Συλλογή ασκήσεων και τεστ στα Μαθηματικά Προσανατολισμού

blacksheep · 21-11-09

αποκλειστικα φροντιστηριου διαγωνισματα η και σχολειου?

coheNakatos · 21-11-09

ο,τι θελετε ελευθερα

personGR · 22-11-09

Βαγγέλη στο δεύτερο θέμα, γ ερώτημα μήπως σου ξέφυγε ένα = ?

coheNakatos · 22-11-09

ναι ρε μην δινεις σημασια (Αντε ρε παιδια βαλτε κανενα

)

Rania. · 22-11-09

Oκ βαζω ενα. Βαγγελη αφιερωμενο σε σενα, ολο δικο σου

Α η συναρτηση f ειναι συνεχης στο (0,+οο) με:
$\lim_{x\rightarrow +\infty}f(x)=\delta$ και
$\lim_{x\rightarrow {0}^{+}}f(x)=\gamma$
με γ,δ στο R, νδο υπαρχει μονο ενας θετικος αριθμος x0, τετοιος ωστε να ισχυει
$f({x}_{0}) + {e}^{{x}_{0}+1} + \ln {x}_{0} = 1$

coheNakatos · 23-11-09

μπας και εφαγες καμια μονοτονια ?

stratos_man · 23-11-09

Αρχική Δημοσίευση από coheNakatos:
μπας και εφαγες καμια μονοτονια ?

ναι μαλλον...

coheNakatos · 23-11-09

Αρχική Δημοσίευση από stratos_man:
ναι μαλλον...

Αμα το εχει οντως ξεχασει δεν ειναι κατι τραγικο

Rania. · 23-11-09

Ωχ ναι σορρυ, ειναι και γνησιως αυξουσα στο (0,+οο) :p

coheNakatos · 24-11-09

Αρχική Δημοσίευση από Rania.:
Oκ βαζω ενα. Βαγγελη αφιερωμενο σε σενα, ολο δικο σου

Α η συναρτηση f ειναι συνεχης στο (0,+οο) με:
$lim_{xrightarrow +infty}f(x)=delta$ και
$lim_{xrightarrow {0}^{+}}f(x)=gamma$
με γ,δ στο R, νδο υπαρχει μονο ενας θετικος αριθμος x0, τετοιος ωστε να ισχυει
$f({x}_{0}) + {e}^{{x}_{0}+1} + ln {x}_{0} = 1$

Ελα Ρανια τωρα βρηκα λιγο χρονο

Εστω $h(x)=f({x}_{0}) + {e}^{{x}_{0}+1} + \ln {x}_{0}-1$

$\lim_{x\rightarrow {0}^{+}}h(x)=\lim_{x\rightarrow {0}^{+}}(f({x}_{0}) + {e}^{{x}_{0}+1} + \ln {x}_{0}-1) =-oo$
Αρα υπαρχει ${x}_{1}$ κοντα στο ${0}^{+}$ ωστε $h({x}_{1})<0$

$\lim_{x\rightarrow +\infty}h(x)=\lim_{x\rightarrow +\infty}( f({x}_{0}) + {e}^{{x}_{0}+1} + \ln {x}_{0}-1)=+oo$
Αρα υπαρχει ${x}_{2}$ κοντα στο $+oo$ ωστε $h({x}_{2})>0$

Βolzano στο $[{x}_{1},{x}_{2}]$ , αρα τουλαχιστον ενα ${x}_{0}$

Και

${x}_{1}>{x}_{2} \Leftrightarrow f \gamma \nu .\alpha \upsilon \xi o\upsilon \sigma \alpha \Leftrightarrow f({x}_{1})>f({x}_{2})(1)$
${x}_{1}+1>{x}_{2}+1 \Leftrightarrow {e}^{{x}_{1}+1}>{e}^{{x}_{2}+1}(2)$
${x}_{1}>{x}_{2} \Leftrightarrow ln{x}_{1}>ln{x}_{2} (3)$

$(1)+(2)+(3) \Leftrightarrow h$ γν.αυξουσα . Αρα το ${x}_{0}$ μοναδικο

alX_aaA · 25-11-09

Η άσκηση δεν είναι φαινομενικά σωστή, όπως ειπε και κάποιος πριν.

Βιβλίο Β λυκείου Γεν. Παιδείας σελ. 122
Αν α>0, μ ακέραιος, ν θετικός ακέραιος, ΤΟΤΕ
α^(ν/μ)= νιοστή ρίζα του α^μ

Εδώ α=i, όμως i ανήκει C-R άρα για το i δεν ορίζεται διάταξη. Άρα δεν μπορώ να χρησιμοποιήσω την παραπάνω ιδιότητα.

Kasioph · 25-11-09

Αρχική Δημοσίευση από Max Planck:
το 20 στις παννελαδικες πιανεται ρε παιδια???

Πιανεται αρκει ο ενας απο τους 2 διορθωτες να μην ειναι %$@!@$ :mad:

(100% ο πρωτος 97% ο δευτερος)

coheNakatos · 26-11-09

Βοηθηστε ρε παιδια να το αναπτυξουμε το θεμα

cats · 28-11-09

Μη ακέραιες δυνάμεις, ορίζονται γενικά, μόνο για θετικούς πραγματικούς αριθμούς

exc · 28-11-09

Αρχική Δημοσίευση από ioanna-m:
Μη ακέραιες δυνάμεις, ορίζονται γενικά, μόνο για θετικούς πραγματικούς αριθμούς

Αυτό δεν ισχύει. Ορίζονται δυνάμεις με πραγματικό εκθέτη και στους μιγαδικούς. Απλώς ενώ στους πραγματκούς ισχύει $\sqrt{x^2}=\pm x$ , δεν ισχύει στους μιγαδικούς. Δεν μπορείς δηλαδή να πεις για έναν μιγαδικό z ότι ισχύει το: $\sqrt{z^2}=\pm z$ .
Όμως η ρίζα μιγαδικού ορίζεται, δεδομένου ότι ισχύει: $z=|z|*e^{i*arg(z)}$ όπου arg(z): η γωνία του z με τον πραγματικό άξονα, κάτι που εύκολα αποδεικνύεται με στοιχειώδεις-γυμνασιακές γνώσεις τριγωνομετρίας και του θεωρήματος Taylor (για να δείξεις τον τύπο του Euler), όμως είναι εκτός ύλης στο λύκειο, οπότε δε χρειάζεται να το συζητάμε.

Για περισσότερα, αναζήτηση στο Internet τους όρους:
Taylor's Theorem
Euler's formula
Complex numbers - Polar/Trigonometric form

lowbaper92 · 02-12-09

Αν μου πει καποιος πως γραφουμε την f παραγωγο στο latex θα μπορεσω να βαλω το δικο μου διαγωνισμα

coheNakatos · 02-12-09

Αρχική Δημοσίευση από lowbaper92:
Αν μου πει καποιος πως γραφουμε την f παραγωγο στο latex θα μπορεσω να βαλω το δικο μου διαγωνισμα

δεν ειναι κατι ιδιαιτερο απλα διπλα στο f βαλε το " ' " ( τονος)

π.χ $f'$ και $f''$

lowbaper92 · 02-12-09

Δυο απο τα Σ-Λ:
α) Αν f συνεχής στο [α,β] και f(α)f(β)>0 τοτε η ${C}_{f}$ δεν τετμνει τον x'x
β) Αν f παραγωγισιμη στο 2 τότε $f'(2)=[f(2)]'$

Θέμα 2ο

Έστω $f:R\rightarrow R$ συνεχής και $\lim_{x\rightarrow 1}\frac{f(x)-1}{{x}^{2}-1}=2$
α) Δείξτε ότι f(1)=1
β) Δείξτε οτι f'(1)=4
γ) Αν f(2)=f(3)=7 δείξτε οτι η ευθεία y=4x-3 εχει ενα τουλαχιστον κοινό σημειο με την ${C}_{f}$

Θέμα 3ο

Έστω $f:[0,2]\rightarrow R$ η οποία ειναι συνεχής και παρουσιαζει ολικο ελαχιστο μόνο για x=1 το f(1)=3 και ολικό μεγιστο μόνο για x=2 το f(2)=5
α) Να βρείτε το συνολο τιμών της f
B) Δείξτε οτι υπαρχει ${x}_{0}\varepsilon (1,2):f({x}_{0})=f(0)$
γ) Αν η f γνησιως μονοτονη σε καθενα απο τα διαστηματα [0,1] και [1,2] τότε:
i) Προσδιοριστε το ειδος μονοτονιας της f σε καθένα απο τα παραπανω διαστηματα
ii) Αν f(0)=4 βρείτε το πλήθος των ριζων της εξίσωσης f(x)=α για τις διαφορες τιμες του αεR

Θέμα 4ο

Α) Έστω συναρτηση f συνεχής και μη σταθερή στο R

α) Δείξτε οτι υπαρχει ενα τουλαχιστον ${x}_{0}\varepsilon [0,1]: f({x}_{0})=\frac{f(-1)+f(0)+f(1)}{3}$
β) Αν για την f ισχύουν f(0)>0 και $[{f(x)}]^{2}=2xf(x)+1$ για καθε xεR, δειξτε οτι η g(x)=x διατηρεί σταθερό πρόσημο στο R και βρειτε τον τυπο της f

Β) Μια συναρτηση $f:R\rightarrow R$ είναι παραγωγίσιμη και γνησίως μονοτονη με f(x)=-f(2-x) για καθε xεR
Αν $f'(x)\neq 0$ για καθε xεR και η f' ειναι συνεχής τότε:
α) Να λυθεί η εξίσωση f(x)=0
β) Δείξτε οτι για την συναρτηση g με $g(x)=\frac{f(x)}{f'(x)}$ ισχύει g'(1)=1

ΚΑΛΗ ΕΠΙΤΥΧΙΑ

jimmy007 · 02-12-09

Αρχική Δημοσίευση από lowbaper92:
Δυο απο τα Σ-Λ:
α) Αν f συνεχής στο [α,β] και f(α)f(β)>0 τοτε η ${C}_{f}$ δεν τετμνει τον x'x
β) Αν f παραγωγισιμη στο 2 τότε $f'(2)=[f(2)]'$

Θέμα 2ο

Έστω $f:Rrightarrow R$ συνεχής και $lim_{xrightarrow 1}frac{f(x)-1}{{x}^{2}-1}=2$
α) Δείξτε ότι f(1)=1
β) Δείξτε οτι f'(1)=4
γ) Αν f(2)=f(3)=7 δείξτε οτι η ευθεία y=4x-3 εχει ενα τουλαχιστον κοινό σημειο με την ${C}_{f}$

Θέμα 3ο

Έστω $f:[0,2]rightarrow R$ η οποία ειναι συνεχής και παρουσιαζει ολικο ελαχιστο μόνο για x=1 το f(1)=3 και ολικό μεγιστο μόνο για x=2 το f(2)=5
α) Να βρείτε το συνολο τιμών της f
B) Δείξτε οτι υπαρχει ${x}_{0}varepsilon (1,2):f({x}_{0})=f(0)$
γ) Αν η f γνησιως μονοτονη σε καθενα απο τα διαστηματα [0,1] και [1,2] τότε:
i) Προσδιοριστε το ειδος μονοτονιας της f σε καθένα απο τα παραπανω διαστηματα
ii) Αν f(0)=4 βρείτε το πλήθος των ριζων της εξίσωσης f(x)=α για τις διαφορες τιμες του αεR

Θέμα 4ο

Α) Έστω συναρτηση f συνεχής και μη σταθερή στο R

α) Δείξτε οτι υπαρχει ενα τουλαχιστον ${x}_{0}varepsilon [0,1]: f({x}_{0})=frac{f(-1)+f(0)+f(1)}{3}$
β) Αν για την f ισχύουν f(0)>0 και $[{f(x)}]^{2}=2xf(x)+1$ για καθε xεR, δειξτε οτι η g(x)=x διατηρεί σταθερό πρόσημο στο R και βρειτε τον τυπο της f

Β) Μια συναρτηση $f:Rrightarrow R$ είναι παραγωγίσιμη και γνησίως μονοτονη με f(x)=-f(2-x) για καθε xεR
Αν $f'(x)neq 0$ για καθε xεR και η f' ειναι συνεχής τότε:
α) Να λυθεί η εξίσωση f(x)=0
β) Δείξτε οτι για την συναρτηση g με $g(x)=frac{f(x)}{f'(x)}$ ισχύει g'(1)=1

ΚΑΛΗ ΕΠΙΤΥΧΙΑ

Αρκετά καλό διαγωνισματάκι.
(To x'2 σημαίνει x στο τετράγωνο)

Θέμα 1ο
Α)Λ
Β)Λ

Θέμα 2ο
α)Θέτεις h(x)=f(x)-1/*x'2, λύνεις ως προς f και βάζεις όρια. Έτσι βρίσκεις το όριο στο 1 που λόγω συνέχειας είναι ίσο με f(1).
β)Παίρνεις την h και λύνεις ως προς αυτό που υπάρχει στο όριο της παραγώγου.Μετά βάζεις όρια.
γ)Θέτεις g(x)=f(x)-4x+3 και παίρνεις Bolzano στο [2,3].

Θέμα 3ο
α)f([0,2])= [3,5]
β)f(1)<f(0)<f(2), παίρνεις Θ.Ε.Τ.
γ)i) γν. φθίνουσα στο [0,1] και γν. αύξουσα στο [1,2]
ii)αν 4<α<5 μοναδική
αν α>5 καμία
αν α=5 μοναδική
αν α=3 μοναδική
αν α=4 διπλή
αν 3<α<4 διπλή
αν α

καμία

Θέμα 4ο
Α)α)Μέγιστη και Ελάχιστη Τιμή
β)Μήπως έχεις κάνει λάθος στην g(x)??
Aυτό με τον τύπο της f υπάρχει σε ένα άλλο topic του forum και βαριέμαι να το γράφω τώρα. Δημιουργείς [f(x)-x]'2.
Β)i) f(x)=o άρα f(2-x)=o
Eπειδή όμως είναι "1-1" x=2-x άρα x=1 μοναδική ρίζα.
ii)παίρνεις το όριο της παραγώγου και σου βγάινει f'(1)/f'(1)=1

coheNakatos · 02-12-09

συμφωνω με τα παραπανω.. αλλα βαζε spoiler αλλη φορα

Δεν μου πολυ αρεσε η δικαιολογηση σου στο θεμα 4ο Α - β ερωτημα ..

Συλλογή ασκήσεων και τεστ στα Μαθηματικά Προσανατολισμού

Πολύ δραστήριο μέλος

Δραστήριο μέλος

Νεοφερμένο μέλος

Δραστήριο μέλος

Πολύ δραστήριο μέλος

Δραστήριο μέλος

Εκκολαπτόμενο μέλος

Δραστήριο μέλος

Πολύ δραστήριο μέλος

Δραστήριο μέλος

Νεοφερμένο μέλος

Νεοφερμένο μέλος

Δραστήριο μέλος

Νεοφερμένο μέλος

Διάσημο μέλος

Πολύ δραστήριο μέλος

Δραστήριο μέλος

Πολύ δραστήριο μέλος

Εκκολαπτόμενο μέλος

Δραστήριο μέλος