Συλλογή ασκήσεων και τεστ στα Μαθηματικά Προσανατολισμού

[Samael]

Καταρχάς σε ευχαριστώ παρά πολύ για την απάντησή σου. Απ,ότι καταλαβαίνω η διόρθωση σου αναφέρεται στο ερώτημα με την μονοτονία. Ξεκινάω το άτοπο λέγοντας πως έστω πως η f δεν είναι γνησίως αύξουσα ή ισοδύναμα θεωρώ την f φθίνουσα. Θεωρώντας x1<x2 και από την αρχική μου υπόθεση πως η f είναι φθίνουσα καταλήγω στο f(x1)>=f(x2). Ξερωντας τη διάταξη των f(x1) και f(x2) δε μπορώ να «fάρω» ξανά, και να καταλήξω στο f(f(x1))<=f(f(x2)) (f φθίνουσα)
Είχα την εντύπωση πως ισχύει κάτι τέτοιο. Αν μπορείς δώσε μου ένα αντιπαράδειγμα για να το κατανοήσω καλύτερα διαισθητικά. Και πάλι ευχαριστώ.

Πάρε ένα απλό παράδειγμα. Πες ότι σου δίνουν την συνάρτηση f(x) = ημx για x μεταξύ του 0 και του 2π.

Ας την μελετήσουμε. Από 0 έως π/2 είναι γνησίως αύξουσα. Από π/2 έως 3π/2 είναι γνησίως φθίνουσα και από 3π/2 έως 2π είναι πάλι γνησίως αύξουσα.

Φαντάσου τώρα ότι σε ρωτάνε εάν είναι γνησίως αύξουσα. Ξέροντας τα παραπάνω λες αμέσως ότι όχι δεν είναι γνησίως αύξουσα. Άρα είναι γνησίως φθίνουσα ; Πάλι όχι . Τι είναι τελικά ; Τίποτα από τα δύο. Μπορείς να χαρακτηρίσεις την συμπεριφορά της σε συγκεκριμένα διαστήματα αλλά δεν μπορείς να την χαρακτηρίσεις παντα ως αύξουσα η φθίνουσα γενικά. Αυτός είναι ο λόγος που ο συλλογισμός δεν είναι αύξουσα σημαίνει ότι είναι φθίνουσα ,είναι εσφαλμένος.

Ελπίζω να βοήθησα, εάν όχι πες μου να διευκρινίσω περαιτερω.Σε κάθε περίπτωση εύχομαι καλές γιορτές και εγώ .

 

[asdfqwerty]

Καλές γιορτές σε όλους!
Η αλήθεια είναι ότι ήδη έχω κυριολεκτικά ατελείωτη δουλειά για τις διακοπές, αλλά απολαμβάνω περισσότερο τις ασκήσεις που δεν είμαι υποχρεωμένος να λύσω. Επισυνάπτω τη δίκη μου απόπειρα. Επίσης, δεν είμαι και τόσο σίγουρος για την λύση του τελευταίου ερωτήματος, δηλαδή δεν είμαι σίγουρος εάν δικαιούμαι να θεωρήσω τη παράγωγο μιας γνησιως αύξουσας συνάρτησης μεγαλύτερη ή ίση του μηδενός χωρίς κάποια απόδειξη.

View attachment 73417View attachment 73418

πρωτα απο ολα:
η υποθεση που κανεις ειναι οτι υπαρχουν χ1,χ2 ανηκει στο R τετοια ωστε f(x1)>=f(x2) και θες να καταληξεις σε καποιο ατοπο..ωστοσο δεν γνωριζεις κατι για το f(f(x1),f(f(x2))
ωστοσο αυτη η προσπαθεια ειναι λανθασμενη αφου δεν γνωριζεις οτι η φ ειναι γνησιως μονοτονη .. οπως καλα σου εδειξε ο samuel θα μπορουσε η συγκεκριμενη να ειναι καποια τριγωνομετρικη και να εναλλασεται η μονοτονια σε καθε διαστημα οποτε αυτη η υποθεση δεν βγαζει πουθενα ..
θες να δειξεις οτι η f ειναι γνησιως αυξουσα και εχεις δυο δρομους ειτε θα αποδειξεις οτι για καθε χ1,χ2 στο R με χ1<χ2 =>f(x1)<f(x2) ή οτι η παραγωγος ειναι θετικη για καθε x ανηκει στο R τεινω προς το 2ο εγω...
οποτε ο τροπος που θα προσεγγισεις το τελευταιο ερωτημα αλλαζει
καλες γιορτες να εχεις

 

[eukleidhs1821]

με παραγωγο βγαινει η μονοτονια.χρειαζεται να αποδειξεις οτι ειναι 1 1 για να μπορεσεις να εξουδετερωσεις το f(x) στην παρενθεση,βγαινει ευκολα οτι ειναι 1-1.αποδεικνυεις με ατοπο οτι φ'(χ) διαφορο του μηδενος για καθε χ.
αν θεσεις μετα οπου χ το f^-1(x) και παραγωγισεις βγαζεις μια σχεση φ'(χ)+(φ-1(χ))'=2 γνωριζουμε οτι η παραγωγος τςη αντιστροφης ειναι 1/φ'(χ) μετα αντικαθιστώντας φ'(χ)+1/φ'(χ)>0 (φ'(χ))^2+1/φ΄(χ)>0 εφοσον ο αριθμητης ειναι θετικος δεδομενου οτι το κλασμα ειναι θετικο ειναι θετικο και το φ'(χ).αρα βγηκε το ζητουμενο.
φανταζομαι οτι μπορει να λυνεται και με το προφανες οτι λογω συνεχειας της παραγωγου και αποδεικνυοντας οτι ειναι διαφορο του μηδενος διαιτηρει σταθερο προσημο αλλα καπου κολλαω στην τιμη οτι ειναι θετικη

Αυτόματη ένωση συνεχόμενων μηνυμάτων: 25 Δεκεμβρίου 2020

to γ einai f(xo)=0 αρα f(f(x0))=f(0)=2 2f(x0)-x0=2 αρα χ0=-2

Αυτόματη ένωση συνεχόμενων μηνυμάτων: 25 Δεκεμβρίου 2020

στο δ ερωτημα θες 2 θμτ στα [-2,0] ,[0,2]

Αυτόματη ένωση συνεχόμενων μηνυμάτων: 25 Δεκεμβρίου 2020

τελικα εβγαινε και πιο ευκολα η μονοτονια με θμτ στο [0,2].αχαχχ τραγικος που ενω εκανα θμτ στο δ ερωτημα δεν το πηρα χαμπαρι στο β και προσπαθουσα σαν χαζος να αποδειξω το αυτονοητο

 

[eukleidhs1821]

Το γεγονός ότι μια συνάρτηση δεν είναι γνησίως αύξουσα και άρα υπάρχουν x1,x2 με x1<x2 τέτοια ώστε f(x1) >=f(x2) δεν συνεπάγεται ότι δεν μπορεί να ισχύει f(f(x1))< f(f(x2)) .

Αυτό διοτι τα f(x1) και f(x2) είναι δύο εντελώς διαφορετικά σημεία της συνάρτησης από τα x1 και x2, στην γειτονιά των οποίων η συνάρτηση μπορεί να αλλάζει συμπεριφορά από αυτήν που είχε στην γειτονιά των σημείων x1 και x2 .Εκτός φυσικά εάν τα σημεία x1 ,f(x1) και x2 και f(x2) ταυτιζονται. Αλλά στην γενική περίπτωση αυτό δεν ισχύει. Η τετριμμένη περίπτωση όπου f(x) = x ικανοποιεί τα δεδομένα μας και επίσης τα σημεία ταυτιζονται. Για αυτό η λύση σου βγάζει σωστο αποτέλεσμα. Αλλά σαν προσέγγιση από άποψη απόδειξης είναι λάθος γιατί στην γενική περίπτωση δεν ισχύει αυτό για μια συνάρτηση όπως είπα.

Προσωπικά θα έλεγα το εξής :

Έστω ότι υπάρχουν σημεία x1 και x2 με x1 διάφορο του x2 τέτοια ώστε : f(x1) = f(x2)

Τότε θα ισχύει :
f(f(x1)) + x1 = 2f(x1)
f(f(x2)) + x2 = 2f(x2)

Αφαιρωντας τις παραπανω κατά μέλη έχουμε :

f(f(x1)) - f(f(x2)) + x1 - x2 = 2( f(x1) - f(x2) )

Εφόσον ισχύει
f(x1) = f(x2) => f(f(x1)) = f(f(x2))

Λαμβάνοντας υπόψιν τις προηγούμενες ισότητες καταλήγουμε από την προπροηγουμενη σχέση στο οτι x1 = x2 .

Άτοπο καθώς υποθέσαμε ότι ήταν διάφορα μεταξύ τους.

Δεδομένου ότι η f είναι συνεχής και 1-1 θα είναι γνησίως μονότονη(αυτό εάν θυμάμαι καλά πρέπει να είναι πρόταση στο σχολικό βιβλίο κάπου,εάν όχι,η απόδειξη δεν είναι τόσο δύσκολη και σε κάθε περίπτωση καταλαβαίνεις διαισθητικά γιατί ισχύει).

Το ερώτημα είναι εάν θα είναι γνησίως αύξουσα η γνησίως φθίνουσα. Γνωρίζουμε ωστόσο ήδη δύο σημεία της f :

f(0) = 2 και f(2) = 4 .

Εφόσον με 0<2 => 2=f(0) < 4=f(2)
και σύμφωνα με τα παραπάνω, η f δεν μπορεί να είναι πάρα γνησίως αύξουσα.

*Σημειώνω επίσης ότι μια συνάρτηση για την οποία f'(x) > 0 είναι γνησίως αύξουσα. Το αντίστροφο δεν ισχύει. Θα είναι δηλαδή για μια γνησίως αύξουσα συνάρτηση f'(x) >= 0 .

ωραιος.δεν το ειχα σκεφτει αυτο.βεβαια φανταζομαι οτι πρεπει να το αποδειξουνε.τωρα θα μου πεις και ενα οριο που βαλανε φετος και πιστευα οτι ηθελε αποδειξη το παιρνανε κατευθειαν.οποτε οποιος ασχολειται ξερει αν θελει αποδειξη ή δεν θελει

Αυτόματη ένωση συνεχόμενων μηνυμάτων: 25 Δεκεμβρίου 2020

δεν μπαινει και ο μαρκος πλεον στο σαιτ που ασχολειται με τη γ ταξη επαγγελματικα οποτε θα ξερει.

 

[asdfqwerty]

ωραιος.δεν το ειχα σκεφτει αυτο.βεβαια φανταζομαι οτι πρεπει να το αποδειξουνε.τωρα θα μου πεις και ενα οριο που βαλανε φετος και πιστευα οτι ηθελε αποδειξη το παιρνανε κατευθειαν.οποτε οποιος ασχολειται ξερει αν θελει αποδειξη ή δεν θελει

Αυτόματη ένωση συνεχόμενων μηνυμάτων: 25 Δεκεμβρίου 2020

δεν μπαινει και ο μαρκος πλεον στο σαιτ που ασχολειται με τη γ ταξη επαγγελματικα οποτε θα ξερει.

θελει αποδειξη αυτο δεν υπαρχει στο σχολικο ουτε σαν διευκρινηση να θεωρειται δεδομενο, αν και δεν χρειαζεται καθολου για να βγει το ερωτημα, εμεινε το 5ο τωρα

 

[eukleidhs1821]

θελει αποδειξη αυτο δεν υπαρχει στο σχολικο ουτε σαν διευκρινηση να θεωρειται δεδομενο, αν και δεν χρειαζεται καθολου για να βγει το ερωτημα, εμεινε το 5ο τωρα

και το οριο φετος με το +00 νομζω δεν το χει το σχολικο αλλα λεει το θεωρουσαν δεδομενο.δεν ξερω αλλα εχεις δικιο δεν χρειαζεται για να βγει

 

[asdfqwerty]

και το οριο φετος με το +00 νομζω δεν το χει το σχολικο αλλα λεει το θεωρουσαν δεδομενο.δεν ξερω αλλα εχεις δικιο δεν χρειαζεται για να βγει

ναι συνηθως οτι δεν υπαρχει στο σχολικο μπαινει στις οδηγιες διδασκαλιας για τα μαθηματικα της γ για καποια εξτρα προταση που θεωρειται δεδομενη

 

[eukleidhs1821]

το πεμπτο το λυσε ο αλεξανδρος πολυ ωραια απο οτι ειδα με ατοπο.εφοσον σου ζηταγε υπαρχει εσυ πηγες στο ατοπο με για καθε.δεν ξερω αν λυνεται και με κανεναν αλλο τροπο

 

[asdfqwerty]

το πεμπτο το λυσε ο αλεξανδρος πολυ ωραια απο οτι ειδα με ατοπο.εφοσον σου ζηταγε υπαρχει εσυ πηγες στο ατοπο με για καθε.δεν ξερω αν λυνεται και με κανεναν αλλο τροπο

απο θμτ στο [α,β] υπαρχει ξ στο (a,b) τετοιο ωστε f'(ξ)=(f(b)-f(a))/b-a
...=>2(f(b)-f(a))>b-a <=>2f(b)-2f(a)>b-a <=>2f(b)-b>2f(a)-a <=>f(f(b))>f(f(a)) <=> b>a ισχυει

 

[eukleidhs1821]

απο θμτ στο [α,β] υπαρχει ξ στο (a,b) τετοιο ωστε f'(ξ)=(f(b)-f(a))/b-a
...=>2(f(b)-f(a))>b-a <=>2f(b)-2f(a)>b-a <=>2f(b)-b>2f(a)-a <=>f(f(b))>f(f(a)) <=> b>a ισχυει

ok αλλος τροπος με την λογικη του καταληγω σε κατι που ισχυει φανταζομαι εννοεις f'(ξ)>1/2

 

[Alexandros28]

Εξακολουθώ να μην καταλαβαίνω ή μπορεί απλά να είναι μια παρεξήγηση. Έδειξα ότι ΔΕΝ γίνεται να ΥΠΑΡΞΟΥΝ (όχι για κάθε) χ1<χ2 για τα οποία να ισχύει f(x1)>=f(x1). Άρα, για κάθε x1<x2, δεν προκύπτει ότι f(x1)<f(x2);

 

[Samael]

ωραιος.δεν το ειχα σκεφτει αυτο.βεβαια φανταζομαι οτι πρεπει να το αποδειξουνε.τωρα θα μου πεις και ενα οριο που βαλανε φετος και πιστευα οτι ηθελε αποδειξη το παιρνανε κατευθειαν.οποτε οποιος ασχολειται ξερει αν θελει αποδειξη ή δεν θελει

Αυτόματη ένωση συνεχόμενων μηνυμάτων: 25 Δεκεμβρίου 2020

δεν μπαινει και ο μαρκος πλεον στο σαιτ που ασχολειται με τη γ ταξη επαγγελματικα οποτε θα ξερει.

Είμαι αρκετά σίγουρος οτι υπάρχει σαν πρόταση στα πρώτα κεφάλαια του βιβλίου εκεί που μιλάει για τις 1-1 συναρτήσεις. Αλλά η απόδειξη είναι πανεύκολη ούτως άλλως αρκεί να καταλάβει κανείς οτι μια συνάρτηση για την οποία δεν χρειάζεται να σηκώσεις το στυλό ώστε να την σχεδιάσεις, και ποτέ δεν μπορεί να πάρει ξανά την ίδια τιμή,ή θα ανεβαίνει ή θα κατεβαίνει συνεχώς.

Απο εκεί και πέρα γενικά αυτά τα θέματα είναι λίγο ύπουλα στο τι υπόθεση μπορεί κάποιος να κάνει. Είναι σαν εκείνο το θέμα με την εξίσωση μεταξύ απολύτων τιμών συναρτήσεων εαν θυμάσαι. Πάντως σε αυτά τα ερωτήματα κανείς μπορεί να απαντήσει με διάφορους τρόπους,το θέμα είναι να χρησιμοποιήσεις αυτόν που είναι ο πιο απλός και γρήγορος.

Εξακολουθώ να μην καταλαβαίνω ή μπορεί απλά να είναι μια παρεξήγηση. Έδειξα ότι ΔΕΝ γίνεται να ΥΠΑΡΞΟΥΝ (όχι για κάθε) χ1<χ2 για τα οποία να ισχύει f(x1)>=f(x1). Άρα, για κάθε x1<x2, δεν προκύπτει ότι f(x1)<f(x2);

Αλέξανδρε δεν έχει σημασία τι προσπαθούσες να κάνεις. Όταν προκύπτει λογικό σφάλμα στην απόδειξη μας,ουσιαστικά όλα τα μετέπειτα βήματα είναι λάθος. Και εαν αυτό δεν συμβαίνει,σημαίνει οτι σίγουρα έχουμε κάνει και δεύτερο λογικό σφάλμα στο αμέσως επόμενο βήμα.Ανεξάρτητα λοιπόν εαν υπέθετες ύπαρξη, η συνεπαγωγή σου είναι λάθος σε εκείνο το σημείο.

Δες το και αλλιώς,χωρίς να έχεις κάποια πληροφορία για το εαν μια συνάρτηση είναι μονότονη,λες ουσιαστικά οτι "Αα δεν είναι γνησίως αύξουσα,άρα θα πρέπει να είναι γνησίως φθίνουσα". Δηλαδή άθελα σου,δέχεσαι οτι είναι γνησίως μονότονη.Κάτι που σαφώς και δεν σου δίνεται ούτε αποδεικνύεις ο ίδιος πρωτύτερα. Δεν μπορείς λοιπόν με κανέναν τρόπο να οδηγηθείς σε σύγκριση μεταξύ των f(f(x1)) και f(f(x2)) γιατί δεν αφορούν την υπόθεση σου πλέον,όπως πριν που είπες οτι "έστω οτι δεν είναι γνησίως αύξουσα άρα θα υπάρχουν..." . Γιατί πλέον χρειάζεσαι γνώση που αφορά την συμπεριφορά της συνάρτησης.

Εαν παρατηρήσεις,στην λύση που σου πρότεινα,έκανα ακριβώς αυτό πρώτα. Χρησιμοποιήσα το θεώρημα που είδες,για να πω οτι "Απο αναγκαιότητα βάσει των δεδομένων,η f είναι μονότονη" . Και έπειτα είπα, "Αα ωραία,τώρα πρέπει να αποφανθρώ εαν είναι γνησίως αύξουσα ή γνησίως φθίνουσα".

 

[asdfqwerty]

Εξακολουθώ να μην καταλαβαίνω ή μπορεί απλά να είναι μια παρεξήγηση. Έδειξα ότι ΔΕΝ γίνεται να ΥΠΑΡΞΟΥΝ (όχι για κάθε) χ1<χ2 για τα οποία να ισχύει f(x1)>=f(x1). Άρα, για κάθε x1<x2, δεν προκύπτει ότι f(x1)<f(x2);

αυτο πως το αιτιολογεις .. επισης στην αρχη λες εστω οτι η φ δεν ειναι γνησιως αυξουσα.. δεν ξερεις αν η φ ειναι γνησιως μονοτονη η φ μπορει να εναλλασει μονοτονια σε διαφορα διαστηματα .. δεν ξερεις οτι θα ειναι ειτε γνησιως αυξουσα η γνησιως φθινουσα στο πεδιο ορισμου της

 

[eukleidhs1821]

View attachment 73437
αυτο πως το αιτιολογεις .. επισης στην αρχη λες εστω οτι η φ δεν ειναι γνησιως αυξουσα.. δεν ξερεις αν η φ ειναι γνησιως μονοτονη η φ μπορει να εναλλασει μονοτονια σε διαφορα διαστηματα .. δεν ξερεις οτι θα ειναι ειτε γνησιως αυξουσα η γνησιως φθινουσα στο πεδιο ορισμου της

σωστο.απλα για καποιο λογο εχεις μπερδεψει στο μυαλο σου οτι το f(x1) και f(x2) εχουν ιδια συμπεριφορα με τα χ1 και χ2 που υπεθεσες.εσυ δεν λες οτι η συναρτηση αφου δεν ειναι γνησιως αυξουσα ειναι γνησιως φθινουσα(ουσιαστικα φθινουσα σκετο γτ παιζεις και με το ισον) λες δεν ειναι γνησιως αυξουσα.ξεμπερδεψε τα αυτα στο μυαλο σου γτ μπορει να την πατησεις σε κανα σωστο λαθος ή σε καμια ασκηση και ειναι κριμα

Αυτόματη ένωση συνεχόμενων μηνυμάτων: 25 Δεκεμβρίου 2020

Είμαι αρκετά σίγουρος οτι υπάρχει σαν πρόταση στα πρώτα κεφάλαια του βιβλίου εκεί που μιλάει για τις 1-1 συναρτήσεις. Αλλά η απόδειξη είναι πανεύκολη ούτως άλλως αρκεί να καταλάβει κανείς οτι μια συνάρτηση για την οποία δεν χρειάζεται να σηκώσεις το στυλό ώστε να την σχεδιάσεις, και ποτέ δεν μπορεί να πάρει ξανά την ίδια τιμή,ή θα ανεβαίνει ή θα κατεβαίνει συνεχώς.

Απο εκεί και πέρα γενικά αυτά τα θέματα είναι λίγο ύπουλα στο τι υπόθεση μπορεί κάποιος να κάνει. Είναι σαν εκείνο το θέμα με την εξίσωση μεταξύ απολύτων τιμών συναρτήσεων εαν θυμάσαι. Πάντως σε αυτά τα ερωτήματα κανείς μπορεί να απαντήσει με διάφορους τρόπους,το θέμα είναι να χρησιμοποιήσεις αυτόν που είναι ο πιο απλός και γρήγορος.



Αλέξανδρε δεν έχει σημασία τι προσπαθούσες να κάνεις. Όταν προκύπτει λογικό σφάλμα στην απόδειξη μας,ουσιαστικά όλα τα μετέπειτα βήματα είναι λάθος. Και εαν αυτό δεν συμβαίνει,σημαίνει οτι σίγουρα έχουμε κάνει και δεύτερο λογικό σφάλμα στο αμέσως επόμενο βήμα.Ανεξάρτητα λοιπόν εαν υπέθετες ύπαρξη, η συνεπαγωγή σου είναι λάθος σε εκείνο το σημείο.

Δες το και αλλιώς,χωρίς να έχεις κάποια πληροφορία για το εαν μια συνάρτηση είναι μονότονη,λες ουσιαστικά οτι "Αα δεν είναι γνησίως αύξουσα,άρα θα πρέπει να είναι γνησίως φθίνουσα". Δηλαδή άθελα σου,δέχεσαι οτι είναι γνησίως μονότονη.Κάτι που σαφώς και δεν σου δίνεται ούτε αποδεικνύεις ο ίδιος πρωτύτερα. Δεν μπορείς λοιπόν με κανέναν τρόπο να οδηγηθείς σε σύγκριση μεταξύ των f(f(x1)) και f(f(x2)) γιατί δεν αφορούν την υπόθεση σου πλέον,όπως πριν που είπες οτι "έστω οτι δεν είναι γνησίως αύξουσα άρα θα υπάρχουν..." . Γιατί πλέον χρειάζεσαι γνώση που αφορά την συμπεριφορά της συνάρτησης.

Εαν παρατηρήσεις,στην λύση που σου πρότεινα,έκανα ακριβώς αυτό πρώτα. Χρησιμοποιήσα το θεώρημα που είδες,για να πω οτι "Απο αναγκαιότητα βάσει των δεδομένων,η f είναι μονότονη" . Και έπειτα είπα, "Αα ωραία,τώρα πρέπει να αποφανθρώ εαν είναι γνησίως αύξουσα ή γνησίως φθίνουσα".

νομιζω το θεμα με τα απολυτα που λες επρεπε να πεις f(κατι)=f(ταδε) και να χρησιμοποιησεις το 1-1.

Αυτόματη ένωση συνεχόμενων μηνυμάτων: 25 Δεκεμβρίου 2020

παντως ο φιλος βαζει ασκησεις που αν πεφτανε σε πανελλαδικες θα κλαιγανε πολλοι

 

[Samael]

σωστο.απλα για καποιο λογο εχεις μπερδεψει στο μυαλο σου οτι το f(x1) και f(x2) εχουν ιδια συμπεριφορα με τα χ1 και χ2 που υπεθεσες.εσυ δεν λες οτι η συναρτηση αφου δεν ειναι γνησιως αυξουσα ειναι γνησιως φθινουσα(ουσιαστικα φθινουσα σκετο γτ παιζεις και με το ισον) λες δεν ειναι γνησιως αυξουσα.ξεμπερδεψε τα αυτα στο μυαλο σου γτ μπορει να την πατησεις σε κανα σωστο λαθος ή σε καμια ασκηση και ειναι κριμα

Αυτόματη ένωση συνεχόμενων μηνυμάτων: 25 Δεκεμβρίου 2020

νομιζω το θεμα με τα απολυτα που λες επρεπε να πεις f(κατι)=f(ταδε) και να χρησιμοποιησεις το 1-1.

Αυτόματη ένωση συνεχόμενων μηνυμάτων: 25 Δεκεμβρίου 2020

παντως ο φιλος βαζει ασκησεις που αν πεφτανε σε πανελλαδικες θα κλαιγανε πολλοι

Δεν θυμάμαι ακριβώς περί τίνος ήταν, έχουν περάσει και πολλά χρόνια άλλωστε. Τέλος πάντων κάπως προέκυπτε αυτή η εξίσωση μεταξύ δυο συναρτήσεων f και g μέσα σε απόλυτα. Το point είναι,οτι αυτές οι ασκησούλες είναι καλές γιατί εισάγουν τον μαθητή σε ένα καινούριο concept το οποίο δεν γνωρίζει γενικά στο λύκειο άμεσα,και αυτό είναι η συνδυαστική. Ειδικά το παράδειγμα με τα απόλυτα μεταξύ των δυο συναρτήσεων ήταν πολύ καλό. Με δυο αριθμούς sure,ισχύει οτι |α|=|β| => α=β ή α=-β

Αντίθετα τώρα,όταν μιλάμε για συναρτήσεις,δεν μπορείς να πεις οτι f(x)=g(x) ή f(x)=-g(x) ,καθώς υπάρχουν άπειρες στο πλήθος συναρτήσεις που οι απόλυτες τους τιμές μπορούν να είναι ίσες. Επίσης τονίζει λίγο κάτι που συχνά ξεχνιέται και αυτό είναι οτι μια συνάρτηση f ,είναι ένα μαθηματικό κατασκεύασμα με κάποιες ιδιότητες,οπότε χρειάζεται προσοχή στο πως την χειρίζεσαι και τι συμπεράσματα εξάγεις για αυτήν(όπως και σε αυτό το παράδειγμα).

Btw όποιος θέλει να ασχοληθεί με την απόδειξη της πρότασης που ανέφερα : μπορεί να θεωρήσει χωρίς βλάβη της γενικότητας α,β,γ Ε Α,με α<β<γ ,οπου Α το πεδίο ορισμού της f,και να δείξει οτι δεν μπορεί για μια συνεχής και 1-1 συνάρτηση να υπάρξει σημείο γ εκτός του [α,β] τέτοιο ώστε το f(γ) να είναι μεταξύ των f(α),f(β) . Με λίγο μπλα μπλα καταλήγει στο οτι η f δεν μπορεί να είναι παρα μόνο γνησίως μονότονη(θα χρειαστεί χρήση του θεωρήματος ΘΕΤ).

 

[eukleidhs1821]

Δεν θυμάμαι ακριβώς περί τίνος ήταν, έχουν περάσει και πολλά χρόνια άλλωστε. Τέλος πάντων κάπως προέκυπτε αυτή η εξίσωση μεταξύ δυο συναρτήσεων f και g μέσα σε απόλυτα. Το point είναι,οτι αυτές οι ασκησούλες είναι καλές γιατί εισάγουν τον μαθητή σε ένα καινούριο concept το οποίο δεν γνωρίζει γενικά στο λύκειο άμεσα,και αυτό είναι η συνδυαστική. Ειδικά το παράδειγμα με τα απόλυτα μεταξύ των δυο συναρτήσεων ήταν πολύ καλό. Με δυο αριθμούς sure,ισχύει οτι |α|=|β| => α=β ή α=-β

Αντίθετα τώρα,όταν μιλάμε για συναρτήσεις,δεν μπορείς να πεις οτι f(x)=g(x) ή f(x)=-g(x) ,καθώς υπάρχουν άπειρες στο πλήθος συναρτήσεις που οι απόλυτες τους τιμές μπορούν να είναι ίσες. Επίσης τονίζει λίγο κάτι που συχνά ξεχνιέται και αυτό είναι οτι μια συνάρτηση f ,είναι ένα μαθηματικό κατασκεύασμα με κάποιες ιδιότητες,οπότε χρειάζεται προσοχή στο πως την χειρίζεσαι και τι συμπεράσματα εξάγεις για αυτήν(όπως και σε αυτό το παράδειγμα).

Btw όποιος θέλει να ασχοληθεί με την απόδειξη της πρότασης που ανέφερα : μπορεί να θεωρήσει χωρίς βλάβη της γενικότητας α,β,γ Ε Α,με α<β<γ ,οπου Α το πεδίο ορισμού της f,και να δείξει οτι δεν μπορεί για μια συνεχής και 1-1 συνάρτηση να υπάρξει σημείο γ εκτός του [α,β] τέτοιο ώστε το f(γ) να είναι μεταξύ των f(α),f(β) . Με λίγο μπλα μπλα καταλήγει στο οτι η f δεν μπορεί να είναι παρα μόνο γνησίως μονότονη(θα χρειαστεί χρήση του θεωρήματος ΘΕΤ).

Αντιπαραδειγμα σε αυτο εχεις

 

[asdfqwerty]

Αντιπαραδειγμα σε αυτο εχεις

αν οι f,g δεν ειναι συνεχεις τοτε οι συναρτησεις ειναι απειρες.

 

[eukleidhs1821]

αν οι f,g δεν ειναι συνεχεις τοτε οι συναρτησεις ειναι απειρες.

για το απειρες δεν ξερω να το αποδειξω αλλα βρηκα αντιπαραδειγμα.f(x)=1 x στο R g(x)=1 χ<=0 g(x)=-1 x>0

Αυτόματη ένωση συνεχόμενων μηνυμάτων: 26 Δεκεμβρίου 2020

παντως χωρις αυστηρη αποδειξη αν φ,g συνεχεις αυτο ισχυει δηλαδη φ(χ)=g(x) ή φ(χ)=-g(x)

Αυτόματη ένωση συνεχόμενων μηνυμάτων: 26 Δεκεμβρίου 2020

και στην απειρια παλι εχεις δικιο παλι διαισθητικα.Διοτι αν χωρισω το συνολο των πραγματικων σε απειρα υποδιαστηματα μπορω να παιρνω εναλλαξ την g με 1 και -1 και να φτιαχνω οσες τετοιες g θελω.ωραιος ο φιλος ο πιτ μας βαζει να σκεφτουμε λιγο παραπανω

 

[asdfqwerty]

για το απειρες δεν ξερω να το αποδειξω αλλα βρηκα αντιπαραδειγμα.f(x)=1 x στο R g(x)=1 χ<=0 g(x)=-1 x>0

Αυτόματη ένωση συνεχόμενων μηνυμάτων: 26 Δεκεμβρίου 2020

παντως χωρις αυστηρη αποδειξη αν φ,g συνεχεις αυτο ισχυει δηλαδη φ(χ)=g(x) ή φ(χ)=-g(x)

Αυτόματη ένωση συνεχόμενων μηνυμάτων: 26 Δεκεμβρίου 2020

και στην απειρια παλι εχεις δικιο παλι διαισθητικα.Διοτι αν χωρισω το συνολο των πραγματικων σε απειρα υποδιαστηματα μπορω να παιρνω εναλλαξ την g με 1 και -1 και να φτιαχνω οσες τετοιες g θελω.ωραιος ο φιλος ο πιτ μας βαζει να σκεφτουμε λιγο παραπανω

νμζ εχουν μεγαλυτερο νοημα καποιος να καταλαβει κατι τετοια πραγματα απ' το να λυσει 100 ασκησεις μεθοδολογιων στο bolzano και στο θμτ ,θα τον ωφελησουν περισσοτερο κατα την ταπεινη μου γνωμη
θα ψαξω για καμια καλη ασκηση να ανεβασω σμρ αν ειναι

 

[eukleidhs1821]

νμζ εχουν μεγαλυτερο νοημα καποιος να καταλαβει κατι τετοια πραγματα απ' το να λυσει 100 ασκησεις μεθοδολογιων στο bolzano και στο θμτ ,θα τον ωφελησουν περισσοτερο κατα την ταπεινη μου γνωμη
θα ψαξω για καμια καλη ασκηση να ανεβασω σμρ αν ειναι

με τετοια βεβαια ψωμι δεν τρως στις πανελλαδικες.με θμτ ομως τρως ψωμι!!απο κει και περα τετοια ξυπνητζιδικα σωστο λαθος καλο ειναι να μην μπαινουν πανελλαδικες γτ οι υποψηφιοι δεν εχουν την ψυχραιμια να τα διαχειριστουν και να μπαινουν αποκλειστικα του βιβλιου

Αυτόματη ένωση συνεχόμενων μηνυμάτων: 26 Δεκεμβρίου 2020

παντως μιας και το ειπαμε ο φιλος ο πιτ ειχε δικιο για τετοιο ερωτημα.ειχε πεσει γ1 το 2016 και απο οτι θυμαμαι ειχανε παρει πολυ μεγαλη αποτυχια σε αυτο