mostel
Πολύ δραστήριο μέλος
![Ημερομηνία Ημερομηνία](images/general/calendar.png)
![Ώρα Ώρα](images/general/clock.png)
![Χαμόγελο :) :)](https://www.e-steki.gr/images/smilies/smilenew.png)
Σε παραπέμπω εδώ:
https://ischool.gr/showpost.php?p=10420&postcount=20
Αν δε μπορέσεις, τα ξαναλέμε ! Προσπάθησέ το όμως! Είναι σημαντικό το hint που σου δίνω.
Στέλιος
Σημείωση: Το μήνυμα αυτό γράφτηκε 16 χρόνια πριν. Ο συντάκτης του πιθανόν να έχει αλλάξει απόψεις έκτοτε.
lostG
Εκκολαπτόμενο μέλος
![Ημερομηνία Ημερομηνία](images/general/calendar.png)
![Ώρα Ώρα](images/general/clock.png)
Σε μιά άλλη εποχή όπως στη πριν δεσμών θα ήταν ένα νορμάλ θέμα εξετάσεων.
Σκεφτείτε πόσες φερές ο καθηγητής στο σχολείο σας ανέφερε την ταυτότητα τού Euler στην ειδική περίπτωση πού α+β+γ=0 ή α=β=γ.Να σας πω εγώ?Καμμία πέραν από την Α λυκείου(Καί αν!)
Καί η πρακτική των εξετάσεων σήμερα έχει δείξει ότι τα θέματα θεωρούνται σχεδόν εκτός ύλης αν περιέχουν κάτι το "εξεζητημένο".
Ποτέ άλλοτε δεν ξεσηκωνόταν τέτοια θύελλα διαμαρτυριών γιά θέματα, όσο μετά το νέο σύστημα.Όπου η παπαγαλία καί η ευλαβική σχεδόν προσήλωση στην ύλη καί μόνο τού βιβλίου είναι κανόνας.
Καί επειδή στην Ελλάδα καί το βήξιμο είναι ύποπτο γιά πολιτική σκοπιμότητα οι όδηγίες πού δίνονται στην κεντρική επιτροπή των εξετάσεων είναι σαφείς.Πολιτικό κόστος γαρ.
Αυτό το Im^2[Re(z συζ)] είναι παγίδα καί καλά?
Το πολύ πολύ να έμπαινε το β ιι) ερώτημα.
Σημείωση: Το μήνυμα αυτό γράφτηκε 16 χρόνια πριν. Ο συντάκτης του πιθανόν να έχει αλλάξει απόψεις έκτοτε.
mostel
Πολύ δραστήριο μέλος
![Ημερομηνία Ημερομηνία](images/general/calendar.png)
![Ώρα Ώρα](images/general/clock.png)
Τέτοια θέματα δεν μπαίνουν στις πανελλήνιες σήμερα.Πόσο μάλλον δε ως δεύτερα ή τρίτα θέματα πού λες.
Σε μιά άλλη εποχή όπως στη πριν δεσμών θα ήταν ένα νορμάλ θέμα εξετάσεων.
Σκεφτείτε πόσες φερές ο καθηγητής στο σχολείο σας ανέφερε την ταυτότητα τού Euler στην ειδική περίπτωση πού α+β+γ=0 ή α=β=γ=0.Να σας πω εγώ?Καμμία πέραν από την Α λυκείου(Καί αν!)
Καί η πρακτική των εξετάσεων σήμερα έχει δείξει ότι τα θέματα θεωρούνται σχεδόν εκτός ύλης αν περιέχουν κάτι το "εξεζητημένο".
Ποτέ άλλοτε δεν ξεσηκωνόταν τέτοια θύελλα διαμαρτυριών γιά θέματα, όσο μετά το νέο σύστημα.Όπου η παπαγαλία καί η ευλαβική σχεδόν προσήλωση στην ύλη καί μόνο τού βιβλίου είναι κανόνας.
Καί επειδή στην Ελλάδα καί το βήξιμο είναι ύποπτο γιά πολιτική σκοπιμότητα οι όδηγίες πού δίνονται στην κεντρική επιτροπή των εξετάσεων είναι σαφείς.Πολιτικό κόστος γαρ.
Αυτό το Im^2[Re(z συζ)] είναι παγίδα καί καλά?
Το πολύ πολύ να έμπαινε το β ιι) ερώτημα.
Εγώ αν έβαζα θέματα 2ο ή 3ο θα το έβαζα. Ούτως ή άλλως, ανεξαρτήτως θεμάτων, έτσι όπως έχει γίνει η παιδεία σήμερα, το 50% γράφει 1-5. Με τέτοια θέματα αναδεικνύεται ο καλός, ο καλύτερος, ο περισσότερο καλύτερος, κ.ό.κ.
Δεν είναι παγίδα "και καλά". Είναι απλώς ένα σημείο της άσκησης που δείχνει αν ο μαθητής καταλαβαίνει τι κάνει.
Μόνο το β ιι να έμπαινε; Με βοηθητικό ερώτημα την ταυτότητα Euler, η άσκηση ΔΕΝ έχει τίποτα άλλο το άγνωστο για τους μαθητές λυκείου.
Στην τελική όμως δε φταίνε οι μαθητές, αλλά οι καθηγητές, που και αυτοί θέλουν μασημένη τροφή απ' τα βοηθήματα κ.λπ. Στην τάξη εμάς π.χ. πάντα ερχόταν με ένα βοήθημα μαζί. Αν είναι δυνατόν!
Στέλιος.
Σημείωση: Το μήνυμα αυτό γράφτηκε 16 χρόνια πριν. Ο συντάκτης του πιθανόν να έχει αλλάξει απόψεις έκτοτε.
mostel
Πολύ δραστήριο μέλος
![Ημερομηνία Ημερομηνία](images/general/calendar.png)
![Ώρα Ώρα](images/general/clock.png)
Για το πρώτο ερώτημα έχουμε από ταυτότητα Euler όπως είπαμε:
Άρα
Για το β.
i) Ισχύει, αν
Γράφεται δηλαδή η δοθείσα ανίσωση:
Όμως:
Έτσι:
Το ii επαφίεται στον αναγνώστη.
Για το iii)
Μιας και
Το γ επαφίεται επίσης στον αναγνώστη.
Το τελευταίο, αρκεί να παρατηρήσουμε ότι κάθε εγγεγραμμένο τετράπλευρο σε κύκλο έχει περίμετρο μικρότερη από το μήκος του συγκεκριμένου κύκλου. (η γεωμετρία που λέγαμε)
Άρα, μιας και το
Άρα:
Τα λέμε απ' την επόμενη εβδομάδα,
Στέλιος
ΥΣ: Τελικά, η άσκηση δεν έχει τίποτα το "άγνωστο" πέρα απ' την ταυτότητα του Euler , για την οποία μπορούμε να προσθέσουμε απλώς ένα hint στην εκφώνηση. Κατά τα άλλα, λύνεται με γνωστά μαθηματικά.
Σημείωση: Το μήνυμα αυτό γράφτηκε 16 χρόνια πριν. Ο συντάκτης του πιθανόν να έχει αλλάξει απόψεις έκτοτε.
lostG
Εκκολαπτόμενο μέλος
![Ημερομηνία Ημερομηνία](images/general/calendar.png)
![Ώρα Ώρα](images/general/clock.png)
Αγαπητέ Στέλιο έχω να κάνω μιά πρόταση, παρατήρηση θα έλεγα αν δεν δημιουργεί αυτό πρόβλημα, να συζητάτε ασκήσεις πού πραγματικά μποροιύν να φανούν χρήσιμες στα παιδιά πού μόλις έχουν μιά πρώτη επαφή με τούς μιγαδικούς ας πούμε ή πιό προχωρημένες γιά τούς απόφοιτους πού ετοιμάζονται να ξαναδώσουν.Γιά να είναι έτσι δημιουργική η ώρα πού θα κάνουν το πέρασμά τους από το ischool καί να προβληματίζονται αξιοποιώντας τον έτσι κι αλλιώς πολύτιμο χρόνο τους.Από την άλλη επειδή υπάρχουν καί άτομα πού το ψάχνουν περισσότερο πού γι αυτούς τα μαθηματικά είναι διασκέδαση καί όχι καταπίεση, θα μπορούσε να υπάρχει ένα thread με τίτλο "Καί όποιος αντέξει"
![Πολύ χαρούμενος :D :D](https://www.e-steki.gr/images/smilies/biggrin.gif)
Σκέφτομαι δηλαδή την "κουτσομπόλα" κοπελιά πού φαίνεται νέα υποψήφια των πανελληνίων πόσο θα έχει κομπλάρει με αυτές τις ασκήσεις.Από τα λεγόμενά της φαίνεται πως είναι έτοιμη να ζητήσει ψυχολογική υποστήριξη.Έτσι gossιpgirl?
![LOL :lol: :lol:](https://www.e-steki.gr/images/smilies/lol.gif)
Αν πρόκειται γιά διακοπές πού λες ότι θα λείψεις τότε καλά να περάσεις.
Σημείωση: Το μήνυμα αυτό γράφτηκε 16 χρόνια πριν. Ο συντάκτης του πιθανόν να έχει αλλάξει απόψεις έκτοτε.
Vorbulon
Νεοφερμένος
![Ημερομηνία Ημερομηνία](images/general/calendar.png)
![Ώρα Ώρα](images/general/clock.png)
Σημείωση: Το μήνυμα αυτό γράφτηκε 16 χρόνια πριν. Ο συντάκτης του πιθανόν να έχει αλλάξει απόψεις έκτοτε.
lostG
Εκκολαπτόμενο μέλος
![Ημερομηνία Ημερομηνία](images/general/calendar.png)
![Ώρα Ώρα](images/general/clock.png)
Για το δ ερώτημα, ποιος μας λέει ότι οι εικόνες των μιγαδικών δημιουργούν κυρτό τετράπλευρο; πχ. οι z1=1, z2=-1, z3=i, z4=-i ικανοποιούν τα δεδομένα του προβλήματος, αλλά το συγκεκριμένο άθροισμα δίνει 4+2*2^(1/2)~6,8>6,3. Εκτός αν θεωρήσουμε πως αφού οι μιγαδικοί έχουν δείκτες, είναι διατεταγμένοι πάνω στον κύκλο με αυστηρή σειρά.
Όχι έχεις κάνει λάθος.Δεν ικανοποιείται η αρχική με δύο μιγαδικούς ταυτόχρονα πού έχουν μέτρο 1.Αφού ο ένας από το πρώτο έρώτημα θα πρέπει να ανήκει στον κύκλο|w|=2 καί ο άλλος στον |z|=1.
Δεν ισχύει η δοσμένη γιά ένα ζευγάρι μιγαδικών τού ίδιου κύκλου.
Σημείωση: Το μήνυμα αυτό γράφτηκε 16 χρόνια πριν. Ο συντάκτης του πιθανόν να έχει αλλάξει απόψεις έκτοτε.
Vorbulon
Νεοφερμένος
![Ημερομηνία Ημερομηνία](images/general/calendar.png)
![Ώρα Ώρα](images/general/clock.png)
Σημείωση: Το μήνυμα αυτό γράφτηκε 16 χρόνια πριν. Ο συντάκτης του πιθανόν να έχει αλλάξει απόψεις έκτοτε.
gossipgirl
Εκκολαπτόμενο μέλος
![Ημερομηνία Ημερομηνία](images/general/calendar.png)
![Ώρα Ώρα](images/general/clock.png)
Σκέφτομαι δηλαδή την "κουτσομπόλα" κοπελιά πού φαίνεται νέα υποψήφια των πανελληνίων πόσο θα έχει κομπλάρει με αυτές τις ασκήσεις.Από τα λεγόμενά της φαίνεται πως είναι έτοιμη να ζητήση ψυχολογική υποστήριξη.Έτσι gossιpgirl?
Αν πρόκειται γιά διακοπές πού λες ότι θα λείψεις τότε καλά να περάσεις.
![LOL :lol: :lol:](https://www.e-steki.gr/images/smilies/lol.gif)
![LOL :lol: :lol:](https://www.e-steki.gr/images/smilies/lol.gif)
![LOL :lol: :lol:](https://www.e-steki.gr/images/smilies/lol.gif)
![LOL :lol: :lol:](https://www.e-steki.gr/images/smilies/lol.gif)
![LOL :lol: :lol:](https://www.e-steki.gr/images/smilies/lol.gif)
Σημείωση: Το μήνυμα αυτό γράφτηκε 16 χρόνια πριν. Ο συντάκτης του πιθανόν να έχει αλλάξει απόψεις έκτοτε.
lostG
Εκκολαπτόμενο μέλος
![Ημερομηνία Ημερομηνία](images/general/calendar.png)
![Ώρα Ώρα](images/general/clock.png)
Τότε η εκφώνηση είνα ελλιπής καί θα έπρεπε να συμπληρώνει έτσι.Φαντάζομαι πως η άσκηση εννοεί πως οι εικόνες των z1,z2,z3,z4 ανήκουν στο γεωμετρικό τόπο που ανήκει και η εικόνα του z του πρώτου ερωτήματος, δηλαδή τον μοναδιαίο κύκλο. Αλλιώς πώς γίνεται 4 μιγαδικοί να ικανοποιούν όλοι ταυτόχρονα μια σχέση που περιέχει 2 μιγαδικούς; Άλλωστε και ο mostel στη λύση του θεωρεί πως οι εικόνες των z1,z2,z3,z4 σχηματίζουν τετράπλευρο εγγεγραμμένο στον χ^2+ψ^2=1, άρα και οι 4 ανήκουν στον κύκλο αυτό.
"Γιά τέσσερις μιγαδικούς από τον κύκλο |z|=1 κ.λ.π"
Γιατί να μην υποθέσει τότε ο μαθητής ότι οι τέσσερις μιγαδικοί είναι από τον άλλο κύκλο?Θα έχουν άδικο?Δεν είναι πιό λογικό να θεωρήσει δύο ζεύγη πού επαληθεύουν την (1) ο ένας από τον ένα κύκλο καί ο άλλος από τον άλλο αντίστοιχα γιά το κάθε ζεύγος?Δηλαδή το γράμμα z δεν εξασφαλίζει από μόνο του τη σαφήνεια της άσκησης.
"Εμείς" καταλαβαίνουμε τι θέλει να πεί αλλά σε πολύ κόσμο θα δημιουργήσει ασάφεια ακριβώς επειδή η (1) είναι σχέση δύο μεταβλητών.
Σημείωση: Το μήνυμα αυτό γράφτηκε 16 χρόνια πριν. Ο συντάκτης του πιθανόν να έχει αλλάξει απόψεις έκτοτε.
Vorbulon
Νεοφερμένος
![Ημερομηνία Ημερομηνία](images/general/calendar.png)
![Ώρα Ώρα](images/general/clock.png)
Τι εννοεί το τρίτο ερώτημα; Είναι οι ίδιοι οι κύκλοι με απόσταση 0;
Σημείωση: Το μήνυμα αυτό γράφτηκε 16 χρόνια πριν. Ο συντάκτης του πιθανόν να έχει αλλάξει απόψεις έκτοτε.
mostel
Πολύ δραστήριο μέλος
![Ημερομηνία Ημερομηνία](images/general/calendar.png)
![Ώρα Ώρα](images/general/clock.png)
Στέλιος
Σημείωση: Το μήνυμα αυτό γράφτηκε 16 χρόνια πριν. Ο συντάκτης του πιθανόν να έχει αλλάξει απόψεις έκτοτε.
tzoker
Νεοφερμένος
![Ημερομηνία Ημερομηνία](images/general/calendar.png)
![Ώρα Ώρα](images/general/clock.png)
Ανοίγω αυτή την θεματική ενότητα με σκοπό να δημιουργήσουμε μια συλλογή από πρωτότυπες ασκήσεις για το μάθημα των ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ της Θετικής & Τεχνολογικής Κατεύθυνησης της Γ' Τάξης Ενιαίου Λυκείου.
Σημείωση: Το μήνυμα αυτό γράφτηκε 16 χρόνια πριν. Ο συντάκτης του πιθανόν να έχει αλλάξει απόψεις έκτοτε.
In Flames
Πολύ δραστήριο μέλος
![Ημερομηνία Ημερομηνία](images/general/calendar.png)
![Ώρα Ώρα](images/general/clock.png)
Αν για τον αριθμο
να δειχθει οτι ο μιγαδικος
Γιωργος,In Flames gn
Σημείωση: Το μήνυμα αυτό γράφτηκε 16 χρόνια πριν. Ο συντάκτης του πιθανόν να έχει αλλάξει απόψεις έκτοτε.
mostel
Πολύ δραστήριο μέλος
![Ημερομηνία Ημερομηνία](images/general/calendar.png)
![Ώρα Ώρα](images/general/clock.png)
Στέλιος
Σημείωση: Το μήνυμα αυτό γράφτηκε 16 χρόνια πριν. Ο συντάκτης του πιθανόν να έχει αλλάξει απόψεις έκτοτε.
tirovlaxos
Νεοφερμένος
![Ημερομηνία Ημερομηνία](images/general/calendar.png)
![Ώρα Ώρα](images/general/clock.png)
Σημείωση: Το μήνυμα αυτό γράφτηκε 16 χρόνια πριν. Ο συντάκτης του πιθανόν να έχει αλλάξει απόψεις έκτοτε.
tzoker
Νεοφερμένος
![Ημερομηνία Ημερομηνία](images/general/calendar.png)
![Ώρα Ώρα](images/general/clock.png)
Για ένα μιγαδικό αριθμό z ισχύει ότι :
Έστω ακόμα ένας μιγαδικός αριθμός ο
α) Να δείξετε ότι :
β) Να βρείτε το γεωμετρικό τόπο των εικόνων των μιγαδικών αριθμών
γ) Να δείξετε ότι :
Θα περιμένω με μεγάλη χαρά τις απαντήσεις σας !!!
![Χαμόγελο :) :)](https://www.e-steki.gr/images/smilies/smilenew.png)
![Χαμόγελο :) :)](https://www.e-steki.gr/images/smilies/smilenew.png)
--------------------------------------------------------------------
ΑΣΚΗΣΗ 2
α) Να δειχθεί ότι τα σημεία του μιγαδικού επιπέδου που πληρούν τη σχέση :
παριστάνουν κύκλο όταν
β) Να δειχθεί ότι η εξίσωση ενός κύκλου ή ευθείας είναι της παραπάνω μορφής με τις αντίστοιχες δεσμεύσεις για τα
Σημείωση: Το μήνυμα αυτό γράφτηκε 16 χρόνια πριν. Ο συντάκτης του πιθανόν να έχει αλλάξει απόψεις έκτοτε.
Semfer
Εκκολαπτόμενο μέλος
![Ημερομηνία Ημερομηνία](images/general/calendar.png)
![Ώρα Ώρα](images/general/clock.png)
Σημείωση: Το μήνυμα αυτό γράφτηκε 16 χρόνια πριν. Ο συντάκτης του πιθανόν να έχει αλλάξει απόψεις έκτοτε.
tzoker
Νεοφερμένος
![Ημερομηνία Ημερομηνία](images/general/calendar.png)
![Ώρα Ώρα](images/general/clock.png)
Τα μαθηματικα δεν ειναι μονο οι μιγαδικοι....
Ναι φυσικά, αλλά τα παιδιά στην προετοιμασία τους στην πλειοψηφία έχουν φτάσει μέχρι και τα όρια.
Οπότε οι ασκήσεις συμβαδίζουν με την προετοιμασία τους!!
![Κλείνω μάτι ;) ;)](https://www.e-steki.gr/images/smilies/wink.gif)
Σημείωση: Το μήνυμα αυτό γράφτηκε 16 χρόνια πριν. Ο συντάκτης του πιθανόν να έχει αλλάξει απόψεις έκτοτε.
lostG
Εκκολαπτόμενο μέλος
![Ημερομηνία Ημερομηνία](images/general/calendar.png)
![Ώρα Ώρα](images/general/clock.png)
Παράδειγμα ένας μαθητής έθεσε το ερώτημα όσον αφορά στη λύση της ανίσωσης z^3 > 1. Καί ζήτησε βοήθεια γι αυτό.Τα παιδιά δεν έχουν ακόμη εντρυφήσει στον λογισμό στο C καί σε τι διαφέρει απο αυτόν του R.
Σημείωση: Το μήνυμα αυτό γράφτηκε 16 χρόνια πριν. Ο συντάκτης του πιθανόν να έχει αλλάξει απόψεις έκτοτε.
Χρήστες Βρείτε παρόμοια
-
Τα παρακάτω 0 μέλη και 28 επισκέπτες διαβάζουν μαζί με εσάς αυτό το θέμα:Tα παρακάτω 324 μέλη διάβασαν αυτό το θέμα:
- thepigod762
- akis_95
- Mariosm.
- Maynard
- infection54
- Jesse_
- *
- topg
- eukleidhs1821
- bill09876
- Debugging_Demon
- mali
- ggl
- Ness
- Hased Babis
- *
- Helen06
- Scandal
- synthnightingale
- arko
- BillyTheKid
- Magigi
- nearos
- Paragontas7000
- *
- Unboxholics
- just some guy
- george777
- Wonderkid
- IceCream05
- Abiogenesis
- GeorgePap2003
- katia.m
- giannhs2001
- paul
- *
- Praxis
- Apocalypse
- shezza94
- *
- desp1naa
- juste un instant
- *
- rempelos42
- *
- Sherlockina
- oups
- Dimgeb
- spring day
- KingOfPop
- mpapa
- Chrisa
- Physicsstudent
- tsiobieman
- P.Dam.
- persi
- Euge.loukia
- nPb
- theodoraooo
- PanosBat
- kost28
- mikriarchitectonissa
- BILL KEXA
- Drglitterstar
- Eleftheria2
- *
- Athens2002
- bruh_234
- Miranda32
- SlimShady
- kallikd
- nucomer
- *
- alpha.kappa
- Eeeee
- J.Cameron
- Marple
- Kitana
- F1L1PAS
- sophiaa
- VFD59
- papa2g
- το κοριτσι του μαη
- *
- srg96
- Hopeful22
- Φινεύς
- Phys39
- Johny4Life
- Anta2004
- fairyelly
- Pharmacist01
- jYanniss
- Panagiotis849
- Kokro
- augustine
- Nikoletaant
- Mashiro@Iberan
- *
- margik
- Mammy Nun
- Pastramis
- Σωτηρία
- *
- Appolon
- panosveki
- Nickt23
- igeorgeoikonomo
- Steliosgkougkou
- QWERTY23
- *
- Ameliak
- aladdin
- nimbus
- *
- *
- Φωτεινη Τζα.
- marian
- Georgekk
- *
- xrisamikol
- the purge
- Theodora03
- *
- Machris
- *
- *
- s93060
- Nikitas18
- Stif6
- stav.mdp
- damn
- aekaras 21
- Anthropaki
- *
- Angelos12345
- ioannam
- Μάρκος Βασίλης
- skyway
- *
- Nick2325
- Nala
- Manolo165
- Ryuzaki
- T C
- *
- Devilshjoker
- El_
- George9989
- TonyMontanaEse
- globglogabgalab
- *
- constansn
- barkos
- katerinavld
- fenia
- An_uknown_world
- Jimmis18
- maria2001
- KingPoul
- Xara
- thecrazycretan
- abcdefg12345
- Κλημεντίνη
- *
- ale
- panagiotis G
- mechaniceng
- *
- Giii
- calliope
- Tequila
- natalix
- Cortes
- Alexecon1991
- pepsoula
- *
- Mariaathens
- Lia 2006
- 1205
- παιδι για κλαματα
- Alexandros36k
- *
- *
- *
- alexd99
- chembam
- Specon
- Dr House
- panagiotis23
- Johnman97
- rhymeasylum
- Αννα Τσιτα
- KaterinaL
- LeoDel
- iminspain
- den antexw allh apotyxia
- Λαμπρινηη
- *
- Mendel2003
- Ijt
- drosos
- *
- *
- Κορώνα
- JohnGreek
- Αρχηγος_β3
- alexandra_
- *
- *
- ΘανάσοςG4
- Dimitris9
- Birtjan
- george7cr7
- NickT
- Bgpanos
- JKTHEMAN
- *
- *
- nicole1982
- χημεια4λαιφ
- Stroka
- Kostakis45
- charmander
- leo41
- EiriniS20
- Αριάνα123
- MarilynSt
- iManosX13
- Nefh_
- Viedo
- Βλα
- suaimhneas
- george pol
- kristinbacktoschool
- fearless
- Rene2004
- Steffie88
- Slytherin
- *
- jimnikol21
- Unseen skygge
- cel123
- jul25
- Thanos_D
- Ireneeneri
- *
- tasost
- Mukumbura
- xxxtolis
-
Φορτώνει...
-
Το forum μας χρησιμοποιεί cookies για να βελτιστοποιήσει την εμπειρία σας.
Συνεχίζοντας την περιήγησή σας, συναινείτε στη χρήση cookies στον περιηγητή σας.