Συλλογή ασκήσεων και τεστ στα Μαθηματικά Προσανατολισμού

vassilis498 · 19-02-11

Αρχική Δημοσίευση από lowbaper92:
Σορρυ λάθος μου, η f' είναι συνεχής.. Το πρόβλημα είναι στο β.. έχεις δύο σημεία μηδενισμού της παραγώγου, οπότε δεν φτάνουν αυτά που γράφεις

μα πώς γίνεται η f' να μηδενίζεται σε 2 σημεία αφού είναι γν. αύξουσα ( f κυρτή ) και συνεχής;

(και μια διόρθωση στο (β) αντί για " f''(x)>0", "f(x) κυρτή " γιατί δεν ξέρω για διπλή παραγωγισιμότητα )

lowbaper92 · 19-02-11

Αρχική Δημοσίευση από vassilis497:
μα πώς γίνεται η f' να μηδενίζεται σε 2 σημεία αφού είναι γν. αύξουσα ( f κυρτή ) και συνεχής;
(και μια διόρθωση στο (β) αντί για " f''(x)>0", "f(x) κυρτή " γιατί δεν ξέρω για διπλή παραγωγισιμότητα )

Έχεις δείξει στο α ερώτημα ότι μηδενίζεται σε κάποιο x0ε(0,1) και στο β ερώτημα σου λέει ότι μηδενίζεται και στο 1/2.. οπότε κάτι πρέπει να δικαιολογήσεις.

rebel · 21-02-11

Για κάποιο λόγο (που δεν γνωρίζω) σβήστηκαν κάποια posts, αν όχι όλα της Κυριακής και από δω και από τις "απορίες". Τέλος πάντων, να μια άσκηση από το τελευταίο τεύχος του Ευκλείδη Β' στην στήλη του μαθητή

Για μια συνάρτηση $f:\left[0,+\infty\right)\rightarrow \mathbb{R}$ ισχύει $2f^5(x)+3f(x)=3x^2+2x-5$ για κάθε $x\geq 0$ . Να αποδείξετε ότι η συνάρτηση f είναι γνησίως αύξουσα.

babisgr · 21-02-11

Απλώς παραγωγίζεις και βγαίνει η παράγωγος θετική.. Έτσι δεν είναι; :/:

vassilis498 · 21-02-11

^

έστω g(x)=3x²+2x-5
g'(x)=6x+2 > 0
άρα g(x) γν. αύξουσα

2f^5(x)+3f(x) = g(x)

έστω 2 τυχαία χ1,χ2 στο A, τέτοια ώστε f(x1)<f(x2)
2f^5(x1)<2f^5(x2) (1)
3f(x1) < 3f(x2) (2)

(1)+(2) : 2f^5(x1) + 3f(x1) < 2f^5(x2) + 3f(x2) <--> g(x1)<g(x2) <--> x1<x2 άρα f, γν. αύξουσα

?

πάντως για την παραγώγιση, μιας που ρωτήθηκε, εφόσον παραγωγίζεται το δεύτερο μέλος, δεν μπορούμε να πούμε ότι παραγωγίζεται και το πρώτο;

rebel · 21 Φεβρουαρίου 2011

To πρώτο μέλος παραγωγίζεται και είναι σύνθεση της $f(x)$ με την $2x^5+3x$ . Δεν ξέρω όμως αν ισχύει ότι αν η $hof$ είναι παραγωγίσιμη έπεται ότι και η $f$ είναι παραγωγίσιμη.Ίσως υπάρχει κάποιο αντιπαράδειγμα.

Edit: Ξαφνικά θυμήθηκα την συζήτηση που είχε γίνει εδώ #3257 . Με βάση το θεώρημα που αναφέρω εκεί, για την συγκεκριμένη περίπτωση, αν γράψουμε την συνάρτηση του πρώτου μέλους σαν $hof(x)$ με $h(x)=2x^5+3x$ τότε η h έιναι αντιστρέψιμη(αφού είναι 1-1), συνεχής και παραγωγίσιμη σε όλο το $\mathbb{R}$ με $h'(x)\neq 0 \ \forall x \in \mathbb{R}$ . Επομένως και η αντίστροφη συνάρτηση $h^{-1}$ θα είναι παντού παραγωγίσιμη. Τώρα η f μπορεί να γραφεί σαν σύνθεση ως εξής $\left(h^{-1}ohof\right)(x)=f(x)$ . Επομένως η f είναι όντως παραγωγίσιμη σαν σύνθεση των παραγωγίσιμων συναρτήσεων $h^{-1}$ και $hof$ .

Γενικά όμως δεν ισχύει ότι αν η σύνθεση είναι παραγωγίσιμη τότε και οι επιμέρους συναρτήσεις είναι παραγωγίσιμες. Θεωρούμε για παράδειγμα την συνάρτηση

f(x)=2x για χ>=0
3χ για χ<0
Αυτή είναι παραγωγίσιμη σε όλο το R εκτός από το 0. Επίσης είναι 1-1, άρα αντιστρέψιμη. Όμως η σύνθεση $(f^{-1}of)(x)=x$ είναι παραγωγίσιμη σε όλο το R

vassilis498 · 24-02-11

βάζω μια που μ' άρεσε μιας και δε βλέπω πολύ κινητικότητα

έστω f(x) 3 φορές παραγωγίσιμη στο R με την ιδιότητα
2f(x)>= f(1) + f(2) για xεR

να δείξω ότι έχω ένα τουλάχιστον Χο στο R τέτοιο ώστε f '''(Xo)=0

strsismos88 · 27-02-11

Παιδια πως δειχνουμε το (i) ?

Δινεται μια συναρτηση f: (0, +oo) --> R για την οποια ισχυουν f(x) < x και f'(x) = x/(x - f(x)) για καθε x>0. Να δειξετε οτι:
i. Η f ειναι δυο φορες παραγωγισιμη.
ii. Η f ειναι κυρτη στο (0, +οο).

Για το (ii) δεν υπαρχει προβλημα, απλως ετσι εγραψα την ασκηση οπως δινεται.

vassilis498 · 27-02-11

με βάση τη σχέση που σου δίνει βλέπεις ότι η f' είναι παραγωγίσιμη ως πράξεις παραγωγίσιμων συναρτήσεων, άρα αφού η f' είναι παραγωγίσιμη, τότε η f, θα είναι διπλά παραγωγίσιμη

strsismos88 · 27-02-11

Αρχική Δημοσίευση από vassilis497:
με βάση τη σχέση που σου δίνει βλέπεις ότι η f' είναι παραγωγίσιμη ως πράξεις παραγωγίσιμων συναρτήσεων, άρα αφού η f' είναι παραγωγίσιμη, τότε η f, θα είναι διπλά παραγωγίσιμη

Thanx, φαντασου... ηταν τοσο ευκολο που δε το πιστευα

red span · 27-02-11

Αρχική Δημοσίευση από vassilis497:
βάζω μια που μ' άρεσε μιας και δε βλέπω πολύ κινητικότητα

έστω f(x) 3 φορές παραγωγίσιμη στο R με την ιδιότητα
2f(x)>= f(1) + f(2) για xεR

να δείξω ότι έχω ένα τουλάχιστον Χο στο R τέτοιο ώστε f '''(Xo)=0

Βαλε να δουμε την λυση γιατι δεν με βγαινει

vassilis498 · 27-02-11

σκόπευα να το αφήσω λίγο ακόμα, αλλά εντάξει το αφήνω σε spoiler:

έστω f(x) 3 φορές παραγωγίσιμη στο R με την ιδιότητα
2f(x)>= f(1) + f(2) για xεR

να δείξω ότι έχω ένα τουλάχιστον Χο στο R τέτοιο ώστε f '''(Xo)=0

2f(x) >= f(1) +f(2) (1)

(1): x=1
2f(1) >= f(1) + f(2) <--> f(1) >= f(2)

(1):x=2
2f(2) >= f(1) + f(2) <--> f(1) =< f(2)

άρα f(1) =f(2)

έτσι ισχύει:
2f(x) >= 2f(1) <--> f(x) >= f(1)
2f(x) >= 2f(2) <--> f(x) >= f(2)

η f(x) παραγωγίζεται παντού, και για x=1, x=2 έχω ακρότατα, άρα από Fermat έχω f'(1)=f'(2)=0
επίσης f(1)=f(2)
από Rolle, έχω Χο στο (1,2) τέτοιο ώστε f'(Xo)=0

άρα για 1<Xo<2
έχω f'(1)=f'(Xo)=f'(2)=0

η f'(x) παραγωγίζεται παντού, άρα από Rolle έχω:
x1 στο (1,Χο) τέτοιο ώστε f''(x1)=0
και x2 στο (Xo,2) τέτοιο ώστε f''(x2)=0

f''(x1)=f''(x2)=0
f''(x) παραγωγίζεται παντού ( f(x) τριπλά παραγωγίζιμη στο R )
άρα από Rolle έχω ξ στο (x1,x2) (υποσύνολο του R) τέτοιο ώστε f'''(ξ)=0

rebel · 27-02-11

Αρχική Δημοσίευση από styt_geia:
Έστω $f:\mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R}$ συνεχής με $f(x)=x+\int_{0}^{x}\int_{0}^{u}f(t)dtdu$
i)Να βρεθεί ο τύπος της f
ii)Να δείξετε ότι η f αντιστρέφεται και να βρεθεί η $f^{-1}$
iii)Να εξετάσετε αν η $f^{-1}$ είναι άρτια ή περιττή
iv)Να υπολογιστεί το ολοκλήρωμα $I=\int\frac{1}{\sqrt{1+x^{2}}}dx$

Χρόνια πολλά!

Είχα βάλει αυτή την Χριστουγεννιάτικη η οποία είχε μείνει "παραπονεμένη" εκτός από το τελευταίο ερώτημα που απάντησε ο Dias ανεξάρτητα από τα προηγούμενα υποερωτήματα.

vassilis498 · 02-03-11

κάνω μια προσπάθεια μιας και δε βλέπω να γράφει κανείς άλλος (σφίζει από ζωή το thread)

f(0)=0

παραγωγίζω και έχω:

f'(0)=1

παραγωγίζω πάλι:

για χ=0 παίρνω c=1, άρα

για χ=0 παίρνω c=1/2 άρα

άρα f(x) γν. αύξουσα συνεπώς και "1-1" και αντιστρέψιμη

(αποκλείω την άλλη λύση γιατί είναι αρνητική*)

άρα

περιττή

*

rebel · 02-03-11

Ωραίος! Όλα τα λεφτά κατά την γνώμη μου εδώ είναι το τέχνασμα για να βρεις τον τύπο της f. Προς το παρόν δεν έχω καμιά καλή. Όταν βρω, τα ξαναλέμε...

rebel · 04-03-11

Μία από το mathematica(άλυτη εκεί μέχρι στιγμής) που μου άρεσε(αν η λύση που έχω στο μυαλό μου ευσταθεί)

Να υπολογιστεί το $\lim_{x\rightarrow +\infty}\left[(x+1)^{\frac{x+2}{x+1}}-x^{\frac{x+1}{x}}\right]$

vassilis498 · 07-03-11

βάζω μια σκέψη που έκανα αλλά δεν είμαι σίγουρος μην παίζει τίποτα με τις απροσδιοριστίες

=

(θέτω u=x+1 )

=

άρα το

ορίζεται

rebel · 8 Μαρτίου 2011

Πιστεύω κι εγώ ότι υπάρχει πρόβλημα με την απροσδιοριστία $+\infty-\infty$ . Οτι δηλαδή δεν ισχύει η σχέση $\lim_{x \to x_0}\left[f(x)-g(x)\right]=\lim_{x \to x_0}f(x)-\lim_{x \to x_0}g(x)$ όταν $\lim_{x \to x_0}f(x)=\lim_{x \to x_0}g(x)=+\infty$ . Με την ίδια λογική για παράδειγμα πάρε το όριο $\lim_{x \to +\infty}\left(e^{x+1}-e^x\right)$ . Ακολουθώντας το σκεπτικό σου θα βρίσκαμε ότι κάνει 0, ενώ είναι $e^{x+1}-e^x=e^x\left(e-1\right)\rightarrow +\infty$

vassilis498 · 08-03-11

όντως..

ίσως οι ιδιότητες των ορίων ισχύουν μόνο για όρια που καταλήγουν σε πραγματικό αριθμό

Leo 93 · 08-03-11

Αρχική Δημοσίευση από styt_geia:
Μία από το mathematica(άλυτη εκεί μέχρι στιγμής) που μου άρεσε(αν η λύση που έχω στο μυαλό μου ευσταθεί)

Να υπολογιστεί το $\lim_{x\rightarrow +\infty}\left[(x+1)^{\frac{x+2}{x+1}}-x^{\frac{x+1}{x}}\right]$

Με Θ.Μ.Τ. για την $f(x)={x}^{\frac{x+1}{x}}$ στο $[x,x+1]$ το όριο προκύπτει ίσο με $+\propto$
(αν έκανα καλά τις πράξεις)

Τέτοια Θ.Μ.Τ. είναι χρήσιμα σε όρια ολοκληρωμάτων, ειδικά σε διαστήματα της μορφής $(x,x+a)$

Συλλογή ασκήσεων και τεστ στα Μαθηματικά Προσανατολισμού

Διακεκριμένο μέλος

Πολύ δραστήριο μέλος

Πολύ δραστήριο μέλος

Πολύ δραστήριο μέλος

Διακεκριμένο μέλος

Πολύ δραστήριο μέλος

Διακεκριμένο μέλος

Νεοφερμένος

Διακεκριμένο μέλος

Νεοφερμένος

Δραστήριο μέλος

Διακεκριμένο μέλος

Πολύ δραστήριο μέλος

Διακεκριμένο μέλος

Πολύ δραστήριο μέλος

Πολύ δραστήριο μέλος

Διακεκριμένο μέλος

Πολύ δραστήριο μέλος

Διακεκριμένο μέλος

Εκκολαπτόμενο μέλος