Συλλογή ασκήσεων στην Άλγεβρα

gregory nub · 03-01-12

Αρχική Δημοσίευση από styt_geia:
Άλλη μία. Έστω a,b,c,d μη μηδενικοί πραγματικοί αριθμοί με
$(a^2-b^2)(a+b)+(c^2-d^2)(c+d)+(a-b)(c^2+d^2-2ab)+(c-d)(a^2+b^2-2cd)=0$
Δείξτε ότι $|a+c| \leq |b|+|d|$

$\left(a-b \right)\left(a+b \right)^{2} + \left(c-d \right)\left(c+d \right)^{2} +\left(a-b \right)\left(c^2+d^2-2ab \right) + (c-d)(a^2+b^2-2cd)\Leftrightarrow (a-b)(a^2+b^2+c^2+d^2) + (c-d)(c^2+d^2+a^2+b^2) \Leftrightarrow (a^2+b^2+c^2+d^2)(a-b-d+c)=0$

αρα $a-b-d+c=0 \Leftrightarrow a+c=d+b$

το υπολοιπο ειναι θεωρια, απο το παραπανω βγαινει πως ισχυει

rebel · 03-01-12

Πίστευα ότι οι παραγοντοποιήσεις ήταν καλύτερα κρυμμένες αλλά με διέψευσες. Μπράβο σου :clapup:

.
Υ.Γ. Άντε πότε μπαίνετε δευτεροβάθμιες, συναρτήσεις, τριγωνομετρία; Εχω στερέψει από θέματα :confused:

Guest 018946 · 03-01-12

Αρχική Δημοσίευση από styt_geia:
Πίστευα ότι οι παραγοντοποιήσεις ήταν καλύτερα κρυμμένες αλλά με διέψευσες. Μπράβο σου .
Υ.Γ. Άντε πότε μπαίνετε δευτεροβάθμιες, συναρτήσεις, τριγωνομετρία; Εχω στερέψει από θέματα

Σε καμια βδομαδα μπαινω δευτεροβαθμιες .
ΥΣ 1: δουλευω τωρα την ασκηση με τα ριζικα .
ΥΣ 2:Να βαλω μια δυσκολη με παραγοντοποιησεις ;

gregory nub · 03-01-12

Αρχική Δημοσίευση από styt_geia:
1) Δείξτε ότι $\sqrt{\sqrt[3]{5}-\sqrt[3]{4}}=\frac{1}{3}\left(\sqrt[3]{2}+\sqrt[3]{20}-\sqrt[3]{25}\right)$

αφου δεν την λυνει κανεις, δεν γραφεις την απαντηση να δω πως λυνεται;

Guest 018946 · 3 Ιανουαρίου 2012

Αρχική Δημοσίευση από styt_geia:
1) Δείξτε ότι $\sqrt{\sqrt[3]{5}-\sqrt[3]{4}}=\frac{1}{3}\left(\sqrt[3]{2}+\sqrt[3]{20}-\sqrt[3]{25}\right)$

Λοιπον τετραγωνιζω και εχω διαδοχικα
: $9\sqrt[3]{5}-9\sqrt[3]{2^2}=\sqrt[3]{2^2}+\sqrt[3]{(5^2)2^4}+\sqrt[3]{5^4}+2\sqrt[3]{(2^3)5}-2\sqrt[3]{(2)5^2}-2\sqrt[3]{(5^3)2^2} \Leftrightarrow 9\sqrt[3]{5}-10\sqrt[3]{2^2}=5 \sqrt[3]{5}+4 \sqrt[3]{5}-10 \sqrt[3]{2^2} \Leftrightarrow 0=0$
Θα την βάλω αλλα θελει αρκετό στρωσιματάκι :
$(ab+ac+bc)^3=abc(a+b+c)^3\Leftrightarrow (b^2=ac~~\acute{\eta}~~c^2=ab~~\acute{\eta}~~a^2=bc)$ Να δειχθει η ισοδυναμια .
Βασανιστήτε μυστηρια πλασματα !!!
Δεν παιζει το βιντεακι τσιμπηστε λινκ https://www.youtube.com/watch?v=iO-dSjq9LLQ
Εδω να σας δω

gregory nub · 03-01-12

Αρχική Δημοσίευση από dr.tasos:
$(ab+ac+bc)^3=abc(a+b+c)^3\Leftrightarrow (b^2=ac~~\acute{\eta}~~c^2=ab~~\acute{\eta}~~a^2=bc)$ Να δειχθει η ισοδυναμια .
Βασανιστήτε μυστηρια πλασματα !!!

χαχα αυτη η ασκηση ειναι οντως βασανο.
Για οσους θελουν απαντηση, εγω ειχα κολλησει εδω και βρηκα την απαντηση μεσω ιντερνετ.

ΠΡΟΣΟΧΗ, ΜΗΝ ΠΑΤΗΣΕΤΕ ΑΝ ΘΕΛΕΤΕ ΝΑ ΤΗΝ ΛΥΣΕΤΕ ΜΟΝΟΙ ΣΑΣ

https://www.wolframalpha.com/input/?...3+-+a^(4)bc-ab^(4)c-abc^4=0&fp=1&incTime=true

Guest 018946 · 4 Ιανουαρίου 2012

Αρχική Δημοσίευση από Αγγελική!!!:
Bρείτε τις τιμές των απόλυτων-->
α) $\mid 2x-1\mid=1-x$
β) $\mid 3-4x\mid =1-2x$
γ) $\mid 2x-1\mid +3 =x$
δ) $5-\mid x-1\mid = 2x$
ε) $3x+\mid4-2x \mid = 1$
στ) $\mid5-3x\mid = \mid x-1 \mid$
ζ) $\mid4x+3\mid+1 = 0$

!

Και προσπαθωντας να καταπολεμησω την βαρεμαρα μου
a) Περιορισμοι $x \leq 1$
$3x=2 \vee x=0 \Leftrightarrow x=\frac{2}{3} \vee x=0$ δεκτες
β) Περιορισμοι $x \leq \frac{1}{2}$
$-2x=-2 \vee -6x=-4 \Leftrightarrow x=1 \vee x=\frac{2}{3}$ αποριπτονται και οι δυο αδυνατη αρα.
c) Περιορισμοι $x \leq 3$
$3x=4 \vee x=-2 \Leftrightarrow x=\frac{4}{3} \vee x=-2$ δεκτη μονο η πρωτη
d) Περιορισμοι $x \leq \frac{5}{2}$
$x= 2 \vee x= 4$ δεκτη μονο η πρωτη
e) Περιορισμοι $x \leq \frac{1}{3}$
$x=-3 \vee x=1$ δεκτη μονο η πρωτη
f) $x =\frac{3}{2} \vee x=2$ δεκτες και οι δυο δεν εχω Περιορισμους
g) Αδυνατη τελος φινιτο .

greeneyedgirL · 04-01-12

παιδια αυτο που θα ζητησω ειναι λιγο γελοιο αλλα μην με παρεξηγειτε..:Ρ για καποιον περιεργο λογο κολλησα με αυτο (χ-3)3 = -27 και αμα κανω:
χ-3= 3√-27
δεν γινεται γιατι δεν το εχουμε μαθει οποτε τι σκατα κανω..?? χ.χ

Guest 018946 · 04-01-12

Αρχική Δημοσίευση από greeneyedgirL:
παιδια αυτο που θα ζητησω ειναι λιγο γελοιο αλλα μην με παρεξηγειτε..:Ρ για καποιον περιεργο λογο κολλησα με αυτο (χ-3)3 = -27 και αμα κανω:
χ-3= 3√-27
δεν γινεται γιατι δεν το εχουμε μαθει οποτε τι σκατα κανω..?? χ.χ

προφανως $χ=0$

greeneyedgirL · 04-01-12

τι =0? βασικα πως βγαινει?..-.-

Guest 018946 · 04-01-12

Αρχική Δημοσίευση από greeneyedgirL:
τι =0? βασικα πως βγαινει?..-.-

εγω το λυσα με παραγοντοποιηση τι να σε πω .

greeneyedgirL · 04-01-12

τεσπα ευχαριστω παντως..

C.J.S. · 04-01-12

(x-3)3=-27
3x-9=-27
3x=-27+9
3x=-18
x=-6

Guest 018946 · 04-01-12

Αρχική Δημοσίευση από C.J.S.:
(x-3)3=-27
3x-9=-27
3x=-27+9
3x=-18
x=-6

Μορτη , η κοπελια προφανως εννοουσε το 3 στον εκθετη .

rebel · 04-01-12

Πιο αναλυτικά
$(x-3)^3=-27 \Leftrightarrow (x-3)^3+3^3=0 \Leftrightarrow (x-3+3)[(x-3)^2-3(x-3)+3^2]=0 \Leftrightarrow x[(x-3)^2-3(x-3)+3^2]=0\,\,(1)$
Όμως
$(x-3)^2-3(x-3)+3^2= \frac{1}{2}[2(x-3)^2-6(x-3)+18]= \\ \frac{1}{2}\left\{[(x-3)^2-6(x-3)+9]+(x-3)^2+9\right\}=\frac{1}{2}\left[(x-3+3)^2+(x-3)^2+9\right]=\frac{1}{2}\left[x^2+(x-3)^2+9\right]>0$
Άρα $(1)\Leftrightarrow x=0$
(Γενικά $a^2-ab+b^2\geq 0,\,\, \forall a,b \in \mathbb{R}$ . Είναι και άσκηση στο σχολικό)

Guest 018946 · 05-01-12

Αρχική Δημοσίευση από styt_geia:
2) Να βρεθεί το $x \in \mathbb{Z}$ με $5x-1 < (x+1)^2 < 7x-3$

Μεσα στην βαρεμαρα μου την βρηκα αρα ας την λυσω .....
Καταρχας σπαω την ανισοτητα σε δυο επιμερους ανισοτητες $x^2-3x+2 > 0 \; \; \; (1)$ βγαζω διακρινουσα και και απο ενα πινακακι προσημων βλεπω οτι $x \in ( -\infty,1) \cup (2,+\infty)$ και η δευτερη $x^2-5x+4 < 0$ αρα απο βγαζω διακρινουσα και βγαζω απο ενα πινακι προσημων οτι $x \in (1,4)$ οποτε μας μενει μια συναληθευση .
Προφανως (παλι) απο ενα πινακακι προσημων συναληθευουν οταν $x \in (2,4)$ ο μονος ακεραιος που βρισκεται σε αυτο το διαστημα ειναι το 3 .

Eileen · 05-01-12

Την έδωσαν στο τμήμα της αδερφής μου και τους παίδεψε λίγο, οπότε είπα να την αναρτήσω να δούμε τι γίνεται εδώ!

Αν $\chi\psi\zeta = 1$

Ν.δ.ο $\frac{\chi}{\chi \psi + \chi + 1} + \frac{\psi}{\psi\zeta + \psi + 1} + \frac{\zeta}{\zeta \chi + \zeta + 1} = 1$

Guest 018946 · 5 Ιανουαρίου 2012

Αρχική Δημοσίευση από Eileen:
Την έδωσαν στο τμήμα της αδερφής μου και τους παίδεψε λίγο, οπότε είπα να την αναρτήσω να δούμε τι γίνεται εδώ!

Αν $\chi\psi\zeta = 1$

Ν.δ.ο $\frac{\chi}{\chi \psi + \chi + 1} + \frac{\psi}{\psi\zeta + \psi + 1} + \frac{\zeta}{\zeta \chi + \zeta + 1} = 1$

Με τεχνικο τροπο βγαινει γρηγορα :
$\displaystyle{y=\frac{1}{xz}}$ Αντικαθιστω και εχω $\mathbf{\displaystyle{\frac{\frac{x}{1}}{\frac{xz+z+1}{z}}+\frac{\frac{1}{xz}}{\frac{xz+z+1}{xz}}+\frac{z}{zx+z+1} \Leftrightarrow \frac{xz+1+z}{xz+1+z}=1 \Leftrightarrow 1=1}}$
που ισχυει .

Guest 018946 · 06-01-12

Αρχική Δημοσίευση από ξαροπ:
5. $x^4-x^2-3x+4 > 0$

Επειδη δεν βρήκα καθολικο τρόπο για να αντιμετωπίσω αυτη την ανισοτητα χωρισα το $\mathbb{R}$ σε υποδιαστήματα . Λοιπον :
Για $x \in ( -\infty,-1)$
Όμως $x^2(x^2-1) > 0$ αφου $|x| > 1$ και $-3x+4 > 0 \Leftrightarrow -3x>-4 \Leftrightarrow x < \frac{4}{3}$ που ισχύει .
Για $x \in ( -1,4)$ Προφανώς το τριώνυμο $-x^2-3x+4 > 0$ άρα ως αθροισμα θετικών ισχυει .
Και τέλος για $x \in ( 4 , +\infty)$
η ανισότητα ειναι ισοδυναμη με την $x(x^3-x-3)+4 > 0$ που ισχυει ως αθροισμα θετικων αφου
$x^3-x-3 > 0 \Leftrightarrow x(x^2-1)>3$ που ισχύει αφου $x>4 \wedge x+1>5 \wedge x-1 > 3$ πολζω κατα μελη και παιρνω $x(x^2-1) > 60> 3$ αρα ισχυει .
Αρα μας μενει να ελεχθει για τα ακρα του διαστηματος $( -1,4)$
Για $x=-1$ μετα απο πράξεις καταληγω οτι $7> 0$ αρα ισχυει .
Για $x= 4$ μετα απο πράξεις καταληγω οτι $232> 0$ που ισχυει αρα και η αρχικη ισχυει σε ολο το $\mathbb{R}$

tebelis13 · 06-01-12

5. $x^4-x^2-3x+4 > 0$

κάπως πιο απλά....
$x^4-x^2-3x+4= x^4-2x^2+x^2-3x+4= x^4-2x^2+x^2-3x+3+1= (x^2-1)^2+(x^2-3x+3)<br /> = (x^2-1)^2+(x^2-3x+9/4)+3/4= (x^2-1)^2+(x-3/2)^2+3/4>0$

Συλλογή ασκήσεων στην Άλγεβρα

Διάσημο μέλος

Πολύ δραστήριο μέλος

Guest 018946

Επισκέπτης

Διάσημο μέλος

Guest 018946

Επισκέπτης

Διάσημο μέλος

Guest 018946

Επισκέπτης

Νεοφερμένο μέλος

Guest 018946

Επισκέπτης

Νεοφερμένο μέλος

Guest 018946

Επισκέπτης

Νεοφερμένο μέλος

Νεοφερμένο μέλος

Guest 018946

Επισκέπτης

Πολύ δραστήριο μέλος

Guest 018946

Επισκέπτης

Τιμώμενο Μέλος

Guest 018946

Επισκέπτης

Guest 018946

Επισκέπτης

Πολύ δραστήριο μέλος