Βοήθεια/Απορίες στην Άλγεβρα

Ναυσικά · 25-10-08

Αρχική Δημοσίευση από mostel:
Θέμα προετοιμασίας για όσους δώσουν μαθηματική εταιρία...

Άσκηση by me:

Αν $a,b,c>0$ και ισχύει:

$a+b+c=3$ ,

Να δειχθεί ότι:

$frac{1}{a}+frac{1}{b}+frac{1}{c}geq 3$

υποδειξουλα γιοκ?

mostel · 26-10-08

Η υπόδειξη δόθηκε από τον lostg..! Αν θες ανάτρεξε λίγο στα προηγούμενα ποστς για να τη δεις !

Στέλιος

djimmakos · 26-10-08

Αρχική Δημοσίευση από mostel:
Η υπόδειξη δόθηκε από τον lostg..! Αν θες ανάτρεξε λίγο στα προηγούμενα ποστς για να τη δεις !

Στέλιος

Μάλλον έχουν ανανεώσει τη σελίδα και το λινκ αυτό σε βγάζει σε μια σελίδα με τις βασικές ταυτότητες στο R

Ναυσικά · 26-10-08

Αρχική Δημοσίευση από djimmakos:
Μάλλον έχουν ανανεώσει τη σελίδα και το λινκ αυτό σε βγάζει σε μια σελίδα με τις βασικές ταυτότητες στο R

και εκτος αυτου αν πατησεις το λινκ με τις ανισωσεις cauchy στο τέλος σου βγάζει error 404 http page not found για κάποιο λόγο.....

djimmakos · 26-10-08

Αφού μας δίνει ότι a,b,c θετικοί, πρέπει να πολλαπλασιάσουμε και τα 2 μέλη με το abc για να πασαλοίψουμε τις παρονομαστές όπως λέει και ο καθηγητής μου.:p

Τώρα από τι σχέση a+b+c=3 πρέπει να λύσουμε ως προς έναν άγνωστο και να το κάνουμε αντικατάσταση μέσα στην ανίσωση και λογικά πρέπει να καταλήξουμε σε μια ανισοταυτότητα που να ισχύει...

Αλλά δεν

lostG · 26-10-08

Αρχική Δημοσίευση από Ναυσικά:
και εκτος αυτου αν πατησεις το λινκ με τις ανισωσεις cauchy στο τέλος σου βγάζει error 404 http page not found για κάποιο λόγο.....

Όχι Ναυσικά.Οι σύνδεσμοι είναι ενεργοί.Χρησιμοποίησε Internet Explorer καί όχι κάποιον άλλον browser.
Να κάνουμε κάτι άλλο τότε.Να τις αποθηκεύσουμε καί να τις ανεβάσουμε σαν αρχεία έτοιμα γιά κατέβασμα.

Ναυσικά · 26-10-08

Αρχική Δημοσίευση από lostG:
Όχι Ναυσικά.Οι σύνδεσμοι είναι ενεργοί.Χρησιμοποίησε Internet Explorer καί όχι κάποιον άλλον browser.
Να κάνουμε κάτι άλλο τότε.Να τις αποθηκεύσουμε καί να τις ανεβάσουμε σαν αρχεία έτοιμα γιά κατέβασμα.

γτ δλδ με firefox δεν ανοίγει???αααα δν μας τα λεει καλα ο browserakos και θα τον απολύσω μου φαίνεται.....

lostG · 26-10-08

Αρχική Δημοσίευση από Ναυσικά:
γτ δλδ με firefox δεν ανοίγει???αααα δν μας τα λεει καλα ο browserakos και θα τον απολύσω μου φαίνεται.....

Όχι μιά χαρά είναι η αλεπού αλλά τα αρχεία απ΄ότι θυμάμαι όταν γράφτηκαν δούλευαν με τον ΙΕ ενώ με την αλεπού της τότε εποχής(Φεβρουάριος 2007) δεν λειτουργούσαν.Όμως τώρα πού τα ανοίγω εδώ δουλεύουν με όλους τούς browsers ακόμη καί με τον τελευταίο Opera πού τον έχω σε portable έκδοση στο memory stick.Τελικά δεν σού ανοίγουν οι σελίδες?
Πολλές φορές παίζει ρόλο καί ποιά έκδοση Java χρησιμοποιεί ο browser ώστε νε εμφανίζει σωστά τις σελίδες.

djimmakos · 26-10-08

Mπορείτε λίγο να εξηγήσετε την ανισότητα; Γιατί αν δεν την καταλάβω δεν πρόκειται να τη μάθω

Ναυσικά · 26-10-08

εγω το ξεκίνησα έτσι ώστε στον παρονομαστη να χω α+β+γ αλλα τίποτα.....μετα προσπάθησα απαλοιφή......τωρα ψαχνω τη σύνδεση με την ανισότητα cauchy που θα μ παει η ρημαδοασκηση μια 2 τρεις θα τη λύσω τη χαζή!όχι που θα μου βγει κι από πάνω....

(πλάκα πλάκα παίζει να πρέπει να υψώσω και στο τετράγωνο για να κάνω τη ρίζα..... :hmm:

)

djimmakos · 26-10-08

Αρχική Δημοσίευση από Ναυσικά:
εγω το ξεκίνησα έτσι ώστε στον παρονομαστη να χω α+β+γ αλλα τίποτα.....μετα προσπάθησα απαλοιφή......τωρα ψαχνω τη σύνδεση με την ανισότητα cauchy που θα μ παει η ρημαδοασκηση μια 2 τρεις θα τη λύσω τη χαζή!όχι που θα μου βγει κι από πάνω....
(πλάκα πλάκα παίζει να πρέπει να υψώσω και στο τετράγωνο για να κάνω τη ρίζα.....)

Εδώ εμείς λέμε να ξεφύγουμε από τη ρίζα, εσύ τι τι θες; :p

mostel · 26-10-08

Θα δώσω μια λύση χωρίς την ανισότητα Cauchy.

Θέλουμε να δείξουμε ότι:

$\frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c}\geq 3$

$\frac{ab+bc+ca}{abc}\geq 3$

$ab+bc+ca\geq 3abc$ (1)

'Ομως ισχύει:

$(a+b+c)^2\geq 3(ab+bc+ca)$

Αυτό γιατί:

$(a+b+c)^2 = a^2+b^2+c^2 +2ab + 2bc + 2ca$

΄΅Ετσι:

$(a+b+c)^2 -3(ab+bc+ca)= a^2+b^2+c^2-ab -bc-ca=\frac{1}{2}\left[2a^2 +2b^2 +2c^2 -2ab-2bc-2ca\right]=\frac{1}{2}\left[a^2-2ab+b^2 + b^2-2bc+c^2 +c^2-2ca+a^2\right]=\frac{1}{2}\left[(a-b)^2+(b-c)^2+(c-a)^2\right]$

Άρα:

$(a+b+c)^2\geq 3(ab+bc+ca)$

$ab+bc+ca\leq \frac{(a+b+c)^2}{3}=\frac{3^2}{3}=3$

Άρα:

$ab+bc+ca\leq 3$ .

Επομένως αρχικά ζητούσαμε να δειχθεί ότι (1):

$ab+bc+ca\geq 3abc$

Τώρα, αρκεί να δείξουμε ότι:

$3\geq 3abc$

$1\geq abc$

ή $abc\leq 1$

Αφού ισχύει όμως:

$a+b+c=3$

θα ισχύει και:

$\left(\sqrt[3]{a^3}\right)^3+\left(\sqrt[3]{b^3}\right)^3+\left(\sqrt[3]{c^3}\right)^3=3$

Δηλαδή, αν θέσουμε $\sqrt[3]{a}=x$ , $\sqrt[3]{b}=y$ , $\sqrt[3]{c}=z$ , θα έχουμε πως:

$x^3+y^3+z^3=3$

Όμως από την ταυτότητα του Euler (βιβλίο πρώτης λυκείου), έχουμε ότι:

$x^3+y^3+z^3-3xyz=\frac{1}{2}(x+y+z)\left[(x-y)^2+(y-z)^2+(z-y)^2\right]$

Επειδή $x+y+z\geq 0$ , και γενικά το δεύτερο μέλος μεγαλύτερο ή ίσο του μηδενός, το ίδιο θα ισχύει και για το πρώτο. Δηλαδή:

$x^3+y^3+z^3 -3xyz\geq 0$

$x^3+y^3+z^3\geq 3xyz$

Και αν ξανακάνουμε την αντικατάσταση:

$a+b+c\geq 3\sqrt[3]{abc}$

$3\geq 3\sqrt[3]{abc}$

$\sqrt[3]{abc}\leq 1$

$abc\leq 1$

Άρα η ανίσωση έχει αποδειχθεί.

Στέλιος

djimmakos · 26-10-08

Τις ταυτότητες τις ξέρω....

Τώρα για να την έλυνα...μπα

Hurr · 26-10-08

Αρχική Δημοσίευση από djimmakos:
Τις ταυτότητες τις ξέρω....

Τώρα για να την έλυνα...μπα

Φυσιολογικο ειναι μην ανησυχεις. Εξασκηση θελει
Και με μερικες γνωστες ανισοτητες θα σου βγαινουν ευκολα τετοιες ασκησεις

djimmakos · 26-10-08

Αρχική Δημοσίευση από Hurr:
Φυσιολογικο ειναι μην ανησυχεις. Εξασκηση θελει
Και με μερικες γνωστες ανισοτητες θα σου βγαινουν ευκολα τετοιες ασκησεις

Εγώ ο καημένος προσπαθούσα να φτάσω σε κάποια ανισοταυτότητα τύπου

$(a-b)^2\geq 0$ :'(

Tελικά με την ανισοτητα του cachy ηταν πιο ευκολη

Ευχαριστώ lostG :thanks:

Hurr · 26-10-08

Αρχική Δημοσίευση από djimmakos:
Εγώ ο καημένος προσπαθούσα να φτάσω σε κάποια ανισοταυτότητα τύπου

$(a-b)^2geq 0$

Για περιπλοκες ασκησεις δεν ειναι παντα τοσο ευκολο αυτο

kvgreco · 26-10-08

Αρχική Δημοσίευση από mostel:
Άρα:

.

Επομένως αρχικά ζητούσαμε να δειχθεί ότι (1):

Τώρα, αρκεί να δείξουμε ότι:

ή

mostel πώς προκύπτουν ισοδύμναμα δηλαδή ότι αν x+y+z<=10 και εγώ θέλω να δείξω ότι x+y+z>=k λες να πάρω 10>=k .Δεν νομίζω πως στέκει κάτι τέτοιο.Γιά δες το καλύτερα.Πως γίνεται?
Βάλε κ=6 όμως μπορεί το άθροισμα να ισούται με 5 γιά παράδειγμα οπότε δεν ισχύουν.

djimmakos · 26-10-08

Για να δω λίγο αν κατάλαβα τη λυση με την ανισότητα:

Θέτουμε:

n = 3
α1=α
α2=b
α3= c

Παίρνωντας από την ανισότητα του Cachy το παρακάτω κομμάτι:

$\frac{{a}_{1}+{a}_{2}+{a}_{3}}{n} \geq \frac{n}{\frac{1}{{a}_{1}}+\frac{1}{{a}_{2}}+\frac{1}{{a}_{3}}}<br />$

έχουμε:

$<br /> \frac{a+b+c}{3} \geq \frac{n}{\frac{1}{{a}}+\frac{1}{{b}}+\frac{1}{{c}}}$
$\frac{3}{3} \geq \frac{3}{\frac{1}{{a}}+\frac{1}{{b}}+\frac{1}{{c}}}$

$1\geq \frac{3}{\frac{1}{{a}}+\frac{1}{{b}}+\frac{1}{{c}}}$

και κάνοντας χιαστί παίρνουμε το ζητούμενο

mostel · 26-10-08

Αρχική Δημοσίευση από kvgreco:
mostel πώς προκύπτουν ισοδύμναμα δηλαδή ότι αν x+y+z<=10 και εγώ θέλω να δείξω ότι x+y+z>=k λες να πάρω 10>=k .Δεν νομίζω πως στέκει κάτι τέτοιο.Γιά δες το καλύτερα.Πως γίνεται?
Βάλε κ=6 όμως μπορεί το άθροισμα να ισούται με 5 γιά παράδειγμα οπότε δεν ισχύουν.

Εχεις δικαιο σε υατο που λες, μου εφυγε. Αν αφήσεις το τελευταίο κομμάτι όμως και πάρεις το τελευταίο πόρισμα (δηλαδή απ' το abc\leq 1 και τη συνεχίσεις, βγαίνει κανονικά)

Iliaso · 26-10-08

θα σκισουμε στη μαθηματικη :whatever:

Βοήθεια/Απορίες στην Άλγεβρα

Δραστήριο μέλος

Πολύ δραστήριο μέλος

Διάσημο μέλος

Δραστήριο μέλος

Διάσημο μέλος

Εκκολαπτόμενο μέλος

Δραστήριο μέλος

Εκκολαπτόμενο μέλος

Διάσημο μέλος

Δραστήριο μέλος

Διάσημο μέλος

Πολύ δραστήριο μέλος

Διάσημο μέλος

Εκκολαπτόμενο μέλος

Διάσημο μέλος

Εκκολαπτόμενο μέλος

Εκκολαπτόμενο μέλος

Διάσημο μέλος

Πολύ δραστήριο μέλος

Περιβόητο μέλος