Βοήθεια/Απορίες στη Γεωμετρία

[Shadowfax]

Εγώ πάλι θέλω να ρωτήσω: Αν έχουμε ευθύγραμμο τμήμα που ενώνει δύο σημεία δύο πλευρών ενός τριγώνου, είναι παράλληλο προς την τρίτη πλευρά και ίσο με το μισό της, τότε εκείνα τα δύο σημεία δεν ειναι μέσα των πλευρών;

Ρωτάω γιατί το βιβλίο λέει μόνο το αντίστροφο και δίνει και μια άλλη απόδειξη που ξεκινά με δεδομένο το μέσο μιας πλευράς.:emm:

Γιατί όχι; Aποδεικνύεται και με πολύ όμορφο τρόπο.



Έστω τρίγωνο ΑΒΓ και Ε, Κ τυχαία σημεία των πλευρών του ΑΒ, ΑΓ αντίστοιχα. Φέρω το ευθύγραμμο τμήμα ΕΚ και το προεκτείνω κατά τμήμα ΚΔ=ΕΚ. Το τετράπλευρο ΕΔΓΒ είναι παραλληλόγραμμο καθώς: I) ΕΚ//ΒΓ <=> ΕΔ//ΒΓ και ΙΙ) ΕΔ=ΒΓ (ΕΚ=ΒΓ/2 <=> ΕΔ/2=ΒΓ/2 <=> ΕΔ=ΒΓ). Άρα, ΓΔ//ΒΕ <=> ΓΔ//ΒΑ <=> ΓΔ//ΕΑ.
Έπειτα, συγκρίνω τα τρίγωνα ΑΚΕ, ΔΚΓ. Έχουν: ΕΚ=ΚΔ (κατασκευή), Κ1=Κ2 (κατακορυφήν), Ε1=Δ1 (εντός εναλλάξ των παραλλήλων ΕΑ, ΓΔ με τέμνουσα την ΕΔ). Άρα από Γ-Π-Γ τα τρίγωνα είναι ίσα. Άρα ΑΚ=ΚΓ ως αντίστοιχες πλευρές. Συνεπώς Κ μέσο της ΑΓ.

Ε και φτάσαμε στο γνωστό θεώρημα, αντίστροφο αυτού που μαθαίνουμε.

*επιεικής κριτική για το σχηματάκι παρακαλώ, είναι φτιαγμένο με ms paint και το πρώτο μου σε Η/Υ :xixi:*

edit: το αρχικό τρίγωνο μοιάζει ισοσκελές (και είναι) επειδή δεν υπήρχε άλλου είδους έτοιμο τρίγωνο εκτός από ορθογώνιο. Δεν πειράζει όμως, το θεώρησα σκαληνό. :iagree:

 

Σημείωση: Το μήνυμα αυτό γράφτηκε 15 χρόνια πριν. Ο συντάκτης του πιθανόν να έχει αλλάξει απόψεις έκτοτε.

[Manthak47]

Εγώ προσπάθησα να το αποδείξω φέρνοντας τις ΔΖ και ΕΖ (Ζ μέσο ΒΓ). Αφού βγαίνει εντάξει, μόνο μη μου κόψει μονάδες επειδή το χρησιμοποίησα χωρίς να το αποδείξω, αφού δεν είναι του βιβλίου...

*επιεικής κριτική για το σχηματάκι παρακαλώ, είναι φτιαγμένο με ms paint και το πρώτο μου σε Η/Υ :xixi:*

edit: το αρχικό τρίγωνο μοιάζει ισοσκελές (και είναι) επειδή δεν υπήρχε άλλου είδους έτοιμο τρίγωνο εκτός από ορθογώνιο. Δεν πειράζει όμως, το θεώρησα σκαληνό. :iagree:

Μια χαρά είναι το σχήμα! :no1:

off topic: Αφού λες ότι το έκανες στη ζωγραφική το σχήμα, έχεις Windows 7; Γιατί η ζωγραφική των 7 είναι που έχει τέτοια.

 

Σημείωση: Το μήνυμα αυτό γράφτηκε 15 χρόνια πριν. Ο συντάκτης του πιθανόν να έχει αλλάξει απόψεις έκτοτε.

[Shadowfax]

Εγώ προσπάθησα να το αποδείξω φέρνοντας τις ΔΖ και ΕΖ (Ζ μέσο ΒΓ). Αφού βγαίνει εντάξει, μόνο μη μου κόψει μονάδες επειδή το χρησιμοποίησα χωρίς να το αποδείξω, αφού δεν είναι του βιβλίου...

Χμμ, δε ξέρω. Βασικά για να χρησιμοποιήσεις ο,τιδήποτε στη γεωμετρία χωρίς απόδειξη πρέπει να το έχεις διδαχθεί (ή όχι) ως θεώρημα, κριτήριο, αίτημα (που ούτως ή άλλως δεν αποδεικνύεται). Ό,τι άλλο πεις, και σωστό να είναι, θέλει απόδειξη. Αλλά εντάξει, δε ξέρω αν θα σου το κόψει όλο ή αν δε θα σου κόψει τίποτα. Σημασία έχει πως ισχύει, πως το σκέφτηκες και το κατάλαβες και πως έδωσες σε μένα (και σε άλλους) clue μιας και αν δεν το είχες ρωτήσει δε θα το είχα σκεφτεί (και παρεμπιπτόντως είναι αρκετά χρήσιμο). :iagree:

Μια χαρά είναι το σχήμα! :no1:

off topic: Αφού λες ότι το έκανες στη ζωγραφική το σχήμα, έχεις Windows 7; Γιατί η ζωγραφική των 7 είναι που έχει τέτοια.

Ναι σε ένα μικρό σκληρό. Μου αρέσει κι εμένα το paint τους περισσότερο από τις προηγούμενες εκδόσεις, γι' αυτό και το χρησιμοποιώ.

 

Σημείωση: Το μήνυμα αυτό γράφτηκε 15 χρόνια πριν. Ο συντάκτης του πιθανόν να έχει αλλάξει απόψεις έκτοτε.

[Iliaso]

Εμείς τελικά είχαμε την απόδειξη ότι η διάμεσος από την ορθή είναι ίση με το μισό της υποτείνουσας.Βασικά έκανα μια σύγκριση που δεν χρειαζόταν στην απόδειξη.Κατά τα άλλα χάλια.

 

Σημείωση: Το μήνυμα αυτό γράφτηκε 15 χρόνια πριν. Ο συντάκτης του πιθανόν να έχει αλλάξει απόψεις έκτοτε.

[Shadowfax]

Εμείς τελικά είχαμε την απόδειξη ότι η διάμεσος από την ορθή είναι ίση με το μισό της υποτείνουσας.Βασικά έκανα μια σύγκριση που δεν χρειαζόταν στην απόδειξη.Κατά τα άλλα χάλια.

Επιτέλους έπεσε σε κάποιον αυτή η απόδειξη, η πολύ πιο ωραία απόδειξη από το άθροισμα γωνιών τριγώνου.

Χάλια; Γιατί;

 

Σημείωση: Το μήνυμα αυτό γράφτηκε 15 χρόνια πριν. Ο συντάκτης του πιθανόν να έχει αλλάξει απόψεις έκτοτε.

[Purple sunrise]

Και σε μένα έπεσε

 

Σημείωση: Το μήνυμα αυτό γράφτηκε 15 χρόνια πριν. Ο συντάκτης του πιθανόν να έχει αλλάξει απόψεις έκτοτε.

[djimmakos]

Επιτέλους έπεσε σε κάποιον αυτή η απόδειξη, η πολύ πιο ωραία απόδειξη από το άθροισμα γωνιών τριγώνου.

Χάλια; Γιατί;

Η πιο ωραία πιστεύω είναι αυτή που λέει ότι τα ύψη του τριγώνου τέμνονται στο ίδιο σημείο

Πάντως, αυτή η απόδειξη με το ορθογώνιο, βγαίνει και σε μια σειρά αν προεκτείνουμε τη διάμεσο κατά ίσο τμήμα. Το σχήμα που προκύπτει είναι παραλληλόγραμμο με μια ορθή γωνία, άρα είναι ορθογώνιο. Άρα έχει ίσες διαγωνίους και άρα τα μισά τους θα είναι ίσα. Τέλος

 

Σημείωση: Το μήνυμα αυτό γράφτηκε 15 χρόνια πριν. Ο συντάκτης του πιθανόν να έχει αλλάξει απόψεις έκτοτε.

[Manthak47]

...για να χρησιμοποιήσεις ο,τιδήποτε στη γεωμετρία χωρίς απόδειξη πρέπει να το έχεις διδαχθεί (ή όχι) ως θεώρημα, κριτήριο, αίτημα (που ούτως ή άλλως δεν αποδεικνύεται). Ό,τι άλλο πεις, και σωστό να είναι, θέλει απόδειξη...

Εγώ δεν το απέδειξα διότι το πήρα απλά σαν αντίστροφο από κάτι που είχαμε πει στην τάξη (αν και ξέρω ότι δεν ισχύουν πάντα τα αντίστροφα).
Βασικά η άσκηση που το χρησιμοποίησα ξεκινούσε με τραπέζιο που είχε τη μια βάση διπλάσια της άλλης και σημείο (Ε) τομής των μη παράλληλων πλευρών. Ζητούσε να βρούμε ότι ΕΓ = ΓΒ. Επειδή αργότερα σε όλη την άσκηση βόλευε να πούμε ότι τα Γ, Δ είναι μέσα και η ισότητα ΓΔ = 2ΑΒ μου... άρεσε , χρησιμοποίησα αυτό στο μεγάλο τρίγωνο.
Επειδή όμως κάπως λυνόταν η άσκηση φυσικά και γενικώς τα θέματα ήταν πανεύκολα, δεν περίμενα να λυθεί με το λήμμα της σελ. 108 όπως έκαναν μερικοί.

Θα ήταν με το λήμμα σωστό;

 

Σημείωση: Το μήνυμα αυτό γράφτηκε 15 χρόνια πριν. Ο συντάκτης του πιθανόν να έχει αλλάξει απόψεις έκτοτε.

[Shadowfax]

Εγώ δεν το απέδειξα διότι το πήρα απλά σαν αντίστροφο από κάτι που είχαμε πει στην τάξη (αν και ξέρω ότι δεν ισχύουν πάντα τα αντίστροφα).
Βασικά η άσκηση που το χρησιμοποίησα ξεκινούσε με τραπέζιο που είχε τη μια βάση διπλάσια της άλλης και σημείο (Ε) τομής των μη παράλληλων πλευρών. Ζητούσε να βρούμε ότι ΕΓ = ΓΒ. Επειδή αργότερα σε όλη την άσκηση βόλευε να πούμε ότι τα Γ, Δ είναι μέσα και η ισότητα ΓΔ = 2ΑΒ μου... άρεσε , χρησιμοποίησα αυτό στο μεγάλο τρίγωνο.
Επειδή όμως κάπως λυνόταν η άσκηση φυσικά και γενικώς τα θέματα ήταν πανεύκολα, δεν περίμενα να λυθεί με το λήμμα της σελ. 108 όπως έκαναν μερικοί.

Θα ήταν με το λήμμα σωστό;

Ναι και μάλιστα με πολύ ωραίο τρόπο, πιο μεγάλο βέβαια από αυτόν που ακολούθησες εσύ (χωρίς την απόδειξη).

Θα έπρεπε να δείξεις πως κάθε πλευρά του μεγάλου τριγώνου είναι παράλληλη με την απέναντί της πλευρά του μικρού τριγώνου. Με λίγα λόγια πως όλες οι πλευρές του μεγάλου είναι κατ' αντιστοιχία παράλληλες με αυτές του μικρού. Θα χρησιμοποιούσες το αυθεντικό αντίστροφο του θεωρήματος, δηλαδή : ''Σε ένα τρίγωνο η ευθεία που διέρχεται από το μέσο μιας πλευράς του και είναι παράλληλη προς μια άλλη πλευρά του, διέρχεται και από το μέσο της τρίτης πλευράς''. Όταν λοιπόν θα το έδειχνες, εύκολα θα έλεγες πως οι κορυφές του μικρού είναι τα μέσα των πλευρών του μεγάλου. :iagree:

Πάντως και ο τρόπος που το πήγες εσύ είναι ωραίος. Βέβαια σου είπα, δε ξέρω πως θα πάρει ο καθηγητής την απουσία απόδειξης αλλά δε βαριέσαι, αφού το κατάλαβες λίγο μετράει ο βαθμός.

 

Σημείωση: Το μήνυμα αυτό γράφτηκε 15 χρόνια πριν. Ο συντάκτης του πιθανόν να έχει αλλάξει απόψεις έκτοτε.

[Iliaso]

Επιτέλους έπεσε σε κάποιον αυτή η απόδειξη, η πολύ πιο ωραία απόδειξη από το άθροισμα γωνιών τριγώνου.

Χάλια; Γιατί;

Δεν έκανα 1 1/2 θέμα και την απόδειξη αντί να πω ότι είναι διάμεσος και κάτι ακόμα που δεν θυμάμαι έκανα σύγκριση τριγώνου οπότε κρατάω μια επιφύλαξη

 

Σημείωση: Το μήνυμα αυτό γράφτηκε 15 χρόνια πριν. Ο συντάκτης του πιθανόν να έχει αλλάξει απόψεις έκτοτε.

[Manthak47]

Πάντως και ο τρόπος που το πήγες εσύ είναι ωραίος. Βέβαια σου είπα, δε ξέρω πως θα πάρει ο καθηγητής την απουσία απόδειξης αλλά δε βαριέσαι, αφού το κατάλαβες λίγο μετράει ο βαθμός.

Αφού το κατάλαβα, ε;
Θα συμφωνούσα αν δεν υπήρχε παρελθόν σ' όλη την ιστορία.

Ενώ τα μαθηματικά είναι μάθημα που μ' αρέσει πάρα πολύ, το θεωρώ έξυπνο και χρήσιμο, στη Γεωμετρία φέτος του έγραψα 13 και 15 !!! Και αυτό γιατί δεν προλάβαινα μέσα σε 40' όλες τις ασκήσεις. Όταν με ρωτούσε γιατί πάω έτσι, του έλεγα: "εγώ κύριε καταλαβαίνω μαθηματικά και δε μ' ενδιαφέρει τι καταλαβαίνετε εσείς από τους βαθμούς των διαγωνισμάτων".

Και έτσι (από εγωισμό ) ήθελα να του γράψω ένα 20αράκι να του μπω στο μάτι. Κινδυνεύω να τον έχω και του χρόνου στα Μαθηματικά κατεύθυνσης και...

Τέλος πάντων, επειδή ξέφυγα απ' το θέμα του topic το κόβω εδώ ...

 

Σημείωση: Το μήνυμα αυτό γράφτηκε 15 χρόνια πριν. Ο συντάκτης του πιθανόν να έχει αλλάξει απόψεις έκτοτε.

[alchemia]

Στην γεωμετρια, μας ζητουσε να αποδειξουμε το θεωρημα στην σελιδα 109 που λεει οτι η διαμεσος ορθογωνιου τριγωνου απο την ορθη γωνια ειναι ιση με το μισο της υποτεινουσας.
Ε, εγω δεν εγραψα την αποδειξη του βιβλιου αλλα μια αλλη και μου λεει η καθηγητρια οτι δεν θα το παρει σωστο :s
Γινεται να το κανει αυτο εφοσον οσα γραφω στεκουν;

 

Σημείωση: Το μήνυμα αυτό γράφτηκε 15 χρόνια πριν. Ο συντάκτης του πιθανόν να έχει αλλάξει απόψεις έκτοτε.

[Eukleidis]

Αμα η αποδειξη σου είναι επιστημονικά τεκμηριωμένη δεν μπορει να σου την κοψει. Γραψε μας ομως την αποδειξη που εκανες

 

Σημείωση: Το μήνυμα αυτό γράφτηκε 15 χρόνια πριν. Ο συντάκτης του πιθανόν να έχει αλλάξει απόψεις έκτοτε.

[alchemia]

Εστω ορθ. τριγωνο Αβγ (Α=90) και ΑΜ διαμεσος.
Φερουμε τον περιγεγραμμενο κυκλο του ορθογωνιου τριγωνου. Η υποτεινουσα θα ειναι διαμετρος του κυκλου εφοσον η γωνια Α ειναι 90 μοιρες. Οποτε το μεσον της Μ θα ειναι κεντρο του κυκλου.
Αρα συνεπαγεται οτι ΑΜ=ΜΒ=ΜΗ ως ακτινες του ιδιου κυκλου
Και εγω δεν πιστευω οτι μπορει να το παρει λαθος. Αλλα ειναι στριμμενη, εισικα μαζι μου μιας κ της παω συνεχεια κοντρα

 

Σημείωση: Το μήνυμα αυτό γράφτηκε 15 χρόνια πριν. Ο συντάκτης του πιθανόν να έχει αλλάξει απόψεις έκτοτε.

[Eukleidis]

Είναι πολύ σωστη η αποδειξη σου και βγαίνει και μ αλλον τρόπο. Μπράβο!!!

 

Σημείωση: Το μήνυμα αυτό γράφτηκε 15 χρόνια πριν. Ο συντάκτης του πιθανόν να έχει αλλάξει απόψεις έκτοτε.

[Οδυσσέας]

Στην γεωμετρια, μας ζητουσε να αποδειξουμε το θεωρημα στην σελιδα 109 που λεει οτι η διαμεσος ορθογωνιου τριγωνου απο την ορθη γωνια ειναι ιση με το μισο της υποτεινουσας.
Ε, εγω δεν εγραψα την αποδειξη του βιβλιου αλλα μια αλλη και μου λεει η καθηγητρια οτι δεν θα το παρει σωστο :s
Γινεται να το κανει αυτο εφοσον οσα γραφω στεκουν;

Aν είναι σωστό δεν πρέπει να στο πάρει λάθος.Αν στο πάρει ζήτα επανεξέταση.

 

Σημείωση: Το μήνυμα αυτό γράφτηκε 15 χρόνια πριν. Ο συντάκτης του πιθανόν να έχει αλλάξει απόψεις έκτοτε.

[vimaproto]

Είδα την λύση σου και τη βρίσκω πάνσωστη. Αν δεν σε βαθμολογήσει με τη μέγιστη βαθμολογία, να διαμαρτυρηθείς. Αρκετά με τα παπαγαλάκια.

 

Σημείωση: Το μήνυμα αυτό γράφτηκε 15 χρόνια πριν. Ο συντάκτης του πιθανόν να έχει αλλάξει απόψεις έκτοτε.

[alchemia]

Ναι το συγκεκριμενο θεωρημα εχει πολλους τροπους αποδειξης.
Δεν καταλαβαινω γτ το βιβλιο εχει επιλεξει εκεινον.
Στο σχολειο πρεπει ολα να ναι μια παπαγαλια. Αν ειναι δυνατον!

 

Σημείωση: Το μήνυμα αυτό γράφτηκε 15 χρόνια πριν. Ο συντάκτης του πιθανόν να έχει αλλάξει απόψεις έκτοτε.

[Nickname]

Δεν είναι λάθος να γράφεις δικές σου αποδείξεις. Μάλιστα εμάς μας έλεγαν στο φροντιστήριο ό,τι αν δε θυμόμαστε μια απόδειξη να το αντιμετωπίζουμε ως άσκηση και να τη λύνουμε με το δικό μας τρόπο. Ωστόσο, είναι αρκετά δύσκολο να γράψεις κάτι δικό οσυ χωρίς να έχει κανένα λάθος...

 

Σημείωση: Το μήνυμα αυτό γράφτηκε 15 χρόνια πριν. Ο συντάκτης του πιθανόν να έχει αλλάξει απόψεις έκτοτε.

[Manthak47]

Μια χαρά απόδειξη είναι, πιο ωραία μη σου πω :no1:. Γιατί πρέπει να το πάρει λάθος δλδ; Η άσκηση λέει "να αποδείξετε" και το απέδειξες. Δε λέει πουθενά "γράψτε τον τρόπο απόδειξης του βιβλίου σας".

 

Σημείωση: Το μήνυμα αυτό γράφτηκε 15 χρόνια πριν. Ο συντάκτης του πιθανόν να έχει αλλάξει απόψεις έκτοτε.