Συλλογή ασκήσεων στην Άλγεβρα

Guest 018946 · 30 Δεκεμβρίου 2011

Αρχική Δημοσίευση από vimaproto:
Ετσι πιστεύω. Στις περιοχές του λ (στην περίπτωσή μας είναι 5) εξετάζω και τα όρια αυτών. -2, -1, +1, +2

για γραψε αναλυτικα τις περιπτωσεις .

Αρχική Δημοσίευση από styt_geia:
1) Να δειχθεί ότι $\sqrt[3]{\sqrt[3]{2}-1}=\sqrt[3]{\frac{1}{9}}-\sqrt[3]{\frac{2}{9}}+\sqrt[3]{\frac{4}{9}}$

$(\frac{2-1}{\sqrt[3]{3^2}(\sqrt[3]{2}+1)})^3=\sqrt[3]{2}-1 \Leftrightarrow 27=3(\sqrt[3]{2}-1)(1+\sqrt[3]{2^2}+\sqrt[3]{2}) \Leftrightarrow 1=(2-1) \Leftrightarrow 0=0$ Παλουκαρα θελει πολυ ματι και αν δεν εχεις κανει πολλες προσπαθειες και γενικοτερα εξασκηση στην συζυγωση ριζικων τριτης ταξης δεν βγαινει που να χτυπας τον κωλο σου κατω.

vimaproto · 24-12-11

Αρχική Δημοσίευση από dr.tasos:
για γραψε αναλυτικα τις περιπτωσεις .

Οπως την έλυσες θα την έλυνα αλλά στην περίπτωση
{για

ταυτοτητα } θα εξέταζα χωριστά τα όρια

Guest 018946 · 30 Δεκεμβρίου 2011

Αρχική Δημοσίευση από minos_94:
συνεχίζοντας...
να βρεθούν οι πραγματικοί a για τους οποίους η συνάρτηση $f(x)=\sqrt{(a-2)x^{2}-2ax+2a-3}$ ορίζεται για κάθε πραγματικό αριθμό.

Βαζω λυση στην ασκηση του Μηνά ( η οποια λυση δεν ξερω αν ειναι σωστη μιας και δεν τα χω διδαχθει ) Θελουμε να διωξουμε την ριζα για να οριζετε για $\forall x \in \mathbb{R}$ αρα θελουμε μεσα να ειναι τελειο τετραγωνο αρα
$\Delta=0$ βγαζω την διακρινουσα και απαιτω να ειναι ιση με μηδεν ετσι εχω μετα απο λιγο πραξολοι που δεν εχει νοημα να το γραψω $0=a^2-7a+6$ αρα αρκει να βρω τις ριζες αυτου του τριωνυμου ( δηλαδη εκει που μηδενιζει η διακρινουσα της υποριζης ποσοτητας) του βγαζω μια διακρινουσα στα γρηγορα και βλεπω εχει δυο ριζες τις $a_{1}=1 , \\ a_{2}=6$ η πρωτη αποριπτεται γιατι αμα αντικαταστασησω προκυπτει ατοπο ( γιατι ; ? ας απαντησει ο Κωστας ή o vimaproto ) και κραταω μονο το $a=6$ Αυτο που μου εκανε εντυπωση ειναι γιατι να καταληγω σε ατοπο για το $a_{1}$ αφου μια χαρα την μηδενιζει την Διακρινουσα .

Αρχική Δημοσίευση από wfgl:
Αν $a,b,c,d$ τυχαίοι πραγματικοί αριθμοί
Νδο : ${a}^{4}+{b}^{4}+{c}^{4}+{d}^{4}>=4abcd$

Καθως εβλεπα το τοπικ ειδα και το μηνυμα του παπα που ελεγε για την βασικη ανισοτητα λοιπον εχω
$a^4+b^4 \geq 2a^2b^2 \\ \wedge \\ c^4+d^4 \geq 2c^2d^2$ προσθετω κατα μελη και εχω :
$a^4+b^4+c^4+d^4 \geq 2a^2b^2+2c^2d^2$ αρα αρκει να δειξω οτι
$2a^2b^2+2a^2b^2 \geq 4abcd \Leftrightarrow (ab-cd)^2 \geq 0$ αρα λογω μεταβατικης το ζητουμενο απεδειχθη.

vimaproto · 25-12-11

Αρχική Δημοσίευση από dr.tasos:
Βαζω λυση στην ασκηση του Μηνά ( η οποια λυση δεν ξερω αν ειναι σωστη μιας και δεν τα χω διδαχθει ) Θελουμε να διωξουμε την ριζα για να οριζετε για $\forall x \in \mathbb{R}$ αρα θελουμε μεσα να ειναι τελειο τετραγωνο αρα
$\Delta=0$ βγαζω την διακρινουσα και απαιτω να ειναι ιση με μηδεν ετσι εχω μετα απο λιγο πραξολοι που δεν εχει νοημα να το γραψω $0=a^2-7a+6$ αρα αρκει να βρω τις ριζες αυτου του τριωνυμου ( δηλαδη εκει που μηδενιζει η διακρινουσα της υποριζης ποσοτητας) του βγαζω μια διακρινουσα στα γρηγορα και βλεπω εχει δυο ριζες τις $a_{1}=1 , \\ a_{2}=6$ η πρωτη αποριπτεται γιατι αμα αντικαταστασησω προκυπτει ατοπο ( γιατι ; ? ας απαντησει ο Κωστας ή o vimaproto ) και κραταω μονο το $a=6$ Αυτο που μου εκανε εντυπωση ειναι γιατι να καταληγω σε ατοπο για το $a_{1}$ αφου μια χαρα την μηδενιζει την Διακρινουσα .

Τάσο ΧΡΟΝΙΑ ΠΟΛΛΑ
Η θεωρία των τριωνύμων λέει ότι το τριώνυμο είναι πάντοτε ομόσημο το συντελεστή του χ² όταν η διακρίνουσα είναι αρνητική ή μηδέν. Ο συντελεστής του χ² εδώ μεταβάλλεται. Εμείς όμως θέλουμε να είναι θετικός. Ετσι έχουμε να συναληθεύσουμε τις

και

. Θα κάνεις τις πράξεις και θα βρεις

Guest 018946 · 26-12-11

Παρτε και μια απο μενα :
Να βρειτε τους αριθμους $x ,y$ για τους οποιους ισχυει οτι :
$\frac{x+y}{2}=\sqrt{x-1}+\sqrt{y-1}$

εχω μια λυση με θεσιμο αλλα θα θελα να δω κατι πιο απλο πιο ωραιο κατι με καπως λιγοτερη δουλεια

antwwwnis · 26-12-11

Αρχική Δημοσίευση από dr.tasos:
Παρτε και μια απο μενα :
Να βρειτε τους αριθμους $x ,y$ για τους οποιους ισχυει οτι :
$\frac{x+y}{2}=\sqrt{x-1}+\sqrt{y-1}$

εχω μια λυση με θεσιμο αλλα θα θελα να δω κατι πιο απλο πιο ωραιο κατι με καπως λιγοτερη δουλεια

θέτοντας όπου χ το α+1 κι όπου ψ το β+1 προκύπτει μετά τις πράξεις ένα ΄άθροισμα τετραγώνων...

Guest 018946 · 26-12-11

Αρχική Δημοσίευση από antwwwnis:
θέτοντας όπου χ το α+1 κι όπου ψ το β+1 προκύπτει μετά τις πράξεις ένα ΄άθροισμα τετραγώνων...

εγω σκεφτηκα το αλλο $t^2=x-1 , z^2=y-1$

g1wrg0s · 26-12-11

Αρχική Δημοσίευση από dr.tasos:
Παρτε και μια απο μενα :
Να βρειτε τους αριθμους $x ,y$ για τους οποιους ισχυει οτι :
$\frac{x+y}{2}=\sqrt{x-1}+\sqrt{y-1}$

εχω μια λυση με θεσιμο αλλα θα θελα να δω κατι πιο απλο πιο ωραιο κατι με καπως λιγοτερη δουλεια

$\frac{x+y}{2}=\sqrt{x-1}+\sqrt{y-1} => x-2*\sqrt{x-1}=-(y-2*\sqrt{y-1}) => {(\sqrt{x-1}-1)}^{2}=-{(\sqrt{y-1}-1)}^{2} => {(\sqrt{x-1}-1)}^{2} + {(\sqrt{y-1}-1)}^{2} =0 => x = y =2$

Guest 018946 · 26-12-11

Αρχική Δημοσίευση από g1wrg0s:
$\frac{x+y}{2}=\sqrt{x-1}+\sqrt{y-1} => x-2*\sqrt{x-1}=-(y-2*\sqrt{y-1}) => {(\sqrt{x-1}-1)}^{2}=-{(\sqrt{y-1}-1)}^{2} => {(\sqrt{x-1}-1)}^{2} + {(\sqrt{y-1}-1)}^{2} =0 => x = y =2$

Κομψοτατη .

antwwwnis · 26-12-11

Την ίδια λύση δώσαμε και οι τρεις, το να θέτουμε σε αυτές τις περιπτώσεις προσφέρει μόνο την οπτική διευκόλυνση.

Guest 018946 · 26-12-11

Αρχική Δημοσίευση από antwwwnis:
Την ίδια λύση δώσαμε και οι τρεις, το να θέτουμε σε αυτές τις περιπτώσεις προσφέρει μόνο την οπτική διευκόλυνση.

Με την υλη την δικια σας βγανει ( μπολζανα , ρολια και τετοιες ιστοριες ) ?

C.J.S. · 27-12-11

Mηπως μπορει να μου πει καποιος τον τροπο να λυσω τις παρακατω παραμετρικες εξισωσεις???
λ^2 (x-3)=λx-3
(λ+5)(λ-3)x=λ-3
λ^2x+3=3x+λ
λ^2x+1=λ(x+1)

rebel · 27 Δεκεμβρίου 2011

Να βρεθεί η ελάχιστη τιμή της παράστασης $A=|x+1|+|x+2|+ \cdots +|x+99|$ . Κάτι σαν υπόδειξη:

Δείτε τι γίνεται πρώτα για μικρότερα νούμερα. Π.χ. για $A=|x+1|+|x+2|+|x+3|+|x+4|+|x+5|$

https://operedidixe.gr .

Αρχική Δημοσίευση από C.J.S.:
Mηπως μπορει να μου πει καποιος τον τροπο να λυσω τις παρακατω παραμετρικες εξισωσεις???
λ^2 (x-3)=λx-3
(λ+5)(λ-3)x=λ-3
λ^2x+3=3x+λ
λ^2x+1=λ(x+1)

Πρώτη σου δουλειά είναι να φέρεις την εξίσωση στην μορφή αχ=-β(*). Από κει και πέρα διακρίνεις περιπτώσεις σύμφωνα με τον οδηγό στην σελίδα 79 του σχολικού (Μετά την φράση "διακρίνουμε τώρα τις περιπτώσεις..."). Έχει και παράδειγμα λύσης παραμετρικής εξίσωσης στην σελίδα 80. Θα κάνω το πρώτο και τα υπόλοιπα τα αφήνω για να προσπαθήσεις μόνος σου(συνίσταται).

$\lambda^2(x-3)=\lambda x -3 \Leftrightarrow (\lambda^2-\lambda)x=3\lambda^2-3 \Leftrightarrow \lambda(\lambda-1)x=3(\lambda-1)(\lambda+1)$

Φέραμε την εξίσωση στην μορφή (*) με $a= \lambda(\lambda-1),\, -\beta=3(\lambda-1)(\lambda+1)$ . Έχουμε επομένως τις εξής περιπτώσεις.

Αν $a \neq 0$ δηλαδή $\lambda \neq 0$ και $\lambda \neq 1$ τότε η εξίσωση έχει μοναδική λύση την $x=\frac{3(\lambda-1)(\lambda+1)}{\lambda(\lambda-1)}=\frac{3(\lambda+1)}{\lambda}$ . Κοιτάζουμε τώρα τι γίνεται για τις τιμές του λ για τις οποίες μηδενίζεται το α. Έτσι:

Αν $\lambda=0$ τότε η εξίσωση γίνεται $0x=-3$ , αδύνατη
Αν $\lambda=1$ τότε η εξίσωση γίνεται $0x=0$ και είναι ταυτότητα

Ελπίζω να βοήθησα.

C.J.S. · 27-12-11

Eυχαριστώ πάρα πολύ!!!!!Τις υπόλοιπες θα τις κάνω μόνος μου και αν κολλήσω κάπου θα ξαναπώ!Ευχαριστωω!!!! ;-)

Guest 018946 · 27-12-11

Αρχική Δημοσίευση από styt_geia:
2) Άν $\frac{x}{a}=\frac{y}{b}=\frac{z}{c}=\frac{w}{d}$ , να δειχθεί ότι $\sqrt{ax}+\sqrt{by}+\sqrt{cz}+\sqrt{wd}=\sqrt{(a+b+c+d)(x+y+z+w)}$ (Όλοι οι αριθμοί είναι θετικοί)

Λυση απο το μελος : akis15 .
$\frac{x}{a}=\frac{y}{b}=\frac{z}{c}=\frac{w}{d}=\lambda$
αποδω έχω $\lambda a=x , \lambda b=y , \lambda c= z , \lambda d=w$
προσθετω κατα μελη και εχω $\lambda (a+b+c+d)=x+y+z+w$ αντικαθιστω στην σχεση και εχω $\sqrt{\lambda}(a+b+c+d)=\sqrt{\lambda}(a+b+c+d)$ που ισχύει.

vimaproto · 27-12-11

Ονομάζω την πρώτη ρίζα ω και τη δεύτερη φ. Τότε χ=ω²+1, y=φ²+1 και η εξίσωση γίνεται (ω²+φ²+2)/2=ω+φ ==> ω²-2ω+1+φ²-2φ+1=0 ==> (ω-1)²+(φ-1)²=0 ==> ω=1 και φ=1 ή χ=2 και y=2

Muxu Su · 27-12-11

Αρχική Δημοσίευση από styt_geia:
Να βρεθεί η ελάχιστη τιμή της παράστασης $A=|x+1|+|x+2|+ \cdots +|x+99|$ .

έχω την εντύπωση οτι σε τέτοιο στύλ μπαινουν στους διαγωνισμόυς της ΕΜΕ..

vimaproto · 27 Δεκεμβρίου 2011

Για την Α=|χ+1|+|χ+2|+ .....+ |χ+99| στηρίζομαι στην

Παίρνοντας πρώτο τελευταίο μαζί, επίσης δεύτερο και προ τελευταίο κλπ- βρίσκουμε τις ελάχιστες τιμές των ζευγών που είναι 98, 96, κλπ και το μεσαίο

. Στη συνέχεια άθροισμα αριθμητικής προόδου και Αελαχ=2450
Δηλ

.....................................................
....................................................

Προσθέτω

rebel · 28-12-11

Ίδιο σκεπτικό.
$\begin{matrix}|x+1|+|x+51| \geq |x+1-x-51|=50 \\ |x+2|+|x+52| \geq |x+2-x-52|=50 \\ \vdots \\ |x+49|+|x+99| \geq |x+49-x-99| = 50 \\ |x+50| \geq 0 \end{matrix}$
προσθέτοντας κατά μέλη παίρνουμε
$A \geq 49\cdot 50=2450$
με την ισότητα να πετυχαίνεται για $x=-50$

Guest 018946 · 30 Δεκεμβρίου 2011

Αρχική Δημοσίευση από styt_geia:
7) Αν $a+b|k-1|=0$ και $2a+b|2+k|=0$ με $b\neq 0$ να βρεθεί το k

$|k-1|=\frac{-a}{b} \wedge |k+2|=\frac{-2a}{b}$
απο δω εχω $k=4$ που επαληθευει τις σχεσεις .

Αρχική Δημοσίευση από styt_geia:
Εννοείς ότι ο μαθητής θα σκεφτόταν να υψώσει στο κύβο και να διώξει τους ίσους όρους αλλά δεν θα ήξερε τι να κάνει με την παράσταση
$2abc+a^2c+ac^2+a^2b+ab^2+b^2c+bc^2$
Ναι... αν αυτό την κάνει μη σχολική μάλλον έχεις δίκιο ούτε εγώ θα το έβρισκα. Δεν ξέρω κάποιον άλλο τρόπο πάντως.

Ρε Κωστα τωρα που το βλεπω ειναι ευκολο ( το χω απαντησει χτες στο mathematica σε μια ασκηση ) και παραγοντοποιηειται ευκολα ( καλα εχει λιγο δουλεια με τις ομαδοποιησεις αλλα βγαινει ) .

Συλλογή ασκήσεων στην Άλγεβρα

Guest 018946

Επισκέπτης

Πολύ δραστήριο μέλος

Guest 018946

Επισκέπτης

Πολύ δραστήριο μέλος

Guest 018946

Επισκέπτης

Διάσημο μέλος

Guest 018946

Επισκέπτης

Επιφανές μέλος

Guest 018946

Επισκέπτης

Διάσημο μέλος

Guest 018946

Επισκέπτης

Νεοφερμένο μέλος

Πολύ δραστήριο μέλος

Νεοφερμένο μέλος

Guest 018946

Επισκέπτης

Πολύ δραστήριο μέλος

Διάσημο μέλος

Πολύ δραστήριο μέλος

Πολύ δραστήριο μέλος

Guest 018946

Επισκέπτης