Συλλογή ασκήσεων και τεστ στα Μαθηματικά Προσανατολισμού

rebel · 04-08-11

Μπορείς να δεις εδώ ένα αρκετά κατατοπιστικό άρθρο του Κυριακόπουλου στην παράγραφο 3.

red span · 14 Αυγούστου 2011

Αρχική Δημοσίευση από Civilara:
Θεωρώ $g(x)={x}^{3}-6{x}^{2}+12x$ . Η g είναι συνεχής και παραγωγίσιμη στο R ως πολυωνυμική με παράγωγο:

$g'(x)=3{x}^{2}-12x+12=3\left({x}^{2}-4x+4 \right)=4\left{(x-2 \right)}^{2}$ , x ανήκει R

g συνεχής στο $(-\propto ,2]$ , παραγωγίσιμη στο $(-\propto ,2)$ και g'(x)>0 για κάθε $x\epsilon (-\propto ,2)$ . Άρα η g είναι γνησίως αύξουσα στο $(-\propto ,2]$ .

g συνεχής στο $[2,+\propto)$ , παραγωγίσιμη στο $(2,+\propto)$ και g'(x)>0 για κάθε $x\epsilon (2,+\propto)$ . Άρα η g είναι γνησίως αύξουσα στο $[2,+\propto)$ .

Επομένως η g είναι γνησίως αύξουσα στο R. Άρα είναι 1-1 και συνεπώς αντιστρέψιμη.

$\lim_{x\rightarrow +\propto }g(x)=+\propto$ και
$\lim_{x\rightarrow -\propto }g(x)=-\propto$

Το πεδίο ορισμού της g είναι ${D}_{g}=R$ . Επειδή η f είναι συνεχής και γνησίως αύξουσα στο R, το πεδίο τιμών της είναι $g\left( {D}_{g}\right)=\left(\lim_{x\rightarrow -\propto }g(x),\lim_{x\rightarrow +\propto }g(x) \right)=(-\propto ,+\propto )=R$

Η f έχει πεδίο ορισμού ${D}_{f}=R$ . Θεωρώ ${x}_{1},{x}_{2}\epsilon R$ με $f({x}_{1})=f({x}_{2})$

$f({x}_{1})=f({x}_{2})\Rightarrow {\left( f({x}_{1})\right)}^{3}={\left( f({x}_{2})\right)}^{3}$

$f({x}_{1})=f({x}_{2})\Rightarrow {\left( f({x}_{1})\right)}^{2}={\left( f({x}_{2})\right)}^{2}\Rightarrow -6{\left( f({x}_{1})\right)}^{2}=-6{\left( f({x}_{2})\right)}^{2}$

$f({x}_{1})=f({x}_{2})\Rightarrow 12f({x}_{1})=12f({x}_{2})$

Άρα ${\left( f({x}_{1})\right)}^{3}-6{\left( f({x}_{1})\right)}^{2}+12f({x}_{1})={\left( f({x}_{2})\right)}^{3}-6{\left( f({x}_{2})\right)}^{2}+12f({x}_{2})\Rightarrow {x}_{1}={x}_{2}$

Επομένως για κάθε ${x}_{1},{x}_{2}\epsilon R$ ισχύει η συνεπαγωγή:

$f({x}_{1})=f({x}_{2})\Rightarrow {x}_{1}={x}_{2}$

οπότε η f είναι 1-1 και συνεπώς αντιστρέψιμη. Ισχύει

$y=f(x)\Leftrightarrow x={f}^{-1}(y)$ για κάθε
$x\epsilon R, y\epsilon f(R)$

Επομένως

${f}^{-1}(y)={y}^{3}-6y+12y\Rightarrow {f}^{-1}(y)=g(y)$

Είναι ${D}_{{f}^{-1}}={D}_{g}=R$ και ${f}^{-1}\left( {D}_{{f}^{-1}}\right)=g\left( {D}_{g}\right)=R$
Άρα $f\left({D}_{f} \right)={D}_{{f}^{-1}}=R$

$f\left({D}_{f} \right)={D}_{{f}^{-1}}=R$

Στην δοσμένη σχέση τίθεται x=0:
${\left( f(0)\right)}^{3}-6{\left( f(0)\right)}^{2}+12f(0)=0\Rightarrow f(0)\left[{\left( f(0)\right)}^{2}-6f(0)+12 \right]=0$

Θεωρώ το πολυώνυμο $P(x)={x}^{2}-6x+12$ . Θα εξεταστεί το πρόσημο του P(x) για τις διάφορες τιμές του $x\epsilon R$ .

$\Delta ={(-6)}^{2}-4{}^{.}1{}^{.}12=36-48=-12<0$ . Άρα P(x)>0 για κάθε $x\epsilon R$ .

Συνεπώς f(0)=0 <=> (f-1)(0)=0.

Στη συνέχεια θα γίνει εφαρμογή της εξής πρότασης της οποίας η απόδειξη είναι πολύ απλή και αφήνεται ως άσκηση: "Αν μία συνάρτηση f είναι 1-1 και η αντίστροφή της είναι παραγωγίσιμη στο $f({x}_{0})$ και ισχύει $\left( {f}^{-1}\right)'(f({x}_{0}))\neq 0$ τότε η f είναι παραγωγίσιμη στο ${x}_{0}$ και ισχύει $f'({x}_{0})\neq 0$ "

Επειδή η ${f}^{-1}$ είναι παραγωγίσιμη στο $f\left({D}_{f} \right)=R$ και για κάθε $x\epsilon (-\propto ,2)\bigcup (2,+\propto )$ ισχύει $\left( f}^{-1}\right)'(y)\neq 0$ , έπεται ότι η f είναι παραγωγίσιμη στο $x\epsilon (-\propto ,2)\bigcup (2,+\propto )$ και ισχύει $f'(x)\neq 0$ για κάθε $x\epsilon (-\propto ,2)\bigcup (2,+\propto )$ ενώ η f δεν είναι παραγωγίσιμη στο 2 γιατί (f-1)'(2)=0.

Αποδεικνύεται ότι $({f}^{-1})'(f(x))=\frac{1}{f'(x)}$

$({f}^{-1})'(f(x))=\frac{1}{f'(x)}\Rightarrow ({f}^{-1})'(f(x))f'(x)=1\Rightarrow 3{\left(f(x)-2) \right}^{2}f'(x)=1\Rightarrow 3{\left(f(x)-2) \right}^{2}f'(x)-1=0$
για κάθε $x\epsilon R$

Θεωρώ την συνάρτηση $h(x)={\left(f(x)-2 \right)}^{3}-x$ . Επειδή η f είναι παραγωγίσιμη στο R τότε είναι και συνεχής στο R. Επειδή η f είναι συνεχής και παραγωγίσιμη στο R τότε και η h είναι συνεχής και παραγωγίσιμη στο R με παράγωγο

$h'(x)=3{\left(f(x)-2 \right)}^{2}f'(x)-1\Rightarrow h'(x)=0$

Η h είναι συνεχής και παραγωγίσιμη στο R και ισχύει $h'(x)=0$ για κάθε $x\epsilon R$ . Άρα η h είναι σταθερη, οπότε $h(x)=c$ για κάθε $x\epsilon R$ .

$h(0)={\left(f(0)-2 \right)}^{3}-0={(0-2)}^{3}={(-2)}^{3}=-8\Rightarrow c=h(0)=-8$

Άρα $h(x)=-8$ για κάθε $x\epsilon R$ .

$h(x)=-8\Rightarrow {\left(f(x)-2 \right)}^{3}-x=-8\Rightarrow {\left(f(x)-2 \right)}^{3}=x-8\Rightarrow$ για κάθε $x\epsilon R$ .

Αν $x\geq 8$ , τότε $f(x)-2=\sqrt[3]{x-8}\Rightarrow f(x)=2+\sqrt[3]{x-8}$ .

Αν $x<8$ , τότε $f(x)-2=-\sqrt[3]{8-x}\Rightarrow f(x)=2-\sqrt[3]{8-x}$ .
-----------------------------------------

thanks lostG. Το έμαθα πολύ καλά με λίγη εξάσκηση. Πριν 15 μέρες δεν ήξερα καν τι είναι.

exc · 06-08-11

Αρχική Δημοσίευση από red span:

Είδες τι παθαίνει όποιος δεν ξέρει ταυτότητες, ε;
Γιατί κάποιος που ξέρει θα έλεγε:
$f^3(x)-6f(x)+12f(x)=x \Leftrightarrow (f(x)-2)^3=x-8\Leftrightarrow\\ \Leftrightarrow f(x)=2+(x-8)^{1/3}, \forall x \in \mathbb R$

Guest 278211 · 06-08-11

Αρχική Δημοσίευση από exc:
Είδες τι παθαίνει όποιος δεν ξέρει ταυτότητες, ε;
Γιατί κάποιος που ξέρει θα έλεγε:
$f^3(x)-6f(x)+12f(x)=x \Leftrightarrow (f(x)-2)^3=x-8\Leftrightarrow\\ \Leftrightarrow f(x)=2+(x-8)^{1/3}, \forall x \in \mathbb R$

χαχα!!! 2 σειρές...! I love maths!!!

red span · 06-08-11

Αρχική Δημοσίευση από exc:
Είδες τι παθαίνει όποιος δεν ξέρει ταυτότητες, ε;
Γιατί κάποιος που ξέρει θα έλεγε:
$f^3(x)-6f(x)+12f(x)=x \Leftrightarrow (f(x)-2)^3=x-8\Leftrightarrow\\ \Leftrightarrow f(x)=2+(x-8)^{1/3}, \forall x \in \mathbb R$

Omg

antwwwnis · 06-08-11

Αρχική Δημοσίευση από exc:
Είδες τι παθαίνει όποιος δεν ξέρει ταυτότητες, ε;
Γιατί κάποιος που ξέρει θα έλεγε: (99% εξοικονόμιση γραφικής ύλης)

Καλόοο

red span · 13-08-11

Μία άσκηση γία τους μαθητές του i-school.Συνδυάζει πολλά πράγματα από ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ-ΟΡΙΑ-ΣΥΝΕΧΕΙΑ
'Εστω συνάρτηση f με πεδίο ορισμού το R τέτοια,ώστε για κάθε χ e R,να ισχυει $f^3(x)+3f(x)=3x (1)$
Να δείξετε ότι
$1) f(0)=0$
$2)$ Το σύνολο τιμών της f ειναι το R
$3)$ Να βρεθεί ο τύπος της αντίστροφης
$4)$ Να δείχθει με δύο τρόπους ότι η f είναι γνησίως αύξουσα
$5)$ Να δείξετε οτι η f είναι περριτή
$6)\lim_{x->+oo}f(x)=+oo$
$7)$ Να δείξετε ότι η f είναι παραγωγίσιμη

babisgr · 14-08-11

Άρε Χάρη τί μου θύμησες!!! :p

Dmitsos · 14-08-11

Αρχική Δημοσίευση από red span:
Μία άσκηση γία τους μαθητές του i-school.Συνδυάζει πολλά πράγματα από ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ-ΟΡΙΑ-ΣΥΝΕΧΕΙΑ
'Εστω συνάρτηση f με πεδίο ορισμού το R τέτοια,ώστε για κάθε χ e R,να ισχυει $f^3(x)+3f(x)=3x (1)$
Να δείξετε ότι
$1) f(0)=0$
$2)$ Το σύνολο τιμών της f ειναι το R
$3)$ Να βρεθεί ο τύπος της αντίστροφης
$4)$ Να δείχθει με δύο τρόπους ότι η f είναι γνησίως αύξουσα
$5)$ Να δείξετε οτι η f είναι περριτή
$6)\lim_{x->+oo}f(x)=+oo$
$7)$ Να δείξετε ότι η f είναι παραγωγίσιμη

Για το 2ο ερώτημα έχω μια λύση μισής σειράς.

Guest 278211 · 14 Αυγούστου 2011

1. Έστω ότι ${x}_{0} \epsilon {R} : {f({x}_{0})}=0 \Leftrightarrow {{f}^{3}({x}_{0})}=0$
Άρα: ${{f}^{3}({x}_{0})}+3{f({x}_{0})}=0 \Leftrightarrow 3{x}_{0}=0 \Leftrightarrow {x}_{0}=0$ δηλαδή ${f(0)=0}$

2. έστω ${f(x)}=y , x \epsilon {R}, y \epsilon {f(R)}$
${y}^{3}+3y=3x \Leftrightarrow \frac{{y}^{3}+3y}{3} = x (2)$ άρα $f(R)=R$

3. $(2) \Rightarrow {f}^{-1}(x)=\frac{{x}^{3}+3x}{3}$

4. έστω ${x}_{1},{x}_{2} \epsilon {R}, f({x}_{1}) \succ f({x}_{2}) \Leftrightarrow {f}^{3}({x}_{1}) \succ {f}^{3}({x}_{2})$
άρα: ${f}^{3}({x}_{1})+3 f({x}_{1}) \succ {f}^{3}({x}_{2}) + 3f({x}_{2}) \Rightarrow {x}_{1} \succ {x}_{2}$
έστω η f γνησίως φθίνουσα $f({x}_{2}) \succ f({x}_{1})$ άτοπο
η f δεν είναι σταθερή
άρα η f είναι γνησίως αύξουσα

Δεν ξέρω άλλον τρόπο... :redface:

5. έστω $f(-x)=-f(x) \Leftrightarrow {f}^{3}(-x)=-{f}^{3}(x)$
δηλαδή ${f}^{3}(-x) + 3f(-x) = - [{f}^{3}(x) +3f(x)] \Rightarrow 3(-x)=-3x$ που ισχύει

red span · 14-08-11

Αρχική Δημοσίευση από Guest 278211:
1. Έστω ότι ${x}_{0} \epsilon {R} : {f({x}_{0})}=0 \Leftrightarrow {{f}^{3}({x}_{0})}=0$
Άρα: ${{f}^{3}({x}_{0})}+3{f({x}_{0})}=0 \Leftrightarrow 3{x}_{0}=0 \Leftrightarrow {x}_{0}=0$ δηλαδή ${f(0)=0}$

2. έστω ${f(x)}=y , x \epsilon {R}, y \epsilon {f(R)}$
${y}^{3}+3y=3x \Leftrightarrow \frac{{y}^{3}+3y}{3} = x (2)$ άρα $f(R)=R$

3. $(2) \Rightarrow {f}^{-1}(x)=\frac{{x}^{3}+3x}{3}$

4. έστω ${x}_{1},{x}_{2} \epsilon {R}, f({x}_{1}) \succ f({x}_{2}) \Leftrightarrow {f}^{3}({x}_{1}) \succ {f}^{3}({x}_{2})$
άρα: ${f}^{3}({x}_{1})+3 f({x}_{1}) \succ {f}^{3}({x}_{2}) + 3f({x}_{2}) \Rightarrow {x}_{1} \succ {x}_{2}$
έστω η f γνησίως φθίνουσα $f({x}_{2}) \succ f({x}_{1})$ άτοπο
η f δεν είναι σταθερή
άρα η f είναι γνησίως αύξουσα

Δεν ξέρω άλλον τρόπο...

5. έστω $f(-x)=-f(x) \Leftrightarrow {f}^{3}(-x)=-{f}^{3}(x)$
δηλαδή ${f}^{3}(-x) + 3f(-x) = - [{f}^{3}(x) +3f(x)] \Rightarrow 3(-x)=-3x$ που ισχύει

Το 2 ερώτημα είναι λάθος
Πρώτα βρίσκω το σύνολο τιμών της f ,που είναι το σύνολο ορισμού της αντιστρόφου και μετά βρίσκω τον τύπο της. Διαφορετικά, όταν πάω να λύσω την y=f(x) ως προς x δεν θα ξέρω για ποια y ισχύουν οι σχέσεις που θα γράψω. Καταλαβαίνεις λοιπόν ότι είναι λάθος να βρίσκουμε πρώτα τον τύπο της αντιστρόφου και μετά το σύνολο ορισμού της!!!
•Το σύνολο τιμών μπορούμε να το βρούμε (αν βρίσκεται) ανεξάρτητα αν θα συνεχίσουμε για την εύρεση της αντίστροφης συνάρτησης ( αν αντιστρέφεται).
Με εκτίμηση και αγάπη.
Απο τον κ.Κυριακόπουλο

exc · 14-08-11

Μία μικρή παρέμβαση σε ό,τι αφορά μερικά μαθηματικά σύμβολα.
Τα σύμβολα $>,{}<,{}\infty$ τα βάζουμε (ενν. στο $\LaTeX$ ) αντιστοίχως με: >, <, \infty.
Τα σύμβολα $\succ,{}\prec,{}\propto$ (\succ, \prec, \propto (σύμβολο αναλογίας)) και τα συναφή τους, καμία σχέση δεν έχουν με τα προηγούμενα. Έχουν εντελώς διαφορετική σημασία. Μην τα χρησιμοποιείτε κατ' αυτόν τον τρόπο.
------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------
Επίσης, σε ό,τι αφορά στην άσκηση:
Στο πρώτο ερώτημα θα μπορούσε, επίσης, κανείς και να αντικαταστήσει το χ με το 0 και να βρει την f(0) λύνοντας την προκύπτουσα εξίσωση. Σε αυτό το σημείο επίσης να παρατηρήσω ότι έπρεπε να τονισθεί αν το σύνολο τιμών της f είναι υποσύνολο των πραγματικών ή περνάει και στους μιγαδικούς.

Τέλος να παρατηρήσω ότι τα ερωτήματα 2(ήταν λάθος), 4(ο άλλος τρόπος), 5, 7 έχουν μείνει αναπάντητα.
Μία υπόδειξη που δίνω είναι να αποδείξετε πρώτα το 6 και μετά το 2.
Μία ακόμη υπόδειξη (για το 6 και το 4) είναι ότι $f^3(x)\, \text{and} \,f(x)$ έχουν προφανώς το ίδιο πρόσημο.

red span · 15-08-11

Nai exc ,αυριο θα απαντηθουν ολα(απο μενα).Στο 6 η υποδειξη που δινεις ειναι ανευφ σημασιας ,διοτι η f ειναι γνησιως αυξουσα και εχει συνολο τιμων το f(A)=(-oo,+oo) που αλλιως μπορει να γραφει f(A)=(limf(x),limf(x)) με το χ να τεινει στο -οο στην πρωτη περιπτωση και στο +οο στην δευτερη.Αυριο θα επανελθω με μια καλογραμενη λυση
Φιλικα χ

exc · 15-08-11

Αρχική Δημοσίευση από red span:
Nai exc ,αυριο θα απαντηθουν ολα(απο μενα).Στο 6 η υποδειξη που δινεις ειναι ανευφ σημασιας ,διοτι η f ειναι γνησιως αυξουσα και εχει συνολο τιμων το f(A)=(-oo,+oo) που αλλιως μπορει να γραφει f(A)=(limf(x),limf(x)) με το χ να τεινει στο -οο στην πρωτη περιπτωση και στο +οο στην δευτερη.Αυριο θα επανελθω με μια καλογραμενη λυση
Φιλικα χ

Απλά, προφανώς, ακολούθησες διαφορετικό τρόπο απόδειξης, γιατί και το ότι είναι γνησίως αύξουσα, μπορεί να αποδειχθεί εύκολα με την ίδια ακριβώς υπόδειξη.

red span · 15 Αυγούστου 2011

Αρχική Δημοσίευση από red span:
Μία άσκηση γία τους μαθητές του i-school.Συνδυάζει πολλά πράγματα από ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ-ΟΡΙΑ-ΣΥΝΕΧΕΙΑ
'Εστω συνάρτηση f με πεδίο ορισμού το R τέτοια,ώστε για κάθε χ e R,να ισχυει $f^3(x)+3f(x)=3x (1)$
Να δείξετε ότι
$1) f(0)=0$
$2)$ Το σύνολο τιμών της f ειναι το R
$3)$ Να βρεθεί ο τύπος της αντίστροφης
$4)$ Να δείχθει με δύο τρόπους ότι η f είναι γνησίως αύξουσα
$5)$ Να δείξετε οτι η f είναι περριτή
$6)\lim_{x->+oo}f(x)=+oo$
$7)$ Να δείξετε ότι η f είναι παραγωγίσιμη

1(1τρόπος) για χ=0 στην δοσμένη σχέση παίρνω $f^3(0)+3f(0)=0\Leftrightarrow f(0)(f^2(0)+1)=0$
και αφού $f^2(0)+1>0$ τότε f(0)=0
(2 τρόπος) έστω ότι υπάρχει χο τέτοιο ώστε f(xo)=0 ,η δοσμένη σχέση ισχύει για κάθε χ e R αρα θα ισχύει για χ=χο,αντικαθιστοντας χο=0 αρα f(0)=0
(3 τρόπος) Μπορούμε με Horner να λύσουμε την εξίσωση
2)
(by cilvara) θετω y=f(x) $y^3+3y=3x$ θετω $g(y)=y^3+3y-3x$ το χ εδώ εκλαμβάνετε ως σταθερά η g(y) είναι προφανώς γνησίως αυξουσα(αφού g'(y)=3y^2+3>0) και έχει σύνολο τιμών το R άρα υπάρχει μοναδικό yο τέτοιο ώστε g(yo)=0 αρα yo^3+3yo=3x αρα για κάθε yo ανηκει στο R έχουμε σαν λύση μοναδικό χο,αρα το Συνολο τιμών είναι το R
3)θέτω y=f(x) τότε $y^3+3y=3x\Leftrightarrow x=\frac{y^3+3y}{3}\Leftrightarrow f^-1(x)=\frac{x^3+3x}{3}$
4)1 τρόπος .Για τον 1 τρόπο θα χρησιμοπιήσω το παρακάτω λήμμα

Αν μια συνάρτηση

είναι γνησίως μονότονη τότε η αντίστροφή της

(η οποία προφανώς υπάρχει λόγω του «1-1» της

(που οφείλεται στη γνήσια μονοτονίας της) θα έχει το ίδιο είδος μονοτονίας με την

Απόδειξη

Έστω ότι η

είναι γνησίως αύξουσα τότε για κάθε

με

Αρκεί να δείξω ότι για κάθε

με

Με άτοπο: Έστω ότι υπάρχουν

με

για τα οποία να ισχύει:

πράγμα άτοπο από την

Εύκολα βλέπω ότι η αντίστροφη ειναι γνησίως αύξουσα αρα και η f σύμφωνα με το λημμα θα είναι γνησιως αυξουσα
Στο 2 τρόπο αναφέρθηκε η Guest 278211 πιο πάνω
Σε λιγο ερχοντε και η συνεχεια της ασκησης

5) Λημμα
Αν μια συνάρτηση

είναι περιττή τότε και η τότε η αντίστροφή της

ειναι περιττή
f(f^-1(x))=x (1)
Θετω οπου χ το -χ f(f^-1(-x))=-x
λογω της 1 f(f^-1(-x))=-f(f^-1(x)(αφου η f περριτη)
f(f^-1(x))=f(-f^-1(x))
η f ειναι ''1-1''
f^-1(x)=-f^-1(x)
Αρα η f^-1 περριτη
και αντιστρόφως
Εύκολα βλέπω οτι η αντίστροφη είναι περριτή,άρα σήμφωνα με το λήμμα και η f θα είναι περριτή
2 τροπος
'Εστω ότι υπάρχει χο τέτοιο ώστε
$f(-xo)\neq -f(xo)$ τότε $3f(-xo)\neq -3f(xo)(1)$ και $f^3(-xo)\neq -f^3(xo)(2)$
Προσθετοντας την 1 και 2 καταληγω σε άτοπο
Η αποδειξη της μονοτονιας οφειλετε στο ΣΤΑΘΗ ΚΟΥΤΡΑ,ηταν πολυ καλογραμμενη και θελησα να την δανειστω

mouk · 15-08-11

Χάρη, όταν κάνουμε κάτι copy-paste από άλλο forum (mathematica), καλό είναι να αναφέρουμε την πηγή καθώς και τον άνθρωπο που την έλυσε.

Όχι τίποτα άλλο, αλλά θα τα δει κανένας Χριστιανός από το mathematica και θα πάθει deja vu. :hypno:

Guest 278211 · 15-08-11

Δεν είναι λάθος το 2ο ερώτημα. Δε βρίσκω τον τύπο της αντίστροφης, απλώς εντοπίζω αν υπάρχουν περιορισμοί. Και δεν έχω διδαχτεί ακόμα παραγώγους οπότε... Το y ανήκει στο f(R) και με αυτόν τον τρόπο βρίσκω ποιο είναι το f(R), γνωρίζοντας ότι Df=R.
Αντιγράφω τη μεθοδολογία, όπως αναφέρεται στο Βοήθημα του Β. Παπαδάκη, 1ο τεύχος, σελ. 121

Μεθοδολογία
Για να βρούμε το σύνολο τιμών μιας συνάρτησης f εργαζόμαστε ως εξής:

Βρίσκουμε το πεδίο ορισμού της f.

Θεωρούμε την εξίσωση y=f(x) και τη λύνουμε ως προς x, θέτοντας όπου χρειάζεται περιορισμούς για το y.

Απαιτούμε η λύση x που βρήκαμε παραπάνω να ανήκει στο πεδίο ορισμού της f.

Συναληθεύουμε τους περιορισμούς που έχουν προκύψει για το y και βρίσκουμε το σύνολο τιμών της f.

Το σύνολο τιμών μιας συνάρτησης μπορεί να βρεθεί πιο εύκολα με τη βοήθεια της μονοτονίας, όπως θα δούμε σε επόμενο κεφάλαιο.

Το 6 δεν το είδα :redface:

αλλά έτσι κι αλλιώς το αποδείξατε παραπάνω, σύντομα. Το 7 είναι παράγωγοι, που δεν έχω διδαχτεί.

Α, και πιο σωστό είναι, τουλάχιστον έτσι όπως το έχω λύσει, να είναι πρώτα το 4ο και μετά το 3ο ερώτημα, (αν και έτσι δεν υπάρχουν 2 τρόποι).

red span · 15-08-11

Αρχική Δημοσίευση από mouk:
Χάρη, όταν κάνουμε κάτι copy-paste από άλλο forum (mathematica), καλό είναι να αναφέρουμε την πηγή καθώς και τον άνθρωπο που την έλυσε.

Όχι τίποτα άλλο, αλλά θα τα δει κανένας Χριστιανός από το mathematica και θα πάθει deja vu.

To μονο που πηρα ηταν η αποδειξη της μονοτονιας της αντιστροφης που ηταν καλλογραμενη,εχεις δικαιο επρεπε να γραψω την πηγη.Τα αλλα ομως ειναι δικος μου κοπως.Ψαξε οπου θες στο mathematika

qwerty111 · 21 Αυγούστου 2011

Αρχική Δημοσίευση από red span:
1(1τρόπος) για χ=0 στην δοσμένη σχέση παίρνω $f^3(0)+3f(0)=0\Leftrightarrow f(0)(f^2(0)+1)=0$
και αφού $f^2(0)+1>0$ τότε f(0)=0
(2 τρόπος) έστω ότι υπάρχει χο τέτοιο ώστε f(xo)=0 ,η δοσμένη σχέση ισχύει για κάθε χ e R αρα θα ισχύει για χ=χο,αντικαθιστοντας χο=0 αρα f(0)=0
(3 τρόπος) Μπορούμε με Horner να λύσουμε την εξίσωση
2)
(by cilvara) θετω y=f(x) $y^3+3y=3x$ θετω $g(y)=y^3+3y-3x$ το χ εδώ εκλαμβάνετε ως σταθερά η g(y) είναι προφανώς γνησίως αυξουσα(αφού g'(y)=3y^2+3>0) και έχει σύνολο τιμών το R άρα υπάρχει μοναδικό yο τέτοιο ώστε g(yo)=0 αρα yo^3+3yo=3x αρα για κάθε yo ανηκει στο R έχουμε σαν λύση μοναδικό χο,αρα το Συνολο τιμών είναι το R
3)θέτω y=f(x) τότε $y^3+3y=3x\Leftrightarrow x=\frac{y^3+3y}{3}\Leftrightarrow f^-1(x)=\frac{x^3+3x}{3}$
4)1 τρόπος .Για τον 1 τρόπο θα χρησιμοπιήσω το παρακάτω λήμμα

Αν μια συνάρτηση

είναι γνησίως μονότονη τότε η αντίστροφή της

(η οποία προφανώς υπάρχει λόγω του «1-1» της

(που οφείλεται στη γνήσια μονοτονίας της) θα έχει το ίδιο είδος μονοτονίας με την

Απόδειξη

Έστω ότι η

είναι γνησίως αύξουσα τότε για κάθε

με

Αρκεί να δείξω ότι για κάθε

με

Με άτοπο: Έστω ότι υπάρχουν

με

για τα οποία να ισχύει:

πράγμα άτοπο από την

Εύκολα βλέπω ότι η αντίστροφη ειναι γνησίως αύξουσα αρα και η f σύμφωνα με το λημμα θα είναι γνησιως αυξουσα
Στο 2 τρόπο αναφέρθηκε η Guest 278211 πιο πάνω
Σε λιγο ερχοντε και η συνεχεια της ασκησης

5) Λημμα
Αν μια συνάρτηση

είναι περιττή τότε και η τότε η αντίστροφή της

ειναι περιττή
f(f^-1(x))=x (1)
Θετω οπου χ το -χ f(f^-1(-x))=-x
λογω της 1 f(f^-1(-x))=-f(f^-1(x)(αφου η f περριτη)
f(f^-1(x))=f(-f^-1(x))
η f ειναι ''1-1''
f^-1(x)=-f^-1(x)
Αρα η f^-1 περριτη
και αντιστρόφως
Εύκολα βλέπω οτι η αντίστροφη είναι περριτή,άρα σήμφωνα με το λήμμα και η f θα είναι περριτή
2 τροπος
'Εστω ότι υπάρχει χο τέτοιο ώστε
$f(-xo)\neq -f(xo)$ τότε $3f(-xo)\neq -3f(xo)(1)$ και $f^3(-xo)\neq -f^3(xo)(2)$
Προσθετοντας την 1 και 2 καταληγω σε άτοπο
Η αποδειξη της μονοτονιας οφειλετε στο ΣΤΑΘΗ ΚΟΥΤΡΑ,ηταν πολυ καλογραμμενη και θελησα να την δανειστω

1)
4ος τρόπος:
Θέτω g(x)=x³+3x, xεR
H αρχική σχέση γίνεται g(f(x))=3x
Εύκολα βρίσκουμε ότι η g είναι γνησίως αύξουσα και άρα 1-1

Ισοδύναμα έχουμε
g(f(0))=0
g(f(0)=g(0)
f(0)=0 (g: 1-1)
4)
3ος τρόπος:
Έστω χ1,χ2εR τέτοιοι ώστε χ1<χ2
Ισοδύναμα έχουμε
χ1<χ2
3χ1

χ2
f³(x1)+3f(x1)<f³(x2)+3f(x2) (από την αρχική σχέση)
g(f(x1))<g(f(x2))
f(x1)<f(x2) (αφού η g είναι γνησίως αύξουσα)
7)
Εγώ βρήκα ότι $f'(x)=\frac{1}{{f}^{2} (x) + 1}, x\in R$
Είναι σωστό;

red span · 11-09-11

'Ομορφη άσκηση από το βιβλίο του Μ.Λάμπρου
a)Να βρείτε το γεωμετρικό τόπο των εικόνω των μιγαδικών αριθμών z που ικανποιούν την $\left|z-5i \right|=\left|z-2+i \right|$
b)Να βρείτε το γεωμετρικό τόπο των εικόνω των μιγαδικών αριθμών z που ικανοποιουν την $<b>\left|2z-5-5i \right|^2\leq 10</b>$
γ)Να βρείτε τον γεωμετρικό τόπο των εικόνων των μιγαδικών αριθμών z που ικανοποιουν ταυτόχρονα τα (α) και (β) και να τον σχεδιασετε στο επιπεδο

Συλλογή ασκήσεων και τεστ στα Μαθηματικά Προσανατολισμού

Πολύ δραστήριο μέλος

Δραστήριο μέλος

Διάσημο μέλος

Guest 278211

Επισκέπτης

Δραστήριο μέλος

Διάσημο μέλος

Δραστήριο μέλος

Πολύ δραστήριο μέλος

Πολύ δραστήριο μέλος

Guest 278211

Επισκέπτης

Δραστήριο μέλος

Διάσημο μέλος

Δραστήριο μέλος

Διάσημο μέλος

Δραστήριο μέλος

Νεοφερμένος

Guest 278211

Επισκέπτης

Δραστήριο μέλος

Πολύ δραστήριο μέλος

Δραστήριο μέλος