Συλλογή ασκήσεων στην Άλγεβρα

transient · 18-11-11

Ε περιμένω να τη λύσει κάποιος αν βρει λύση , ώστε να προτείνω και γω τη δική μου. Δεν εγγυόμαι ότι η δική μου λύση είναι σωστή (παρόλο που την θεωρώ σωστή), σε βοήθημα την είδα την άσκηση.

Αγγελική!!! · 18-11-11

Κοίτα τη λύση από πίσω!!!

LOL

transient · 18-11-11

Ε ναι ντάξει, γίνεται και αυτό, αλλά στη τελική δεν έχει νόημα

rebel · 18-11-11

Εύκολα βλέπουμε ότι:
$\left\{\begin{matrix} 0\leq |x|< 5 \\ 1 < |y| <10 \end{matrix}\right. \Rightarrow \left\{\begin{matrix} 0\leq x^2< 25 \\ 1 < y^2 <100 \end{matrix}\right. \Rightarrow \boxed{1< x^2+y^2 <125}$

transient · 18 Νοεμβρίου 2011

Ε ναι , μας είπε όμως αυτή πως δεν μπορούμε να χρησιμοποιήσουμε ούτε απόλυτα ούτε κάτι που, ενώ έχουμε κάνει στο γυμνάσιο, δε διδαχθήκαμε στο λύκειο. Το ξέρω πως είναι λίγο χαζο, αλλά τι να κάνουμε... με απλούς κανόνες διάταξης. (δεν έχουμε κάνει απόλυτα ακόμα)

Guest 018946 · 19-11-11

Τελικα με διαταξη και μονο πως γινεται ?

transient · 19-11-11

Δε ξέρω αν η λύση που θα προτείνω είναι σωστή. Δεν την έχουμε ελέγξει την άσκηση ακόμα.

5>χ>-2 (1) =>
5+2>χ+2>-2+2=>
7>χ+2>0 (τώρα όλα είναι θετικά) =>
49>(χ+2)^2 => 49 > χ^2 +4χ + 4 (2)

παίρνεις ξανά την 1 και την γράφεις:
5>χ>-2 => 20>4χ>-8.
Πολλαπλασιάζεις με -1 (αλλαγή φοράς) και έχουμε -20<-4χ<+8 => +8>-4χ>-20 (3)

προσθέτεις την 2 και την 3 κατα μέλη και έχεις:

49>χ^2 +4χ + 4>0 +
+8>-4χ>-20 =>

57> χ^2 +4 > -20 => -57< -χ^2 - 4 < +20 => -53<-χ^2<+24 => 53>χ^2>-24 (4)

παίρνεις την 10>ψ>1 => 100>ψ^2>1 ( 5)

προσθέτεις την (4) με την (5)

53>χ^2>-24
10>ψ^2>1
-------------
63>χ^2+ψ^2>-23=>
0<χ^2+ψ^2<63

μπορεί να χει 10000 λαθη πράξεων, την λογική ήθελα να γράψω.

vimaproto · 20-11-11

Δες και αυτό
1<y<10 =>1<y²<100 (1)
-2<χ<5 η οποία μπορεί να είναι έτσι -2<x<0<5 από την -2<χ<0 => 4>χ²>0 Αρα χ²>0 ή έτσι -2<0<χ<5 οπότε 0<χ<5 => 0<χ²<25 Τελικά 0<χ²<25 (2) Προσθέτω τις (1)+(2) και παίρνω 1<χ²+y²<125
Σημείωση: Τη σχέση που βρήκες την επαληθεύει ο y=9 ?

Guest 018946 · 20-11-11

Αρχική Δημοσίευση από vimaproto:
Δες και αυτό
1<y<10 =>1<y²<100 (1)
-2<χ<5 η οποία μπορεί να είναι έτσι -2<x<0<5 από την -2<χ<0 => 4>χ²>0 Αρα χ²>0 ή έτσι -2<0<χ<5 οπότε 0<χ<5 => 0<χ²<25 Τελικά 0<χ²<25 (2) Προσθέτω τις (1)+(2) και παίρνω 1<χ²+y²<125
Σημείωση: Τη σχέση που βρήκες την επαληθεύει ο y=9 ?

Το κοκκινο δεν νομιζω να ισχυει γιατι λογω υποθεσης το χ μπορει να παρει και την τιμη -1 πχ . Νομιζω το πιο πληρες ειναι αυτο που εγραψε ο Κωστας επισης οταν θα εχω χρονο σημερα θα τσεκαρω την λυση του Luminus .

transient · 20-11-11

Σημείωση: Τη σχέση που βρήκες την επαληθεύει ο y=9 ?

οταν θα εχω χρονο σημερα θα τσεκαρω την λυση του Luminus .

Ξανασημειώνω ότι έχω γράψει τη μεθοδολογία πάνω. Απο βιασύνη κλπ μπορεί να βγήκαν λανθασμένα αριθμητικά αποτελέσματα. Την ιδέα ήθελα να γράψω.

rebel · 20 Νοεμβρίου 2011

Αρχική Δημοσίευση από vimaproto:
-2<χ<5 η οποία μπορεί να είναι έτσι -2<x<0<5 από την -2<χ<0 => 4>χ²>0 Αρα χ²>0 ή έτσι -2<0<χ<5 οπότε 0<χ<5 => 0<χ²<25

Μία σκέψη. Ουσιαστικά αποδεικνύεις τις συνεπαγωγές
$\begin{matrix} -2<x \leq 0 \Rightarrow x^2 \geq 0 \\ 0<x<5 \Rightarrow 0<x^2 < 25\end{matrix}$ .
Δηλαδή βγάζεις άλλη ανισότητα για κάθε διάστημα που ανήκει το χ. Αφού εμείς θέλουμε μία ενιαία ανισότητα δεν θα ήταν καλύτερο να πούμε
$\begin{matrix} -2<x \leq 0 \Rightarrow & -5<-2<x \leq 0 \Rightarrow & 0 \leq x^2 < 25 \\ 0<x<5 \Rightarrow & 0<x^2<25 \Rightarrow & 0 \leq x^2 <25 \end{matrix}$
οπότε $0 \leq x^2 <25 ,\,\,\forall x\in (-2,5)$ ;

Υ.Γ. Luminous είναι $0 \leq x^2+y^2< 153$ στο τέλος της λύσης σου

Guest 018946 · 20-11-11

Αρχική Δημοσίευση από styt_geia:
Μία σκέψη. Ουσιαστικά αποδεικνύεις τις συνεπαγωγές
$\begin{matrix} -2<x \leq 0 \Rightarrow x^2 \geq 0 \\ 0<x<5 \Rightarrow 0<x^2 < 25\end{matrix}$ .
Δηλαδή βγάζεις άλλη ανισότητα για κάθε διάστημα που ανήκει το χ. Αφού εμείς θέλουμε μία ενιαία ανισότητα δεν θα ήταν καλύτερο να πούμε
$\begin{matrix} -2<x \leq 0 \Rightarrow & -5<-2<x \leq 0 \Rightarrow & 0 \leq x^2 < 25 \\ 0<x<5 \Rightarrow & 0<x^2<25 \Rightarrow & 0 \leq x^2 <25 \end{matrix}$
οπότε $0 \leq x^2 <25 ,\,\,\forall x\in (-2,5)$ ;

Υ.Γ. Luminous είναι $0 \leq x^2+y^2< 163$ στο τέλος της λύσης σου

Κωστα γιατί προκυπτουν διαφορετικες τιμες ( φραγματα ) με τους δυο τροπους ?

transient · 20-11-11

Ναι, μου έφυγε ένα μηδενικό απο το 100 και το γραψα 10.

rebel · 20-11-11

Αρχική Δημοσίευση από Luminous:
49>(χ+2)^2 => 49 > χ^2 +4χ + 4 (2)
...
Πολλαπλασιάζεις με -1 (αλλαγή φοράς) και έχουμε -20<-4χ<+8 => +8>-4χ>-20 (3)

προσθέτεις την 2 και την 3 κατα μέλη και έχεις:

49>χ^2 +4χ + 4>0 +
+8>-4χ>-20 =>

57> χ^2 +4 > -20 => -57< -χ^2 - 4 < +20 => -53<-χ^2<+24 => 53>χ^2>-24 (4)

Οφείλεται στον διαφορετικό τρόπο κατασκευής της ανισότητας για το χ. Στην (2) όταν υψώνεις στο τετράγωνο ήδη με το 49 έχεις <<ξεφύγει>> εντελώς από το ελάχιστο διάστημα στο οποίο κινείται το $x^2$ ,δηλαδή το [0,25]. Σαν να μην έφτανε αυτό όταν προσθέτεις κατά μέλη (2) και (3) προσθέτεις ακόμα 8. Η αφαίρεση του 4 στην σχέση (4) δεν βελτιώνει και πολύ τα πράγματα. Ως εκ τούτου έχεις μια ανισότητα αρκετά <<χαλαρωμένη>> ως προς το άνω φράγμα(το οποίο τελικά απ' ότι βλέπω είναι 153)

Guest 018946 · 20-11-11

Αρχική Δημοσίευση από styt_geia:
Οφείλεται στον διαφορετικό τρόπο κατασκευής της ανισότητας για το χ. Στην (2) όταν υψώνεις στο τετράγωνο ήδη με το 49 έχεις <<ξεφύγει>> εντελώς από το ελάχιστο διάστημα στο οποίο κινείται το $x^2$ ,δηλαδή το [0,25]. Σαν να μην έφτανε αυτό όταν προσθέτεις κατά μέλη (2) και (3) προσθέτεις ακόμα 8. Η αφαίρεση του 4 στην σχέση (4) δεν βελτιώνει και πολύ τα πράγματα. Ως εκ τούτου έχεις μια ανισότητα αρκετά <<χαλαρωμένη>> ως προς το άνω φράγμα(το οποίο τελικά απ' ότι βλέπω είναι 153)

Οποτε ποιος ειναι ο σωστος τροπος λυσης ; Και πως λυνουμε τετοιες ασκησεις ?

rebel · 20-11-11

Μπορεί να υπάρχουν πολλοί διαφορετικοί τρόποι για να βρεις το διάστημα στο οποίο <<κινείται>> μία παράσταση Α. Ο σωστός τρόπος λύσης είναι αυτός που σου εξασφαλίζει το ελάχιστο διάστημα στο οποίο κινείται η Α (Στην προκειμένη περίπτωση $A=x^2+y^2$ ). Με άλλα λόγια θες η ανισότητα να είναι όσο το δυνατόν πιο <<σφιχτή>>. Εδώ θα μπορούσαμε να πούμε για παράδειγμα $-10^{10}<x^2+y^2<10^{10}$ . Θα μας ικανοποιούσε κάτι τέτοιο; Προφανώς όχι. Δες μία πολύ ενδιαφέρουσα δημοσίευση https://www.mathematica.gr/forum/viewtopic.php?f=19&t=20047 που βρήκα στο mathematica.

Guest 018946 · 29 Ιουνίου 2012

Αρχική Δημοσίευση από styt_geia:
Μπορεί να υπάρχουν πολλοί διαφορετικοί τρόποι για να βρεις το διάστημα στο οποίο <<κινείται>> μία παράσταση Α. Ο σωστός τρόπος λύσης είναι αυτός που σου εξασφαλίζει το ελάχιστο διάστημα στο οποίο κινείται η Α (Στην προκειμένη περίπτωση $A=x^2+y^2$ ). Με άλλα λόγια θες η ανισότητα να είναι όσο το δυνατόν πιο <<σφιχτή>>. Εδώ θα μπορούσαμε να πούμε για παράδειγμα $-10^{10}<x^2+y^2<10^{10}$ . Θα μας ικανοποιούσε κάτι τέτοιο; Προφανώς όχι. Δες μία πολύ ενδιαφέρουσα δημοσίευση που βρήκα στο mathematica.

Οποτε σε τετοιες περιπτωσεις οπως αυτη που παρεθεσε ο Luminus εργαζομαστε με απολυτα. Τωρα για την δημοσιευση στο mathematica απο τι καταλαβα το προβλημα βρισκεται στο οτι οταν τα "ελαχιστα" πολ/ζονται δεν μας δινουν το ελαχιστο λογω του αρνητικου που μπλεκει την κατασταση.

Αρχική Δημοσίευση από dr.tasos:
Οποτε σε τετοιες περιπτωσεις οπως αυτη που παρεθεσε ο Luminus εργαζομαστε με απολυτα. Τωρα για την δημοσιευση στο mathematica απο τι καταλαβα το προβλημα βρισκεται στο οτι οταν τα "ελαχιστα" πολ/ζονται δεν μας δινουν το ελαχιστο λογω του αρνητικου που μπλεκει την κατασταση.

Σωστα?

transient · 20-11-11

Στις εξετάσεις αν πέσει κάτι τέτοιο (που δε νομίζω, είναι αρκετά απλό για εξετάσεις) με τη βοήθεια απολύτων. Αλλά τώρα, που εμείς δεν είχαμε κάνει απόλυτα, ήμασταν αναγκασμένοι να το κάνουμε μέσω διάταξης.

rebel · 21-11-11

Ναι εγώ όπως είδες με απόλυτα πήγα να το κάνω. Κάποιος άλλος μπορεί με διάταξη. Πρακτικά ισοδύναμα είναι γιατί αυτό το "εύκολα βλέπουμε ότι" που έγραψα θέλει απόδειξη με βάση τις ιδιότητες των απολύτων οπότε είναι πάνω κάτω ίδια δουλειά.
Ένας τρόπος για να δεις αν όντως έχεις σωστά αποτελέσματα είναι κάνεις τα $< \,\, \leq$ και να δεις αν όντως υπάρχουν τιμές των χ,y για τις οποίες η παράσταση "πιάνει" το άνω και κάτω φράγμα. Εδώ πχ για $x=0,\,\, y=1 \Rightarrow A=1$ ενώ για $x=5,\,\, y=10 \Rightarrow A=125$ άρα δεν έχουμε βρει απλά ένα άνω και ένα κάτω φράγμα για την Α αλλά το μέγιστο και το ελάχιστο της Α.

Y.Γ. Στο mathematica η αντίστοιχη παράσταση πιάνει τα φράγματα όταν πολλαπλασιάζεις τις ανισότητες με τις αλλαγμένες πλευρές κατά μέλη, ενώ δεν τα πιάνει όταν αναπτύσεις την παράσταση του εμβαδού. Και αυτό λόγω της παράστασης -0,1χ η οποία χαλάει την ανισότητα. Βασικά έπρεπε να κάνω παράθεση την παραπομπή που έχει γιατί εκεί το εξηγεί καλύτερα

Guest 018946 · 21-11-11

Αρχική Δημοσίευση από styt_geia:
Ναι εγώ όπως είδες με απόλυτα πήγα να το κάνω. Κάποιος άλλος μπορεί με διάταξη. Πρακτικά ισοδύναμα είναι γιατί αυτό το "εύκολα βλέπουμε ότι" που έγραψα θέλει απόδειξη με βάση τις ιδιότητες των απολύτων οπότε είναι πάνω κάτω ίδια δουλειά.
Ένας τρόπος για να δεις αν όντως έχεις σωστά αποτελέσματα είναι κάνεις τα $< \,\, \leq$ και να δεις αν όντως υπάρχουν τιμές των χ,y για τις οποίες η παράσταση "πιάνει" το άνω και κάτω φράγμα. Εδώ πχ για $x=0,\,\, y=1 \Rightarrow A=1$ ενώ για $x=5,\,\, y=10 \Rightarrow A=125$ άρα δεν έχουμε βρει απλά ένα άνω και ένα κάτω φράγμα για την Α αλλά το μέγιστο και το ελάχιστο της Α.

Y.Γ. Στο mathematica η αντίστοιχη παράσταση πιάνει τα φράγματα όταν πολλαπλασιάζεις τις ανισότητες με τις αλλαγμένες πλευρές κατά μέλη, ενώ δεν τα πιάνει όταν αναπτύσεις την παράσταση του εμβαδού. Και αυτό λόγω της παράστασης -0,1χ η οποία χαλάει την ανισότητα. Βασικά έπρεπε να κάνω παράθεση την παραπομπή που έχει γιατί εκεί το εξηγεί καλύτερα

Αρχική Δημοσίευση από Luminous:
Στις εξετάσεις αν πέσει κάτι τέτοιο (που δε νομίζω, είναι αρκετά απλό για εξετάσεις) με τη βοήθεια απολύτων. Αλλά τώρα, που εμείς δεν είχαμε κάνει απόλυτα, ήμασταν αναγκασμένοι να το κάνουμε μέσω διάταξης.

Ευχαριστω και τους δυο . Αντε παμε για ασκησεις ( κοινως ελα να παρει φωτια το τοπικ να ουμ )

Συλλογή ασκήσεων στην Άλγεβρα

Πολύ δραστήριο μέλος

Δραστήριο μέλος

Πολύ δραστήριο μέλος

Πολύ δραστήριο μέλος

Πολύ δραστήριο μέλος

Guest 018946

Επισκέπτης

Πολύ δραστήριο μέλος

Πολύ δραστήριο μέλος

Guest 018946

Επισκέπτης

Πολύ δραστήριο μέλος

Πολύ δραστήριο μέλος

Guest 018946

Επισκέπτης

Πολύ δραστήριο μέλος

Πολύ δραστήριο μέλος

Guest 018946

Επισκέπτης

Πολύ δραστήριο μέλος

Guest 018946

Επισκέπτης

Πολύ δραστήριο μέλος

Πολύ δραστήριο μέλος

Guest 018946

Επισκέπτης