Συλλογή ασκήσεων στην Άλγεβρα

Guest 018946 · 21 Δεκεμβρίου 2011

Αρχική Δημοσίευση από Αγγελική!!!:
Όταν θυμηθώ και τα πιο δύσκολα θα τα βάλω..Για την ώρα πάρτε αυτές τις ασκήσεις..
1)Εάν $\mid x\mid \leq 1$ και $\mid y \mid \leq 1$ , να δείξετε ότι $-1\leq \frac{x+y}{1+xy}\leq 1$

Επανερχομαι μετα απο καιρο λογω υποχρεωσεων : λοιπον για την 1) παρατηρω ενα προβλημα διοτι εχω :

Αρχική Δημοσίευση από Αγγελική!!!:
Όταν θυμηθώ και τα πιο δύσκολα θα τα βάλω..Για την ώρα πάρτε αυτές τις ασκήσεις..
1)Εάν $\mid x\mid \leq 1$ και $\mid y \mid \leq 1$ , να δείξετε ότι $-1\leq \frac{x+y}{1+xy}\leq 1$

Επανερχομαι μετα απο καιρο λογω υποχρεωσεων : λοιπον για την 1) παρατηρω ενα προβλημα διοτι εχω :
$|xy| \leq 1 \Leftrightarrow \; \; \; -1 \leq xy \\leq 1 \Leftrightarrow 0 \leq xy+1 \leq 2$ ομως εδω δεν γινεται να αντιστρεψω γιατι θα φερω παρανομαστη το μηδεν που δεν γινεται .Αρα καπου η ασκηση χανει .

rebel · 18-12-11

Προσπάθησε να δουλέψεις με διπλές ισοδυναμίες και να καταλήξεις σε κάτι που ισχύει

Guest 018946 · 21 Δεκεμβρίου 2011

Αρχική Δημοσίευση από styt_geia:
Μία παρόμοια με την προηγούμενη. Να απλοποιηθεί η παράσταση
$\frac{2+\sqrt{3}}{\sqrt{2}+\sqrt{2+\sqrt{3}}}+\frac{2-\sqrt{3}}{\sqrt{2}-\sqrt{2-\sqrt{3}}}$

Απάντηση: $\sqrt{2}$

Μετα απο καιρο αλλα τωρα βρηκα λιγο χρονο στον υπολογιστη ( τι να κανω ; :redface:

) . Για ευκολια θα θεσω $a=2+\sqrt{3} \; \textbox{and} \; b=2-\sqrt{3}$ .Μετα απο πραξολογια και λοιπα συζυγωματικα η παρασταση γινεται
$A=\frac{a\sqrt{a}-a\sqrt{2}+b\sqrt{2}+b\sqrt{b}}{\sqrt{3}} \Leftrightarrow A =\frac{(-2\sqrt{3} \sqrt{2} )+\sqrt{a^3}+\sqrt{b^3}}{\sqrt{3}}$ τωρα θετω παλι για ευκολια και επειδη δεν θα φτασει με τιποτα στο τετραδιο $x= \sqrt{a^3}+\sqrt{b^3}$ τωρα $x=( \sqrt{2+\sqrt{3}}+\sqrt{2-\sqrt{3}})[(\sqrt{2+\sqrt{3}})^2+(\sqrt{2-\sqrt{3}})^2-\sqrt{4-3} ] \Leftrightarrow x=3(\sqrt{2+\sqrt{3}}+\sqrt{2-\sqrt{3}})$ ξαναθετω $y= \sqrt{2+\sqrt{3}}+\sqrt{2-\sqrt{3}} \Leftrightarrow y^2=2-\sqrt{3}+2+\sqrt{3}+2 \Leftrightarrow y^2=6 \Leftrightarrow y=\sqrt{6}$ αρα $x=3\sqrt{6}$ αντικαθιστω τα ευρηματα μου και εχω $A= \frac{3\sqrt{6}-2\sqrt{6}}{\sqrt{3}} \Leftrightarrow A=\sqrt{2}$

Αρχική Δημοσίευση από styt_geia:
Προσπάθησε να δουλέψεις με διπλές ισοδυναμίες και να καταλήξεις σε κάτι που ισχύει

μετα απο την υποδειξη η ασκηση γινεται επιεικως γελοια.

Αρχική Δημοσίευση από dr.tasos:
Μετα απο καιρο αλλα τωρα βρηκα λιγο χρονο στον υπολογιστη ( τι να κανω ; ) . Για ευκολια θα θεσω $a=2+\sqrt{3} \; \textbox{and} \; b=2-\sqrt{3}$ .Μετα απο πραξολογια και λοιπα συζυγωματικα η παρασταση γινεται
$A=\frac{a\sqrt{a}-a\sqrt{2}+b\sqrt{2}+b\sqrt{b}}{\sqrt{3}} \Leftrightarrow A =\frac{(-2\sqrt{3} \sqrt{2} )+\sqrt{a^3}+\sqrt{b^3}}{\sqrt{3}}$ τωρα θετω παλι για ευκολια και επειδη δεν θα φτασει με τιποτα στο τετραδιο $x= \sqrt{a^3}+\sqrt{b^3}$ τωρα $x=( \sqrt{2+\sqrt{3}}+\sqrt{2-\sqrt{3}})[(\sqrt{2+\sqrt{3}})^2+(\sqrt{2-\sqrt{3}})^2-\sqrt{4-3} ] \Leftrightarrow x=3(\sqrt{2+\sqrt{3}}+\sqrt{2-\sqrt{3}})$ ξαναθετω $y= \sqrt{2+\sqrt{3}}+\sqrt{2-\sqrt{3}} \Leftrightarrow y^2=2-\sqrt{3}+2+\sqrt{3}+2 \Leftirghtarrow y^2=6 \Leftrightarrow y=\sqrt{6}$ αρα $x=3\sqrt{6}$ αντικαθιστω τα ευρηματα μου και εχω $A= \frac{3\sqrt{6}-2\sqrt{6}}{\sqrt{3}} \Leftrightarrow A=\sqrt{2}$

Οποια διορθωση δεκτη .

Κωστα βαλε μερικα θεματακια σε εξισωσεις ( παραμετρικες , οτι θελεις γενικα ) και γενικοτερα οτι θες απο απολυτα ριζες , ανισοτητες κτλπ γιατι γραφω διαγωνισμα την πεμπτη και θελω κανα θεματακι να προετιμαστω γιατι τα περισσοτερα του βοηθηματος τα χω κανει ( θα τα ξανακανω αλλα δεν πειραζει :redface:

) .

rebel · 20 Δεκεμβρίου 2011

1) Να δειχθεί ότι $\sqrt[3]{\sqrt[3]{2}-1}=\sqrt[3]{\frac{1}{9}}-\sqrt[3]{\frac{2}{9}}+\sqrt[3]{\frac{4}{9}}$

2) Άν $\frac{x}{a}=\frac{y}{b}=\frac{z}{c}=\frac{w}{d}$ , να δειχθεί ότι $\sqrt{ax}+\sqrt{by}+\sqrt{cz}+\sqrt{wd}=\sqrt{(a+b+c+d)(x+y+z+w)}$ (Όλοι οι αριθμοί είναι θετικοί)

3) Αν $a+b+c=2$ και $a^3+b^3+c^3=8$ να δειχθεί ότι α=2 ή b=2 ή c=2

4) Αν $5x+12y=60$ να βρεθεί η ελάχιστη τιμή της παράστασης $\sqrt{x^2+y^2}$

5)Αν $\frac{a+b-c}{c}=\frac{b+c-a}{a}=\frac{a+c-b}{b}$ με $abc \neq 0$ να βρεθεί η τιμή της παράστασης $\frac{(a+b)(b+c)(a+c)}{abc}$

6)Να λυθεί η εξίσωση $|x|+|x-1|+|x-2|+|x-3|=5(x-5)$

7) Αν $a+b|k-1|=0$ και $2a+b|2+k|=0$ με $b\neq 0$ να βρεθεί το k

8 ) Και μία δικιά μου στην προσπάθεια να συνδυάσω απόλυτα και εξισώσεις:
Για τις διάφορες τιμές του λ να λυθεί η εξίσωση $\left(|\lambda-2|+|\lambda+2|-4 \right)x=\left(|\lambda-1|+|\lambda+1|-2 \right)$

Συγγνώμη αν κάποιες είναι εκτός πνεύματος...

Guest 018946 · 21 Δεκεμβρίου 2011

Για την 5) σπαω τα κλασματα προσθετω το $1$ σε ολα και εχω $\frac{a+b}{c}=\frac{a+c}{b}=\frac{c+b}{a}=k$ που απο δω βγάζω $kc=kb=ka=a+b=b+c=a+c$ αντικαθιστω και εχω $A=k*k*k \Leftrightarrow A=k^3$ αυτη ειναι η λυση μου αλλα νομιζω οτικαπου χανει .

διορθωστε

rebel · 20-12-11

Ιδιότητες αναλογιών

vimaproto · 20-12-11

Αρχική Δημοσίευση από dr.tasos:
διορθωστε

Καλή η σκέψη σου αλλά οι πράξεις!!!!!!
α+β=κγ
β+γ=κα
γ+α=κβ
Προσθέτω κατά μέλη 2(α+β+γ)=κ(α+β+γ) ==> (α+β+γ)(κ-2)=0
αν κ=2 η παράσταση γίνεται 8 και αν α+β+γ=0 η παράσταση γίνεται -1

Guest 018946 · 21 Δεκεμβρίου 2011

Αρχική Δημοσίευση από styt_geia:
6)Να λυθεί η εξίσωση $|x|+|x-1|+|x-2|+|x-3|=5(x-5)$

Συγγνώμη αν κάποιες είναι εκτός πνεύματος...

Για την 5) εχω: για να εχει λυσεις πρεπει $x-5 \geq 0 \Leftrightarrow x \geq 5$ Ετσι ολα τα απολυτα βγαινουν κανονικα αφου ειναι θετικα ( καλα στο διαγωνισμα θελει πιο πολυ αιτιολογηση εδω τεσπα )
$x+x-1+x-2+x-3=5x-25 \Leftrightarrow 4x-5x=-19 \Leftrightarrow x=19$ που ειναι δεκτη αφου ικανοποιει τους περιορισμους που εχουμε θεσει .
Btw : Η ασκηση αυτη ειναι πολυ ωραια για διαγωνισμα .

Για την 2 ) Σοβαρα δεν ξερω πως θα την ελυνα σχολικα αλλα καπως πιο εξωσχολικα θα μπορουσε να λυθει ως εξης :
$(a+b+c)^3-3(a+c)(a+b)(b+c)=8 \Leftrightarrow (a+b)(b+c)(a+c)=0 \Rightarrow a+b=0 \ \vee \ b+c=0 \ \vee \ a+c=0$ Αντικαθιστωντας στην πρωτη για καθε περιπτωση λαμβανω το ζητουμενο .

Κωστα εχεις καποια λυση γιαυτην ( την παραπανω που ελυσα ) σε σχολικα πλαισια ;

rebel · 21-12-11

Εννοείς ότι ο μαθητής θα σκεφτόταν να υψώσει στο κύβο και να διώξει τους ίσους όρους αλλά δεν θα ήξερε τι να κάνει με την παράσταση
$2abc+a^2c+ac^2+a^2b+ab^2+b^2c+bc^2$
Ναι... αν αυτό την κάνει μη σχολική μάλλον έχεις δίκιο ούτε εγώ θα το έβρισκα. Δεν ξέρω κάποιον άλλο τρόπο πάντως.

Guest 018946 · 22-12-11

Για την 4 ) νομιζω πως ειναι 5 . Δεν εχω μαθηματικη αιτιολογηση γιαυτο ωστοσο.

rebel · 23-12-11

$\frac{60}{13}$

Guest 018946 · 23-12-11

πως βγαινει ρε συ ;

rebel · 23-12-11

Έχουμε δει στο παρελθόν την ανισότητα $(a^2+b^2)(c^2+d^2) \geq (ac+bd)^2$ (Αποδεικνύεται και με στοιχειώδεις πράξεις). Εδώ έχουμε

$(x^2+y^2)(5^2+12^2) \geq (5x+12y)^2 \Rightarrow \sqrt{x^2+y^2} \geq \frac{60}{13}$

με ισότητα για $\frac{x}{5}=\frac{y}{12}$

vimaproto · 23 Δεκεμβρίου 2011

Αρχική Δημοσίευση από dr.tasos:
Για την 4 ) νομιζω πως ειναι 5 . Δεν εχω μαθηματικη αιτιολογηση γιαυτο ωστοσο.

Aελαχ=60/13
Πως το βρήκα.
Ελυσα ως προς χ και αντικατέστησα στην Α²=χ²+y². Προέκυψε εξίσωση 2ου βαθμού ως προς τον πραγματικό αριθμό y. Η διακρίνουσα είναι > 0 ή =0. Από αυτό προκύπτει η ελαχίστη τιμή 60/13.

ξαροπ · 23-12-11

Για την 4) επίσης πιο 'σχολική' λύση (αλλά στα πλαίσια της κατεύθυνσης Β' λυκείου) είναι να θεωρήσουμε την ευθεία

$5x + 12y - 60 = 0$

και να βρούμε το σημείο της με τη μικρότερη δυνατή διανυσματική ακτίνα....με άλλα λόγια αρκεί να βρούμε την απόσταση της αρχής των αξόνων Ο από την ευθεία, κάτι που απλά αποτελεί εφαρμογή του τύπου $d(M, e) = \frac{|Ax_M + By_M + C|}{\sqrt{A^2+B^2}}$

Guest 018946 · 30 Δεκεμβρίου 2011

Αρχική Δημοσίευση από styt_geia:
8 ) Και μία δικιά μου στην προσπάθεια να συνδυάσω απόλυτα και εξισώσεις:
Για τις διάφορες τιμές του λ να λυθεί η εξίσωση $\left(|\lambda-2|+|\lambda+2|-4 \right)x=\left(|\lambda-1|+|\lambda+1|-2 \right)$

Κωστα αλανι , εχω λυση στην ιδιοκατασκευη σου : λοιπόν κατασκευαζω ενα πινακακι προσημων και εχω για :
$\lambda \in (-\infty,-2)$ Εχω : $( \lambda-2)x=\lambda+2 \Leftrightarrow x=\frac{\lambda+2}{\lambda-2}$ μοναδικη λυση .
για $\lambda \in [-2,2]$ $0x=0$ ταυτοτητα
και για : $\lambda \in (2,+\infty)$ εχω : $x=\frac{\lambda-1}{\lambda-2}$ μοναδικη λυση .

Διορθωστε.

vimaproto · 23-12-11

Αρχική Δημοσίευση από dr.tasos:
Διορθωστε.

Για λ=2 ή για λ=-2 είναι ταυτότητα? Κοίταξέ το.

Guest 018946 · 30 Δεκεμβρίου 2011

Αρχική Δημοσίευση από vimaproto:
Για λ=2 ή για λ=-2 είναι ταυτότητα? Κοίταξέ το.

σωστα νομιζα οτι επειδη τα δεξια απολυτα συμπεριφερονται ετσι στο [-1,1] θα συμπεριφερονται και ετσι στο [-2,2]

αρα πρεπει να παρω μερικες περιπτωσεις ακομα για το πως δηλαδη συμπεριφερονται τα απολυτα στο [-2,-1] , [1,2] ?

akis95 · 23-12-11

ναι για να βγαλεισ ολα τα απολυτα και να δεισ τι παιζει

vimaproto · 23-12-11

Αρχική Δημοσίευση από dr.tasos:
αρα πρεπει να παρω μερικες περιπτωσεις ακομα για το πως δηλαδη συμπεριφερονται τα απολυτα στο [-2,-1] , [1,2] ?

Ετσι πιστεύω. Στις περιοχές του λ (στην περίπτωσή μας είναι 5) εξετάζω και τα όρια αυτών. -2, -1, +1, +2

Συλλογή ασκήσεων στην Άλγεβρα

Guest 018946

Επισκέπτης

Πολύ δραστήριο μέλος

Guest 018946

Επισκέπτης

Πολύ δραστήριο μέλος

Guest 018946

Επισκέπτης

Πολύ δραστήριο μέλος

Πολύ δραστήριο μέλος

Guest 018946

Επισκέπτης

Πολύ δραστήριο μέλος

Guest 018946

Επισκέπτης

Πολύ δραστήριο μέλος

Guest 018946

Επισκέπτης

Πολύ δραστήριο μέλος

Πολύ δραστήριο μέλος

Πολύ δραστήριο μέλος

Guest 018946

Επισκέπτης

Πολύ δραστήριο μέλος

Guest 018946

Επισκέπτης

Δραστήριο μέλος

Πολύ δραστήριο μέλος