα (νομίζω) την λύση :

Λοιπόν, θεωρείς τη συνάρτηση $g(x)=f(x)-f'(\alpha ) (x-\alpha )$ στο $[\alpha,+\infty)$ και βρίσκεις ότι $g'(x) = f'(x) - f'(a) > 0$ στο $(\alpha,+\infty)$
(λόγω του ότι $f''(x) > 0$ στο $\mathbb{R}$ , δηλαδή η $f'$ είναι αυστηρά αύξουσα στο $\mathbb{R}$ ).
Άρα αφού η $g$ είναι αυστηρά αύξουσα στο $[\alpha,+\infty)$ τότε για $x > \alpha$ έχεις : $g(x) > g(a) \Rightarrow f(x) - f'(a)(x - a) > f(a) \Rightarrow f(x) > f(a) + f'(a)(x - a)$

Όμως, $\lim_{x \to +\infty} (f(a) + f'(a)(x - a)) =+\infty$ (πρόσεξε ότι $f'(a) > 0$ )
Άρα και $\lim_{x \to +\infty} f(x) = +\infty$

την έχει λύσει άλλος όμως ήδη

Chris1993 · 22-03-11

Δεν το είδα,τι να κάνω?!!Παιδευόμουν αρκετή ώρα να βρώ την λύση! :/:

babisgr · 22-03-11

Ευχαριστώ!! Και το Κώστα που την έλυσε, αλλά και το Χρήστο που γέμισε το θέμα με αναρτήσεις του χωρίς νόημα

christosglx · 22-03-11

Να βρεθει ο τυπος της f

Dias · 22-03-11

Αρχική Δημοσίευση από christosglx:
Η f συνεχεις στο διαστημα [0,1]. Αν ισχυει 1+∫f(x)²dx=∫(2ημχ+f(x)συνx²)f(x)dx (τα ολοκληρωματα ειναι ορισμενα απο 1 μεχρι 2 απλως δεν ξερω πως να βαλω τους δικτες).Να βρεθει ο τυπος της f

Με επιφύλαξη: (Δεν ξέρω αν κατάλαβα καλά αυτά που γράφεις, με προβλημάτισαν τα [0,1] και 1 μέχρι 2, δεν μου αρέσει η λύση μου, αν είμαι out διορθώστε με).

rebel · 23 Μαρτίου 2011

Νομίζω πως υπάρχει πρόβλημα γιατί γενικά η συνεπαγωγή $\int_a^b \! f(x) \, \mathrm{d}x= \int_a^b \! g(x) \, \mathrm{d}x \cancel{\Rightarrow} f(x)=g(x), \, \forall x \in [a,b]$ δεν είναι αληθής.

Παράδειγμα:
$\int_{-\pi}^{\pi} \! x^3 \, \mathrm{d}x= \int_{-\pi}^{\pi} \! \eta\mu x \, \mathrm{d}x=0$
Όμως δεν ισχύει $x^3=\eta\mu x, \, \forall x \in [-\pi,\pi]$

Κρατώντας ωστόσο τις πράξεις καταλήγουμε στην
$\int_1^2 \! \left(\eta\mu x \cdot f(x)-1\right)^2 \, \mathrm{d}x=0 \quad (1)$

Είναι $\left(\eta\mu x \cdot f(x)-1\right)^2 \geq 0$ οπότε, αναγκαστικά θα ισχύει
$\left(\eta\mu x \cdot f(x)-1\right)^2 = 0 \, \forall x \in [1,2]$ καθώς αν υπάρχει έστω και ένα σημείο που αυτή είναι μη μηδενική, από θεώρημα του σχολικού βιβλίου θα είναι $\int_1^2 \! \left(\eta\mu x \cdot f(x)-1\right)^2 \, \mathrm{d}x>0$ , άτοπο λόγω της (1).

Πράγματι επομένως $f(x)=\frac{1}{\eta\mu x}$

Dias · 23-03-11

Αρχική Δημοσίευση από styt_geia:
Νομίζω πως υπάρχει πρόβλημα .....

Μάλιστα, σωστά, κατάλαβα. Κι εμένα δεν μου πολυάρεσε η λύση μου, το είπα και την έγραψα με επιφύλαξη.

Να ρωτήσω κάτι: Ας υποθέσουμε ότι η άσκηση αυτή ήταν ένα ερώτημα στις πανελλήνιες που έπιανε 10 μόρια. Πόσα θα έπαιρνε η λύση μου? :hmm:

rebel · 23-03-11

Ό, τι και να σου πω ψέμματα θα είναι μιας και δεν έχω διορθώσει ποτέ μου γραπτό, αν και θα το θελα πολύ. Δεν είμαι καθηγητής.

Hodropetsos · 23 Μαρτίου 2011

christosglx
Σου λείπουν στοιχεία για ξανακοίταξε την άσκηση μήπως σου έχει και καμιά κατακόρυφη;;
Αλλιώς το μόνο που βγάζεις από αυτό είναι το α=-1 μομίζω και το Β<>-1 !! Κάτι σου λείπει !!

Guest 292010 · 25-03-11

Παιδιά το βρήκα.Θέλεις συνεπαγωγές κι όχι ισοδυναμιες!

strsismos88 · 26-03-11

Παιδια τι κανουμε εδω?
Συνεχης συναρτηση f : R-->R για την οποια ισχυει f(x^3 + x) = 2x για καθε x ε R. Να υπολογισετε το ολοκληρωμα ∫(0εως2) f(x)dx.

lenbias · 26-03-11

μια ιδέα που έχω είναι να βάλεις στο ζήτουμενο ολοκλήρωμα για χ=u^3 +u και άρα dx=(u^2 +1)du και μετά να αντικαταστίσεις με την σχέση που σου δίνει.

Βοήθεια/Aπορίες στα Μαθηματικά Προσανατολισμού

Πολύ δραστήριο μέλος

Πολύ δραστήριο μέλος

Πολύ δραστήριο μέλος

Περιβόητο μέλος

Πολύ δραστήριο μέλος

Νεοφερμένος

Εκκολαπτόμενο μέλος

Περιβόητο μέλος

Πολύ δραστήριο μέλος

Περιβόητο μέλος

Πολύ δραστήριο μέλος

Νεοφερμένος

Επιφανές μέλος

Πολύ δραστήριο μέλος

Επιφανές μέλος

Πολύ δραστήριο μέλος

Νεοφερμένος

Guest 292010

Επισκέπτης

Νεοφερμένος

Εκκολαπτόμενο μέλος