Βοήθεια/Απορίες στη Γεωμετρία

[djimmakos]

Ας δώσω και άλλη μια ωραία άσκηση:

Δίνεται τραπέζιο ΑΒΓΔ (ΑΒ//ΓΔ) με ΑΔ=ΔΓ=α και ΑΒ=2α. Να αποδείξετε ότι η ΑΓ είναι κάθετη στη ΒΓ.

 

Σημείωση: Το μήνυμα αυτό γράφτηκε 15 χρόνια πριν. Ο συντάκτης του πιθανόν να έχει αλλάξει απόψεις έκτοτε.

[Dreamkiller]

Έστω Ε το μέσον της ΑΒ.
Τότε το τετράπλευρο ΑΕΓΔ είναι παραλληλόγραμμο διότι η ΑΕ είναι ίση και παράλληλη με τη ΔΓ. Άρα και ΑΔ = ΕΓ = α = ΑΒ/2
Συνεπώς, στο τρίγωνο ΑΒΓ, η ΕΓ είναι διάμεσος και ισούται με το μισό της απέναντι πλευράς, άρα η γωνία ΑΓΒ είναι ορθή.

 

Σημείωση: Το μήνυμα αυτό γράφτηκε 15 χρόνια πριν. Ο συντάκτης του πιθανόν να έχει αλλάξει απόψεις έκτοτε.

[vimaproto]

Στην πρώτη άσκηση, τα τρίγωνα ΑΓΕ και ΑΓΗ είναι όμοια διότι

Τρίγωνα που έχουν τις πλευρές ανάλογες είναι όμοια. Αρα οι αντίστοιχες γωνίες είναι ίσες.
(Τα μήκη υπολογίζονται με Πυθαγ. θεωρ.)

Για να βοηθήσω, στο συνημμένο, έχω το σχήμα της άσκησης και μιας άλλης, παρόμοιας, με τις βοηθητικές ευθείες που χρειάζονται. Καλή συνέχεια.

Ευκολα αποδεικνύεται ότι το ύψος από το Β (τώρα) είναι δύο τμήματα που το ένα ισούται με το ΜΕ (απέναντι πλευρές παραλληλογράμμου) και το άλλο με το ΜΔ (ισότητα ορθογωνίων τριγώνων). Το τρίγωνο ΑΒΓ είναι ορισμένο, άρα και τα στοιχεία του (εμβαδό, ύψη, διάμεσοι, κλπ) είναι ορισμένα. (σταθερά)

 

Σημείωση: Το μήνυμα αυτό γράφτηκε 15 χρόνια πριν. Ο συντάκτης του πιθανόν να έχει αλλάξει απόψεις έκτοτε.

[Dreamkiller]

Και μια λύση με ομοιότητα:
Έστω ΑΒΓ το ισοσκελές τρίγωνο, ΒΔ το ύψος του, Σ σημείο επί την προέκταση της ΓΒ (προς τη μεριά του Β δηλαδή) και Κ, Λ οι προβολές του Σ στις ΑΒ και ΑΓ αντίστοιχα.
Τα τρίγωνα ΣΛΓ και ΒΔΓ είναι όμοια, οπότε:
ΣΛ/ΒΔ = ΣΓ/ΒΓ άρα ΣΛ = ΒΔ * ΣΓ / ΒΓ (1)

Τα τρίγωνα ΣΒΚ και ΒΔΓ είναι όμοια, οπότε:
ΣΚ/ΒΔ = ΣΒ/ΒΓ άρα ΣΚ = ΒΔ * ΣΒ / ΒΓ (2)

Από τις (1), (2):
ΣΛ - ΣΚ = ΒΔ*ΣΓ / ΒΓ - ΒΔ*ΣΒ / ΒΓ = ΒΔ *(ΣΓ - ΣΒ)/ΒΓ = ΒΔ * ΒΓ / ΒΓ = ΒΔ, δηλαδή ίση με το ύψος του τριγώνου, ανεξάρτητη δηλαδή της επιλογής του Σ.

 

Σημείωση: Το μήνυμα αυτό γράφτηκε 15 χρόνια πριν. Ο συντάκτης του πιθανόν να έχει αλλάξει απόψεις έκτοτε.

[Ναυσικά]

για να δούμε...για τη 2
θα παραλείψω να λέω σε ποια τρίγωνα άλλωστε φαίνονται και είμαι ψιλοκουρασμένη,,,
εκ παράλληλη και= αδ/2
ομοίως λζ//=αδ/2
--->εκ//=λζ===>εκζλ παραλληλόγραμμο
αυτό είναι νομίζω το πρώτο βήμα

 

Σημείωση: Το μήνυμα αυτό γράφτηκε 15 χρόνια πριν. Ο συντάκτης του πιθανόν να έχει αλλάξει απόψεις έκτοτε.

[djimmakos]

H λύση μου για την τρίτη.

1ον) Είναι 12:39, δεν μπορούσα να κάνω καλύτερα γράμματα
2ον) Αν έχω κάνα λάθος, πείτε, άνθρωπος είμαι

Άντε να πω και για τη δεύτερη..Παίρνουμε το θεώρημα ότι το ευθύγραμμο τμήμα που ενώνει τα μέσα των δύο πλευρών ενός τριγώνου είναι ίσο με το μισό της απέναντι πλευράς και ,εκμεταλλευόμενοι το γεγονός ότι ΑΔ=ΒΓ, βλέπουμε ότι όλες οι πλευρές του τετραπλεύρου ΕΛΖΚ είναι ίσες, άρα αυτό είναι ρόμβος..

 

Σημείωση: Το μήνυμα αυτό γράφτηκε 15 χρόνια πριν. Ο συντάκτης του πιθανόν να έχει αλλάξει απόψεις έκτοτε.

[Shadowfax]

για να δούμε...για τη 2
θα παραλείψω να λέω σε ποια τρίγωνα άλλωστε φαίνονται και είμαι ψιλοκουρασμένη,,,
εκ παράλληλη και= αδ/2
ομοίως λζ//=αδ/2
--->εκ//=λζ===>εκζλ παραλληλόγραμμο
αυτό είναι νομίζω το πρώτο βήμα

Σωστά νομίζεις.

Η δεύτερη (και ναι, το σχήμα μπορούσε να είναι καλύτερο).

 

Σημείωση: Το μήνυμα αυτό γράφτηκε 15 χρόνια πριν. Ο συντάκτης του πιθανόν να έχει αλλάξει απόψεις έκτοτε.

[djimmakos]

Γιατί αποδείξατε ότι είναι παραλληλόγραμμο πρώτα; :p Τζάμπα κόπος..
Έχεις όλες τις πλευρές ίσες, άρα είναι ρόμβος (Γιώργο σε πρόλαβα)

Xαρά στο κουράγιο σου αγόρι μου που έκατσες και τα έγραψες όλα αυτά..Συγχαρητήρια, πήγες στο δωμάτιό σου μέσω Αλάσκας

 

Σημείωση: Το μήνυμα αυτό γράφτηκε 15 χρόνια πριν. Ο συντάκτης του πιθανόν να έχει αλλάξει απόψεις έκτοτε.

[Shadowfax]

Γιατί αποδείξατε ότι είναι παραλληλόγραμμο πρώτα; :p Τζάμπα κόπος..
Έχεις όλες τις πλευρές ίσες, άρα είναι ρόμβος (Γιώργο σε πρόλαβα)

Σωστό όντως. Όμως, έχω μια τάση να πηγαίνω σχεδόν πάντα από τον μακρύτερο δρόμο. Όχι για μαγκιά, γιατί αυτός μου έρχεται πρώτος στο κεφάλι.

Τώρα που το σκέφτομαι, πάντα θα υπάρχει ένας ακόμα μακρύτερος δρόμος όμως...

Υ.Γ - Ποτέ δεν έδωσα σημασία στην ταχύτητα. Όποτε το έκανα, την πάτησα.

 

Σημείωση: Το μήνυμα αυτό γράφτηκε 15 χρόνια πριν. Ο συντάκτης του πιθανόν να έχει αλλάξει απόψεις έκτοτε.

[djimmakos]

Σωστό όντως. Όμως, έχω μια τάση να πηγαίνω σχεδόν πάντα από τον μακρύτερο δρόμο. Όχι για μαγκιά, γιατί αυτός μου έρχεται πρώτος στο κεφάλι.

Τώρα που το σκέφτομαι, πάντα θα υπάρχει ένας ακόμα μακρύτερος δρόμος όμως...

Υ.Γ - Ποτέ δεν έδωσα σημασία στην ταχύτητα. Όποτε το έκανα, την πάτησα.

Τώρα που το σκέφτομαι, μπορούμε να κατασκευάσουμε και τον κύκλο του Euler και μέσα στο τρίγωνό του να χώσουμε κάπως το τραπέζιο και να φέρουμε 1002 βοηθητικές..Ενδιαφέρον
(Πλάκα κάνω):p

 

Σημείωση: Το μήνυμα αυτό γράφτηκε 15 χρόνια πριν. Ο συντάκτης του πιθανόν να έχει αλλάξει απόψεις έκτοτε.

[Ναυσικά]

ναι ο κύκλος των 9 σημείων ταιριάζει.....τι θα έλεγες να είχαμε και ένα μοντέλο αστροφυσικής να συνδυάζαμε το σχήμα των αστερισμών και να βρίσκαμε το καταλληλότερο?ύστερα από μια πλατφόρμα να κάναμε προσομοίωση και με αστρικούς υπολογισμούλς να καταλήγαμε στο ζητοούμενο....?

όσο για το ρόμβο, για να πεις ότι κάτι είναι ρόμβος πρέπει να πεις ότι είναι παραλληλόγραμμο. (άσχετο αν εδω το συμπέρασμα σε οδηγούσε κατευθείαν στο να πεις ότι είναι ρόμβος)

 

Σημείωση: Το μήνυμα αυτό γράφτηκε 15 χρόνια πριν. Ο συντάκτης του πιθανόν να έχει αλλάξει απόψεις έκτοτε.

[djimmakos]

ναι ο κύκλος των 9 σημείων ταιριάζει.....τι θα έλεγες να είχαμε και ένα μοντέλο αστροφυσικής να συνδυάζαμε το σχήμα των αστερισμών και να βρίσκαμε το καταλληλότερο?ύστερα από μια πλατφόρμα να κάναμε προσομοίωση και με αστρικούς υπολογισμούλς να καταλήγαμε στο ζητοούμενο....?

όσο για το ρόμβο, για να πεις ότι κάτι είναι ρόμβος πρέπει να πεις ότι είναι παραλληλόγραμμο. (άσχετο αν εδω το συμπέρασμα σε οδηγούσε κατευθείαν στο να πεις ότι είναι ρόμβος)

Το έχει και στο βιβλίο "Αν αποδείξεις ότι ένα τετράπλευρο έχεις όλες τις πλευρές του ίσες, τότε αυτό θα είναι ρόμβος"

Μην πας να μου κλέψεις τη δόξα

 

Σημείωση: Το μήνυμα αυτό γράφτηκε 15 χρόνια πριν. Ο συντάκτης του πιθανόν να έχει αλλάξει απόψεις έκτοτε.

[Ναυσικά]

ασε ρε Καίσαρα....

και για να μην ξεφύγουμε τελείως οφφ βάζω μια ασκησούλα (που δεν έχω ακόμα λύσει ολοκληρωτικά αύριο θα προσπαθήσω) είναι από τη μαθηματική σκέψη του σχολείου μου, και την έχουμε κάνει στην τάξη, αλλά εγω έλειπα και κανείς δεν είχε κρατήσει σημειώσεις!!!!

-έστω τριγωνο ΑΒΓ τα ύψη ΑΔ,ΒΕ,ΓΖ και το ορθικό τρίγωνο ΔΕΖ. Δείξτε ότι
α)οι ΑΔ,ΒΕ,ΓΖ διχοτομούν τις γωνιες του ΔΕΖ
β)το έγγεντρο του ΔΕΖ είναι το ορθόκεντρο του ΑΒΓ και τα παράκεντρα του ΔΕΖ είναι οι κορυφές του ΑΒΓ.

 

Σημείωση: Το μήνυμα αυτό γράφτηκε 15 χρόνια πριν. Ο συντάκτης του πιθανόν να έχει αλλάξει απόψεις έκτοτε.

[djimmakos]

Hmm,ωραία άσκηση..Δύσκολη όμως..Θα προσπαθήσω και εγώ και σε κανα 5ωρο θα σου πω τι βρήκα :p
Nα πω μια σκέψη για το πρώτο σκέλος του β.
Αφού οι ΑΔ,ΒΕ,ΓΖ είναι διχοτόμοι των γωνιών του ΔΕΖ (το έχουμε αποδείξει στο α) τέμνονται στο έγγεντρο του. Όμως οι ΑΔ,ΒΕ,ΓΖ τέμνονται σε ένα μόνο σημείο, στο ορθόκεντρο του ΑΒΓ, αφού είναι ύψη του. Άρα τα σημεία αυτά δεν μπορούνε να είναι διαφορετικά και έτσι το έγγεντρο του ΔΕΖ είναι το ορθόκεντρο του ΑΒΓ.
Νομίζω ότι κατάλαβα τι φιλοσοφία του πρώτου. Δείξε ότι ένα τυχαίο σημείο των ΑΔ,ΒΕ,ΓΖ ισαπέχει από τις πλευρές της αντίστοιχης γωνίας.Δεν είμαι σίγουρος, αλλά μπορεί να βγαίνει και έτσι

 

Σημείωση: Το μήνυμα αυτό γράφτηκε 15 χρόνια πριν. Ο συντάκτης του πιθανόν να έχει αλλάξει απόψεις έκτοτε.

[Ναυσικά]

να προσθέσω ότι το ορθικό τρίγωνο είναι το τρίγωνο με κορυφές τα ίχνη των υψών του ΑΒΓ.

υ.γ.περιμένω απάντηση στις 18:17 ακριβώς

 

Σημείωση: Το μήνυμα αυτό γράφτηκε 15 χρόνια πριν. Ο συντάκτης του πιθανόν να έχει αλλάξει απόψεις έκτοτε.

[djimmakos]

να προσθέσω ότι το ορθικό τρίγωνο είναι το τρίγωνο με κορυφές τα ίχνη των υψών του ΑΒΓ.

υ.γ.περιμένω απάντηση στις 18:17 ακριβώς

Ξέρω μωρέ τι είναι το ορθικό τρίγωνο..Ξέρω και την ιδιότητα που θέλει να αποδείξουμε...Αν γράψω "Το ξέρουμε από τη θεωρία" μετράει;

Απάντηση προς υ.γ: 18.17 δε θα είμαι στο πσ.Έχουμε πρόβα γιατί σε 8 μέρες πετάμε για Γερμανία και θα ετοιμάσουμε και μια μικρή γιορτή για να παρουσιάσουμε στα παιδιά εκεί

Νομίζω ότι βρήκα κάτι για το πρώτο. Απάντηση: Εγγράψιμα τετράπλευρα ..Σχηματίζονται τετράπλευρα τα οποία έχουν δύο απέναντι γωνίες παραπληρωματικές και παίρνοντας τις ιδιότητές τους, αποδεικνύουμε το ζητούμενο

 

Σημείωση: Το μήνυμα αυτό γράφτηκε 15 χρόνια πριν. Ο συντάκτης του πιθανόν να έχει αλλάξει απόψεις έκτοτε.

[Ναυσικά]

Ξέρω μωρέ τι είναι το ορθικό τρίγωνο..Ξέρω και την ιδιότητα που θέλει να αποδείξουμε...Αν γράψω "Το ξέρουμε από τη θεωρία" μετράει;

Απάντηση προς υ.γ: 18.17 δε θα είμαι στο πσ.Έχουμε πρόβα γιατί σε 8 μέρες πετάμε για Γερμανία και θα ετοιμάσουμε και μια μικρή γιορτή για να παρουσιάσουμε στα παιδιά εκεί

Νομίζω ότι βρήκα κάτι για το πρώτο. Απάντηση: Εγγράψιμα τετράπλευρα ..Σχηματίζονται τετράπλευρα τα οποία έχουν δύο απέναντι γωνίες παραπληρωματικές και παίρνοντας τις ιδιότητές τους, αποδεικνύουμε το ζητούμενο

απόδειξέ το.(αν θέλεις νακολουθήσεις αυτόν τον τρόπο)
Γερμανία; Με το σχολείο;Καλή επιτυχία ό,τι και να κάνετε!

 

Σημείωση: Το μήνυμα αυτό γράφτηκε 15 χρόνια πριν. Ο συντάκτης του πιθανόν να έχει αλλάξει απόψεις έκτοτε.

[thewatcher]

έστω Η το ορθόκεντρο
α) Επειδή <ΒΖΓ+<ΒΔΗ=90+90=180, το ΖΗΔΒ είναι εγγράψιμο, άρα <ΖΒΕ=<ΖΔΗ (1) επειδή βλέπουν στην ίδια χορδή. Όμοια για το ΗΕΓΔ <ΗΔΕ=<ΗΓΕ. (2)

Επίσης το ΖΕΓΒ είναι εγγράψιμο επειδή <ΒΖΓ=<ΒΕΓ(=90) και βλέπουν στην ίδια χορδή. Άρα <ΖΒΕ=<ΕΓΖ. (3)
Από (1),(2),(3) έχουμε ότι <ΖΔΗ=<ΕΔΗ. Αντίστοιχα και για τις άλλες γωνίες.

β) Το πρώτο είναι προφανές λόγω του α ερωτήματος. το παράκεντρο ξέχασα τι είναι

 

Σημείωση: Το μήνυμα αυτό γράφτηκε 15 χρόνια πριν. Ο συντάκτης του πιθανόν να έχει αλλάξει απόψεις έκτοτε.

[djimmakos]

απόδειξέ το.(αν θέλεις νακολουθήσεις αυτόν τον τρόπο)
Γερμανία; Με το σχολείο;Καλή επιτυχία ό,τι και να κάνετε!

Με πρόλαβε ο thewatcher..Ακριβώς τα ίδια θα έγραφα..

Θα πάμε 12 μέρες, θα χάσουμε δλδ 1,5 εβδομάδα σχολείο ..
Η γιορτή είναι απλώς κάτι συμβολικό, πιο πολύ πάμε για να γνωρίσουμε τα παιδιά και τις συνήθειές τους (να πιούμε και γερμανική μπύρα)

 

Σημείωση: Το μήνυμα αυτό γράφτηκε 15 χρόνια πριν. Ο συντάκτης του πιθανόν να έχει αλλάξει απόψεις έκτοτε.

[Ναυσικά]

το παράκεντρο είναι το σημείο τομής 2 εξωτερικών και μιας εσωτερικής διχοτόμου.βρίσκεται πάντα εκτός τριγώνου

 

Σημείωση: Το μήνυμα αυτό γράφτηκε 15 χρόνια πριν. Ο συντάκτης του πιθανόν να έχει αλλάξει απόψεις έκτοτε.