Φυσική: Το παράδοξο του ελαιοχρωματιστή

amalfi · 23 Ιουνίου 2010

ενα προβλημα για μικρους και μεγαλους μαθητες

καλη διασκεδαση!

(ελπιζω να μην εκανα κατι λαθος :hello:

)

(ενστασεις για το προβλημα απο μεγαλους, παρακαλω πρωτα σε πμ)

SuXu-MuXu · 23-06-10

Πιστεύω ότι το πρόβλημα βρίσκεται στο δεύτερο συλλογισμό και πιο συγκεκριμένα στο "βύθισμα". Εφόσον η επιφάνεια είναι αποτελείται από άπειρα ορθογώνια τότε θα έχει και άπειρο μήκος. Έτσι, το βύθισμα του επιπέδου δεν θα τελείωνε ποτέ και και η επιφάνεια δεν θα μπορούσε να βαφτεί ολοκληρωτικά. :hmm:

amalfi · 23 Ιουνίου 2010

καλη πρωτη σκεψη!

(θα αποφυγω να παρεμβω - πειτε τα μεταξυ σας - και περσι σ' ενα αλλο προβλημα το ιδιο ειχα πει αλλα δεν το τηρησα :worry:

- προσπαθηστε να σημαδεψετε το παραδοξο οσο πιο κεντρικα μπορειτε (την "καρδια" της λογικης του) ...αντε να παρει φωτια η συζητηση :bounce:

)

[βλεπω στα προηγουμενα μηνυματα σου προτεινες σε καποιον το QUANTUM (τι συμπτωση!)
ειναι απο το τριτο τευχος του 1997 (το αφηνει ετσι, δε δινει καπου τη λυση στους αναγνωστες)
..το προβλημα αυτο εχει μεγαλυτερο βαθος! προχωρα κι αλλο :hello:

]

13diagoras · 10-07-10

Γεια σας!!Αν και καθιστερημενα απαντω.Συμφωνω με τον suxu-muxu,αν απο τη στιγμη που μας λεει οτι το μηκος ειναι απειρο,πως προκυπτε το στερεο να εχει συγκεκριμενο"τελειωμα"??Η δεχομαστε το απειρο αθροισμα αριθμητικης περιοδου να τεινει σε εναν αριθμο,η οχι.Πιστευω εν τελει πως το παραδοξω στηριζεται σε αυτο που ειπα,δηλαδη οτι στον δευτερο ισχυρισμο γινεται εφαρμογη του οριου ,στον αρχικο οχι.
Βασικα τωρα που το ξανασκεφτομαι,θυμιζει το παραδοξο του αρχιμηδη... :hmm:

Civilara · 24 Ιουλίου 2010

Θεωρούμε την εξής σύμβαση: Με ${\alpha }_{n}$ συμβολίζουμε την τιμή του μεγέθους α που αφορά την n-οστή επιφάνεια και με ${A}_{n}$ συμβολίζουμε το άθροισμα ${A}_{n}={\alpha }_{1}+{\alpha }_{2}+...+{\alpha }_{n}$

Για τη n-οστή επιφάνεια γνωρίζουμε ότι ${s}_{n}=1$ και ${v}_{n}=\frac{{2}^{n-1}}{\pi }$ . Συνεπώς προκύπτει ${S}_{n}=n$ και ${V}_{n}=2\pi \left(1-{2}^{-n} \right)$ .

Παρατηρούμε ότι $\lim_{n\rightarrow \propto }{S}_{n}=\lim_{n\rightarrow \propto }n=+\propto$ και $\lim_{n\rightarrow \propto }{V}_{n}=\lim_{n\rightarrow \propto }2\pi \left(1-{2}^{-n} \right)=2\pi$ , δηλαδή καθώς ο αριθμός n των ορθογωνίων παραλληλογράμμων τείνει στο άπειρο, το συνολικό εμβαδόν της επιφάνειας τείνει στο άπειρο ενώ ο συνολικός όγκος του σχηματιζόμενου στερεού εκ περιστροφής τείνει στο 2π που είναι πεπερασμένο.

Όταν βάφουμε έναν τοίχο επιφάνειας S και h είναι το πάχος της στρώσης της μπογιάς στον τοίχο, τότε ο όγκος V της μπογιάς που χρησιμοποιήθηκε για να βάψουμε τον τοίχο δίνεται από την σχέση V=Sh και η ποσότητα-μάζα της από τη σχέση m=ρV=ρSh όπου ρ η πυκνότητα της μπογιάς (πάντα θετικός αριθμός) η οποία θεωρείται ομογενής ουσία (ρ=σταθερό). Συνεπώς ισχύει h=V/S.

Αν ${h}_{n}$ είναι το πάχος της στρώσης της μπογιάς που χρησιμοποιηθήκε για να βαφτούν οι n πρώτες επιφάνειες, τότε ισχύει:

${h}_{n}=\frac{{V}_{n}}{{S}_{n}}=2\pi \frac{1-{2}^{-n}}{n}$

Όταν ο αριθμός n των ορθογωνίων τείνει στο άπειρο τότε παρατηρούμε ότι:

$\lim_{n\rightarrow \propto }{h}_{n}=\lim_{n\rightarrow \propto }\left( 2\pi \frac{1-{2}^{-n}}{n}\right)=0$

αφού $\lim_{n\rightarrow \propto }\left( 1-{2}^{-n}\right)=1$ και $\lim_{n\rightarrow \propto } \frac{1}{n}=0$ .

Από τις σχέσεις V=Sh και m=ρSh προκύπτει ότι ο όγκος και η μάζα της μπογιάς που θα χρησιμοποιηθεί είναι ανάλογα της επιφάνειας S της επιφάνειας του τοίχου που θα βαφτεί εφόσον το πάχος της στρώσης h της μπογιάς είναι πεπερασμένο (δηλαδή οποιοσδήποτε θετικός αριθμός) και σταθερό σε όλη την επιφάνεια.

Στη συγκεκριμένη περίπτωση το πάχος της στρώσης της μπογιάς στον τοίχο τείνει στο 0.

Συνοψίζοντας, όταν ο αριθμός n των ορθογωνίων τείνει στο άπειρο τότε το εμβαδόν της συνολικής επιφάνειας του τοίχου τείνει στο άπειρο, ο συνολικός όγκος του σχηματιζόμενου στερεού εκ περιστροφής τείνει στο 2π και το πάχος της στρώσης της μπογιάς στον τοίχο τείνει στο 0 (φυσικά από θετικές τιμές τείνει στο 0 καθώς δεν μπορεί να πάρει αρνητική τιμή).

Συνεπώς το λάθος βρίσκεται στον πρώτο συλλογισμό σύμφωνα με τον οποίο η ποσότητα του χρώματος που χρειαζόμαστε για να βάψουμε τον τοίχο είναι ανάλογη της επιφάνειας του. Αυτό ισχύει όταν το πάχος της στρώσης της μπογιάς στον τοίχο είναι πεπερασμένο ενώ στη συγκεκριμένη περίπτωση τείνει στο 0 (δηλαδή γίνεται απειροστό και δεν είναι πλέον πεπερασμένο). Ο 2ος συλλογισμός σύμφωνα με τον οποίο τα 2π κυβικά εκατοστά μπογιάς επαρκούν για να βάψουμε τον τοίχο (και από τις 2 πλευρές, δεν αλλάζει κάτι) με τα άπειρα ορθογώνια είναι σωστός.

akiroskirios · 24-07-10

εσύ αγόρι μ αδικείσαι...ελαιοχρωματιστής έπρεπε να γινόσουν..

ΥΓ: απλά έκανες την απόλυτη ανάλυση...σέβας

Civilara · 24 Ιουλίου 2010

Αρχική Δημοσίευση από akiroskirios:
εσύ αγόρι μ αδικείσαι...ελαιοχρωματιστής έπρεπε να γινόσουν..

ΥΓ: απλά έκανες την απόλυτη ανάλυση...σέβας

Έχω κάνει τον ελαιοχρωματιστή στο Λουτράκι, δεν φαντάζεσαι πόσες φορές. Πιο πολύ έπιανα μπατανόβουρτσα και κουβά με μπογιά παρά το G3A3. Τότε ελαιοχρωμάτιζα στο στρατόπεδο, τώρα την ελαιοχρωμάτισα (δηλαδή την έβαψα

).

13diagoras · 24-07-10

civilara+1(Mε τον Αρχιμηδη δεν εχει να κανει καθολου?)
Το θέμα αυτό γιατί μπήκε στην α'λυκείου? :worry:

Φυσική: Το παράδοξο του ελαιοχρωματιστή

amalfi

Δραστήριο μέλος

SuXu-MuXu

Εκκολαπτόμενο μέλος

amalfi

Δραστήριο μέλος

13diagoras

Δραστήριο μέλος

Civilara

Περιβόητο μέλος

akiroskirios

Δραστήριο μέλος

Civilara

Περιβόητο μέλος

13diagoras

Δραστήριο μέλος

Χρήστες Βρείτε παρόμοια

Λοιπές Σελίδες