Συλλογή ασκήσεων και τεστ στα Μαθηματικά Προσανατολισμού

mostel · 06-08-08

Hm... Είναι tricky παραγοντοποίηση

Σε παραπέμπω εδώ:

https://ischool.gr/showpost.php?p=10420&postcount=20

Αν δε μπορέσεις, τα ξαναλέμε ! Προσπάθησέ το όμως! Είναι σημαντικό το hint που σου δίνω.

Στέλιος

lostG · 07-08-08

Τέτοια θέματα δεν μπαίνουν στις πανελλήνιες σήμερα.Πόσο μάλλον δε ως δεύτερα ή τρίτα θέματα πού λες.
Σε μιά άλλη εποχή όπως στη πριν δεσμών θα ήταν ένα νορμάλ θέμα εξετάσεων.
Σκεφτείτε πόσες φερές ο καθηγητής στο σχολείο σας ανέφερε την ταυτότητα τού Euler στην ειδική περίπτωση πού α+β+γ=0 ή α=β=γ.Να σας πω εγώ?Καμμία πέραν από την Α λυκείου(Καί αν!)
Καί η πρακτική των εξετάσεων σήμερα έχει δείξει ότι τα θέματα θεωρούνται σχεδόν εκτός ύλης αν περιέχουν κάτι το "εξεζητημένο".
Ποτέ άλλοτε δεν ξεσηκωνόταν τέτοια θύελλα διαμαρτυριών γιά θέματα, όσο μετά το νέο σύστημα.Όπου η παπαγαλία καί η ευλαβική σχεδόν προσήλωση στην ύλη καί μόνο τού βιβλίου είναι κανόνας.
Καί επειδή στην Ελλάδα καί το βήξιμο είναι ύποπτο γιά πολιτική σκοπιμότητα οι όδηγίες πού δίνονται στην κεντρική επιτροπή των εξετάσεων είναι σαφείς.Πολιτικό κόστος γαρ.

Αυτό το Im^2[Re(z συζ)] είναι παγίδα καί καλά?
Το πολύ πολύ να έμπαινε το β ιι) ερώτημα.

mostel · 07-08-08

Αρχική Δημοσίευση από lostG:
Τέτοια θέματα δεν μπαίνουν στις πανελλήνιες σήμερα.Πόσο μάλλον δε ως δεύτερα ή τρίτα θέματα πού λες.
Σε μιά άλλη εποχή όπως στη πριν δεσμών θα ήταν ένα νορμάλ θέμα εξετάσεων.
Σκεφτείτε πόσες φερές ο καθηγητής στο σχολείο σας ανέφερε την ταυτότητα τού Euler στην ειδική περίπτωση πού α+β+γ=0 ή α=β=γ=0.Να σας πω εγώ?Καμμία πέραν από την Α λυκείου(Καί αν!)
Καί η πρακτική των εξετάσεων σήμερα έχει δείξει ότι τα θέματα θεωρούνται σχεδόν εκτός ύλης αν περιέχουν κάτι το "εξεζητημένο".
Ποτέ άλλοτε δεν ξεσηκωνόταν τέτοια θύελλα διαμαρτυριών γιά θέματα, όσο μετά το νέο σύστημα.Όπου η παπαγαλία καί η ευλαβική σχεδόν προσήλωση στην ύλη καί μόνο τού βιβλίου είναι κανόνας.
Καί επειδή στην Ελλάδα καί το βήξιμο είναι ύποπτο γιά πολιτική σκοπιμότητα οι όδηγίες πού δίνονται στην κεντρική επιτροπή των εξετάσεων είναι σαφείς.Πολιτικό κόστος γαρ.

Αυτό το Im^2[Re(z συζ)] είναι παγίδα καί καλά?
Το πολύ πολύ να έμπαινε το β ιι) ερώτημα.

Εγώ αν έβαζα θέματα 2ο ή 3ο θα το έβαζα. Ούτως ή άλλως, ανεξαρτήτως θεμάτων, έτσι όπως έχει γίνει η παιδεία σήμερα, το 50% γράφει 1-5. Με τέτοια θέματα αναδεικνύεται ο καλός, ο καλύτερος, ο περισσότερο καλύτερος, κ.ό.κ.

Δεν είναι παγίδα "και καλά". Είναι απλώς ένα σημείο της άσκησης που δείχνει αν ο μαθητής καταλαβαίνει τι κάνει.

Μόνο το β ιι να έμπαινε; Με βοηθητικό ερώτημα την ταυτότητα Euler, η άσκηση ΔΕΝ έχει τίποτα άλλο το άγνωστο για τους μαθητές λυκείου.

Στην τελική όμως δε φταίνε οι μαθητές, αλλά οι καθηγητές, που και αυτοί θέλουν μασημένη τροφή απ' τα βοηθήματα κ.λπ. Στην τάξη εμάς π.χ. πάντα ερχόταν με ένα βοήθημα μαζί. Αν είναι δυνατόν!

Στέλιος.

mostel · 08-08-08

Επισυνάπτω εν συντομία τις λύσεις (ενδεικτικά).

Για το πρώτο ερώτημα έχουμε από ταυτότητα Euler όπως είπαμε:

$2|z|+|w|+2=0$ (άτοπο) ή $2|z|=|w|=2$

Άρα $|z|=1$ και $|w|=2$

Για το β.

i) Ισχύει, αν $|z|=1, x^2+y^2=1$ .

$Re(z)=x, Im(z)=y$

Γράφεται δηλαδή η δοθείσα ανίσωση: $2|(xy)^2+1+0|=2|(xy)^2+1|\leq 2,5$

Όμως:

$x^2+y^2\geq 2xy$

$1\geq 2xy$

$xy\leq\frac{1}{2}$

$(xy)^2\leq\frac{1}{4}$

Έτσι:

$2|(xy)^2+1|\leq 2\left|\frac{1}{4}+1\right|=\ldots=2,5$

Το ii επαφίεται στον αναγνώστη.

Για το iii)

Μιας και $|z|=1$ , θα έχουμε:

$2 = 2|z| = |2z| = | - 2z| = |z^3 + 1 - z(z^2 + 1) - (z + 1)|\leq |z^3 + 1| +\\<br /> + |z|\cdot|z^2 + 1| + |z + 1| = |z^3 + 1| + |z^2 + 1| + |z + 1|$

Το γ επαφίεται επίσης στον αναγνώστη.

Το τελευταίο, αρκεί να παρατηρήσουμε ότι κάθε εγγεγραμμένο τετράπλευρο σε κύκλο έχει περίμετρο μικρότερη από το μήκος του συγκεκριμένου κύκλου. (η γεωμετρία που λέγαμε)

Άρα, μιας και το $|z_1-z_2|+|z_2-z_3|+|z_3-z_4|+|z_4-z_1|$ είναι ένα κυρτό τετράπλευρο, θα 'χει μήκος μικρότερο του κύκλου στον οποίο εγγράφεται, δηλαδή σε αυτόν που κινείται ο $z$ , δηλαδή στον $|z|=1$ . Όμως το μήκος αυτού του κύκλου είναι $L=2\pi r$ , με $r=1$ . Άρα $L=2\pi \cdot 1=2\pi$ .

Άρα:

$|z_1-z_2|+|z_2-z_3|+|z_3-z_4|+|z_4-z_1|< L= 2\pi <2\cdot 3,15=6,3$

Τα λέμε απ' την επόμενη εβδομάδα,

Στέλιος

ΥΣ: Τελικά, η άσκηση δεν έχει τίποτα το "άγνωστο" πέρα απ' την ταυτότητα του Euler , για την οποία μπορούμε να προσθέσουμε απλώς ένα hint στην εκφώνηση. Κατά τα άλλα, λύνεται με γνωστά μαθηματικά.

lostG · 08-08-08

Ο ηλεκτρονικός δαίμονας έβαλε την ουρά του καί γράφτηκε ότι α=β=γ=0 πού δεν θάπρεπε, στη σωστή συνθήκη α=β=γ πού βέβαια το διόρθωσα.Κάτι πρέπει να γίνει όμως να διορθώνεται αυτόματα καί όταν το κείμενο γίνεται παράθεση.Έτσι, γιά λόγους συνέπειας καί αισθητικής.
Αγαπητέ Στέλιο έχω να κάνω μιά πρόταση, παρατήρηση θα έλεγα αν δεν δημιουργεί αυτό πρόβλημα, να συζητάτε ασκήσεις πού πραγματικά μποροιύν να φανούν χρήσιμες στα παιδιά πού μόλις έχουν μιά πρώτη επαφή με τούς μιγαδικούς ας πούμε ή πιό προχωρημένες γιά τούς απόφοιτους πού ετοιμάζονται να ξαναδώσουν.Γιά να είναι έτσι δημιουργική η ώρα πού θα κάνουν το πέρασμά τους από το ischool καί να προβληματίζονται αξιοποιώντας τον έτσι κι αλλιώς πολύτιμο χρόνο τους.Από την άλλη επειδή υπάρχουν καί άτομα πού το ψάχνουν περισσότερο πού γι αυτούς τα μαθηματικά είναι διασκέδαση καί όχι καταπίεση, θα μπορούσε να υπάρχει ένα thread με τίτλο "Καί όποιος αντέξει"

με εξεζητημένα θέματα πού προκαλούν τον "θαυμασμό" κι έτσι να έχουν όλοι ενδιαφέροντα κατά την επίσκεψή τους στο φόρουμ.
Σκέφτομαι δηλαδή την "κουτσομπόλα" κοπελιά πού φαίνεται νέα υποψήφια των πανελληνίων πόσο θα έχει κομπλάρει με αυτές τις ασκήσεις.Από τα λεγόμενά της φαίνεται πως είναι έτοιμη να ζητήσει ψυχολογική υποστήριξη.Έτσι gossιpgirl? :lol:

Αν πρόκειται γιά διακοπές πού λες ότι θα λείψεις τότε καλά να περάσεις.

Vorbulon · 08-08-08

Για το δ ερώτημα, ποιος μας λέει ότι οι εικόνες των μιγαδικών δημιουργούν κυρτό τετράπλευρο; πχ. οι z1=1, z2=-1, z3=i, z4=-i ικανοποιούν τα δεδομένα του προβλήματος, αλλά το συγκεκριμένο άθροισμα δίνει 4+2*2^(1/2)~6,8>6,3. Εκτός αν θεωρήσουμε πως αφού οι μιγαδικοί έχουν δείκτες, είναι διατεταγμένοι πάνω στον κύκλο με αυστηρή σειρά.

lostG · 08-08-08

Αρχική Δημοσίευση από Vaggelis100:
Για το δ ερώτημα, ποιος μας λέει ότι οι εικόνες των μιγαδικών δημιουργούν κυρτό τετράπλευρο; πχ. οι z1=1, z2=-1, z3=i, z4=-i ικανοποιούν τα δεδομένα του προβλήματος, αλλά το συγκεκριμένο άθροισμα δίνει 4+2*2^(1/2)~6,8>6,3. Εκτός αν θεωρήσουμε πως αφού οι μιγαδικοί έχουν δείκτες, είναι διατεταγμένοι πάνω στον κύκλο με αυστηρή σειρά.

Όχι έχεις κάνει λάθος.Δεν ικανοποιείται η αρχική με δύο μιγαδικούς ταυτόχρονα πού έχουν μέτρο 1.Αφού ο ένας από το πρώτο έρώτημα θα πρέπει να ανήκει στον κύκλο|w|=2 καί ο άλλος στον |z|=1.
Δεν ισχύει η δοσμένη γιά ένα ζευγάρι μιγαδικών τού ίδιου κύκλου.

Vorbulon · 08-08-08

Φαντάζομαι πως η άσκηση εννοεί πως οι εικόνες των z1,z2,z3,z4 ανήκουν στο γεωμετρικό τόπο που ανήκει και η εικόνα του z του πρώτου ερωτήματος, δηλαδή τον μοναδιαίο κύκλο. Αλλιώς πώς γίνεται 4 μιγαδικοί να ικανοποιούν όλοι ταυτόχρονα μια σχέση που περιέχει 2 μιγαδικούς; Άλλωστε και ο mostel στη λύση του θεωρεί πως οι εικόνες των z1,z2,z3,z4 σχηματίζουν τετράπλευρο εγγεγραμμένο στον χ^2+ψ^2=1, άρα και οι 4 ανήκουν στον κύκλο αυτό.

gossipgirl · 08-08-08

Αρχική Δημοσίευση από lostG:
Σκέφτομαι δηλαδή την "κουτσομπόλα" κοπελιά πού φαίνεται νέα υποψήφια των πανελληνίων πόσο θα έχει κομπλάρει με αυτές τις ασκήσεις.Από τα λεγόμενά της φαίνεται πως είναι έτοιμη να ζητήση ψυχολογική υποστήριξη.Έτσι gossιpgirl?
Αν πρόκειται γιά διακοπές πού λες ότι θα λείψεις τότε καλά να περάσεις.

χαχα!!!!!!!!!η αληθεια να λεγεται!!!!!!!!!!!!

lostG · 08-08-08

Αρχική Δημοσίευση από Vaggelis100:
Φαντάζομαι πως η άσκηση εννοεί πως οι εικόνες των z1,z2,z3,z4 ανήκουν στο γεωμετρικό τόπο που ανήκει και η εικόνα του z του πρώτου ερωτήματος, δηλαδή τον μοναδιαίο κύκλο. Αλλιώς πώς γίνεται 4 μιγαδικοί να ικανοποιούν όλοι ταυτόχρονα μια σχέση που περιέχει 2 μιγαδικούς; Άλλωστε και ο mostel στη λύση του θεωρεί πως οι εικόνες των z1,z2,z3,z4 σχηματίζουν τετράπλευρο εγγεγραμμένο στον χ^2+ψ^2=1, άρα και οι 4 ανήκουν στον κύκλο αυτό.

Τότε η εκφώνηση είνα ελλιπής καί θα έπρεπε να συμπληρώνει έτσι.
"Γιά τέσσερις μιγαδικούς από τον κύκλο |z|=1 κ.λ.π"
Γιατί να μην υποθέσει τότε ο μαθητής ότι οι τέσσερις μιγαδικοί είναι από τον άλλο κύκλο?Θα έχουν άδικο?Δεν είναι πιό λογικό να θεωρήσει δύο ζεύγη πού επαληθεύουν την (1) ο ένας από τον ένα κύκλο καί ο άλλος από τον άλλο αντίστοιχα γιά το κάθε ζεύγος?Δηλαδή το γράμμα z δεν εξασφαλίζει από μόνο του τη σαφήνεια της άσκησης.
"Εμείς" καταλαβαίνουμε τι θέλει να πεί αλλά σε πολύ κόσμο θα δημιουργήσει ασάφεια ακριβώς επειδή η (1) είναι σχέση δύο μεταβλητών.

Vorbulon · 08-08-08

Όντως, μάλλον έτσι θα ήταν καλύτερη η διατύπωση. Πάντως και πάλι δεν ισχύει η ανισότητα. πχ για z1=1, z2=2i, z3=-1, z4=-2i το άθροισμα βγαίνει 4*5^(1/2)>6,3
Τι εννοεί το τρίτο ερώτημα; Είναι οι ίδιοι οι κύκλοι με απόσταση 0;

mostel · 15-08-08

Αφού είναι z , το θεώρησα προφανές ότι θα διατρέχουν το μοναδιαίο κύκλο. Αν μπέρδεψα κάποιον, ζητώ συγγνώμη και παραπέμπω στο ποστ του lostg. Δηλαδή στο γεγονός ότι οι μιγαδικοί ονόματι z έχουν έκαστοι μέτρο ίσου της μονάδας.

Στέλιος

tzoker · 16-08-08

Καλημέρα σε όλους. :no1:

Ανοίγω αυτή την θεματική ενότητα με σκοπό να δημιουργήσουμε μια συλλογή από πρωτότυπες ασκήσεις για το μάθημα των ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ της Θετικής & Τεχνολογικής Κατεύθυνησης της Γ' Τάξης Ενιαίου Λυκείου.

In Flames · 2 Μαρτίου 2010

θα αρχισω με μια ασκηση που μου αρεσε ιδιαιτερα...

Αν για τον αριθμο $z$ ισχύει:
$2z^4+6z^2+9=0$

να δειχθει οτι ο μιγαδικος $z^2^0^0$ ειναι αρνητικος αριθμος.

Γιωργος,In Flames gn

mostel · 16-08-08

Μπορούμε να το υπολογίσουμε και ακριβώς το $z^{200}$

Στέλιος

tirovlaxos · 17-08-08

να ρωτήσω κάτι? αφού είναι εκτός ύλης οι πολυωνυμικές στο C είναι εκτός... ή αυτή δεν ανάγεται σε πολυωνυμική?

tzoker · 31 Μαΐου 2011

ΑΣΚΗΣΗ 1

Για ένα μιγαδικό αριθμό z ισχύει ότι : ${\left( z + 4 + 3i \right)}^{2009} = \frac{2009+ i}{1 + 2009i}$ .
Έστω ακόμα ένας μιγαδικός αριθμός ο $w$ με $w = -2z$ .

α) Να δείξετε ότι : $[Re(z)].[Im(z)] > 0$ .

β) Να βρείτε το γεωμετρικό τόπο των εικόνων των μιγαδικών αριθμών $w$ .

γ) Να δείξετε ότι : $4 \leq \left|z \right| \leq 6$ .

Θα περιμένω με μεγάλη χαρά τις απαντήσεις σας !!!

:no1:

--------------------------------------------------------------------

ΑΣΚΗΣΗ 2

α) Να δειχθεί ότι τα σημεία του μιγαδικού επιπέδου που πληρούν τη σχέση :

$az\bar{z} + cz + \bar{c}\bar{z} + b = 0$ με $a, b \epsilon R , c \epsilon C$

παριστάνουν κύκλο όταν $a \neq 0 , { \left|c \right|}^{2} > ab$ και ευθεία, αν $a = 0$ και $c \neq 0$ .

β) Να δειχθεί ότι η εξίσωση ενός κύκλου ή ευθείας είναι της παραπάνω μορφής με τις αντίστοιχες δεσμεύσεις για τα $a, b, c$ .

Semfer · 19-08-08

Τα μαθηματικα δεν ειναι μονο οι μιγαδικοι....

tzoker · 19-08-08

Αρχική Δημοσίευση από Semfer:
Τα μαθηματικα δεν ειναι μονο οι μιγαδικοι....

Ναι φυσικά, αλλά τα παιδιά στην προετοιμασία τους στην πλειοψηφία έχουν φτάσει μέχρι και τα όρια.
Οπότε οι ασκήσεις συμβαδίζουν με την προετοιμασία τους!!

lostG · 19-08-08

Ελπίζω συνάδελφε να μην ξεκινάς την προετοιμασία των μαθητών σου με "πρωτότυπες ασκήσεις" όπως λες, γιατί όπως θα ξέρεις αυτό είναι εντελώς αντιπαιδαγωγικό.Στην πρώτη επαφή με μιά νέα πραγματικότητα χρειάζονται οι μαθητές συνήθεις ασκήσεις.
Παράδειγμα ένας μαθητής έθεσε το ερώτημα όσον αφορά στη λύση της ανίσωσης z^3 > 1. Καί ζήτησε βοήθεια γι αυτό.Τα παιδιά δεν έχουν ακόμη εντρυφήσει στον λογισμό στο C καί σε τι διαφέρει απο αυτόν του R.

Συλλογή ασκήσεων και τεστ στα Μαθηματικά Προσανατολισμού

Πολύ δραστήριο μέλος

Εκκολαπτόμενο μέλος

Πολύ δραστήριο μέλος

Πολύ δραστήριο μέλος

Εκκολαπτόμενο μέλος

Νεοφερμένος

Εκκολαπτόμενο μέλος

Νεοφερμένος

Εκκολαπτόμενο μέλος

Εκκολαπτόμενο μέλος

Νεοφερμένος

Πολύ δραστήριο μέλος

Νεοφερμένος

Πολύ δραστήριο μέλος

Πολύ δραστήριο μέλος

Νεοφερμένος

Νεοφερμένος

Εκκολαπτόμενο μέλος

Νεοφερμένος

Εκκολαπτόμενο μέλος