Guest 018946
Επισκέπτης
![Ημερομηνία Ημερομηνία](images/general/calendar.png)
![Ώρα Ώρα](images/general/clock.png)
Σημείωση: Το μήνυμα αυτό γράφτηκε 10 χρόνια πριν. Ο συντάκτης του πιθανόν να έχει αλλάξει απόψεις έκτοτε.
rebel
Πολύ δραστήριο μέλος
![Ημερομηνία Ημερομηνία](images/general/calendar.png)
![Ώρα Ώρα](images/general/clock.png)
Για το δεύτερο ερώτημα προσπάθησε να αποδείξεις πρώτα ότι υπάρχει τουλάχιστον ένα
Σημείωση: Το μήνυμα αυτό γράφτηκε 10 χρόνια πριν. Ο συντάκτης του πιθανόν να έχει αλλάξει απόψεις έκτοτε.
Guest 018946
Επισκέπτης
![Ημερομηνία Ημερομηνία](images/general/calendar.png)
![Ώρα Ώρα](images/general/clock.png)
x->+-00
αρκει νδο οτι για τυχαιο y0
θεωρω την h(x)=g(x)-y0
διαλεγω στην αρχη ενα πολυυυυ μικρο κ για το οποιο θα ισχυει h(k)<0 αφου προφανως το οριο της h στο -00 ειναι -00
και μετα bolzano στο [κ,0]
ομοια διαλεγω πολυ μεγαλο λ για το οποιο θα ισχυει h(λ)<0 αφου προφανως το οριο της h στο +00 ειναι -00
μετα bolzano στο [0,λ] και νομιζω πως τελειωσαμε
Σημείωση: Το μήνυμα αυτό γράφτηκε 10 χρόνια πριν. Ο συντάκτης του πιθανόν να έχει αλλάξει απόψεις έκτοτε.
Guest 018946
Επισκέπτης
![Ημερομηνία Ημερομηνία](images/general/calendar.png)
![Ώρα Ώρα](images/general/clock.png)
θα παρω δυο περιπτωσεις ωστοσο δεν καταλαβαινω πως θα αποριψω την πρωτη
(για την δευτερη τα πραγματα ειναι απλα με ενα bolzano)
Σημείωση: Το μήνυμα αυτό γράφτηκε 10 χρόνια πριν. Ο συντάκτης του πιθανόν να έχει αλλάξει απόψεις έκτοτε.
rebel
Πολύ δραστήριο μέλος
![Ημερομηνία Ημερομηνία](images/general/calendar.png)
![Ώρα Ώρα](images/general/clock.png)
Είναι
Λόγω μονοτονίας της f είναι
Η λύση που έχω πάει κάπως ανάποδα. Πρώτα δηλαδή αποδεικνύεις με Bolzano ότι υπάρχει
Σημείωση: Το μήνυμα αυτό γράφτηκε 10 χρόνια πριν. Ο συντάκτης του πιθανόν να έχει αλλάξει απόψεις έκτοτε.
Guest 018946
Επισκέπτης
![Ημερομηνία Ημερομηνία](images/general/calendar.png)
![Ώρα Ώρα](images/general/clock.png)
![Θυμωμένο :mad: :mad:](https://www.e-steki.gr/images/smilies/mad.gif)
Σημείωση: Το μήνυμα αυτό γράφτηκε 10 χρόνια πριν. Ο συντάκτης του πιθανόν να έχει αλλάξει απόψεις έκτοτε.
rebel
Πολύ δραστήριο μέλος
![Ημερομηνία Ημερομηνία](images/general/calendar.png)
![Ώρα Ώρα](images/general/clock.png)
Σημείωση: Το μήνυμα αυτό γράφτηκε 10 χρόνια πριν. Ο συντάκτης του πιθανόν να έχει αλλάξει απόψεις έκτοτε.
Johny4Life
Εκκολαπτόμενο μέλος
![Ημερομηνία Ημερομηνία](images/general/calendar.png)
![Ώρα Ώρα](images/general/clock.png)
![Γλώσσα :P :P](https://www.e-steki.gr/images/smilies/tongue.gif)
Σημείωση: Το μήνυμα αυτό γράφτηκε 10 χρόνια πριν. Ο συντάκτης του πιθανόν να έχει αλλάξει απόψεις έκτοτε.
Guest 018946
Επισκέπτης
![Ημερομηνία Ημερομηνία](images/general/calendar.png)
![Ώρα Ώρα](images/general/clock.png)
Για την ιστορία να αναφέρω ότι η άσκηση είναι δημοσιευμένη στον "Ευκλείδη" τ. 86 από τον Γιώργο Τσικαλουδάκη με ελαφρώς αλλαγμένη την εκφώνηση του γ' ερωτήματος.
ειναι γνωστος ο Τσικαλουδακης για τις ντοπες ασκησεις του
![whistle :whistle: :whistle:](https://www.e-steki.gr/images/smilies/whistle.gif)
![Γλώσσα :P :P](https://www.e-steki.gr/images/smilies/tongue.gif)
![Γλώσσα :P :P](https://www.e-steki.gr/images/smilies/tongue.gif)
![Γλώσσα :P :P](https://www.e-steki.gr/images/smilies/tongue.gif)
Σημείωση: Το μήνυμα αυτό γράφτηκε 10 χρόνια πριν. Ο συντάκτης του πιθανόν να έχει αλλάξει απόψεις έκτοτε.
Guest 018946
Επισκέπτης
![Ημερομηνία Ημερομηνία](images/general/calendar.png)
![Ώρα Ώρα](images/general/clock.png)
Σημείωση: Το μήνυμα αυτό γράφτηκε 10 χρόνια πριν. Ο συντάκτης του πιθανόν να έχει αλλάξει απόψεις έκτοτε.
panabarbes
Εκκολαπτόμενο μέλος
![Ημερομηνία Ημερομηνία](images/general/calendar.png)
![Ώρα Ώρα](images/general/clock.png)
zwf(0)=(z+w)(9w+z) και f²(x) (διάφορο του) 4 για κάθε xεR.
Να αποδείξετε ότι:
α) f(0) (μεγαλύτερο ή ίσον του) 4 , β) f(x)>2 για κάθε xεR,
γ) η εξίσωση e^x + f(x) = e^x f(x) έχει ακριβώς μία πραγματική ρίζα, η οποία ανήκει στο (0,1).
Απ'το βιβλίο ''Μαθηματικά Γ' Λυκείου, η επανάληψη'', Βασίλης Παπαδάκης, εκδ. Σαββάλας,2012
Σημείωση: Το μήνυμα αυτό γράφτηκε 10 χρόνια πριν. Ο συντάκτης του πιθανόν να έχει αλλάξει απόψεις έκτοτε.
Civilara
Περιβόητο μέλος
![Ημερομηνία Ημερομηνία](images/general/calendar.png)
![Ώρα Ώρα](images/general/clock.png)
Δίνονται μιγαδικοί αριθμοί z και w, με |z|=3 και |w|=1. Θεωρούμε επίσης τη συνεχή και γνησίως αύξουσα συνάρτηση f: R->R για την οποία ισχύει:
zwf(0)=(z+w)(9w+z) και f²(x) (διάφορο του) 4 για κάθε xεR.
Να αποδείξετε ότι:
α) f(0) (μεγαλύτερο ή ίσον του) 4 , β) f(x)>2 για κάθε xεR,
γ) η εξίσωση e^x + f(x) = e^x f(x) έχει ακριβώς μία πραγματική ρίζα, η οποία ανήκει στο (0,1).
Απ'το βιβλίο ''Μαθηματικά Γ' Λυκείου, η επανάληψη'', Βασίλης Παπαδάκης, εκδ. Σαββάλας,2012
(α) Επειδή |z| διάφορο 0 και |w| διάφορο 0 τότε z διάφορο 0 και w διάφορο 0. Έχουμε:
zwf(0)=(z+w)(9w+z)=9zw+(z^2)+9(w^2)+zw=10zw+(z^2)+9(w^2) => f(0)=10+(z/w)+9(w/z)
Αν φ=Arg(z) και θ=Arg(w) τότε οι w και z γράφονται σε τριγωνομετρική μορφή ως εξής:
z=|z|(συνφ+iημφ)=3(συνφ+iημφ)
w=|w|(συνθ+iημθ)=συνθ+iημθ
Επομένως προκύπτει:
z/w=3[συν(φ-θ)+iημ(φ-θ)]
w/z=(1/3)[συν(θ-φ)+iημ(θ-φ)]=(1/3)[συν(φ-θ)-iημ(φ-θ)]
Συνεπώς έχουμε:
f(0)=10+3(συνφ+iημφ)+9*(1/3)*[συν(φ-θ)-iημ(φ-θ)]=10+6συν(φ-θ)
Ισχύει -1<=συν(φ-θ)<=1 για κάθε 0<=φ<2π και 0<=θ<2π. Άρα
-6<=6συν(φ-θ)<=6 => 4<=10+6συν(φ-θ)<=16 => 4<=f(0)<=16 => f(0)>=4
(β) (f(x))^2 διάφορο 4 => [f(x)^2]-4 διάφορο 0 => (f(x)-2)(f(x)+2) διάφορο 0 => f(x) διάφορο 2 και f(x) διάφορο -2 για κάθε x ανήκει R
Είναι f(0)>=4>2
Επειδή η f είναι γνησίως αύξουσα τότε για x>0 προκύπτει f(x)>f(0)>=4 => f(x)>4>2 για κάθε x ανήκει (0,+οο)
Αν υπήρχε ρ<0 με f(ρ)<2 τότε επειδή η f είναι συνεχής στο [ρ,0] θα υπάρχει ξ ανήκει (ρ,0) ώστε f(ξ)=2 καθώς η f παίρνει κάθε τιμή μεταξύ f(ρ) και f(0) στο (ρ,0) (f(ρ)<2<f(0)). Αυτό όμως είναι άτοπο καθώς f(x) διάφορο 2 για κάθε x ανήκει R. Άρα f(x)>2 για κάθε x>0.
Συνεπώς f(x)>2 για κάθε x ανήκει R
(γ) Θεωρούμε την συνάρτηση F(x)=((e^x)-1)f(x)-(e^x), x ανήκει R. Έχουμε
F(0)=-1<0
F(1)=(e-1)f(1)-e
Επειδή 1>0 και f γνησίως αύξουσα τότε f(1)>f(0) => f(1)>4
Είναι e>2 => e-1>1>0, e>2 => 3e>6 => 3e-4>2>0
Άρα f(1)>4 => (e-1)f(1)>4(e-1) => (e-1)f(1)-e>4e-4-e => F(1)>3e-4 => F(1)>0
Είναι F(0)<0 και F(1)>0, οπότε F(0)F(1)<0. Επειδή η f είναι συνεχής στο R τότε και η F είναι συνεχής στο R.
Η F είναι συνεχής στο [0,1] και ισχύει F(0)F(1)<0. Επομένως σύμφωνα με το θεώρημα Bolzano υπάρχει τουλάχιστον ένα x0 τέτοιο ώστε
F(x0)=0 => ((e^x0)-1)f(x0)-(e^x0)=0 => (e^x0)+f(x0)=(e^x0)f(x0)
Η εξίσωση (e^x)+f(x)=(e^x)f(x) γράφεται ισοδύναμα ως εξής:
(e^x)+f(x)=(e^x)f(x) <=> ((e^x)-1)f(x)=e^x
Η εξίσωση δεν επαληθεύεται για x=0, άρα το x=0 δεν είναι ρίζα της εξίσωσης. Συνεπώς για x ανήκει R* η εξίσωση γράφεται ισοδύναμα
f(x)=(e^x)/((e^x)-1)
Θεωρούμε την συνάρτηση g(x)=(e^x)/((e^x)-1)=[(e^x)-1+1]/[(e^x)-1]=1+1/[(e^x)-1], x ανήκει R*. Η g είναι συνεχής και παραγωγίσιμη στο R* με πρώτη παράγωγο g΄(x)=-(e^x)/[((e^x)-1)^2]<0 για κάθε x ανήκει R*.
Η g είναι συνεχής και παραγωγίσιμη στο (-οο,0) και ισχύει g΄(x)<0 για κάθε x ανήκει (-οο,0). Άρα η g είναι γνησίως φθίνουσα στο (-οο,0). Επομένως για κάθε x1, x2 με x1<x2<0 ισχύει g(x1)>g(x2).
Η g είναι συνεχής και παραγωγίσιμη στο (0,+οο) και ισχύει g΄(x)<0 για κάθε x ανήκει (0,+οο). Άρα η g είναι γνησίως φθίνουσα στο (0,+οο). Επομένως για κάθε x1, x2 με 0<x1<x2 ισχύει g(x1)>g(x2).
Επειδή lim(x->-oo)(e^x)=0 τότε lim(x->-oo)g(x)=0
Επειδή lim(x->+oo)(e^x)=+oo τότε lim(x->+oo)g(x)=1
Επειδή lim(x->0)((e^x)-1)=0 τότε lim(x->0-)[1/((e^x)-1)]=-oo και lim(x->0+)[1/((e^x)-1)]=+oo
Άρα lim(x->0-)g(x)=-oo και lim(x->0+)g(x)=+oo
Η g είναι συνεχής και γνησίως φθίνουσα στο (-οο,0), οπότε g((-oo,0))=(lim(x->0-)g(x),lim(x->-oo)g(x))=(-oo,0)
Η g είναι συνεχής και γνησίως φθίνουσα στο (0,+oo), οπότε g((0,+oo))=(lim(x->+oo)g(x),lim(x->0+)g(x))=(1,+oo)
Συνεπώς για x1<0<x2 είναι g(x1)<0<1<g(x2). Άρα η g είναι γνησίως φθίνουσα στα διαστήματα (-οο,0), (0,+οο) αλλά δεν είναι γνησίως φθίνουσα στο R*.
Θεωρούμε την συνάρτηση h(x)=g(x)-f(x), x ανήκει R*
Για x<0 είναι g(x)<0 => g(x)-f(x)<-f(x) => h(x)<-f(x)<-2<0 επειδή f(x)>2. Άρα h(x)<0 => h(x) διάφορο 0 για κάθε x ανήκει (-οο,0)
Για 0<x1<x2 ισχύει f(x1)<f(x2) => -f(x1)>-f(x2) και g(x1)>g(x2). Επομένως g(x1)-f(x1)>g(x2)-f(x2) => h(x1)>h(x2)
Άρα η h είναι γνησίως φθίνουσα στο (0,+οο). Επειδή F(x0)=0, όπου 0<x0<1 τότε h(x0)=0 και επειδή η h είναι γνησίως μονότονη στο (0,+οο) τότε το x0 είναι μοναδικό.
Άρα υπάρχει μοναδικό x0 ανήκει (0,1) τέτοιο ώστε (e^x0)+f(x0)=(e^x0)f(x0)
Σημείωση: Το μήνυμα αυτό γράφτηκε 10 χρόνια πριν. Ο συντάκτης του πιθανόν να έχει αλλάξει απόψεις έκτοτε.
Johny4Life
Εκκολαπτόμενο μέλος
![Ημερομηνία Ημερομηνία](images/general/calendar.png)
![Ώρα Ώρα](images/general/clock.png)
Σημείωση: Το μήνυμα αυτό γράφτηκε 10 χρόνια πριν. Ο συντάκτης του πιθανόν να έχει αλλάξει απόψεις έκτοτε.
ξαροπ
Πολύ δραστήριο μέλος
![Ημερομηνία Ημερομηνία](images/general/calendar.png)
![Ώρα Ώρα](images/general/clock.png)
(α) Επειδή |z| διάφορο 0 και |w| διάφορο 0 τότε z διάφορο 0 και w διάφορο 0. Έχουμε:
zwf(0)=(z+w)(9w+z)=9zw+(z^2)+9(w^2)+zw=10zw+(z^2)+9(w^2) => f(0)=10+(z/w)+9(w/z)
Αν φ=Arg(z) και θ=Arg(w) τότε οι w και z γράφονται σε τριγωνομετρική μορφή ως εξής:
z=|z|(συνφ+iημφ)=3(συνφ+iημφ)
w=|w|(συνθ+iημθ)=συνθ+iημθ
Επομένως προκύπτει:
z/w=3[συν(φ-θ)+iημ(φ-θ)]
w/z=(1/3)[συν(θ-φ)+iημ(θ-φ)]=(1/3)[συν(φ-θ)-iημ(φ-θ)]
Συνεπώς έχουμε:
f(0)=10+3(συνφ+iημφ)+9*(1/3)*[συν(φ-θ)-iημ(φ-θ)]=10+6συν(φ-θ)
Ισχύει -1<=συν(φ-θ)<=1 για κάθε 0<=φ<2π και 0<=θ<2π. Άρα
-6<=6συν(φ-θ)<=6 => 4<=10+6συν(φ-θ)<=16 => 4<=f(0)<=16 => f(0)>=4
1) Γράφουμε σε
2) Εδώ και κάτι χρόνια τα arguments και οι πολικές μορφές των μιγαδικών είναι εκτός ύλης. Σκοπός των λύσεων είναι να τις καταλαβαίνουν οι υποψήφιοι, αλλιώς δεν έχει και πολύ νόημα. Βέβαια αν δε βγαίνουν αλλιώς το λάθος είναι του θεματοθέτη...
Σημείωση: Το μήνυμα αυτό γράφτηκε 10 χρόνια πριν. Ο συντάκτης του πιθανόν να έχει αλλάξει απόψεις έκτοτε.
Guest 018946
Επισκέπτης
![Ημερομηνία Ημερομηνία](images/general/calendar.png)
![Ώρα Ώρα](images/general/clock.png)
Σημείωση: Το μήνυμα αυτό γράφτηκε 10 χρόνια πριν. Ο συντάκτης του πιθανόν να έχει αλλάξει απόψεις έκτοτε.
Civilara
Περιβόητο μέλος
![Ημερομηνία Ημερομηνία](images/general/calendar.png)
![Ώρα Ώρα](images/general/clock.png)
1) Γράφουμε σειδίως για μεγάλες απαντήσεις, αν δε θέλουμε να βγει το μάτι του άλλου που προσπαθεί να διαβάσει τη λύση
Δεν δέχομαι υποδείξεις με τέτοιο υφάκι.
2) Εδώ και κάτι χρόνια τα arguments και οι πολικές μορφές των μιγαδικών είναι εκτός ύλης. Σκοπός των λύσεων είναι να τις καταλαβαίνουν οι υποψήφιοι, αλλιώς δεν έχει και πολύ νόημα. Βέβαια αν δε βγαίνουν αλλιώς το λάθος είναι του θεματοθέτη...
Έχει νόημα και μάλιστα μεγάλο. Κάθε λύση επιστημονικά τεκμηριωμένη είναι αποδεκτή.
Σημείωση: Το μήνυμα αυτό γράφτηκε 10 χρόνια πριν. Ο συντάκτης του πιθανόν να έχει αλλάξει απόψεις έκτοτε.
rebel
Πολύ δραστήριο μέλος
![Ημερομηνία Ημερομηνία](images/general/calendar.png)
![Ώρα Ώρα](images/general/clock.png)
H εξίσωση γράφεται
Θεωρούμε την συνάρτηση
αφού από β)
Έστω
Σημείωση: Το μήνυμα αυτό γράφτηκε 10 χρόνια πριν. Ο συντάκτης του πιθανόν να έχει αλλάξει απόψεις έκτοτε.
Guest 018946
Επισκέπτης
![Ημερομηνία Ημερομηνία](images/general/calendar.png)
![Ώρα Ώρα](images/general/clock.png)
νδο οτι η 2f(x)g(x)=xh^2(x) έχει λυσh στους πραγματικους
(Του Στάθη Κούτρα )
Σημείωση: Το μήνυμα αυτό γράφτηκε 10 χρόνια πριν. Ο συντάκτης του πιθανόν να έχει αλλάξει απόψεις έκτοτε.
Civilara
Περιβόητο μέλος
![Ημερομηνία Ημερομηνία](images/general/calendar.png)
![Ώρα Ώρα](images/general/clock.png)
εστω f,g,h R -> R συνεχεις στο R και να ισχυει οτι f^2(x)+g^2(x)=h^2(x) για καθε χ στο R
νδο οτι η 2f(x)g(x)=xh^2(x) έχει λυσh στους πραγματικους
(Του Στάθη Κούτρα )
Θεωρούμε την συνάρτηση F(x)=x(h(x)^2)-2f(x)g(x), x ανήκει R. Η F γράφεται ισοδύναμα στη μορφή:
F(x)=x[(f(x)^2)+(g(x)^2)]-2f(x)g(x), x ανήκει R. Επειδή οι f και g είναι συνεχείς στο R τότε η F είναι συνεχής στο R.
Έχουμε
F(-1)=-(f(-1)^2)-(g(-1)^2)-2f(-1)g(-1)=-((f(-1)+g(-1))^2)
F(1)=(f(1)^2)+(g(1)^2)-2f(1)g(1)=(f(1)-g(1))^2
Αν g(-1)=-f(-1) τότε F(-1)=0
Αν g(1)=f(1) τότε F(1)=0
Αν g(-1) διάφορο -f(-1) και g(1) διάφορο f(1) τότε F(-1)<0 και F(1)>0. Η F είναι συνεχής στο [-1,1] και ισχύει F(-1)F(1)<0. Επομένως σύμφωνα με το θεώρημα Bolzano υπάρχει τουλάχιστον ένα x0 ανήκει (-1,1) τέτοιο ώστε F(x0)=0.
Άρα υπάρχει τουλάχιστον ένα x0 ανήκει [-1,1] τέτοιο ώστε F(x0)=0
Σημείωση: Το μήνυμα αυτό γράφτηκε 10 χρόνια πριν. Ο συντάκτης του πιθανόν να έχει αλλάξει απόψεις έκτοτε.
Johny4Life
Εκκολαπτόμενο μέλος
![Ημερομηνία Ημερομηνία](images/general/calendar.png)
![Ώρα Ώρα](images/general/clock.png)
Σημείωση: Το μήνυμα αυτό γράφτηκε 10 χρόνια πριν. Ο συντάκτης του πιθανόν να έχει αλλάξει απόψεις έκτοτε.
Χρήστες Βρείτε παρόμοια
-
Τα παρακάτω 0 μέλη και 14 επισκέπτες διαβάζουν μαζί με εσάς αυτό το θέμα:Tα παρακάτω 324 μέλη διάβασαν αυτό το θέμα:
- thepigod762
- akis_95
- Mariosm.
- Maynard
- infection54
- Jesse_
- *
- topg
- eukleidhs1821
- bill09876
- Debugging_Demon
- mali
- ggl
- Ness
- Hased Babis
- *
- Helen06
- Scandal
- synthnightingale
- arko
- BillyTheKid
- Magigi
- nearos
- Paragontas7000
- *
- Unboxholics
- just some guy
- george777
- Wonderkid
- IceCream05
- Abiogenesis
- GeorgePap2003
- katia.m
- giannhs2001
- paul
- *
- Praxis
- Apocalypse
- shezza94
- *
- desp1naa
- juste un instant
- *
- rempelos42
- *
- Sherlockina
- oups
- Dimgeb
- spring day
- KingOfPop
- mpapa
- Chrisa
- Physicsstudent
- tsiobieman
- P.Dam.
- persi
- Euge.loukia
- nPb
- theodoraooo
- PanosBat
- kost28
- mikriarchitectonissa
- BILL KEXA
- Drglitterstar
- Eleftheria2
- *
- Athens2002
- bruh_234
- Miranda32
- SlimShady
- kallikd
- nucomer
- *
- alpha.kappa
- Eeeee
- J.Cameron
- Marple
- Kitana
- F1L1PAS
- sophiaa
- VFD59
- papa2g
- το κοριτσι του μαη
- *
- srg96
- Hopeful22
- Φινεύς
- Phys39
- Johny4Life
- Anta2004
- fairyelly
- Pharmacist01
- jYanniss
- Panagiotis849
- Kokro
- augustine
- Nikoletaant
- Mashiro@Iberan
- *
- margik
- Mammy Nun
- Pastramis
- Σωτηρία
- *
- Appolon
- panosveki
- Nickt23
- igeorgeoikonomo
- Steliosgkougkou
- QWERTY23
- *
- Ameliak
- aladdin
- nimbus
- *
- *
- Φωτεινη Τζα.
- marian
- Georgekk
- *
- xrisamikol
- the purge
- Theodora03
- *
- Machris
- *
- *
- s93060
- Nikitas18
- Stif6
- stav.mdp
- damn
- aekaras 21
- Anthropaki
- *
- Angelos12345
- ioannam
- Μάρκος Βασίλης
- skyway
- *
- Nick2325
- Nala
- Manolo165
- Ryuzaki
- T C
- *
- Devilshjoker
- El_
- George9989
- TonyMontanaEse
- globglogabgalab
- *
- constansn
- barkos
- katerinavld
- fenia
- An_uknown_world
- Jimmis18
- maria2001
- KingPoul
- Xara
- thecrazycretan
- abcdefg12345
- Κλημεντίνη
- *
- ale
- panagiotis G
- mechaniceng
- *
- Giii
- calliope
- Tequila
- natalix
- Cortes
- Alexecon1991
- pepsoula
- *
- Mariaathens
- Lia 2006
- 1205
- παιδι για κλαματα
- Alexandros36k
- *
- *
- *
- alexd99
- chembam
- Specon
- Dr House
- panagiotis23
- Johnman97
- rhymeasylum
- Αννα Τσιτα
- KaterinaL
- LeoDel
- iminspain
- den antexw allh apotyxia
- Λαμπρινηη
- *
- Mendel2003
- Ijt
- drosos
- *
- *
- Κορώνα
- JohnGreek
- Αρχηγος_β3
- alexandra_
- *
- *
- ΘανάσοςG4
- Dimitris9
- Birtjan
- george7cr7
- NickT
- Bgpanos
- JKTHEMAN
- *
- *
- nicole1982
- χημεια4λαιφ
- Stroka
- Kostakis45
- charmander
- leo41
- EiriniS20
- Αριάνα123
- MarilynSt
- iManosX13
- Nefh_
- Viedo
- Βλα
- suaimhneas
- george pol
- kristinbacktoschool
- fearless
- Rene2004
- Steffie88
- Slytherin
- *
- jimnikol21
- Unseen skygge
- cel123
- jul25
- Thanos_D
- Ireneeneri
- *
- tasost
- Mukumbura
- xxxtolis
-
Φορτώνει...
-
Το forum μας χρησιμοποιεί cookies για να βελτιστοποιήσει την εμπειρία σας.
Συνεχίζοντας την περιήγησή σας, συναινείτε στη χρήση cookies στον περιηγητή σας.