Συλλογή ασκήσεων και τεστ στα Μαθηματικά Προσανατολισμού

coheNakatos

Δραστήριο μέλος

Ο Βαγγελης αυτή τη στιγμή δεν είναι συνδεδεμένος. Είναι Μαθητής Γ' λυκείου και μας γράφει απο Βύρωνας (Αττική). Έχει γράψει 662 μηνύματα.

ledzeppelinick

Πολύ δραστήριο μέλος

Ο Νίκος αυτή τη στιγμή δεν είναι συνδεδεμένος. Είναι 32 ετών, Φοιτητής και μας γράφει απο Πολίχνη (Θεσσαλονίκη). Έχει γράψει 1,194 μηνύματα.

jimmy007

Εκκολαπτόμενο μέλος

Ο jimmy007 αυτή τη στιγμή δεν είναι συνδεδεμένος. Είναι 32 ετών και Μαθητής Γ' λυκείου. Έχει γράψει 173 μηνύματα.
Αρχικά θα δείξουμε ότι με απαγωγή.

Έστω με και

Όμως συνεχείς και παραγωγίσιμη στο οπότε ικανοποιούνται οι προϋποθέσεις του θεωρήματος Rolle δηλαδή υπάρχει τέτοιο ώστε

άτοπο.

Θα αποδείξουμε ότι αν συνεχής συνάρτηση και τότε η f είναι γνησίως μονότονη.

Πάλι με απαγωγή θεωρούμε ότι η δεν είναι γνησίως μονότονη.

Τότε υπάρχουν και με με και

Σύμφωνα με το Θεώρημα ενδιαμέσων τιμών αν με:



τότε υπάρχει και

τέτοια ώστε και επειδή έπεται ότι

που είναι πάλι άτοπο διότι








και






Σωστός ο παίκτης....:no1::no1:
 

Σημείωση: Το μήνυμα αυτό γράφτηκε 14 χρόνια πριν. Ο συντάκτης του πιθανόν να έχει αλλάξει απόψεις έκτοτε.

g!orgos

Εκκολαπτόμενο μέλος

Ο Γιώργος αυτή τη στιγμή δεν είναι συνδεδεμένος. Είναι Φοιτητής και μας γράφει απο Άργος (Αργολίδα). Έχει γράψει 218 μηνύματα.
Αφου f ' (x) διαφορη του μηδενος τότε f ' (x ) > 0 ή f ' (x) < 0 Αρα f γνησιως αυξουσα ή f γνησιως φθινουσα!
Αυτο που κολλαει???!!
 

Σημείωση: Το μήνυμα αυτό γράφτηκε 14 χρόνια πριν. Ο συντάκτης του πιθανόν να έχει αλλάξει απόψεις έκτοτε.

jimmy007

Εκκολαπτόμενο μέλος

Ο jimmy007 αυτή τη στιγμή δεν είναι συνδεδεμένος. Είναι 32 ετών και Μαθητής Γ' λυκείου. Έχει γράψει 173 μηνύματα.
Αφου f ' (x) διαφορη του μηδενος τότε f ' (x ) > 0 ή f ' (x) < 0 Αρα f γνησιως αυξουσα ή f γνησιως φθινουσα!

Αυτό ισχύει μόνο αν η πρώτη παράγωγος είναι συνεχής συνάρτηση για το οποίο δεν έχουμε επαρκείς πληροφορίες..
 

Σημείωση: Το μήνυμα αυτό γράφτηκε 14 χρόνια πριν. Ο συντάκτης του πιθανόν να έχει αλλάξει απόψεις έκτοτε.

Metal-Militiaman

Νεοφερμένος

Ο Metal-Militiaman αυτή τη στιγμή δεν είναι συνδεδεμένος. Είναι 33 ετών και Φοιτητής. Έχει γράψει 90 μηνύματα.
Αυτό ισχύει μόνο αν η πρώτη παράγωγος είναι συνεχής συνάρτηση για το οποίο δεν έχουμε επαρκείς πληροφορίες..

Άμα ήξερε το θεώρημα Darboux(ή θεώρημα ενδιάμεσης τιμής της παραγώγου) θα ήταν σωστός συλλογισμός.Δυστυχώς όμως το συγκεκριμένο θεώρημα είναι εκτός ύλης.
 

Σημείωση: Το μήνυμα αυτό γράφτηκε 14 χρόνια πριν. Ο συντάκτης του πιθανόν να έχει αλλάξει απόψεις έκτοτε.

jimmy007

Εκκολαπτόμενο μέλος

Ο jimmy007 αυτή τη στιγμή δεν είναι συνδεδεμένος. Είναι 32 ετών και Μαθητής Γ' λυκείου. Έχει γράψει 173 μηνύματα.
Άμα ήξερε το θεώρημα Darboux(ή θεώρημα ενδιάμεσης τιμής της παραγώγου) θα ήταν σωστός συλλογισμός.Δυστυχώς όμως το συγκεκριμένο θεώρημα είναι εκτός ύλης.

Μου λες λίγο τι λέει ή που υπάρχει στο σχολικό βιβλίο??
 

Σημείωση: Το μήνυμα αυτό γράφτηκε 14 χρόνια πριν. Ο συντάκτης του πιθανόν να έχει αλλάξει απόψεις έκτοτε.

blacksheep

Πολύ δραστήριο μέλος

Ο ΓιαννηςΤουφεξης αυτή τη στιγμή δεν είναι συνδεδεμένος. Είναι 32 ετών και Μαθητής Γ' λυκείου. Έχει γράψει 1,436 μηνύματα.
Άμα ήξερε το θεώρημα Darboux(ή θεώρημα ενδιάμεσης τιμής της παραγώγου) θα ήταν σωστός συλλογισμός.Δυστυχώς όμως το συγκεκριμένο θεώρημα είναι εκτός ύλης.

ακριβως αυτο ρωτησα σημερα και μου ειπαν οτι ειναι εκτος υλης.
Και επειτα εκανα το δικο σου τροπο.
-----------------------------------------
Μου λες λίγο τι λέει ή που υπάρχει στο σχολικό βιβλίο??

διδασκεται στο πανεπιστημιο.Δεν εχει σχεση με τη λυκειακη θεωρια.
 

Σημείωση: Το μήνυμα αυτό γράφτηκε 14 χρόνια πριν. Ο συντάκτης του πιθανόν να έχει αλλάξει απόψεις έκτοτε.

g!orgos

Εκκολαπτόμενο μέλος

Ο Γιώργος αυτή τη στιγμή δεν είναι συνδεδεμένος. Είναι Φοιτητής και μας γράφει απο Άργος (Αργολίδα). Έχει γράψει 218 μηνύματα.
ακριβως αυτο ρωτησα σημερα και μου ειπαν οτι ειναι εκτος υλης.
Και επειτα εκανα το δικο σου τροπο.
-----------------------------------------


διδασκεται στο πανεπιστημιο.Δεν εχει σχεση με τη λυκειακη θεωρια.

Aρα δεν ισχυει αυτο που λεγαμε οτι η f ' ειναι συνεχης... :P
 

Σημείωση: Το μήνυμα αυτό γράφτηκε 14 χρόνια πριν. Ο συντάκτης του πιθανόν να έχει αλλάξει απόψεις έκτοτε.

blacksheep

Πολύ δραστήριο μέλος

Ο ΓιαννηςΤουφεξης αυτή τη στιγμή δεν είναι συνδεδεμένος. Είναι 32 ετών και Μαθητής Γ' λυκείου. Έχει γράψει 1,436 μηνύματα.
ισχυει αλλα δεν το ξερουμε το θεωρημα.
 

Σημείωση: Το μήνυμα αυτό γράφτηκε 14 χρόνια πριν. Ο συντάκτης του πιθανόν να έχει αλλάξει απόψεις έκτοτε.

g!orgos

Εκκολαπτόμενο μέλος

Ο Γιώργος αυτή τη στιγμή δεν είναι συνδεδεμένος. Είναι Φοιτητής και μας γράφει απο Άργος (Αργολίδα). Έχει γράψει 218 μηνύματα.
Τοτε αν ισχυει απο συνεπειες του Bolzano η f ' διατηρει προσημο.. Αρα θα ειναι ειτε αρνητικη ειτε θετικη οποτε η f ειναι γνησιως μονοτονη...
 

Σημείωση: Το μήνυμα αυτό γράφτηκε 14 χρόνια πριν. Ο συντάκτης του πιθανόν να έχει αλλάξει απόψεις έκτοτε.

jimmy007

Εκκολαπτόμενο μέλος

Ο jimmy007 αυτή τη στιγμή δεν είναι συνδεδεμένος. Είναι 32 ετών και Μαθητής Γ' λυκείου. Έχει γράψει 173 μηνύματα.
ισχυει αλλα δεν το ξερουμε το θεωρημα.

Οπότε δεν μπορείς να υποστηρίξεις ότι η f' είναι συνεχής παρόλο που ισχύει.
 

Σημείωση: Το μήνυμα αυτό γράφτηκε 14 χρόνια πριν. Ο συντάκτης του πιθανόν να έχει αλλάξει απόψεις έκτοτε.

blacksheep

Πολύ δραστήριο μέλος

Ο ΓιαννηςΤουφεξης αυτή τη στιγμή δεν είναι συνδεδεμένος. Είναι 32 ετών και Μαθητής Γ' λυκείου. Έχει γράψει 1,436 μηνύματα.
Ναι ο μονος τροπος ειναι συδυασμος Θετ και Rolle
 

Σημείωση: Το μήνυμα αυτό γράφτηκε 14 χρόνια πριν. Ο συντάκτης του πιθανόν να έχει αλλάξει απόψεις έκτοτε.

g!orgos

Εκκολαπτόμενο μέλος

Ο Γιώργος αυτή τη στιγμή δεν είναι συνδεδεμένος. Είναι Φοιτητής και μας γράφει απο Άργος (Αργολίδα). Έχει γράψει 218 μηνύματα.
Ναι ο μονος τροπος ειναι συδυασμος Θετ και Rolle

Εγω μπερδευτηκα... Απο την εκφωνηση προκυπτει ή δεν προκυπτει οτι η f ' ειναι συνεχης..??
 

Σημείωση: Το μήνυμα αυτό γράφτηκε 14 χρόνια πριν. Ο συντάκτης του πιθανόν να έχει αλλάξει απόψεις έκτοτε.

jimmy007

Εκκολαπτόμενο μέλος

Ο jimmy007 αυτή τη στιγμή δεν είναι συνδεδεμένος. Είναι 32 ετών και Μαθητής Γ' λυκείου. Έχει γράψει 173 μηνύματα.
Εγω μπερδευτηκα... Απο την εκφωνηση προκυπτει ή δεν προκυπτει οτι η f ' ειναι συνεχης..??

Με αυτά που διδάσκεσαι μέχρι το τέλος του Λυκείου όχι.
 

Σημείωση: Το μήνυμα αυτό γράφτηκε 14 χρόνια πριν. Ο συντάκτης του πιθανόν να έχει αλλάξει απόψεις έκτοτε.

g!orgos

Εκκολαπτόμενο μέλος

Ο Γιώργος αυτή τη στιγμή δεν είναι συνδεδεμένος. Είναι Φοιτητής και μας γράφει απο Άργος (Αργολίδα). Έχει γράψει 218 μηνύματα.

blacksheep

Πολύ δραστήριο μέλος

Ο ΓιαννηςΤουφεξης αυτή τη στιγμή δεν είναι συνδεδεμένος. Είναι 32 ετών και Μαθητής Γ' λυκείου. Έχει γράψει 1,436 μηνύματα.
Με αυτά που διδάσκεσαι μέχρι το τέλος του Λυκείου όχι.

η καλυτερη απαντηση που εχω ακουσει.:lol:
 

Σημείωση: Το μήνυμα αυτό γράφτηκε 14 χρόνια πριν. Ο συντάκτης του πιθανόν να έχει αλλάξει απόψεις έκτοτε.

jimmy007

Εκκολαπτόμενο μέλος

Ο jimmy007 αυτή τη στιγμή δεν είναι συνδεδεμένος. Είναι 32 ετών και Μαθητής Γ' λυκείου. Έχει γράψει 173 μηνύματα.

Metal-Militiaman

Νεοφερμένος

Ο Metal-Militiaman αυτή τη στιγμή δεν είναι συνδεδεμένος. Είναι 33 ετών και Φοιτητής. Έχει γράψει 90 μηνύματα.
Επειδή λοιπόν βλέπω πολλά ποστ και απ ότι βλέπω σας ενδιαφέρει το συγκεκριμένο θεώρημα σας παραθέτω τις προυποθέσεις και την απόδειξη του συγκεκριμένου θεωρήματος.Το συγκεκριμένο θεώρημα αποδεικνύεται με γνώσεις Λυκείου απλά δεν εμπεριέχεται στο σχολικό βιβλίο.


Θεώρημα Darboux ή θεώρημα ενδιάμεσης τιμής της παραγώγου:

Αν μια συνάρτηση είναι παραγωγίσιμη στο διάστημα ,τότε (η παράγωγος της) παίρνει όλες τις τιμές μεταξύ και , δηλαδή το είναι διάστημα.

Απόδειξη

Χωρίς περιορισμό της γενικότητας υποθέτουμε . Θα αποδείξουμε ότι υπάρχει τέτοιο, ώστε .
Θεωρούμε τη συνάρτηση ,τότε η είναι συνεχής στο οπότε σύμφωνα με το θεώρημα Μεγίστου-Ελαχίστου(Extreme Value Theorem) η παίρνει μια μέγιστη τιμή.Θα αποδείξουμε ότι η δεν παίρνει μέγιστη τιμή ούτε στο ούτε στο .

H g είναι παραγωγίσιμη συνάρτηση στο με .
Οπότε, .

Eπειδή όμως και επειδή σε μια περιοχή του . Άρα στο η δεν παρουσιάζει μέγιστο.


Eπίσης , επειδή.Άρα ούτε στο παρουσίαζει μέγιστο.

Συνεπώς υπάρχει στο οποίο η παίρνει τη μέγιστη τιμή της.Σύμφωνα με το θεώρημα Fermat

Τελικά προκύπτει .

Δηλαδή για έναν αριθμό μεταξύ των και υπάρχει τέτοιο ώστε




Όπως βλέπεται δεν υπόθηκε πουθενά οτί η παράγωγος είναι συνεχής απλά αποδείχθηκε οτί ισχύει το θεώρημα ενδιαμέσων τιμών για την παράγωγο συνάρτηση ανεξαρτήτως συνέχειας.

Ένας διαφορετικός τρόπος διατύπωσεις του παραπάνω θεωρήματος είναι:

Αν είναι παραγωγίσιμη συνάρτηση στο ανοικτό , τότε για I με , συνεπάγεται ότι υπάρχει ρίζα της (παραγώγου συνάρτησης) στο ,δηλαδή υπάρχει τέτοιο ώστε .Γι' αυτόν το λόγο το θεώρημα Darboux ονομάζεται και θεώρημα ενδιάμεσης τιμής της παραγώγου.



Όσον αφορα την άσκηση του jimmy007

Αρχική Δημοσίευση από jimmy007:
Αν f παραγωγίσιμη στο R και f'(x) διάφορη του μηδέν για κάθε x Ε R να δείξετε ότι η f είναι γνησίως μονότονη.

o g!οrgos είπε

Αρχική Δημοσίευση από g!orgos:
Αφου f ' (x) διαφορη του μηδενος τότε f ' (x ) > 0 ή f ' (x) < 0 Αρα f γνησιως αυξουσα ή f γνησιως φθινουσα!

Και θα ταν σωστός αν ήξερε το παραπάνω θεώρημα.

Έστω ότι δεν ισχύει, δηλαδή η παράγωγος συνάρτηση δεν είναι ούτε αυστηρά θετική ούτε αυστηρά αρνητική.Τότε υπάρχουν τέτοια ώστε σύμφωνα όμως με το παραπάνω θεώρημα υπάρχει τέτοιο ώστε , άτοπο απ' την υπόθεση.



Δηλαδή αν για κάθε (όπου το διάστημα στο οποίο ορίζεται η ) η παράγωγος συνάρτηση διατηρεί σταθερό πρόσημo ανεξαρτήτως συνέχειας!


Άσχετο: Πέρσυ όταν ήμουν στην ηλικία σας(γ λυκείου) είχα ποστάρει την απόδειξη του συγκεκριμένου θεωρήματος εδώ https://ischool.e-steki.gr/showthread.php?t=&page=3

Το thread λεγόταν ''μια περίεργη άσκηση'' και ο χρήστης είχε τη συγκεκριμένη απορία:
''αν f μια φορα παραγωγισιμη στο Δ
και η f '(x) δεν μηδενιζεται ,να δειξετε οτι η f ειναι γνησιως μονοτονη....να σημειωθει οτι δεν γνωριζετε αν η f '(x) ειναι συνεχης για να πειτε οτι διατηρει προσημο!!!!''
 

Σημείωση: Το μήνυμα αυτό γράφτηκε 14 χρόνια πριν. Ο συντάκτης του πιθανόν να έχει αλλάξει απόψεις έκτοτε.

blacksheep

Πολύ δραστήριο μέλος

Ο ΓιαννηςΤουφεξης αυτή τη στιγμή δεν είναι συνδεδεμένος. Είναι 32 ετών και Μαθητής Γ' λυκείου. Έχει γράψει 1,436 μηνύματα.
Ευχαριστουμε πολυ.:thanks:
 

Σημείωση: Το μήνυμα αυτό γράφτηκε 14 χρόνια πριν. Ο συντάκτης του πιθανόν να έχει αλλάξει απόψεις έκτοτε.

Χρήστες Βρείτε παρόμοια

Top